BAB IV INTEGRAL RIEMANN

Integral Riemann

21 Herawan - Thobirin - Analisis Real II

BAB IV

INTEGRAL RIEMANN

Untuk mempelajari lebih lanjut tentang konsep integral Riemann, akan lebih baik jika pembaca memahami beberapa hal berikut.

A. Partisi Definisi 4.1

Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏], himpunan terurut dan berhingga

𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛}

pada interval [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑎 = 𝑥₀< 𝑥₁< 𝑥₂< 𝑥_𝑛 = 𝑏 dan _𝑖 ∈ 𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

disebut partisi Riemann pada interval [𝑎, 𝑏].

Partisi Riemann ini sering dinyatakan secara singkat sebagai partisi. Titik 𝑥_𝑖, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 disebut titik partisi (partition point) dan _𝑖 ∈ 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 disebut titik tag (tag point). Titik-titik pada

partisi P dapat digunakan untuk membagi interval [𝑎, 𝑏] ke dalam interval-interval bagian yang tidak saling tumpang tindih (non overlapping sub intervals). Perhatikan bahwa jika diberikan sembarang interval [𝑎, 𝑏] dan 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} partisi pada [𝑎, 𝑏] maka interval bagian-interval bagian yang tidak saling tumpang tindih tersebut adalah 𝑥₀, 𝑥₁ , 𝑥₁, 𝑥₂ , … , 𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛 . Interval bagian-interval bagian ini mempunyai panjang berturut-turut ∆𝑥₁= 𝑥₁− 𝑥₀, ∆𝑥₂= 𝑥₂− 𝑥₁, … , ∆𝑥_𝑛 = 𝑥_𝑛 − 𝑥_𝑛−1.

Untuk setiap partisi 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} pada [𝑎, 𝑏] norm partisi P dinotasikan 𝑃 didefinisikan sebagai panjang interval bagian terpanjang yang terbentuk dari partisi P. Jadi 𝑃 = sup⁡{∆𝑥_𝑖 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 }.

Definisi 4.2 (refinement partition)

Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏], partisi Q disebut penghalus (refinement) partisi P pada [𝑎, 𝑏] jika 𝑃  𝑄.

Untuk suatu interval [𝑎, 𝑏] tak berhingga banyak partisi yang dapat dibuat. Koleksi semua partisi pada interval [𝑎, 𝑏] dinotasikan dengan P [𝑎, 𝑏].

Contoh 4.3

Diberikan interval I = [0, 1]. Berikut ini adalah beberapa partisi pada I. 𝑃₁= {0, 1 4, 1}, 𝑃2 = {0, 1 3, 1 2, 1}, 𝑃3= {0, 1 4, 2 4, 3 4, 1}, 𝑃4= {0, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 1} , 𝑃₅= 0, 1₈, 2₈, ₈3, 4₈, 5₈, 6₈, ₈7, 1 = 0, 1₈, 1₄, 3₈, 2₄, 5₈, 3₄, 7₈, 1 Dapat dihitung bahwa 𝑃₁ =3₄ , 𝑃₂ =1₂ , 𝑃₃ =1₄ .

𝑃₅ merupakan penghalus dari 𝑃₃ sebab 𝑃₃ 𝑃₅, tetapi 𝑃₅ bukan penghalus dari 𝑃₂ maupun 𝑃₄ sebab 𝑃₂ 𝑃₅ dan 𝑃₄ 𝑃₅. Partisi 𝑃₃, 𝑃₄, dan 𝑃₅ disebut partisi seragam.

Lemma 4.4

22 Herawan - Thobirin - Analisis Real II

Bukti:

Diberikan 𝑃₁= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} partisi pada [𝑎, 𝑏].

𝑃1 = sup ∆𝑥𝑖 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 = sup 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 . Diketahui 𝑃1 𝑃2 atau 𝑃2 penghalus

dari 𝑃₁, maka 𝑃₂ dapat dinyatakan sebagai

𝑃₂= {𝑎 = 𝒙_𝟎= 𝑥₁₀, 𝑥₁₁, 𝑥₁₂, … , 𝑥_1𝑘1, 𝒙_𝟏= 𝑥₂₀, 𝑥₂₁, 𝑥₂₂, … , 𝑥_2𝑘2, … , 𝒙_𝒏−𝟏= 𝑥_𝑛0, 𝑥_𝑛1, 𝑥_𝑛2, … , 𝑥_𝑛𝑘𝑛, 𝒙_𝒏= 𝑏; ₁₁,₁₂, … ,_1𝑘

1,21,22, … ,2𝑘2, … ,𝑛1,𝑛2, … ,𝑛𝑘𝑛 }

maka 𝑃₂ = sup 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖(𝑗 −1) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘𝑖 ∪ 𝑥𝑖− 𝑥𝑖𝑘𝑖) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 .

Dapat dipahami bahwa 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖(𝑗 −1)≤ 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘𝑖 dan

𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖𝑘𝑖 ≤ 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 Oleh karena itu

sup 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖(𝑗 −1) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘𝑖 ∪ 𝑥𝑖− 𝑥𝑖𝑘𝑖) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

 sup 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 Jadi 𝑃2 ≤ 𝑃1 .

Lemma 4.5

Jika 𝑃₁, 𝑃₂ P [𝑎, 𝑏] maka 𝑃1∪ 𝑃2 merupakan penghalus dari 𝑃1 dan 𝑃2.

Bukti diserahkan kepada pembaca.

Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑎 < 𝑏, maka berdasarkan sifat urutan bilangan real diperoleh 𝑏 − 𝑎 > 0, oleh karenanya untuk sembarang 𝛿 > 0 dan berdasarkan sifat Archimides, terdapat dilangan asli n sehingga

𝑏 − 𝑎 𝑛 < 𝛿.

Jadi pada interval [𝑎, 𝑏] dapat dibuat partisi 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} demikian sehingga 𝑃 < 𝛿. Penjelasan tersebut merupakan ilustrasi bukti teorema berikut.

Teorema 4.6

Untuk setiap bilangan real 𝛿 > 0 terdapat partisi P pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑃 < 𝛿.

Dengan adanya jaminan eksistensi suatu partisi pada interval 𝑎, 𝑏 dan dari beberapa sifat di atas, selanjutnya dapat dikonstruksikan integral Riemann sebagai berikut.

B. Integral Riemann

Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏] dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi bernilai real yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} partisi pada [𝑎, 𝑏] jumlahan

𝑆 𝑃; 𝑓 = 𝑃 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛

𝑖=1

Integral Riemann

23 Herawan - Thobirin - Analisis Real II

Defnisi 4.7

Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏], fungsi bernilai real f : [𝑎, 𝑏]  R dikatakan terintegral

Riemann jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap bilangan real 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝛿 > 0 dengan sifat untuk setiap 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} partisi

pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿 berlaku

𝑃 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴 < 𝜀 atau 𝑆(𝑃; 𝑓) − 𝐴 < 𝜀

Bilangan real A pada Definisi 4.7 disebut nilai integral Riemann fungsi f pada interval [𝑎, 𝑏] dan ditulis

A = (R) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏

Selanjutnya untuk memudahkan penulisan, koleksi semua fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dinotasikan dengan R[𝑎, 𝑏]. Jadi jika f : [𝑎, 𝑏]  R dikatakan terintegral Riemann cukup ditulis dengan f  R[𝑎, 𝑏].

Defnisi 4.8

Definisi integral Riemann di atas (Definisi 4.7) dapat pula dinyatakan sebagai limit dengan

lim

𝑃 →0𝑆 𝑃; 𝑓 = 𝐴 C. Sifat-sifat Dasar Integral Riemann

Bagian ini membahas sifat-sifat dasar integral Riemann, di antaranya ketunggalan nilai integral, kelinearan koleksi semua fungsi terintegral Riemann.

Teorema 4.9

Jika f  R[𝑎, 𝑏] maka nilai integralnya tunggal

Bukti

Misalkan 𝐴₁ dan 𝐴₂ keduanya nilai integral Riemann fungsi f, maka cukup dibuktikan bahwa 𝐴₁= 𝐴₂. Diketahui f  R[𝑎, 𝑏].

Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0.

𝐴₁ nilai integral fungsi f pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿₁> 0 sehingga untuk setiap partisi 𝑃₁= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃₁ < 𝛿1 berlaku

𝑆(𝑃₁; 𝑓) − 𝐴₁ <𝜀 2

𝐴2 nilai integral fungsi f pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿2 > 0 sehingga untuk setiap partisi

𝑃₂= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑚 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑚} pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃₂ < 𝛿₂ berlaku 𝑆(𝑃2; 𝑓) − 𝐴2 <

𝜀 2

Dipilih 𝛿 = min⁡{𝛿₁, 𝛿₂}, akibatnya jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 berlaku 𝑃 < 𝛿₁ dan 𝑃 < 𝛿₂. Akibatnya

𝑆(𝑃; 𝑓) − 𝐴1 <

𝜀 2 dan

24 Herawan - Thobirin - Analisis Real II 𝑆(𝑃; 𝑓) − 𝐴₂ <𝜀 2 Lebih lanjut 𝐴1− 𝐴2 = 𝐴1− 𝑆 𝑃; 𝑓 + 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐴2 ≤ 𝐴₁− 𝑆 𝑃; 𝑓 + 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐴₂ ≤ 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐴₁ + 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐴2 <𝜀 2+ 𝜀 2= 𝜀

Karena 𝜀 sembarang bilangan positif maka dapat disimpulkan 𝐴₁= 𝐴₂.

Teorema berikut menyatakan bahwa koleksi semua fungsi yang terintegral Riemann, yaitu R[𝑎, 𝑏] adalah ruang linear.

Teorema 4.10

Jika f, g  R[𝑎, 𝑏] dan 𝛼 sembarang bilangan real, maka

a. (f + g)  R[𝑎, 𝑏] dan

(R) (𝑓 + 𝑔) 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 = (R) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 + (R) 𝑔 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏

b. 𝛼f  R[𝑎, 𝑏] dan (R) (𝛼𝑓) 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 = 𝛼(R) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏

Bukti

a. Diketahui f , g  R[𝑎, 𝑏]. Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0.

Karena f  R[𝑎, 𝑏] maka terdapat 𝐴1= (R) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 dan 𝛿1> 0 sehingga untuk setiap partisi

𝑃1 pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃1 < 𝛿1 berlaku

𝑆(𝑃₁; 𝑓) − 𝐴₁ <𝜀 2

Karena g  R[𝑎, 𝑏] maka terdapat 𝐴2= (R) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 dan 𝛿2 > 0 sehingga untuk setiap partisi

𝑃₂ pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃₂ < 𝛿₂ berlaku

𝑆(𝑃2; 𝑓) − 𝐴2 <

𝜀 2

Dipilih 𝛿 = min⁡{𝛿1, 𝛿2}, akibatnya jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿

berlaku 𝑃 < 𝛿₁ dan 𝑃 < 𝛿₂. Akibatnya

𝑆 𝑃; 𝑓 + 𝑔 − (𝐴1+𝐴2) = 𝑃 (𝑓 + 𝑔) _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴₁+𝐴₂) = 𝑃 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 + 𝑔 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴₁+𝐴₂) = 𝑃 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 + 𝑃 𝑔 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴₁+𝐴₂) ≤ 𝑃 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴₁ + 𝑃 𝑔 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴₂ <𝜀 2+ 𝜀 2= 𝜀. Terbukti (f + g)  R[𝑎, 𝑏] dan (R) (𝑓 + 𝑔) 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 = 𝐴₁+ 𝐴₂= (R) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 + (R) 𝑔 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏

Integral Riemann

25 Herawan - Thobirin - Analisis Real II b. Bukti untuk latihan

Teorema berikut menyatakan suatu kriteria yang harus dipenuhi oleh fungsi f supaya terintegal Riemann pada interval [𝑎, 𝑏] tanpa harus mengetahui (menghitung) nilai integralnya.

Teorema 4.11 (Kriteria Cauchy untuk Keterintegralan Riemann)

f  R[𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga

untuk setiap dua partisi pada [𝑎, 𝑏], 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} dan

𝑃₂= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑚 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑚} dengan sifat 𝑃₁ < 𝛿 dan 𝑃2 < 𝛿 berlaku

𝑃1 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃₂ 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 < 𝜀. Bukti Syarat perlu:

Diketahui f  R[𝑎, 𝑏]. Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0, maka terdapat 𝐴 = (R) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 dan terdapat 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑃₁= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃1 < 𝛿 berlaku 𝑃1 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴 < 𝜀 2.

Jika 𝑃₂= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑚 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑚} juga sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃₂ < 𝛿 berlaku 𝑃2 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴 <₂𝜀. Diperoleh 𝑃1 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃2 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 = 𝑃1 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃2 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 − 𝐴 + 𝐴 ≤ 𝑃1 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴 + 𝐴 − 𝑃2 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 = 𝑃1 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴 + 𝑃2 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 − 𝐴 <𝜀 2+ 𝜀 2= 𝜀. Syarat cukup:

Jika diketahui untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap dua partisi pada [𝑎, 𝑏], 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} dan 𝑃2= {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑚 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑚}

dengan sifat 𝑃1 < 𝛿 dan 𝑃2 < 𝛿 berlaku

𝑃₁ 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃₂ 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑚 𝑖=1 < 𝜀

26 Herawan - Thobirin - Analisis Real II akan ditunjukkan f  R[𝑎, 𝑏].

Dibentuk barisan 𝜀_𝑛 dengan 𝜀𝑛 > 0 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 yang monoton turun dan konvergen ke 0.

Jadi untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝑛₁∈ 𝑁 sehingga untuk setiap bilangan asli 𝑛 ≥ 𝑛1 berlaku

𝜀_𝑛− 0 < 𝜀 2.

Berdasarkan yang diketahui, maka untuk setiap 𝜀_𝑛 terdapat bilangan 𝛿_𝑛′ _{> 0 shingga untuk setiap}

𝑃𝑛1= {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} dan 𝑃𝑛2= {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑚 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑚} dua

partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃_𝑛1 < 𝛿𝑛′ dan 𝑃𝑛2 < 𝛿𝑛′ berlaku

𝑃_𝑛1 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃_𝑛2 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑚 𝑖=1 < 𝜀_𝑛 Selanjutnya didefinisikan 𝑠_𝑛 = 𝑃_𝑛 𝑓 _𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1

untuk setiap bilangan 𝑛 ∈ 𝑁.

Dibentuk barisan bilangan real positif 𝛿_𝑛 dengan 𝛿1  = 𝛿1∗  dan 𝛿2  = min 𝛿1  , 𝛿2∗  ,

𝛿𝑛  = min 𝛿1  , 𝛿2  , … , 𝛿𝑛−1  , 𝛿𝑛∗  untuk n = 3, 4, 5, … (*)

Selanjutnya diambil bilangan asli m dan n dengan 𝑚 ≥ 𝑛₁ dan 𝑛 ≥ 𝑛₁. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan 𝑚 ≥ 𝑛, maka berdasarkan (*) berlaku

𝛿_𝑚 ≤ 𝛿_𝑛 Ambil sembarang partisi

𝑃1= {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} dan 𝑃2= {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑚 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑚} pada

interval [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃1 < 𝛿𝑛 dan 𝑃2 < 𝛿𝑛, sehingga diperoleh

𝑠𝑛 − 𝑠𝑚 = 𝑃1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃₂ 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑚 𝑖=1 < 𝜀_𝑛 dan karena 𝜀_𝑛− 0 <𝜀 2 maka diperoleh 𝑠_𝑛− 𝑠_𝑚 <𝜀 2

Jadi (𝑠_𝑛) merupakan barisan Cauchy dalam R, oleh karenanya (𝑠_𝑛) barisan yang konvergen. Misalkan ia konvergen ke 𝑠 ∈ 𝑅, berarti terdapat bilangan asli 𝑛2 dengan 𝑛 ≥ 𝑛2 sehingga berlaku

𝑠_𝑛− 𝑠 < 𝜀 2

Dipilih bilangan asli 𝑛0 = maks {𝑛1, 𝑛2}. Jika 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = 𝑏; ₁,₂, … ,_𝑛} sembarang

partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿_𝑛0, diperoleh 𝑃 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑠 = 𝑃 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃𝑛0 𝑓 𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 + 𝑃𝑛0 𝑓 𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 − 𝑠 ≤ 𝑃 𝑓 _𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃𝑛0 𝑓 𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 + 𝑃𝑛0 𝑓 𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚 𝑖=1 − 𝑠

Integral Riemann

27 Herawan - Thobirin - Analisis Real II < 𝜀_𝑛0+ 𝑠𝑛0 − 𝑠 <𝜀 2+ 𝜀 2= 𝜀 Terbukti 𝑓 ∈ R[𝑎, 𝑏].

Teorema berikut menyatakan hubungan keterintegralan suatu fungsi dengan keterbatasan.

Teorema 4.12

Jika f  R[𝑎, 𝑏] maka f terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Bukti untuk Latihan

Konvers dari teorema 4.12 ini tidak berlaku, artinya ada fungsi yang terbatas tetapi tidak terintegral Riemann. Contoh fungsi demikian akan dibahas pada bab selanjutnya.