Pembahasan soal UN IPA 2011

(1)

(2)

PEMBAHASAN

SOAL UN 2011

MATEMATIKA IPA (PAKET 12)

Pembahas:

Sigit Tri Guntoro

Marfuah

Reviewer:

Jakim Wiyoto

(3)

2 1. Bentuk sederhana dari √ √

√ √ ….

A. √

B. √

C. √

D. √

E. √

Alternatif penyelesaian:

Dengan merasionalkan penyebut diperoleh:

√ √ √ √

√ √ √ √ (√ √ ) √ √

√ √

√

Jawaban: E

2. Grafik � � � memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai � yang

e e uhi adalah….

A. � atau �

B. � atau �

C. � atau �

D. �

E. �

Untuk menghasilkan perpotongan dua titik pada sumbu X maka diskriminan D dari y memenuhi

D>0.

(4)

3 � � �

� � � � � �

� � � atau �

Secara ilustrasi:

Jadi batas-batas nilai � yang memenuhi adalah � atau �

Jawaban: B

3. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), C(4, 2, - . Besar sudut ABC adalah….

A.

B.

C.

D.

E. 0

̅ ̅

2

A(5, 1, 3)

C(4, 2, -4)

B(2, -1, -1) ̅

(5)

4 Dengan mengingat dot product ̅ ̅ | ̅|| ̅| maka diperoleh

_{| ̅ || ̅ |} ̅ ̅

√ √

Jadi

Jawaban: B

4. Diketahui vektor ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ dan vektor ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗. Proyeksi vektor orthogonal

vektor pada vektor adalah….

A. ⃗ ⃗ ⃗⃗

B. ⃗ ⃗ ⃗⃗

C. ⃗ ⃗ ⃗⃗

D. ⃗ ⃗ ⃗⃗

E. ⃗ ⃗ ⃗⃗

Misalkan proyeksi vektor orthogonal (tegak lurus) vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗ adalah vektor vektor �⃗

maka

�⃗ ⃗⃗ ⃗⃗_{| ⃗⃗|}_{| ⃗⃗|} ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| ⃗⃗

Sesuai dengan soal diperoleh

�⃗ _{( ⃗ ⃗} ⃗⃗)

( ⃗ ⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗ ⃗⃗

Jawaban: B ⃗

(6)

5 5. Diketahui dan

, maka ….

A.

B.

C.

D.

E.

( )

( ₎

untuk

Jawaban: D

6. Akar-akar persamaan kuadrat adalah α da β. Jika α = β da α, β positif,

maka nilai madalah….

A. -12

B. -6

C. 6

D. 8

E. 12

Perhatikan bahwa:

dan .

Sesuai dengan persamaan kuadratnya maka

(7)

6 atau ditulis . Selain itu diperoleh . Penyelesaian dari adalah atau . Karena positif maka dipilih . Dari sini diperoleh

Jawaban: E

7. Diketahui persamaan matriks

( ) Nilai ….

A.

B.

C.

D.

E.

Perhatikan hasil perkalian matriks

( ) ( ₎

Dari sini didapatkan

(₎

Jadi

(8)

7 8. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih

sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun.

Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah….

A. 90 kg

B. 80 kg

C. 75 kg

D. 70 kg

E. 60 kg

Misalkan

jumlah hasil panen Pak Ahmad = kg,

jumlah hasil kebun Pak Badrun = kg

jumlah hasil kebun Pak Yadi = kg

Dari data diperoleh

Jadi hasil panen Pak Ahmad 90 kg

Jawaban: A

9. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit

vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin

B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga

tablet 1 Rp. 4000,00 per biji dan tablet II Rp. 8.000,00 per biji, pengeluaran minuman untuk

pe elia ta let per hari adalah….

A. Rp12.000,00

B. Rp14.000,00

C. Rp16.000,00

(9)

8 E. Rp20.000,00

Misal

Banyaknya tablet Jenis I yang diperlukan tiap hari : tablet

Satu Tablet

Jenis I

Satu Tablet

Jenis II

Keperluan

tiap hari

Kandungan Vitamin A

Kandungan Vitamin B

5

3

10

1

25

5

Harga 4000 8000

Dari sini didapatkan model matematik:

Dengan meminimumkan

Daerah penyelesaian dari masalah di atas terlihat pada daerah yang diarsir

Dengan menguji titik-titik sudut daerah penyelesaian diperoleh

Titik F(x,y)=4000x + 8000y

(10)

9 B(1,2)

C(0,5)

20000

40000

Jadi ada 2 titik yang menyebabkan nilai minimum pada F yaitu A(5,0) dan B(1,2) yang

menghasilkan nilai minimum 20000

Jawaban: E

10. Nilai √ …. A. 0

B. 4

C. 8

D. 12

E. 16

√

√ √

√

(√ )

Jawaban: B

11. Nilai ….

A.

B.

C.

D.

(11)

10 Alternatif penyelesaian:

Jawaban: D

12. Akar-akar persamaan adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang

akar-akarnya dan adalah….

A.

B.

C.

D.

E.

Ingat kembali bahwa jika dan akar-akar persamaan kuadrat maka

berlaku dan . Dari persamaan kuadrat diperoleh

Persamaan Kuadrat Lama

Persamaan Kuadrat Baru

(12)

11 Persamaan dapat dibentuk dengan cara :

. Sesuai hasil sebelumnya didapatkan

Jawaban: A

13. Persamaan garis singgung lingkaran di titik adalah….

A.

B.

C.

D.

E.

Ingat kembali bahwa persamaan garis singgung lingkaran di titik

adalah Dengan demikian persamaan

garis singgung lingkaran di titik adalah:

Jawaban: D

14. Diketahui premis-premis

(1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung

(2) Ibu tidak memakai payung

Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-pre is terse ut adalah….

A. Hari tidak hujan

B. Hari hujan

C. Ibu memakai payung

D. Hari hujan dan Ibu memakai payung

(13)

Misalkan,

p : hari hujan

q : Ibu memakai payung

Sesuai dengan premisnya diperoleh

p  q

~q

 ~p (hari tidak hujan)

Jawaban: A

15. Diketahui suku banyak . Jika dibagi sisa 11,

dibagi sisa -1, maka nilai ….

A. 13

B. 10

C. 8

D. 7

E. 6

dibagi sisa 11. Berarti , yang menghasilkan dibagi sisa -1. Berarti , yang menghasilkan

Dari sini diperoleh

(14)

13 Jadi

Jawaban: C

16. Diketahui dan adalah faktor-faktor suku banyak .

Jika akar-akar persamaan suku bannyak tersebut adalah , , dan , untuk

maka nilai ….

A. 8

B. 6

C. 3

D. 2

E. – 4

Untuk berlaku:

Untuk menentukan faktor yang lain dari digunakan cara:

|

Faktor yang lain adalah , sehingga nilai dari

(15)

14 17. Nilai yang memenuhi persamaan

log(

3

)

2

log

1

1 2 2 1







x

adalah….

A. atau

B. atau

C. atau

D. saja

E. saja

Prasyarat yang harus dipenuhi adalah:

(1) . Sementara itu ( √ )( √ ) . Sehingga didapatkan

prasyarat √ atau √

(2)

x



0

Kombinasi (1) dan (2) diperoleh prasyarat √ (*)

Dengan memperhatikan prasyarat di atas selanjutnya diselesaikan

.

Dari sini diperoleh penyelesaian

atau .

Mengingat (*) maka didapat penyelesaian

Jawaban: E

18. Persamaan bayangan garis karena refleksi terhadap garis , dilanjutkan

refleksi terhadap adalah….

A.

B.

C.

D.

E.

(16)

15

( )

Dari sini diperoleh:

Jadi hasil transformasinya adalah

Jawaban: B

19. Bentuk sederhana dari …. A.

B.

C.

D.

E.

Perhatikan bahwa

(17)

16 20. Hasil dari ∫ ….

A.

B.

C.

D.

E.

Misalkan:

, maka

Sehingga

∫ ∫

Jawaban B

21. Hasil 2

2

3

9

1

x

dx

x











A. 2 3x29x 1 C

B.

1

3

2

9

1

3

x



x

 

C

C.

2

3

2

9

1

3

x



x

 

C

D.

1

3

2

9

1

2

x



x

 

C

(18)

Misalkan

3

x

2



9

x

 

1

t

, maka berlaku:





(6x9)dxdt3 2x3 dxdt





1

2

3

x

dx

dt







Apabila nilai t disubstitusikan pada soal, diperoleh:

2

3

9

1

x

dx

x











1 1

2 2 2

1

1 1 2

3 ₂ ₃ ₉ ₁

3 3 3

dt t dt t C x x C

t



         



Jawab: C

22. Nilai

cos140

cos100

sin140

sin100







Menggunakan rumus trigonometri diperoleh:

140

100

140

100

2.sin

.sin

2

cos140

cos100

sin140

sin100

140

100

140

100

2.cos

.sin

2

































































= − ta º =

3

Jawaban: E

2.sin120 .sin 20

2.cos120 .sin 20





(1,0) 8 -3 log( ) a

y x

(19)

18 23. Perhatikan gambar!

Persa aa grafik fu gsi i vers ya adalah …

A.

y



3

x

B.

1

3

x

y



C. 1 3x

y

D.

1

2

x

y



E.

y



2

x

Dari grafik dapat dilihat bahwa:

log1 0

a



dan a

log8

 

3

dipenuhi untukBerlakua =

1

2

Sehingga, apabila f(x)= a

log

x

, maka fungsi invers

f

1 dapat diperoleh dengan cara:

1 log

2 y

a y

y x x a    

 

1 1

( ) 2

x

f x    

 

Jawaban: D

24. Modus data pada tabel berikut adalah ...

Ukuran _f

− 3

− 17

− 18

− 22

− 25

(20)

19 A.

20, 5

3

.5

4



B.

20,5

3

.5

25



C.

20,5

3

.5

7



D.

20, 5

3

.5

4



E.

20, 5

3

.5

7



Pembahasan:

Modus = a _.

a b

f Tb I

f f 

 dengan:

Tb = tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar ( f=25) , yakni 20,5

fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya, yakni 2522 = 3

fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya, yakni 25  21 = 4

I = interval kelas = 5

Jadi:

Modus =

20,5

3

.5

7



Jawaban: C

25. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai dengan 4 wajib

dikerjakan. Banyaknya pilihan yang harus diambil siswa tersebut ada ...

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

E. 30

Karena soal nomor 1 sampai dengan 4 wajib dikerjakan, maka tersisa 6 soal lain untuk dipilih sebanyak 4

soal.

(21)

20 Kejadian ini merupakan kejadian kombinasi, karena urutan tidak diperhatikan. Apabila soal yang dipilih

adalah {soal 5, soal 6, soal 7, soal 8} maka dianggap sama dengan memilih { soal 6,soal 5, soal 7, soal 8}.

n adalah banyak soal = 6

r adalah banyak soal yang harus dipilih = 4

!

( )! !

n r

n C

n r r 



6 4

6!

15

2!4!

C



Jawaban: B

26. Dari dalam kantong yang berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih akan diambil 2 kelereng

sekaligus se ara a ak. Pelua g ya g tera il kelere g putih adalah…

A.

20

153

B.

28

153

C.

45

153

D.

56

153

E.

90

153

Misal:

A= kejadian terambil 2 kelereng putih

S=ruang sampel, yaitu kejadian terambilnya 2 kelereng dari 18 kelereng

Maka peluang terambil 2 kelereng putih adalah

  ( ) ( )

n A P A

n S 

dengan n(A) kombinasi terambilnya 2 kelereng putih dari 10 kelereng putih

(22)

21 10 2

18 2

10! 45 8!2! ( )

18! ₁₅₃ 16!2!

C P A

C

  

Jawaban: C

27. Diketahui





3

A B







dan

sin .sin

1

4

A

B



. Nilai

cos(

A B



)



...

A. 1

B.

1

2



C.

1

2

D.

3

4

E. 1

Dengan menggunakan rumus trigonometri untuk jumlahan dan selisih sudut, berlaku:

cos(

A B



)



cos cos

A

B



sin sin

A

B

1

cos

3

A

B

4









1

cos

2

A

B

4

 



Diperoleh:

cos

3

4

A

B



Dari sini maka,

cos(

A B



)



cos cos

A

B



sin sin

A

B

3

1

4

  

Jawaban: E

28. Diketahui matriks

3

2

0

5

A

 











dan

3

1

17

0

B

 















(23)

22 A. −5

B. −1

C. 1 D. 5 E. 8 Alternatif penyelesaian:

3

2

0

5

A

 











maka

3

0

2

5

T

A

 











dan

1

5

2

0

3

15

A



















0

1

15

5

T

B



A

 















Ditentukan matriks X yang memenuhi persamaan: AX=B+AT Maka :

A-1 A X = A-1(B+AT)  X = A-1(B+AT)

5

2

0

1

0

3

15

5

15

X



























=

30

15

2

1

45

15

3

1

15





 









 







 



Diperoleh det(X = . − -3)(-1) = -1

Jawaban: B

29. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG

adalah ...

A.

4 6

cm B.

4 5

cm C.

4 3

cm D.

4 2

cm E. 4 cm

Jarak titik M ke AG merupakan panjang garis yang melalui titik M dan

tegak lurus garis AG, misal garis MTt.

C D E H F G

A _B

M

(24)

23 Perhatikan bidang AMG.

AMG merupakan segitiga sama kaki.

Panjang AM = MG = EM2EA2  8242 4 5

Panjang AG = panjang diagonal ruang =

8 3

Diperoleh:

MT = 2

1

2

(4 5)

2

(4 3)

2

4 2

2

AM



AG







cm

Jawaban : D

30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG

adalah:

A.

1

6

3

B.

1

3

2

C.

1

2

D.

1

3

E.

1

2

3

Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah nilai kosinus

sudut MGC.

cos

MGC

GC

MG



A

M

G

Tt

8 cm

C D

E

H

F

G

A _B

M t

(25)

24

2 2

GC

MC





2 2

10

1

10

10 2

2







 







10

1

6

3

5 6



Jawaban: A

31. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar

(9000 1000



x



10

x

2

)

rupiah. Jika semua ahasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp 5000,00 untuk satu

produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ...

A. Rp 149.000,00

B. Rp 249.000,00

C. Rp 391.000,00

D. Rp 609.000,00

E. Rp 757.000,00

Diketahui biaya produksi =

(9000 1000



x



10

x

2

)

rupiah dan harga per produk = Rp 5000,00 Kare a la a = pe dapata − iaya produksi, aka:

Laba = F(x) =

5000

x



(9000 1000



x



10

x

2

)

 

10

x

2



4000

x



9000

Laba maksimum diperoleh pada nilai x untuk F’(x) = 0.

'( )

0

20

4000

0

200

F x

  

x



  

x

Untuk x = 200, diperoleh :

Laba = F(x) =

 

10.(200)

2



4000(200) 9000



= Rp 391.000,00

Jawaban: C

32. Luas daerah yang dibatasi kurva

y

 

4

x

2,

y

  

x

2

, dan

0

 

x

2

adalah …

A.

8

3

satuan luas

B.

10

(26)

25 C.

14

3

satuan luas

D.

16

3

satuan luas

E.

26

3

satuan luas

L =





2

1 2

0

( ) ( )

f x  f x dx







2

0

(4 x ) ( x 2) dx





    2



2



0

2

x x dx

   



2

3 2

0

1

2

3

x

2

x



 





8

2 4

0

3





   











=

10

3

Jawaban: B

33. Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan

aritmetika tersebut adalah ...

A. 308

B. 318

C. 326

D. 344

E. 354

(27)

26 Un adalah suku ke-n suatu barisan aritmetika, a adalah suku pertama dan b adalah beda.

9

150

8

150

U



 

a

b



... 1)

4

110

3

110

U



 

a

b



... 2)

Dengan menggunakan metode eliminasi antara persamaan 1) dan 2) diperoleh:

a = 86 dan b = 8.

Sehingga:

30

29

86 (29)(8)

318

U

 

a

b







Jawaban: B

34. Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan

seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang

terjual selama 10 bulan ada ....

A. 1.050 kg

B. 1.200 kg

C. 1.350 kg

D. 1.650 kg

E. 1.750 kg

Sn adalah jumlahan suku ke-n suatu barisan aritmetika, a adalah suku pertama dan b adalah beda.

Dari soal: a=120 dan b=10. Berlaku:







2

1



2

n

S



a

 

n

b





10

2.120 9.10

1650

2

S







kg

Jawaban: D

35. Hasil 4

2

(

 

x

6

x



8)

dx



...



A.

38

3

B.

26

(28)

27 C.

20

3

D.

16

3

E.

4

3

4

2 3 2

2 2

1

(

6

8)

3

8

3

x

dx

x



 



 



 



3 2 3 2

1

(4)

3.4

8.4 (

(2)

3.2

8.2)

3

 





 





=

4

3

Jawaban: E

36.





0

sin 3x cosx dx ... 

 



A.

10

3

B.

8

3

C.

4

3

D.

2

3

E.

4

3



Penyelesaian





0

sin 3x cosx dx



 



0

1

cos 3

sin

3

x





 





1

cos 3

sin

1

cos 0 sin 0

3



3



 



 





 

 







 



=

1

3



3

=

2

3

(29)

28 37. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

y



x

2, garis

y



2

x

di

kuadran I diputar 360º terhadap sumbu x adalah ...

A.

20

15



satuan volume

B.

30

15



satuan volume

C.

54

15



satuan volume

D.

64

15



satuan volume

E.

144

15



satuan volume

Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih dahulu titik potong dua

kurva.

Titik potong antara

y

₁



x

2dan

y

₂



2

x

diperoleh untuk:

1 2

y



y

2





2 2 0

x x x x

     x = 0 dan x=2

Sehingga:

 

2

2 2

1 2

0

( )

V









y



y





dx







2

2 4

0

4

x

dx





















2

3 5

0

4

1

3

x

5

x



















4

1

(8)

(32) 0

3

5



















64

15



(30)

29 Jawaban: D

38. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut

adalah ...

A. 128 64 3 cm

B.

128 64 2



cm

C.

128 16 2



cm

D.

128 16 2



cm

E. 128 16 3 cm

Perhatikan segitiga BIJ pada gambar di samping.

2 2 2

2.

. .cos 45

BJ



BI



IJ



BI IJ

8

2

8

2

2.8.8.

1

2



 

128 64 2

BJ





cm

Jawaban: B

39. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF . Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC =

2 7

cm, dan CF = 8 . Volu e pris a terse ut adalah …

A.

96 3

cm3 B.

96 2

cm3 C.

96

cm3 D.

48 3

cm3 E.

48 2

cm3

Volume Prisma= Luas alas × tinggi

Luas alas prisma = luas segitiga ABC

A

B

C D

E F

4

6 2

7

8

4

6 2

7

α

A

B

(31)

(32)

31 Menggunakan rumus cosinus sudut pada segitiga, berlaku:

2 2 2

2. . .cos

b



a

 

c

a c



2 2 2

(2 7)



6



4



2.6.4.cos



1

cos

60

2



  



Sehingga diperoleh:

Luas segitiga ABC =

1

. . .sin

2

a c



=

1

.6.4.sin 60

.6.4.

3

6 3

2



2



Jadi: Volume Prisma=

6 3

× 8 =

48 3

cm3

Jawaban : D

40. Himpunan penyelesaian persamaan

cos 2

x



cos

x



0, 0

 

x

180

adalah …

A. {45º,120º} B. {45º,120º} C. {60º,135º} D. {60º,120º} E. {60º,180º} Alternatif penyelesaian:

cos 2

x



cos

x



0

2

2cos

x

1 cos

x

0



 



2

2cos

x

cos

x

1 0





 

2

2cos

x

2cos

x

cos

x

1 0







 

2cos (cos

x

1) 1(cos

x

1)

0



 

 

(2cos

x

1)(cos

x

1)

0





 

(2cos

x

1)

0



 

atau

(cos

x

 

1)

0

,

0

 

x

180

60

x

 

atau

x



180