Penyisihan SMA 2011

(1)

Soal PenyisihanOMV2011 - SMA/MA

_________________________________________________________________________________________________

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika “Vektor” Universitas Negeri Malang

Bagian 1

BERIKAN JAWABAN AKHIR!

1. Bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari

൫3− √3൯൫2√5 +√10൯−൫1− √3൯൫2√5 + 3√10൯ 2 +√6

adalah ...

2. Perhatikan gambar!

Diberikan persegi ܣܤܥܦ dengan panjang sisinya adalah 1.

Lingkaran ܮ berpusat di titikܤ melewati titik ܣ dan titik ܥ.

Lingkaran ܭ berpusat di titik ܣ berjari-jari √ଷିଵ

√ଶ , memotong

sisi ܣܤ di titik ܲ dan memotong sisiܣܦ di titik ܳ. Lingkaran ܭdan lingkaran ܮ berpotongan di dalam persegi ܣܤܥܦ di titik ܴ. Notasi ܺ menyatakan luas daerah di dalam persegi yang dibatasi oleh ruas garis ܥܦ, ruas garisܦܳ, busurܴܳ, dan

busurܴܥ, dan notasi ܻ menyatakan luas daerah di dalam

persegi yang dibatasi oleh ruas garis ܤܥ, ruas garis ܤܲ, busur ܴܲ, dan busur ܴܥ. Selisih antara ܺ dan ܻ adalah ...

3. Untuk 0 <ݔ <గ

ଶ, jika ݌= cosݔmaka nilai (dinyatakan dalam݌) dari ቀ2011₁ ቁsinଶݔ−ቀ2011

2 ቁsinସݔ+ቀ 2011

3 ቁsin଺ݔ−ቀ 2011

4 ቁsin଼ݔ+⋯+ቀ 2011

2011ቁsinସ଴ଶଶݔ adalah ...

4. Untuk nilai݇ yang tidak lebih dari 2011, diberikan sistem persamaan

൜ ݔ₂_ݕ(ݔ₋−_ݔ₍8) +_ݔ₋₈₎ݕ(ݕ+ 6) =_{= 18}݇−25

Paling banyak berapa penyelesaian yang dimiliki sistem persamaan tersebut?

5. Banyak bilangan asli yang tersusun atas digit-digit ܾܽܿ݀݁തതതതതതതത, dimana ܽ <ܾ< ܿdan ܿ > ݀ >݁ adalah …..

6. Peluang memperoleh bilangan bulat kelipatan 10ଵଵ଴ଶketika memilih acak pembagi-pembagi positif dari 10ଶ଴ଵଵadalah …..

7. M adalah bilangan asli 4 angka yang tidak berakhiran dengan angka 0 danܴ(ܯ) menyatakan bilangan 4 angka dengan me-revers digit-digitܯ. Dalam kasus ini,revers artinya angka

pertamaܯmenjadi angka 4, angka 2 menjadi angka 3, angka 3 menjadi angka ke-2, dan angka ke-4 menjadi angka pertama. Sebagai contoh adalahܴ(3275) = 5723. Banyaknya bilangan asliܯyang memenuhi ܴ(ܯ) = 4ܯ+ 3 adalah …..

8. Banyak pasangan bilangan bulat (ݔ,ݕ) sedemikian sehingga ݔଶ+ 3ݕଶ = 8 adalah ...

9. Diberikan matriks-matriksܣ =ቂ 1 1102

2011 909ቃdan ܤ= ቂܾܽቃ, dengan ܽdan ܾmerupakan bilangan-bilangan asli yang tidak lebih dari 2011. Banyak matriksܤ sehingga ܣܤ = 2012ܤ adalah ...

Y X

(2)

_________________________________________________________________________________________________

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika “Vektor” Universitas Negeri Malang 10. Diberikan matriks sebagai berikut.

ܣ =൤ 0 ݔଶ (keterangan: notasi det(ܺ) menyatakan nilai determinan dari suatu matriksܺ).

11. Misalkanߙdanߚadalah sudut-sudut suatu segitiga sedemikian sehingga berlaku sinߙcosߚ

cosߙ =

cosߙ sinߚ cosߚ .

Jika besar salah satu sudut segitiga tersebut adalah 50଴ maka selisih terbesar dua sudut yang lain adalah ...0_(derajat).

Pada suatu sistem terdapat 2 tabung air kosong dan 4 kran yang disusun seperti pada gambar. Masing-masing tinggi tabung adalah 1 meter dan mempunyai volume 1000 liter. Kran ”c” terpasang 75 cm dari alas tabung ”Q” sedangkan debit air pada kran ”a”, ”b”, dan ”d” berturut-turut adalah 80 liter/menit, 50 liter/menit, dan 40 liter/menit. Pada saat air tepat akan mengalir melalui kran ”c”, berapa liter air yang terdapat pada tabung P?

(anggaplah sistem dapat berjalan lancar dengan mengabaikan semua asumsi selain informasi yang terdapat pada soal)

13. Untuk bilangan-bilangan bulat positif ܽ,ܾ, danܿ, diberikan suatu persamaan kuadrat

ܽݔଶ₊_ܾݔ₊_ܿ _{= 0. Jika} _ܾܽ_{= 2}ଶ଴ଵଵ_{maka banyak nilai} c yang mungkin agar persamaan kuadrat

tersebut mempunyai akar kembar (mempunyai tepat satu akar) adalah...

14. Jika

ݔ

=

ଶ

15. Pada tiga perempatan A, B, dan C masing-masing terdapat lampu merah dan hijau saja yang menyala bergantian selama waktu yang ditentukan. Di sebelah lampu-lampu itu dipasang papan angka digital untuk menunjukkan berjalannya detikan waktu dengan hitungan maju ketika lampu merah atau hijau menyala. Di perempatan A lampu merah menyala selama 90 detik sedangkan lampu hijau menyala selama 30 detik. Di perempatan B lampu merah menyala selama 70 detik sedangkan lampu hijau menyala selama 50 detik. Di perempatan C lampu merah menyala selama 80 detik sedangkan lampu hijau menyala selama 40 detik. Pada pukul 02 : 10 : 11 papan digital di perempatan A menunjukkan lampu merah menyala pada detik ke-20, lampu hijau di perempatan B menunjukkan detik ke-10 sedangkan lampu hijau di

perempatan C menunjukkan detik ke-30. Sampai dengan pukul 20 : 11 : 00, selama berapa detikkah terjadi kondisi bahwa lampu hijau di semua perempatan menyala secara bersamaan?

(3)

_________________________________________________________________________________________________

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika “Vektor” Universitas Negeri Malang

17. Banyak bilangan bulat ݊ yang mungkin sedemikian sehingga

݊ଵ଴₋₁₁_݊଺₋₁₁_݊ସ₋₁₂_݊ଶ₋₁₁

merupakan bilangan prima adalah ...

Seekor semut berjalan mengikuti garis-garis yang menghubungkan titik-titik pada gambar dimulai dari titik A hingga kembali lagi ke titik A. Kecuali di titik A, jika setiap titik harus dilalui tepat satu kali maka banyak cara berbeda yang bisa ditempuh oleh semut tersebut adalah ...

19. Untuk persiapan menghadapi OMV 2011, sebuah sekolah mengadakan seleksi bagi siswanya untuk memilih delegasi yang akan dikirim. Peserta seleksi adalah 20 siswa dari kelas X, 15 siswa dari kelas XI, dan 10 siswa dari kelas XII. Dari 25 peserta laki-laki yang mengikuti seleksi, 12 siswa berasal dari kelas X dan 9 siswa dari kelas XI. Diantara 15 peserta yang terpilih

sebagai delegasi, 8 siswa berasal dari kelas X dan 4 siswa berasal dari kelas XI. Siswa laki-laki yang terpilih sebagai delegasi ada sebanyak 5 siswa dari kelas X dan 3 siswa dari kelas XI. Jika siswa perempuan yang terpilih sebagai delegasi ada sebanyak 6 siswa, maka peserta dari kelas XII berjenis kelamin perempuan yang tidak terpilih sebagai delegasi ada sebanyak ... siswa.

20. Misalkanܯ =൫ܽ_௜௝൯adalah suatu matriks berukuran ݉×݊ yang entri pada baris ke-݅dan kolom ke-݆adalahܽ_௜௝. Panjang lintasan ke-࢑, ditulis݌_௞ , didefinisikan sebagai

݌

௞

=

∑

௜ା௝ୀ௞ାଵ

ܽ

௜௝

,

(yaitu:݌௞merupakan jumlahan semua entri ܽ௜௝ di ܯyang indeknya memenuhi ݅+݆ = ݇+ 1). Jika matriks ܺ=൫ܽ_௜௝൯berukuran 2011 × 2011, dengan ܽ_௜௝ = ݅+݆ maka nilai dari

݌ଵଵ଴ଶ+݌ଶ଴ଵଵ =…..

Bagian 2

BERIKAN JAWABAN SEJELAS MUNGKIN!

(Jawaban soal ini digunakan sebagai pembanding apabila terdapat dua atau lebih peserta dengan skor yang sama pada peringkat teratas).

Diberikan matriks ܵ= (ܽ௜௝) berukuran 4 × 4, dengan ܽ௜௝ ∈{1,2,3,4}.

Matriksܵterbagi menjadi 4 daerah, yaituܦଵ = {ܽଵଵ,ܽଵଶ,ܽଶଵ,ܽଶଶ},ܦଶ = {ܽଵଷ,ܽଵସ,ܽଶଷ,ܽଶସ},

ܦଷ = {ܽଷଵ,ܽଷଶ,ܽସଵ,ܽସଶ}, dan ܦସ = {ܽଷଷ,ܽଷସ,ܽସଷ,ܽସସ}. Banyak matriksܵyang memenuhi semua

syarat berikut:

a. Untuk setiapܽ_௜௝ danܽ_௜௞ di ܵ, jikaܽ_௜௝ =ܽ_௜௞maka݆ = ݇. b. Untuk setiapܽ௥௝danܽ௦௝di ܵ, jikaܽ௥௝ = ܽ௦௝makaݎ= ݏ.

c. Untuk setiapܽ௥௝danܽ௦௝di ܦ௡, jikaܽ௜௝ =ܽ௦௞maka݅ =ݏdan ݆ =݇, dimana ݊ = 1,2,3,4. adalah …..

----( ooo0-TimSoal OMV2011-0ooo )----C

B D

A

E

F H

I J