MODEL MULTI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM DENGAN SPLIT DELIVERY DAN TIME WINDOWS

MODEL MULTI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM DENGAN SPLIT DELIVERY DAN

TIME WINDOWS

TESIS

Oleh

SHAFLINA IZAR 157021039/MT

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MODEL MULTI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM DENGAN SPLIT DELIVERY DAN

TIME WINDOWS

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

SHAFLINA IZAR 157021039/MT

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Telah diuji pada

Tanggal : 30 Januari 2018

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc

2. Dr. Open Darnius, M.Sc 3. Dr. Mardiningsih, M.Si

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERNYATAAN ORISINALITAS

MODEL MULTI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM DENGAN SPLIT DELIVERY DAN TIME WINDOWS

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sum- bernya

Medan, Penulis, Shaflina Izar

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademika Universitas Sumatera Utara, Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Shaflina Izar

NIM : 157021039

Program Studi : Matematika Jenis Karya Ilmiah: Tesis

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty Free Right) atas tesis saya yang berjudul:

Model Multi Depot Vehicle Routing Problem dengan Split Delivery dan Time Windows.

Beserta perangkat yang ada. Dengan Hak Bebas Royalti NonEksklusif ini, Universitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat mengelola dalam bentuk data-base, merawat dan mem- publikasikan Tesis saya tanpa meminta izin dari saya selama mencan- tumkan nama saya sebagai pemegang dan atau sebagai penulis dan sebagai pemilik hak cipta.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan sebenarnya.

Medan, Penulis, Shaflina Izar

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MODEL MULTI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM DENGAN SPLIT DELIVERY DAN TIME WINDOWS

ABSTRAK

Model multi depot vehicle routing problem dengan split delivery dan time windows adalah sebuah model yang dikembangkan dari model yang telah ada sebelumnya yaitu model multi depot split delivery ve- hicle routing problem. Pada model multi depot vehicle routing prob- lem dengan split delivery dan time windows ini, kita akan menggu- nakan banyak depot, sehingga akan dibuka depot baru dengan asum- si tempat pendirian depot adalah tempat yang strategis, biaya yang dihabiskan minimum, dan depot yang dibuka dapat memenuhi kebu- tuhan dari setiap pelanggan yang berada di daerah sekitarnya. Per- hitungan pendirian depot ini juga termasuk dalam fungsi objektif un- tuk membangun model ini. Selain pendirian depot, hal lain yang dikaji dari model ini adalah permasalahan split delivery yang memu- ngkinkan pelayanan yang diberikan kepada satu orang pelanggan bisa dilakukan oleh dua, tiga bahkan empat kurir. Hal ini dikarenakan adanya kendala kapasitas yang dimiliki oleh setiap kurir, akibatnya apabila kurir pertama tidak mampu menyelesaikan seluruh pesanan dari pelanggan maka pengiriman pesanan tersebut bisa dilanjutkan oleh kurir kedua atau kurir lain yang juga melintasi rute dari pelang- gan tersebut. Tidak hanya persoalan multi depot dan split delivery model ini juga mencakup permasalahan time windows. Dimana time windows yang ditambahkan merupakan interval waktu untuk mem- berikan pelayanan dan kemudahan kepada pelanggan, interval waktu yang diberikan memiliki rentang minimun dan maksimum yang meru- pakan interval yang diperbolehkan untuk melakukan proses pengiri- man kepada pelanggan, pelanggaran waktu yang dikakukan oleh kurir akan mengakibatkan perusahaan pengiriman mangalami denda berupa biaya yang harus diberikan perusahaan kepada pelanggan. Besarnya biaya yang diberikan perusahaan kepada pelanggan merupakan kesep- akatan diantar kedua pihak.

Kata kunci : Vehicle routing problem, Split delivery, Time windows, Multi depot vehicle routing problem.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MODELS MULTI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH SPLIT DELIVERY AND TIME WINDOWS

ABSTRACT

Multi-depot vehicle routing problem with split delivery and time win- dows (MDVRPSDTW) is a model that minimize out-cost by the company and improves quality of service period. We built this mo- del from a previous model that is a multi-depot split-delivery vehicle routing problem model (MDVRPSD). This model developed by the addition of delivery deadline or delivery time previously agreed be- tween company and there customer so that this model becomes a multi-depot vehicle routing problem with split delivery and time win- dows. On the time contradiction we bring up penalty charge, where the company contravene the agreed deadline.

Keyword : Vehicle routing problem, Split delivery, Time windows, Multi depot vehicle routing problem.

ii

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan berkah dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul MODEL MULTI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM DENGAN SPLIT DELIVERY DAN TIME WINDOWS. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Mag- ister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada:

Prof. Dr. Runtung, S.H., M.Hum selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Program Studi Magis- ter Matematika FMIPA USU dan pembimbing I penulis yang telah banyak memberikan arahan, saran/kritik, dan dukungan yang luar bi- asa kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini.

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Pembimbing II penulis yang telah banyak memberikan arahan, saran/kritik, dan dukungan yang luar biasa kepa- da penulis dalam pengerjaan tesis ini.

Dr. Open Darnius, M.Sc selaku Pembanding I penulis yang telah banyak memberikan arahan, saran/kritik, dan dukungan yang luar biasa kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini.

Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembanding II penulis yang telah banyak memberikan arahan, saran/kritik, dan dukungan yang luar biasa kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini.

Seluruh Staf pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikailmu pengetahuan kepada penulis

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

selama masa perkuliahan.

Kak Misiani, S.Si selaku Staf Adminstrasi Program Studi Magister Matematika FMIPAUSU yang telah banyak memberikan pelayananyang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya atas dukun- gan dan pengorbanannya kepada suami tercinta Tirta Ramangsa, anak kesayangan umi Ayyash Abdullah dan kedua orang terkasih atas se- mua doa dan semangat yang diberikan ayahanda Ishak dan ibunda Siti Zahara yang selalu mencurahkan kasih sayang dan dukungan penuh kepada penulis.

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih kepada kawan-kawan se- jawat di pasca sarjana FMIPA USU yang selama 2 tahun ini mem- berikan dan motivasi kepada penulis.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapka kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.

Medan, Penulis,

Shaflina Izar

iv

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

RIWAYAT HIDUP

NAMA : SHAFLINA IZAR

TEMPAT/TANGGAL LAHIR : LABUHAN RUKU /07 OKTOBER 1988

JENIS KELAMIN : PEREMPUAN

TINGGI/BERAT BADAN : 160 CM / 60 KG

JURUSAN : MATEMATIKA S2

ALAMAT : JL. Pendidikan Gg. Rahmat Bandar Khalifah

EMAIL : lina.jepang@gmail.com

NO. HP : 081362044306

PENDIDIKAN TAHUN

1991-1993 : TK PGRI TALAWI

1993-1999 : SD NEGERI 010146 TALAWI 1999-2002 : SMP NEGERI 1 TALAWI

2002-2006 : SMK DHARMA ANALITIKA MEDAN 2007-2012 : UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2016-2018 : PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

KATA PENGANTAR iii

RIWAYAT HIDUP v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 4

1.3 Tujuan Penelitian 4

1.4 Manfaat Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Vehicle Routing Problem 5

2.2 Multi Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP) 9 2.3 Model Multi Depot Split Delivery Vehicle Routing

Problem (MDSDVRP) 12

2.4 Model Vehicle Routing Problem Split Delivery with

Time Windows (VRPSDTW) 16

BAB 3 METODE PENELITIAN 21

3.1 Kajian Permasalahan 21

3.2 Menentukan Fungsi Objektif dari Model Multi De- pot Vehicle Routing Antaran Terpisah dengan Time

Windows 22

vi

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

3.3 Menentuan Kendala dari Model Multi Depot Vehicle Routing Antaran Terpisah dengan Time Windows 22 BAB 4 MODEL MUTLI DEPOT VEHICLE ROUTING PROB-

LEM DENGAN SPLIT DELIVERY DAN TIME WIN-

DOWS 23

4.1 Pemodelan 23

4.2 Diskusi 29

BAB 5 KESIMPULAN 31

5.1 Kesimpulan 31

5.2 Saran 31

DAFTAR PUSTAKA 32

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

2.1 Pemotongan kapasitas 9

2.2 Ilustrasi model VRP menggunakan satu depot dan be-

berapa pelanggan 9

2.3 Jaringan transportasi antara depot dan konsumen 13 4.1 Ilustrasi model dengan menggunakan 6 depot yang di-

tandai dengan persegi panjang dan 73 pelanggan yang

ditandai dengan titik 24

viii

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan usaha di bidang jasa pengiriman barang dan jasa pengi- riman logistik saat ini sedang mengalami peningkatan yang sangat signifikan. Hal ini terlihat dari kenaikan peringkat menurut laporan Logistics Performance Index (LPI) 2014 dari total 160 negara naik enam peringkat dari, peringkat ke 59 menjadi ke 53 dengan presentase rata-rata 66,7 persen. Hal tersebut dikarenakan banyaknya masyara- kat Indonesia yang menggunakan jasa pengiriman barang atau pengi- riman dokumen-dokumen pada perusahaan, hal ini dapat dilihat pada tingkat pertumbuhan perusahaan yang bergerak dibidang pengantaran setiap tahun terus bertambah setiap (Ellenpiri, 2017).

Pertumbuhan yang sangat pesat ini menuntut adanya transfor- masi diberbagai bidang termasuk bidang transportasi, khusus untuk permasalahan pengiriman logistik. Masalah pengembangan di bidang penyaluran logistik dianggap sangat perlu karena menyangkut kebu- tuhan orang banyak, baik dalam keadaan darurat bencana maupun pada bidang usaha yang dimiliki oleh pemerintah ataupun swasta (Nu- raeni, 2017). Penelitian tentang pengiriman logistik ini telah banyak dilakukan dalam kurun waktu yang panjang terus menerus berkem- bang sampai saat ini, diantara penelitian yang telah lama dilakukan adalah model vehicle routing problem (VRP).

Model vehicle routing problem adalah sebuah model pendistribu- sian dari sebuah depot ke beberapa pelanggan, dalam persoalan ini seorang pelanggan hanya mendapatkan layanan dari seorang kurir sa- ja namun jumlah seluruh permintaan yang dikirim oleh seorang kurir tidak boleh melebihi kapasitas yang telah ditentukan. Untuk perma- salahan rute yang dilalui oleh kurir, harus dimulai dan di akhiri pada

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2

depot yang sama. Fungsi objektif pada model VRP clasic ini adalah meminimumkan biaya dari total jarak yang dilalui oleh kurir. Mo- del VRP seperti ini diperkenalkan oleh (Dantzig dan Ramses,1959).

Banyak sekali model VRP yang telah dikembangkan. Sebagian besar dari riset yang telah dilakukan berfokus pada meminimumkan biaya yang dikeluarkan dari rute yang dilalui oleh semua kurir. Diantara variasi VRP yang telah diteliti adalah Split Delivery Vehicle Routing Problem (SDVRP), Multi-depot Vehicle Routing Problem (MDVRP), dan Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW).

Model SDVRP ini adalah model yang berhubungan dengan CVRP (Capasitet Vehicle Routing Problem)karena sama-sama memiliki tu- juan meminimumkan total biaya perjalanan untuk pengiriman komod- itas yang memungkinkan pelayanan dilakukan oleh lebih dari satu kurir, SDVRP yang pernah diamati adalah permsalahan Bin-Packing dan solusi akan ditemukan jika semua permintaan pelanggan lebih ke- cil atau samadengan seluruh kapasitas yang diperbolehkan. konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh (Dror dan Trudeou, 1989) dan modifikasinya ditemukan oleh (Archetti dan Speranza, 2008) dimana persoalan pengantaran dilakukan secara bersama-sama serta memiliki berbagai manfaat untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi. Na- mun sebuah batasan yang sangat penting dari SDVRP adalah model ini hanya menggunakan satu depot saja. Pengembangan lain dari VRP yang cukup populer adalah MDVRP dimana permasalahan MDVRP ini merupakan permasalahan VRP dengan kondisi dimana depot yang digunakan sebagai pusat distribusi barang bisa lebih dari satu. Tujuan dari permasalahan MDVRP ini adalah mencari sejumlah rute min- imum pada masing-masing depot dimana kendaraan berangkat dan kembali ke depot awal dan pelanggan dilayani tepat satu kali oleh seorang kurir dengan tidak melanggar kendala kapasitas yang telah ditetapkan. Fungsi tujuan pada model ini adalah meminimum biaya yang dikeluarkan akibat kendala yang dimiliki.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

3

Salah satu bentuk perkembangan lain dari model VRP adalah model multi depot vehicle routing problem with split delivery (MD- VRPSD). Pada model ini depot yang dipergunakan lebih dari satu, pendirian dari depot di perhitungkan dengan asumsi tempat pendiri- an depot adalah tempat yang strategis, biaya yang dihabiskan relatif rendah, dan dapat memenuhi kebutuhan dari setiap pelanggan yang berada di daerah sekitar depot. Perhitungan pendirian depot ini juga termasuk dalam fungsi kendala untuk membangun model MD- VRPSD. Selain pendirian depot hal lain yang dikaji dari model ini adalah permasalahan split delivery yang memungkinkan pelayanan yang diberikan kepada satu orang pelanggan bisa dilakukan oleh dua, tiga bahkan empat kurir. Hal ini dikarenakan adanya kendala kapasitas yang dimiliki oleh setiap kurir, akibatnya apabila kurir pertama tidak mampu menyelesaikan seluruh pesanan dari pelanggan maka pengi- riman pesanan tersebut bisa dilanjutkan oleh kurir kedua atau kurir lain yang juga melintasi rute dari pelanggan tersebut (Ray dan Soeanu, 2012). Permasalan ini sangat menarik untuk dikembangkan. pemod- elan dengan menggunakan banyak depot dan banyak pengriman ini akan dikembangkan dengan menambahkan kendala waktu, bagaimana sebuah model yang dirancang menggunakan depot yang banyak de- ngan pengiriman yang boleh saja terpisah di batasi dengan waktu.

Model ini syarat waktu akan ditambahkan untuk memberikan pela- yanan dan kemudahan kepada pelanggan, syarat waktu yang diberikan memiliki rentang minimun sampai maksimum yang merupakan inter- val yang diperbolehkan untuk melakukan proses pengiriman kepada pelanggan, pelanggaran yang dikakukan akan mengakibatkan perusa- haan pengiriman mengalami denda berupa biaya yang harus diberikan perusahaan kepada pelanggan. Besarnya biaya yang diberikan perusa- haan kepada pelanggan merupakan kesepakatan diantar keduanya ter- gantung perjanjian sebelumnya. Pengembangan model MDVRPSD dengan penambahan waktu ini akan memunculkan sebuah model baru yaitu model persoalan multi depot vehicle routing dengan antaran ter-

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

4

pisah dan time windows.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya mengenai model vehicle routing problem, baik dalam hal pemodelan atau pencarian solusi belum ada yang membahas permasalahan mo- del vehicle routing problem dengan kendala penggunaan banyak de- pot, time windows dan antaran terpisah dalam satu model, padahal model ini sangat dibutuhkan untuk memenuhi kebutuhan pelanggan yang memiliki keterbatas waktu untuk mendapatkan pelayanan. Oleh karena itu, dalam penelitian ini diusulkan model multi depot vehicle routing problem dengan antaran terpisah dan time windows.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah meminimalkan biaya yang dikelu- arkan oleh perusahaan dan menjamin kepuasan pelanggan dalam hal waktu antar dan pelayanan yang tepat.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini penting untuk penentuan biaya minimun yang dikeluarkan perusahaan dan perbaikan pelayanan yang diberikan kepa- da konsumen, untuk kinerja yang lebih baik sehingga dapat mem- berikan keuntungan yang maksimal bagi perusahaan dan hasil kerja yang optimum. Target temuan dari penelitian ini adalah model yang fleksibel untuk keadaan yang terus berkembang.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Model Vehicle Routing Problem (VRP) adalah sebuah model yang bertujuan meminimumkan biaya antaran yang di keluarkan oleh pe- rusahaan. Persoalan pada model VRP ini biasanya dideskripsikan de- ngan sebuah graf komplit, sebuah graf komplit G = {V, E} dimana V = {0, 1, 2, . . . , n} merupakan himpunan titik dan E himpunan jalur.

Titik a = {1, 2, 3 . . . , m} merupakan titik dari setiap pelanggan sedang- kan titik 0 merupakan depot. Graf komplit G merupakan deskripsi dari sebuah jaringan tansportasi yang dimiliki akan dimodelkan dan diten- tukan nilai minimumnya untuk mendapat rute terbaik guna mencip- takan biaya pengeluaran yang minim dan waktu pengiriman yang layak atau sesuai dengan keinginan para pelanggan. Istilah-istilah baku yang digunakan dalam tesis ini bersumber dari Ray dan Soeanu (2014).

2.1 Vehicle Routing Problem

Vehicle Routing Problem (VRP) adalah sebuah model yang digunakan untuk menentukan biaya perjalanan minimum dari semua rute yang digunakan oleh setiap kurir untuk melayani semua permintaan pelang- gan, dalam permasalahan VRP ini semua pelanggan dan permintaan- nya telah diketahui untuk beberapa waktu kedepan, pelanggan yang ada telah terdaftar, rute dari setiap perjalanan harus dimulai dan di- akhir dari depot atau gudang penyimpangan barang. Kendala dari model ini adalah kapasitas dari masing-masing kurir dan jumlah mak- simum kurir yang harus dipergunakan. Fungsi objektif dari model ini adalah meminimumkan biaya yang dikeluarkan dari perjalanan yang dilakukan oleh semua kurir. Praktek yang dilakukan pada model VRP ini mampu menekan biaya yang dikeluarkan sebesar 5 − 20% dari total biaya transportasi yang biasa dikeluarkan (Archetti, 2012). Penerapan

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

6

VRP ini biasanya digunakan untuk pengangkutan barang diantaranya:

pengiriman logistik, cargo, angkutan umum, catering makanan, trans- portasi untuk yang memiliki kebutuhan khusus, pengiriman pasokan di saat terjadi bencana dan lain sebagainya. Model VRP ini biasanya disajikan dengan model dual-index dari vehicle flow, dimana model ini menggunakan (O(n ⁽²⁾ )) binary variable x yang ditandai sebagai peng- gunaan jalur oleh seorang kurir pada solusi yang optimal atau bukan optimal. Variabel x ab bernilai 1 jika jalur (a, b) ∈ I dimana (I adalah himpunan dari semua pelanggan) dilalui dari a ke b (sampai pada solusi optimal) dan x ab = 0 jika jalur tidak dilalui.

Himpunan:

I : Himpunan pelanggan J : Himpunan depot

N : Himpunan semua titik, N = I ∪ J K : Himpunan kendaraan pengantar k : Indeks kendaraan pengantar

Parameter:

C abk : Biaya yang dikeluarkan untuk kendaraan k dari pelanggan a ke b d a : Permintaan pelanggan a

x abk : Bilangan boolean (1 jika k mengirim barang dari a ke b)

min X

a∈N

X

b∈N

C ab x abk (2.1)

Fungsi objektif (2.1) adalah fungsi yang bertujuan meminimalkan bia- ya yang dikeluarkan akibat rute yang dilalui oleh setiap kurir untuk mengantar pesanan kepada semua pelanggan.

X

a∈N

x ab = 1 ∀b ∈ I (2.2)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

7 X

b∈N

x ab = 1 ∀a ∈ I (2.3)

Kendala (2.2) dan (2.3) berkaitan dengan ketepatan kurir yang datang dan pergi dari tempat pelanggan.

X

a∈N

x a0 = K (2.4)

X

b∈N

x 0b = K (2.5)

Kendala (2.4) dan (2.5) bergantung pada K kurir, dimana kurir disi- ni wajib memulai dan mengakhiri rutenya melalui depot yang telah disediakan.

X

a∈N

X

b∈N

x ab ≥ r(i) ∀I ⊆ N {0}, I 6= φ (2.6) Merupakan kendala dari total kendaraan maksimum yang dapat digu- nakan untuk melaksanakan proses pengiriman barang kepada pelang- gan.

Persyaratan cukup dari kendala adalah 2|V | − 1 dimana kendala lain saling berhubungan satu sama lain. Kapasitas yang digunakan akan memotong nilai kendala (2.6) pada kendala berikutnya kapasitas pemotongan kendala, akan menentukan hubungan dan solusi dari ka- pasitas kendaraan. Kapasitas pemotongan kendala menentukan seti- ap pemotongan (V \S, S) dimana S ditetapkan sebagai himpunan dari pelanggan dengan potongan jalur dan jumlah dari potongan jalur se- lalu lebih besar atau sama dengan r(s). Hal ini berdasarkan kepada nilai terkecil dari kurir yang diperlukan untuk melayani himpunan S (gambar2.1) Kasus dimana S = 1 atau |S| = V \{0}. Untuk persamaan (2.6) mempertimbangkan kapasitas pemotongan kendala dengan menu- runkan kendala (2.2), (2.3), (2.4)dan(2.5). pada keadaan yang mungkin terjadi;

X

i6∈S

X

j∈S

x ij = X

i∈S

X

j6∈S

x ij ∀S ⊆⊆ V \{0}, S 6= φ (2.7)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

8

Kendala (2.7) merupakan pemotongan jalur diantara titik pelanggan yang berdekatan, kendala ini bergantung pada kendala berikutnya.

X

i6∈S

X

j∈S

x ij ≥ r(V |S) . . . ∀S ∈ V \{0}, 0 ∈ S (2.8)

Kendala (2.8) merupakan alternatif penyelesaian pada kendala GSEC (Genelarize Subtour Elimination Constraint) dengan model;

X

i∈S

X

j6∈S

x ij ≤ |S| − r(s) ∀S ∈ V \{0}, S 6= φ (2.9)

Kendala (2.8) dan (2.9) memungkinkan penambahan pelanggan secara eksponensial dengan himpunan pelanggan n.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

9

Gambar 2.1 Pemotongan kapasitas

Berikut adalah ilustrasi dari model VRP klasik yang biasa di ke- nal dengan permasalah kapasitas-VRP dalam permasalahan ini yang paling menjadi fokus adalah permasalahan kapasitas dari tiap kenda- raan dimana kendaraan yang di pakai pada model ini di asusikan memi- liki kapasitas yang hampir sama. Pada model ini hanya terdapat satu buah depot dan beberapa rute yang harus dilalui oleh masing-masing kurir, selain masalah kapasitas kendala yang dimiliki oleh pemodelan ini adalah masalah penentuan rute yang dilalui oleh setiap kurir.

Gambar 2.2 Ilustrasi model VRP menggunakan satu depot dan beberapa pelanggan

2.2 Multi Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP)

Multi Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP) merupakan perma- salahan VRP dengan kondisi dimana depot yang digunakan sebagai pusat distribusi barang lebih dari satu. Tujuan dari permasalahan

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

10

MDVRP ini adalah mencari sejumlah rute minimum pada masing- masing depot dimana kendaraan berangkat dan kembali lagi ke de- pot dan pelanggan dilayani tepat satu kali oleh tepat satu kendaraan pengantar atau kurir dengan tidak melanggar kendala kapasitas yang dimiliki oleh setiap kurir (penggunaan kendaraan pengantar di sini diasumsikan memiliki kapasitas yang sama). Permasalahan MDVRP menjadi penting untuk dikaji seiring dengan semakin berkembangnya masalah pendistribusian dari suatu perusahaan dan tingginya tuntu- tan konsumen akan pemenuhan kebutuhan barang. Guna memenuhi permintaan tersebut, perusahaan membuka pusat distributor (depot) yang tersebar dibeberapa tempat, pembangunan sebuah depot mem- perhatikan sebaran dari konsumen yang terdapat di daerah sekitar depot.

Keterangan:

D : Himpunan semua depot I : Himpunan semua pelanggan K : Himpunan semua kendaraan j : Indeks depot

a : Indeks pelanggan k : Indeks kendaraan

C ab : Biaya yang dikeluarkan untuk mengantar dari titik a ke b Q j : Kapasitas maksimum depot j

d a : Permintaan pelanggan a Q k : Kapasitas kendaraan k.

Fungsi tujuan:

min P

a∈I ∪D

P

j∈I ∪D

P

k∈K

C ab x abk

dengan:

x abk = 1, jika kendaraan k dijalankan dari titik a ke b

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

11

z aj = 1, jika depot j ditugaskan untuk memenuhi permintaan dititik a

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

12

Batasan-batasan yang muncul:

Batas 1 : Setiap pelanggan hanya akan dikunjungi satu kali dan hanya oleh satu kurir.

P

k∈K

P

a∈I ∪D

X ajk = 1 ∀a ∈ I

Batas 2 : Total permintaan dari setiap pelanggan dalam satu rute tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan dan kapasitas setiap kendaraan sama.

P

a∈I

d a P

j∈I ∪D

X ajk ≤ ∀k ∈ K

Batas 3 : Setiap kendaraan harus meninggalkan pelanggan yang telah dikunjungi.

P

a∈I ∪D

X ajk − P

a∈I ∪D

X ajk = 0, a ∈ I ∪ D, ∀k ∈ K

Batas 4 : Setiap kendaraan melayani paling banyak satu kali.

P

j∈D

P

a∈I

X ajk ≤ 1, ∀k ∈ K

Batas 5 : Batas kapasitas yang diberikan untuk depot.

P

a∈I

d a Z aj ≤ 1, ∀k ∈ K

Batas 6 : Seorang pelanggan dapat ditempatkan pada suatu depot, hanya jika terdapat rute dari depot ke pelanggan yang bersangkutan.

−Z aj + P

u∈I ∪D

(X ujk + X ajk ≤ 1, j ∈ D, a, u ∈ I, k ∈ K

2.3 Model Multi Depot Split Delivery Vehicle Routing Problem (MDS- DVRP)

Permasalahan rute kendaraan atau vehicle routing problem biasanya dikaitkan denga permasalahan pemilihan jalur pada sebuah graf kom- plit dan dalam sebuah graf komplit G = (V, E) pada jaringan trans- portasi, perlu diperhatikan c ab merupakan biaya awal masukan matriks yang berasal dari pembiayaan fungsi (bergantung pada berbagai para- meter). Untuk setiap pasangan titik, diperpanjang jaringan transport pada grafnya dari G menuju G ⁰ = (V ⁰ , E ⁰ ). Dimana peletakan titik 0 di transport graf bebas sehingga V ⁰ = V ∪ {0}. Yu (2011). Titik 0 yang digunakan sebagai titik virtual harus dipilih secara cermat kare-

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

13

na merupakan titik depot, bagian dari permasalahan ini sama seperti model rute. Penambahan jalur baru diantara titik 0 dan pelanggan adalah himpunan dua pasang nilai biaya (c ao dan c ob ) pembentukan biaya untuk titik b adalah gambaran (Ec b ) dimana Ec b = c ob . Dari hal tersebut akan memperoleh fungsi tujuan c ab seperti (2.10) berikut:

c ⁰ _ab =

 

 

 



c ab if {a, b} ⊂ V EC b if a = 0 dan b ∈ V c ao if b = 0 dan a ∈ V

(2.10)

Gambar 2.3 Jaringan transportasi antara depot dan konsumen

Gambar 2.3 menunjukkan contoh graf dengan persyaratan yang diajukan pelanggan (B dan D), dengan depot (A dan C) dan dua ken- daraan. rute pengiriman yang ada dapat dibuat seperti. AB-BD-DA dab CD-DB-BC. Penggantian rute yang asli bergantung pada penam- bahan sebuah titik 0 dan masuknya jalur putus-putus. Pada kasus ini, sebuah solusi dari MDSDVRP akan menghasilkan path: OA-AB- BD-DO dan OC-CD-DB-BO. Model yang diusulkan untuk mengeval- uasi sebuah pembiayaan yang berbasis fungsi dari himpunan aslinya dari rute dimana pengiriman selanjutnya berasal dari rute berikutnya yang sebenarnya digabungkan dengan penambahan rute 0A dan OC ke pencerminan EC A dan EC C di biaya fungsi dan diganti biaya path DO dan BO dengan DA dan BC masing-masing, (Ray,2014). Tujuan- nya adalah untuk menambahkan variabel bolean w j terhadap rumusan SDVRP (Archeti, 2012) guna menentukan dimana lokasi depot akan didirikan. Dalam perumusan masalah ada tiga parameter yang men- jadi bahan pertimbangan, diantaranya adalah:

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

14

1. Biaya pendirian depot pada titik j, EC j ;

2. Tingkat permintaan pada setiap titik a, d a ∀a ∈ V ;

3. Maksimum kendaraan yang tersedia yaitu K dan setiap kenda- raan memiliki kapasitas C k (k = 1, 2, . . . , K).

Tujuan dari pemodelan ini adalah:

1. Menentukan jumlah optimal depot dan lokasinya;

2. Menghitung biaya pengantaran kurir kepada pelanggan;

3. Evaluasi jumlah optimal kendaraan yang digunakan;

4. Menggabungkan rute kendaraan, untuk biaya pengiriman yang minimal.

Variabel keputusannya adalah:

X abk ∈ {0, 1} : Variabel bolean untuk menentukan rute (1 jika jalur(a, b) dilalui oleh kendaraan k)

Y ak ∈ N : Jumlah bilangan bulat dari sumber daya disimpan di simpul a oleh kendaraan k.

w j ∈ {0, 1} : 1 jika titik j adalah depot

Keterangan himpunan:

V : Himpunan pelanggan J : Himpunan depot

N : Himpunan kurir dan depot, N = I ∪ J K : Himpunan kendaraan pengantar barang a : Index dari pelanggan

k : Index dari kendaraan pengantar barang

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

15

EC j : Biaya pendirian depot j

C ab : Biaya pengantaran dari pelnggan a ke b d a : Permintaan pelanggan a

w j : Merupakan bilangan boolean yang bernilai 1 apabila j adalah sebuah depot q k : Kapasitas dari kendaraan k

y ak : Banyaknya barang yang diantarkan pada pelanggan a oleh kurir k M : Sebuah bilangan yang bernilai cukup besar

Berikut adalah perumusan model Integer Linear Programming:

min X

a∈V

EC j w j + X

a∈V

X

b∈V

C ab

X x abk , ∀a 6= b (2.11)

Pada fungsi objektif (2.11) tujuan yang ingin dicapai adalah memini- malkan biaya pendirian dari masing-masing depot dan biaya pengan- taran oleh setiap kurir pengantar.

dengan syarat:

X

a∈N

X

k∈K

x abk ≥ 1∀b ∈ V ⁰ , i 6= j (2.12)

Kendala (2.12) setiap pelanggan wajib dikunjungi satu kendaraan x abk = 1 jika rute (a, b) dilalui oleh kendaraan k.

X

b∈V

X

k∈K

x obk ≤ |K| (2.13)

Kendala (2.13) menetapkan batas kendaraan maksimal yang dapat di- gunakan dan memastikan semua kendaraan yang digunakan balik ke titik 0

x oak = x aok ∀a ∈ V dan k ∈ K (2.14) X

a∈V

⁰

x apk = X

b∈V

⁰

x pbk ∀p ∈ V ⁰ dan k ∈ K, a, b 6= p (2.15) Kendala (2.14) dan (2.15) merupakan kendala dari split delivery di- mana kendaraan pengantar diijinkan melayani lebih dari satu pelang- gan. Penyisihan rute (pengurangan rute)

X

a∈S

X

b∈S

x abk − X

b∈S

x obk ≤ |S| − 1, S ⊆ V, |S| ≥ 2 (2.16)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

16

Kendala (2.16) merupakan modifikasi dari kendala sub-tour yang umum (Toth, 2002) di beberapa akomodasi untuk awal dan akhir pada titik 0 dan melewati depot penentu sebelum mencapai depot 0.

Batas kapasitas

X

a∈V

y ak ≤ C k ∀k ∈ K (2.17)

Kendala (2.17) memaksa harus melayani pelanggan pada tempat yang telah disepakati, rute telah ditetapkan dan total pada rute yang diten- tukan tidak boleh melebihi kapasitas.

X

k∈K

y ak = d a w j , ∀a ∈ V (2.18)

y a k ≤ d a

X

b∈V

⁰

x abk , ∀i ∈ V dan k ∈ K (2.19) Kendala (2.18) dan (2.19) memastikan semua tuntutan pelanggan akan terpenuhi.

Penugasan depot

X

k∈K

x oak ≥ w j , ∀i ∈ V (2.20)

x oak ≤ w a , ∀a ∈ V, k ∈ K (2.21) Kendala (2.20) dan (2.21) memastikan bahwa setiap kendaraan harus memulai dan mengakhiri pekerjaannya pada depot yang sama. Varia- bel

x abk ∈ {0, 1}; dimana a, b ∈ V ⁰ , a 6= b, k ∈ K w j ∈ {0, 1}; dimana j ∈ V

y ak ≥ 0; dimana a ∈ V, a 6= b, k ∈ K

2.4 Model Vehicle Routing Problem Split Delivery with Time Win- dows (VRPSDTW)

Permasalahan Vehicle Routing Split Delivery with Time Win- dows (VRPSD) telah diperkenalkan oleh (Dror dan Trudeau, 1989) de- ngan literaturnya yang menyajikan formulasi matematika dari problem

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

17

dan analisis ekonomi yang diperkenalkan pada persoalan pengantaran dimana, seorang pelanggan dapat dilayani oleh beberapa orang kurir pengantar. Permasalahan yang ditimbulkan berkaitan dengan jum- lah pengantar atau kurir dan total jarak yang dilalui oleh para kurir.

Dror (1994) telah memperkenalkan formulasi integer programming dari permasalahan VRPSD dan dapat menemukan pertidaksamaan umum yang valid, dan sebuah kepastian yang diantaranya harus dibu- at atau ditentukan. Gambaran dari permasalahan yang terdapat pa- da constrain dapat diselesaikan dengan algoritma Branch and Bound.

Frizzell dan Giffin (1995) telah membangun konstruksi dan memperke- nalkan heuristic untuk VRPDS dengan grid network, pada publikasi yang kedua telah menyertakan kendala time windows.

Pada permasalah ini defenisi yang diberikan adalah sebagai berikut:

1. Permaslahannya disajikan pada himpunan pelanggan N = {1, 2, 3 . . . , n}

dimana, n tempat tinggal dengan lokasi yang berbeda-beda. Se- tiap pasangan lokasi (a, b), dimana a, b ∈ N dan a 6= b, t ab adalah himpunan dari waktu perjalanan dan d ab adalah jarak yang ditem- puh kurir dimana (t ab = t ba dan d ab = d ba ). Permintaan pelanggan dinotasikan dengan q a dimana a = 1, 2, 3 . . . , n dan notasi untuk depot adalah 0.

2. Setiap pelanggan dilayani dari satu depot dengan armada yang identik dan terbatas jumlahnya. Setaip armada berangkat dan kembali pada depot asalnya. V adalah himpunan dari kurir di- mana V = {1, 2, 3 . . . , m} dengan kapasitas yang sama. Kap- asitas dari setiap kurir k ∈ V disajikan dengan a k . Sedangkan rute dari kurir disajikan dengan R a = {r a (1), . . . , r a (n)} dimana a adalah rute untuk kurir dimana r i (j) adalah indeks dari kunjun- gan pelanggan jth dan n i adalah jumlah pelanggan yang terdapat pada rute. Mengasumsikan bahwa setiap rute diakhiri dengan depot r a (n a + 10) = 0.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

18

3. Setiap pelanggan a ∈ N memiliki time windows pada interval [e a , l a ], dimana e a ≤ l a dimana pengantaran masing-masing harus melakukan pengantaran di antara interval waktu yang telah dise- diakan pelanggan a, dengan S a menjadi waktu servis untuk pelang- gan a.

4. Permintaan dari para pelanggan mungkin dapat dipuaskan de- ngan lebih dari satu armada pengantar. Ini terjadi di setiap ka- sus dimana beberapa permintaan melebihi kapasitas dari sebuah armada pengantar.

Variabel tujuan dari permasalahan ini adalah:

x ^k _ab : 1, jika b dikirim setelah a dengan kendaraan k dan 0, untuk keadaan yang lain.

b ^k _a : Pelayanan dimulai pada pelanggan a oleh kurir k, a = 1, . . . , n ;k = 1, . . . , m

y _a ^k : Bagian dari permintaan pelanggan a dikirim oleh kurir k.

Fungsi objektif dari model adalah meminimumkan total jarak yang dilalui kurir dengan memperhatikan kendala waktu. Perumusan matematika yang pernah ada dikembangkan oleh (Dror dan Trudeau, 1990) dan (Ho dan Haugland, 2004).

Fungsi objektif yang didapat adalah min

P n a=0

P n b=0

P m k=1

d ab x ^k _ab

dengan kendala;

X n b=1

x ^k _0b = 1, k = 1, . . . , m (2.22) kendala(2.22) menjamin setiap kurir yang berangkat dari depot akan sampai pada pelanggan yang dituju.

X n a=0

x ^k _ap − X n

b=0

x ^k _pb = 0, p = 0, . . . , n; (2.23)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

19

kendala (2.23) adalah tentang jalur masuk dan jalur keluar, yang men- jamin setiap kurir yang meninggalkan seorang pelanggan akan balik kembali ke depot

X m k=1

y _a ^k = 1, a = 1, . . . , n (2.24) kendala (2.24) menjamin setiap permintaan dari pelanggan akan ter- penuhi.

X n a=1

q a y _a ^k ≤ a k k = 1, . . . , m (2.25) kendala (2.25) menjamin kapasitas dari kurir tidak akan melebihi ka- pasitas yang seharusnya.

y _a ^k ≤ X n

b=0

x ^k _ba a = 1, . . . , n dan k = 1, . . . , m (2.26)

kendala (2.26) menjamin bahwa setiap permintaan dari pelanggan hanya akan dipenuhi jika kendaraan yang ditentukan melewati tem- pat pelanggan. Dapat melihat bahwa, namun dengan menambahkan kendala (2.26) jumlah dari seluruh pelanggan dan kombinasi dengan kendala (2.24) mendapatkan kendala

P m k=1

P n a=0

x ^k _ab ≥ 1 b = 0, 1, . . . , n, de- ngan jaminan setiap titik akan dilalui oleh paling sedikit satu kurir.

b ^k _a + s a + t ab − M ab (1 − x ^k _ab ) ≤ j _b ^k a = 1, 2, . . . , n; b = 1, . . . , n; k = 1, 2, . . . , m.

(2.27) persamaan (2.27) adalah himpunan waktu minimum untuk mulai melak- sanakan pelayanan kepada pelanggan b pada rute tujuan yang telah di- tentukan dan juga menjamin bahwa tidak akan ada perjalanan cadan- gan. Kendala M ab adalah kendala yang cukup besar, untuk contoh M ab = l a + t ab − e b .

e a ≤ b ^k _a ≤ l a a = 1, 2, . . . , n (2.28) kendala (2.28) menjamin bahwa setiap pelanggan akan dilayani pada rentang jam yang telah ditentukan.

y _a ^k ≥ 0 a = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , m (2.29)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

20

b ^k _a ≥ 0 a = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , m. (2.30) persamaan (2.29)dan (2.30) menjamin bahwa variabel tujuan y _a ^k dan b ^k _a adalah positif.

x ^k _ab ∈ {0, 1} a = 0, 1, . . . , n; b = 0, 1, . . . , n; k = = 1, 2, . . . , m. (2.31) persamaan akhir (2.31) menjamin variabel tujuan x ^k _ab adalah biner.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Kajian Permasalahan

Model multi depot vehicle routing problem dengan split delivery dan time windows adalah model permasalahan yang menangani pengiri- man barang kepada pelanggan (titik permintaan) yang direpresen- tasikan dengan titik pada grap komplit yang dinamakan jaringan trans- portasi. Diberikan himpunan titik (V ) dan himpunan jalur (E), dimana hubungannya (V xV ), sebuah jaringan transportasi adalah sebuah grap komplit G = (V, E). dimana setiap jalur dari grap memiliki biaya (c ab ) diantara dua titiknya a dan b. Biasanya, sebuah jaringan transport memiliki berbagai tipe titik; pelanggan (N ) dan depot (D). dimana titik pelanggan ditandai dengan tingkat permintaannya (merupakan bilangan bulat) untuk setiap komoditas (d a ), titik depot (tidak memi- liki permintaan) karena merupakan tempat penyimpanan barang dan kendaraan (k = 1, 2, . . . , K) yang digunakan untuk mengirim barang kepada pelanggan. Untuk kasus depot dan pelanggan yang belum di- tentukan, sebuah solusi yang ditawarkan pada model ini adalah mem- inimalkan setiap rute yang dilalui kendaraan untuk mengantarkan se- tiap permintaan pelanggan. Pada pemodelan yang dirancang ini dili- batkan biaya untuk membangun atau mengadakan depot berdasarkan pertimbangan lokasi pendirian yang optimal yang lokasinya sendiri be- rada disekitar pelanggan. Pada kasus ini diasumsikan pembangunan depot baru dapat memenuhi kebutuhan dari setiap pelanggan yang be- rada disekitarnya dan dapat menghemat waktu pengantaran sehingga kedatangan kurir pada pelanggan dapat memenuhi waktu yang dise- pakati. Tujuan akhir dari pemodelan ini adalah meminimalkan biaya yang dikeluarkan karena pendirian depot dan rute yang terjadi serta mengoptimalkan waktu antaran kepada setiap pelanggan.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

22

3.2 Menentukan Fungsi Objektif dari Model Multi Depot Vehicle Routing Antaran Terpisah dengan Time Windows

Menemukan fungsi tujuan dari permasalahan ini dilakukan dengan mempertimbangkan model-model yang telah lebih dahulu berkem- bang, disini akan terjadi elaborasi dari berbagai macam model yang pernah ada sebelumnya, perbedaan model ini dengan model-model sebelumnya adalah pada penambahan biaya finti yang dikenakan pa- da perusahaan apabila kendaraan terlambat atau melampaui batasa waktu yang telah ditetapkan bersama. Penambahan yang terjadi juga akan dibebankan kepada fungsi objektifnya.

3.3 Menentuan Kendala dari Model Multi Depot Vehicle Routing Antaran Terpisah dengan Time Windows

Menentukan kendala dari model ini akan dilakukan dengan kondisi kekinian dan pemodelan yang pernah ada sebelumnya, berbagai usa- ha penggabungan akan dilakukan guna mendapatkan sebuah model kendala yang fleksibel yang berlaku dalam kurun waktu yang lama untuk memperbaiki satiap aspek yang ada.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 4

MODEL MUTLI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM DENGAN SPLIT DELIVERY DAN TIME WINDOWS

4.1 Pemodelan

Model permasalahan multi depot vehicle routing dengan split de- livery dan time windows (MDVRPSD-TW) adalah sebuah model yang dibangun dari model yang telah ada sebelumnya yaitu model multi de- pot vehicle routing problem split delivery (Ray, 2014). Pada dasarnya model VRP dapat diklasifikasikan menjadi tiga bagian yaitu:

1. Penugasan untuk setiap pelanggan dan rute yang dimilikinya, termasuk di dalamnya yaitu pendirian sejumlah depot di tempat tertentu, penggunaan kendaraan dengan berbagai tipe atau jenis kendaraan yang berbeda, penggunaan banyak periode, dalam hal ini yang merupakan penggunaan banyak periode adalah waktu yang di pakai untuk melayani para pelanggan misalnya masalah bongkar muat atau pemasangan instalasi dan yang terakhir adalah permasalahan split delivery dimana pengantaran barang dapat dikerjakan oleh lebih dari satu kurir pengantar.

2. Pemilihan urutan pengantaran, yang termasuk di dalamnya adalah backhauls dan pickup-and-delivery dimana pengiriman yang di- lakukan terhadap sejumlah pelanggan yang ditugaskan kepada kurir dapat dimulai atau diakhiri dengan depot yang berbeda.

3. Evaluasi dari pengantaran yang dilakukan oleh kurir, yang ter- masuk didalamnya adalah time windows dimana setiap pelanggan harus dilayani dalam rentang waktu yang telah disepakati antara pelanggan dan perusahaan.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

24

Pemodelan yang ingin di bangun disini adalah sebuah pemode- lan yang menggabungkan dua dagian VRP yaitu bagian pertama dan bagian yang ketiga. Ilustrasi dari permasalahan dalah pemodelan ini dapat dilihat pada gambar berikut ini.

Gambar 4.1 Ilustrasi model dengan menggunakan 6 depot yang ditandai dengan persegi panjang dan 73 pelanggan yang ditandai dengan titik Pada gambar ilustrasi tersebut ditemukan enam depot dan kumpu- lan dari semua pelanggan yang memiliki permintaan kepada depot, dalam hal ini permasalah yang ingin dicoba selesaikan dirumuskan dalam lima parameter yang harus dipenuhi yaitu:

1. Biaya pendirian depot pada titik j yang disebut sebagai EC j ; 2. Tingkat permintaan pada titik a adalah d a ∀ a ∈ N ;

3. Jumlah maksimal kendaraan yang harus digunakan K dan setiap kendaraan memiliki kapasitas C k (K = 1, 2, ... K);

4. Rute optimal yang harus dilalui oleh kurir untuk mengantarkan permintaan dari setiap pelanggan x abk bernilai 1 jika kurir mele- wati a dan b dengan kendaraan k;

5. Biaya denda yang harus dikeluarkan untuk keterlambatan pada titik a oleh kendaraan k di simbolkan dengan ED ak .

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

25

Keterangan himpunan:

I : Himpunan pelanggan J : Himpunan depot

N : Himpunan kurir dan depot, N = I ∪ J K : Himpunan kendaraan pengantar barang a : Index dari pelanggan

k : Index dari kendaraan pengantar barang

Parameters:

EC j : Biaya pendirian depot j

CF k : Biaya karena menggunakan angkutan k (biaya sewa) CT k : Biaya perjalanan angkutan k per satu kali pengiriman

CR k : Biaya penginapan pengiriman untuk kendaraan k per satu kali pengiriman ED ak : Biaya keterlambatan kendaraan k pada pelanggan a

t ab : Waktu perjalanan antara titik a dan b per satuan waktu e a : Batas waktu tiba paling awal pada untuk titik a

l a : Batas waktu keterlambatan untuk titik a

r k : Maksimum waktu yang dihabiskan untuk pengiriman yang dilakukan kendaraan k

d a : Permintaan pelanggan a

w j : Merupakan bilangan boolean yang bernilai 1 apabila j adalah sebuah depot

q k : Kapasitas dari kendaraan k

y ak : Banyaknya barang yang diantarkan pada pelanggan a oleh kurir k M : Sebuah bilangan yang bernilai cukup besar

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

26

Variabel keputusan:

at ak : Waktu kedatangan kendaraan k pada pelanggan a at jk : Waktu kedatangan kendaraan k pada depot j

wd ak : Waktu tunggu untuk pengiriman barang pada pelanggan a z ak : Waktu bongkar muat kendaraan k pada pelanggan a

min X

j∈J

EC j w j + X

a∈N

X

b∈N

X

k∈K

CT k t ab x abk

+ X

k∈K

X

a∈J

X

b∈I

CF k x abk + X

b∈J

X

k∈K

CR k x abk

+ X

a∈N

ED ak z ak (4.1)

Pada fungsi objektif (4.1) tujuan yang ingin dicapai adalah memini- malkan biaya pendirian dari masing-masing depot baik dengan cara mencoba membangun depot baru atau menyewa bangunan yang ada untuk dijadikan depot, untuk biaya pendirian depot sendiri sangat bergantung pada pemilihan lokasi depot itu sendiri. Jelas sekali bah- wa daerah perkotaan akan memiliki biaya pendirian yang lebih besar daripada daerah pedesaan karena harga tanah yang relatif lebih tinggi di daerah perkotaan, namun daerah pedesaan juga memiliki kendala yang hampir mirip dengan pertimbangan biaya pembelian bahan yang lebih mahal daripada daerah kota hal ini disebabkan biaya transportasi yang tentu saja akan berbeda antara kota dan desa. oleh karenanya perlu sekali dilakukan analisis yang baik untuk permasalahan ini, yang berikutnya adalah biaya untuk menggunakan kendaraan per jam, yang meliputi besarnya biaya bahan bakar yang digunakan oleh kendaraan dan biaya sewa yang dikeluarkan. Untuk penggunaan kendaraan (bia- ya sewa kendaraan) di asumsikan untuk setiap kendaraan yang di- gunakan harus dikenakan biaya perjalanan baik kendaraan itu milik perusahaan atau sewaan dari tempat lain, yang selanjutnya adalah biaya penginapan untuk kendaraan k per satu kali pengiriman, biaya

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

27

ini dikeluarkan jika kondisi kendaraan sudah tidak memungkinkan lagi untuk menyelesaikan tugasnya dan wajib menginap, dan yang terakhir adalah biaya denda akibat keterlambatan pengiriman yang dilakukan oleh kurir kepada pelanggan (kurir melanggar rentang waktu yang telah disepakati), besarnya biaya yang dikeluarkan tergantung pada kesepakatan yang dibuat oleh perusahaan dan pelanggan

dengan syarat:

X

a∈N

X

k∈K

x abk ≥ 1, ∀b ∈ N, a 6= b (4.2)

Kendala (4.2) menyatakan bahwa pengiriman permintaan yang di- lakukan oleh kurir atau kendaraan pengirim barang kepada pelang- gang dapat dilakukan lebih dari satu kali pengiriman.

X

a∈N

x ack = X

b∈N

x cbk , ∀c ∈ N dan k ∈ K, a, b 6= p (4.3)

Kendala (4.3) menyatakan bahwa kurir yang melakukan pengantaran dari pelanggan a ke pelanggan c, dapat melanjutkan pekerjaan pen- gantarannya langsung dari pelanggan c ke pelanggan berikutnya yaitu pelanggan b. Hal ini berlaku seterusnya hingga pekerjaan pengan- tarannya selesai.

X

b∈N

X

k∈K

x obk ≤ |K| (4.4)

Kendala (4.4) menyatakan bahwa muatan yang dibawa oleh kendaraan atau kurir harus lebih kecil atau sama dengan kapasitas yang dimiliki oleh kendaraan yang dimiliki oleh kurir tersebut

x oak = x aok ∀ a ∈ N dan k ∈ K (4.5) X

a∈S

X

b∈S

x abk − X

b∈S

x obk ≤ |S| − 1, S ⊂ N, |S| ≥ 2, k ∈ K dan a 6= b (4.6) Kendala (4.5) dan (4.6) merupakan versi modifikasi dari kendala sub- tour elimination, Toth (2002) untuk mengakomodasi setiapa rute akan dimulai dan diakhiri dari titik 0 yang merupakan sebuah titik depot.

Kapasitas

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

28

X

a∈N

y ak ≤ q k , ∀ k ∈ K (4.7)

Kendala (4.7) merupakan total dari banyaknya barang yang diantarkan pada pelanggan a oleh kurir atau kendaraan k tidak boleh melebihi kapasitas atau muatan yang dapat angkut oleh kendaraan k.

X

k∈K

y ak ≤ d a w j , ∀ a, j ∈ N (4.8)

Kendala (4.8) merupakan total dari permintaan yang dimiliki oleh pelanggan a yang diantarkan oleh kendaraan k tidak boleh melebehi dari persediaan barang yang terdapat pada depot j, yang ditugaskan untuk memenuhi permintaan dan mengirim barang pada pelanggan a.

y ak ≤ d j

X

b∈N

x abk , ∀ a ∈ N and k ∈ K (4.9)

Kendala (4.9) merupakan banyaknya barang yang diantarkan kepada pelanggan a oleh kendaraan k harus lebih kecil atau samadengan se- mua permintaan pelanggan pada depot j yaitu depot yang ditukgaskan untuk melayani pengiriman kepada pelanggan a dan pelanggan disek- itarnya.

Penugasan depot

X

k∈K

x oak ≥ w j , ∀ a ∈ N (4.10)

x oak ≤ w j , ∀j ∈ J, k ∈ K (4.11) Kendala (4.10) dan (4.11) adalah kendala yang menjamin bahwa setiap depot yang dibuka dapat memenuhi semua permintaan dari setiap pelanggan yang berada di sekitar lokasi depot tersebut.

Time windows

at bk ≥ at ak + wd ak + t aj + M ( X

k∈K

x abk − 1), ∀ i ∈ N, j ∈ I (4.12)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

29

Kendala (4.12) menyatakan bahwa waktu kedatangan kendaraan k pa- da pelanggan b harus lebih besar atau sama dengan waktu kedangan kendaraan k pada pelanggan a setelah ditambahkan waktu perjalanan, waktu tunggu dan waktu untuk bongkar muat.

r k ≥ at bk ≥ at ak + wd ak + t ab + M (x abk − 1), ∀ a ∈ I, b ∈ J, k ∈ K (4.13)

e a ≤ at ak + wd ak ≤ l a , ∀ a ∈ I (4.14) z ak =

 1 if l ak − (a ak + wd ak ) > 0

0 if l ak − (a ik + wd ak ≤ 0 (4.15) Kendala (4.13), (4.14) dan (4.15) adalah kendala yang memastikan bahwa setiap kendaraan yang mengirimkan barang kepada pelanggan harus menepati waktu yang telah disepakati.

x abk ∈ {0, 1}; dimana a, b ∈ N, k ∈ K (4.16)

w a ∈ {0, 1}; dimana a ∈ N (4.17) Kendala (4.16) dan (4.17) merupakan bilangan bolean yang bernilai 0 atau 1

y ak ≥ 0; dimana a ∈ I, a 6= b , k ∈ K (4.18) Kendala (4.18) merupakan persyaratan operasional untuk kendaraan, dimana kendaraan hanya bisa berangkat apabila kendaraan itu memi- liki permintaan untuk dikirimkan kepada pelanggan.

4.2 Diskusi

Pemodelan ini merupakan model yang dikembangkan dari mo- del yang telah ada sebelumnya, dengan menambahkan kendala time windows sebagai bentuk evaluasi dari pembangunan depot dan pemil- ihan rute yang optimal. Pada kendala pendirian depot, model ini mengasumsikan depot yang dibangun memiliki lokasi yang optimal.

Dengan kata lain, depot dirikan pada lokasi yang berada di sekitar pelanggan dan memiliki biaya yang relatif murah, serta dapat memu- dahkan pengiriman barang dari depot ke pelanggan sehingga waktu

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

30

yang ditentukan untuk pengiriman dapat terpenuhi. Pemodelan ini belum memiliki solusi dalam penyelesaiannya sehingga di harapkan pada penelitian selanjutnya dapat dirancang sebuah algoritma untuk menemukan solusi terbaik dari pemodelan yang telah dikembangkan ini.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 5 KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Model Multi Depot Vehicle Routing Problem dengan Split Delivery dan Time Windows adalah model yang dapat digunakan untuk kon- disi dimana pelanggan memiliki banyak kesibukan dan banyak kebu- tuhan. Pengiriman barang yang sesuai dengan jadwal yang ditetapkan akan sangat membatu untuk kelancaran dan kemajuan dari sebuah pe- rusahaan dan membantu pelanggan dalam memperoleh kebutuhannya, model ini dapat di gunakan untuk banyak pengiriman misalnya pengi- riman belanja online, pengiriman logistik atau pengiriman pasokan produk ke supermarket dan lain sebagainya.

5.2 Saran

Pada penelitian ini hanya membahas pemodelan, untuk penelitian yang lebih lanjut dapat dikembangkan sampai penyelesaian dari mo- del multi depot vehicle routing problem dengan split delivery dan time windows.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

DAFTAR PUSTAKA

Archetti, C. dan Speranza, M.G. (2012) Vehicle Routing Problems with Split Deliveries. Trans. Oper. Res, Volume 19, Issue 1-2, 3–22

Soeanu, A., Ray, S., Debbabi, S.M., Berger, J., dan Boukhtouta, A.

(2012) A learning based evolutionary algorithm for distributed multi-depot VRP, in: KES,pp 49–58

Bae, H. dan Moon, I.(2016) Multi-depot Vehicle Routing Problem with Time Windows Considering Delivery and Installation Vehi- cle. Applied Mathematical Modelling, Volume 40, 6536–6549.

Chen, S., Golden B.I, dan Wasil, E.A. (2007) The split delivery vehi- cle routing problem: Applications, algorithms, test problem, and computational result. Networks, Volume 49, Issue 4, 318–329 Dantzig, G.B. dan Ramses, J.H. (1959) The truck dispatching problem.

Manage. Sci, Volume 6, Issue 1, 80–91

Kallehauge, B., Larsen, J., dan Madsen, O. (2006) Lagrangian Duality Applied to The Vehicle Routing Problem with Time Windows.

Computer and Operation Research, Volume 33, Issue 5, 1464–

1487.

lori, M., Salajar-Gonzales, J-J., dan Vigo.D. (2007) An exact approach for the vehicle routing problem with two-dimensional loading con- straints. Transport.Sci, Volume 41, Issue 2, 253–264

Dror, M. dan Trudeu, P.(1989) Savings by split delivery routing.

Transport. Sci, Volume 23, 141–145 Cambridge.

Dror, M., Laporte, G., dan Trudeu, P. (1994) Vehicle Routing with split deliveries. Discrete Appl. Math , Volume 50, Issue 3, 239–

254 Cambridge.

Ray, S., Soeanu, A., Debbabi, M., Boukhtouta, A., dan Berger, J. (2012) Modelling Multi-Depot Split-Delivery Vehicle Routing Problem. In: The proceedings of the IEEE-Cenference on com- putation Engineering in system applications.

Ray,S., Soeanu,A., Debbabi,M., dan Berger, J. (2014) Multi-Depot Split-Delivery Vehicle Routing Problem: Model and Solution al- gorithm. Knowlledge-Based system, Volume: 71, 238 - 265.

Thangiah, S.(1993) Vehicle Routing Problems with Time Windows Using Genetic Algorithm.

Toth, P. dan Vigo, D. (2002) The Vehicle Routing Problem, Society for industrial and Applied Mathematics.

32

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA