Statistika Deskriptif Ukuran Pemusatan dan Ukuran Penyebaran

Ukuran Pemusatan dan Ukuran Penyebaran

Ukuran Pemusatan Data

Rata-rata Hitung

Rata-rata hitung data tunggal:

¯

x = x₁+ x₂+ x₃+ · · · + x_n

n atau x =¯

n

P

i=1

xi

n . (1)

Keterangan :

¯

x : rata-rata hitung data tunggal (baca x-bar) n : banyaknya data

Rata-rata hitung data kelompok:

¯ x =

n

P

i=1

(fi· x_i)

n

P

i=1

f_i

. (2)

x_i = (batas atas + batas bawah)

2 . (3)

Keterangan :

¯

x : rata-rata hitung data kelompok (baca x-bar) xi : nilai tengah kelas ke-i

fi : frekuensi kelas ke-i n : jumlah kelas

1

Rata-rata Ukur (Geometri) Rata-rata geometri data tunggal:

U = √ⁿ

x₁· x₂· · · x_n atau U =

n

Y

i=1

x_i

! 1

n . (4)

Keterangan :

U : rata-rata geometrik xi : data ke-i

n : banyaknya data

Rata-rata geometri data kelompok:

log₁₀(U ) =

n

P

i=1

(log(x_i) · f_i)

n

P

i=1

f_i

, misal log₁₀(U ) = a, maka U = 10^a. (5)

Keterangan :

U : rata-rata geometrik xi : nilai tengah kelas ke-i f_i : frekuensi kelas ke-i n : jumlah kelas

Rata-rata Harmonik

Rata-rata harmonik data tunggal:

H = n

n

P

i=1

 1 x_i

 . (6)

Keterangan :

H : rata-rata harmonik xi : data ke-i

n : banyaknya data

Rata-rata harmonik data kelompok:

H =

n

P

i=1

fi n

P

i=1

 f_i x_i

 . (7)

Keterangan :

H : rata-rata harmonik x_i : nilai tengah kelas ke-i f_i : frekuensi kelas ke-i n : jumlah kelas

Median

Nilai tepi bawah, nilai tepi atas, dan panjang kelas dapat dihitung dengan menggu- nakan rumus:

tepi bawah = batas bawah − 0, 5 (8) tepi atas = batas atas + 0, 5 (9) c = tepi atas − tepi bawah. (10)

Keterangan :

c : panjang kelas ke-i Median dari data tunggal:

˜ x =

( x(n+1) 2

jika n ganjil,

1 2 · (xⁿ

2 + x(n+2) 2

) jika n genap . (11)

Keterangan :

˜

x : median

n : banyaknya data Median data berkelompok:

˜

x = L_(me)+ c · m_e− F_me f_(me)



. (12)

Keterangan :

˜

x : Median

me : letak kelas median (1 2· N ) L_(me) : tepi bawah kelas letak median c : panjang kelas yang memuat median N : jumlah frekuensi

f_(me) : frekuensi kelas letak median

F_(me) : frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas median

_m

e−1

P

i=1

f_i



Modus

Modus merupakan teknik penjelasan kelompok data yang didasarkan atas nilai yang sedang populer (yang sedang menjadi mode) atau nilai yang sering muncul dalam kelompok tersebut.

Modus data berkelompok:

M_o = L_(mo)+ c ·

 d₁ d₁+ d₂



, dimana d1= f_(mo)− f_(mo−1),

d₂= f_(mo)− f_(mo+1) . (13)

Keterangan :

M_o : Modus

m_o : letak kelas modus (kelas dengan frekuensi tertinggi) L_(mo) : tepi bawah kelas letak modus

c : panjang kelas yang memuat modus f_(mo) : frekuensi kelas letak modus

f_(mo−1) : frekuensi sebelum kelas letak modus f_(mo+1) : frekuensi setelah kelas letak modus

Kuartil

Langkah-langkah menentukan nilai kuartil diantaranya menyusun data secara ber- urutan, menghitung letak kuartil, dan menghitung nilai kuartil. Pada data tunggal menghitung nilai kuartil dapat menggunakan rumus:

Qi= data ke- i · (n + 1)

4 , di mana i ·(n + 1)

4 ∈ Z. (14)

Jika nilai dari i ·⁽ⁿ⁺¹⁾₄ berada di antara 2 bilangan bulat a dan b (a < i ·⁽ⁿ⁺¹⁾₄ < b), maka nilai kuartil dapat ditentukan dengan rumus:

Q_i = x_a+ i

4· (x_b− x_a), di mana a < i ·(n + 1)

4 < b, dan a, b ∈ Z. (15)

Keterangan : Qi : kuartil ke-i i : 1, 2, 3

n : banyaknya data

Rumus kuartil data kelompok adalah:

Qi= L_(qi)+ c ·

q_i− F_(qi) f_(qi)



. (16)

Keterangan :

Qi : kuartil ke-i

qi : letak kuartil ke-i (i 4 · N )

L_(qi) : tepi bawah kelas letak kuartil ke-i c : panjang kelas kuartil ke-i

N : jumlah frekuensi

f_(qi) : frekuensi kelas letak kuartil ke-i

F_(qi) : frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil ke-i

_qi−1 P

i=1

fi



Desil

Nilai desil suatu kelompok data dapat ditentukan dengan terlebih dahulu mengu- rutkan data menurut urutan nilainya, menghitung letak desil, dan menghitung nilai desil. Rumus menghitung nilai desil dari data tunggal adalah:

Di= data ke- i · (n + 1)

10 , di mana i ·(n + 1)

10 ∈ Z. (17)

Jika nilai dari i ·⁽ⁿ⁺¹⁾₁₀ berada di antara 2 bilangan bulat a dan b (a < i ·⁽ⁿ⁺¹⁾₁₀ < b), maka nilai desil dapat ditentukan dengan rumus:

D_i= x_a+ i

10· (x_b− x_a), di mana a < i ·(n + 1)

10 < b, dan a, b ∈ Z. (18)

Keterangan : Di : desil ke-i i : 1, 2, 3, · · · , 9 n : banyaknya data

Untuk menghitung nilai desil dari data berkelompok digunakan rumus:

D_i= L_(di)+ c ·

di− F_(di) f_(di)



. (19)

Keterangan :

D_i : desil ke-i

d_i : letak desil ke-i ( i 10 · N ) L_(di) : tepi bawah kelas desil ke-i c : panjang kelas desil ke-i N : jumlah frekuensi

f_(di) : frekuensi kelas letak desil ke-i

F_(di) : frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil ke-i

_di−1 P

i=1

f_i



Persentil

Dalam menentukan nilai persentil dari suatu rangkaian data, langkah yang perlu dilakukan yaitu mengurutkan data sesuai urutan nilainya, menghitung letak persen- til, dan menghitung nilai persentil. Nilai persentil dari data tunggal dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Pi = data ke- i · (n + 1)

100 , di mana i · (n + 1)

100 ∈ Z. (20)

Jika nilai dari i ·⁽ⁿ⁺¹⁾₁₀₀ berada di antara 2 bilangan bulat a dan b (a < i ·⁽ⁿ⁺¹⁾₁₀₀ < b), maka nilai desil dapat ditentukan dengan rumus:

Pi= xa+ i

100·(x_b−x_a), di mana a < i·(n + 1)

100 < b, dan a, b ∈ Z. (21)

Keterangan : P_i : persentil ke-i i : 1, 2, 3, · · · , 99 n : banyaknya data

Rumus persentil data berkelompok:

P_i = L_(pi)+ c ·

p_i− F_(p

i)

f_(pi)



. (22)

Keterangan :

Pi : persentil ke-i

pi : letak persentil ke-i ( i 100· N ) L_(pi) : tepi bawah kelas persentil ke-i c : panjang kelas persentil ke-i N : jumlah frekuensi

f_(pi) : frekuensi kelas letak persentil ke-i

F_(pi) : frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil ke-i

_pi−1 P

i=1

f_i



Ukuran Penyebaran Data

Jangkauan dan Jangkauan Antar Kuartil

Rumus menghitung jangkauan untuk data tunggal dan data berkelompok sebagai berikut:

R = xmax− x_min data tunggal. (23) R = xi max− x_{i min} data berkelompok. (24)

Keterangan : R : jangkauan

x_max : data tunggal terbesar xmin : data tunggal terkecil xi max : nilai tengah terbesar x_{i min} : nilai tengah terkecil

Jangkauan antar kuartil dapat dihitung dengan rumus:

RQ = Q₃− Q₁. (25)

Keterangan :

RQ : jangkauan antar kuartil Q₃ : kuartil ke-3

Q1 : kuartil ke-1

Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil data tunggal dan data berkelompok dapat dihitung dengan meng- gunakan rumus:

QD = Q₃− Q₁

2 . (26)

Keterangan :

QD : simpangan kuartil Q₃ : kuartil ke-3 Q₁ : kuartil ke-1

Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata dari data tunggal dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

M D = Pn i=1

|x_i− ¯x|

n . (27)

Keterangan :

M D : simpangan rata-rata

¯

x : rata-rata xi : data ke-i n : banyaknya data

Untuk data yang telah dikelompokkan, simpangan rata-rata dicari dengan menggu- nakan rumus:

M D =

n

P

i=1

(f_i· |x_i− ¯x|)

N . (28)

Keterangan :

M D : simpangan rata-rata

¯

x : rata-rata

xi : nilai tengah kelas ke-i n : jumlah kelas

N : jumlah frekuensi

Simpangan Baku

Rumus menghitung simpangan baku dari data tunggal adalah:

s = v u u u t

n

P

i=1

(x_i− ¯x)²

n . (29)

Keterangan :

s : simpangan baku

¯

x : rata-rata x_i : data ke-i n : banyaknya data

Simpangan baku pada data berkelompok dapat dicari dengan rumus:

s = v u u u t

N ·

n

P

i=1

fi· x²_i
−

 _n P

i=1

(fi· x_i)

2

N · (N − 1) . (30)

Keterangan :

s : simpangan baku

¯

x : rata-rata

x_i : nilai tengah kelas ke-i n : jumlah kelas

N : jumlah frekuensi

Ragam

Ragam dari data tunggal dapat diperoleh dengan menggunakan rumus:

s² = n ·

n

P

i=1

x²_i −

 _n P

i=1

x_i

2

n · (n − 1) . (31)

Keterangan : s² : ragam x_i : data ke-i n : jumlah data

Sedangkan untuk menghhitung ragam dari data berkelompok digunakan rumus:

s² = N ·

n

P

i=1

fi· x²_i
−

 _n P

i=1

(fi· x_i)

2

N · (N − 1) . (32)

Keterangan : s : ragam

¯

x : rata-rata

xi : nilai tengah kelas ke-i n : jumlah kelas

N : jumlah frekuensi

Koefisien Ragam

Koefisien ragam untuk data tunggal maupun data berkelompok dapat dihitung de- ngan menggunakan rumus:

KV = s

¯

x× 100%. (33)

Keterangan :

KV : koefisien ragam s : simpangan baku

¯

x : rata-rata

Pustaka

[1] Sugiyono. (2014). Statistika untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.

[2] Subana, Rahardi, Sudrajat. (2000). Statistik Pendidikan. Bandung: Pustaka Se- tia.

[3] Sudjana. (1989). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.

[4] Ating Somantri dan Sambas Ali Muhidin. (2006). Aplikasi Statistika Dalam Pe- nelitian. Bandung: Pustaka Setia.