PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Aryati dkk.(2003) menyatakan bahwa persamaan diferensial adalah formu-lasi matematis dari masalah di berbagai bidang kehidupan. Persamaan diferensi-al sering digunakan untuk pemodelan matematika ddiferensi-alam bidang sains dan teknik (Mathews dan Fink, 1999). Sebagian besar permasalahan tersebut membutuhkan solusi masalah nilai awal (MNA), yaitu solusi persamaan diferensial yang meme-nuhi kondisi masalah nilai awal (MNA) yang diberikan (Burden dan Faires, 2010). Terkadang persamaan diferensial bisa berbentuk rumit akibatnya sulit untuk disele-saikan secara eksak, sehingga dibutuhkan metode yang lebih mudah yaitu dengan metode numerik. Metode numerik digunakan untuk menghitung nilai pendekatan solusi persamaan diferensial.
Metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal (MNA) dibagi menjadi 2, yaitu metode satu langkah dan metode banyak lang-kah. Metode satu langkah hanya membutuhkan 1 nilai awal untuk mendapatkan nilai sekarang, dengan kata lain hanya dibutuhkan ynuntuk mendapatkan nilai yn+1
(Kreyszig, 2011). Sedangkan metode banyak langkah membutuhkan 2 atau lebih nilai sebelumnya untuk mendapatkan nilai sekarang, dengan kata lain dibutuhkan y0, y1, . . . yndengan n = 0, 1, . . . , m − 1 untuk menghitung nilai yn+1(Burden dan
Faires, 2010). Nilai-nilai awal tersebut didapatkan dari metode 1 langkah.
Gabungan dari 2 metode banyak langkah disebut dengan metode prediktor korektor. Dari kedua metode banyak langkah tersebut, kedua metode saling berba-gi peran sebagai prediktor dan korektor dilihat dari besar galatnya. Metode yang memiliki galat lebih besar berperan sebagai prediktor, sedangkan metode yang me-miliki galat lebih kecil berperan sebagai korektor. Prediktor untuk mencari nilai
pendekatan yn+1, selanjutnya oleh korektor nilai yn+1 tersebut akan dikoreksi lagi
untuk mendapat hasil yang lebih mendekati nilai eksaknya.
Metode Adams Bashforth Moulton adalah salah satu metode prediktor ko-rektor. Adams Bashforth sebagai prediktor sedangkan Adams Moulton berperan sebagai korektornya. Penulis tertarik untuk membahas metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah, untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal, karena metode tersebut lebih mendekati nilai eksak dibandingkan dengan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 4 langkah yang keduanya menggunakan analisis langkah h dengan lebar langkah h yang sama, serta membahas kekonvergenan, kestabilan dan kekonsistenan metode prediktor-korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah.
1.2. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana algoritma penggabungan metode Adams Bashforth dan Adams Moulton menjadi metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton de-ngan menggunakan analisis langkah h?
2. Bagaimanakah kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan dari metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah?
3. Lebih baik manakah antara metode Adams Bahsforth dan Adams Moulton 5 langkah dan lebih baik manakah antara metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah dengan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah?
4. Bagaimana membuat program MATLAB untuk mencari nilai pendekatan dari pemecahan masalah nilai awal pada persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 lang-kah dengan analisis langlang-kah h?
1.3. Batasan Masalah
Masalah yang dibahas pada skripsi ini dibatasi pada penyelesaian persama-an diferensial biasa orde 1 dpersama-an 2 disertai nilai awal menggunakpersama-an metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah, dengan nilai-nilai awalnya dida-patkan dari metode Runge Kutta orde 4, dibantu dengan program MATLAB. Serta perbandingan keakuratan antara metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah de-ngan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah, yang keduanya menggunakan analisis langkah h dengan lebar langkah h yang sama.
1.4. Maksud dan Tujuan Penelitian
Maksud penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat kelulusan Pro-gram Strata-1 (S1) ProPro-gram Studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui penggabungan metode Adams Bashforth dan Adams Moulton menjadi metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton dengan meng-gunakan analisis langkah h.
2. Mengetahui kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan dari metode pre-diktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah.
3. Membandingkan keakuratan pendekatan antara metode Adams Bahsforth dan Adams Moulton 5 langkah dan keakuratan antara metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah dengan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah. 4. Memanfaatkan program MATLAB untuk mencari nilai pendekatan dari
pe-mecahan masalah nilai awal pada persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 lang-kah dengan analisis langlang-kah h.
1.5. Tinjauan Pustaka
Bentuk umum metode banyak langkah diberikan oleh Burden dan Faires (2010). Penurunan rumus metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah menggunakan interpolasi selisih mundur Newton diberikan oleh Gear (1971). Ga-lat pemotongan (truncation error) metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah dengan menggunakan deret Taylor diberikan oleh Atkinson dkk.(2009). Error boundsmetode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah dturunkan dari teorema dan lemma yang digunakan untuk menurunkan error bounds meto-de Euler diberikan oleh Burmeto-den dan Faires (2010). Kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah diberikan oleh Griffiths dan Higham (2010), Atkinson dkk.(2009), Burden dan Faires (2010), Wahyuni (2001), Suli (2014), Johnson (2008), Dafik (1998), dan Purnama (2013). Hubungan ketiganya diberikan oleh Gear (1971), Atkinson (1989), dan Atkinson dkk. (2009). Algoritma analisis perubahan langkah h pada metode prediktor korek-tor Adams Bashforth Moulton 5 langkah diberikan oleh Mathews dan Fink (1999) dan Apriadi dkk. (2014).
Berbagai definisi dari persamaan diferensial biasa diberikan oleh Ross (1984) dan Aryati dkk.(2003). Definisi masalah nilai awal dan interpolasi selisih mundur Newton yang digunakan untuk menurunkan rumus metode Adams Bashforth dan metode Adams Moulton 5 langkah diberikan oleh Kreyszig (2011). Definisi dan teorema mengenai eksistensi dan ketunggalan diberikan oleh Mathews dan Fink (1999) dan Ross (1984). Definisi polinomial karakteristik metode banyak langkah diberikan oleh Burden dan Faires (2010). Deret Taylor, Teorema sisa Taylor, de-finisi galat diberikan oleh Aryati (2012) dan Sari dkk.(2014). Galat pemotongan (truncation error) diberikan oleh Sutarno dan Rachmatin (2008) dan Aryati (2012). Teorema dan lemma error bounds Euler sebagai acuan mencari error bounds me-tode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah, kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan metode numerik diberikan oleh Burden dan Faires (2010), Dafik (1998), Purnama (2013), dan Lambers (2014).
1.6. Metode Penelitian
Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Diawali dengan mempelajari metode banyak langkah dan metode prediktor korek-tor secara umum melalui literatur-literatur yang berisi topik tersebut. Menurunkan rumus metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah dengan integral dan interpolasi selisih mundur Newton. Selanjutnya menurunkan galat pemotongan (truncation error) metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah meng-gunakan teorema sisa Taylor.
Menurunkan error bounds metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah yang berpacu pada error bounds metode Euler. Error bounds metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah ini selanjutnya digunakan un-tuk menganalisis kekonvergenan metode prediktor korektor Adams Bashforth Mo-ulton 5 langkah melalui kekonvergenan masing-masing metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah. Menganalisis kekonsistenan dan kestabilan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah melalui kekonsistenan dan kestabilan masing-masing metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 lang-kah. Mempelajari hubungan antar kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan metode numerik dengan membuktikan teorema-teorema yang ada dengan berpacu pada gambar hubungan ketiganya.
Mempelajari algoritma metode prediktor korektor Adams Bashfroth Moul-ton 5 langkah menggunakan analisis langkah h, sesuai dengan syarat yang terpe-nuhi. Pembuatan program sesuai algoritma metode prediktor korektor Adams Ba-shforth Moulton 5 langkah, dengan analisis langkah h menggunakan MATLAB. Program yang pertama dibuat untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde 1 disertai dengan nilai awal. Program kedua, yang berpacu pada program per-tama, untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde 2 disertai dengan nilai awal. Berlatih menyelesaikan persoalan persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal, menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Mo-ulton 5 langkah, dengan analisis langkah h menggunakan MATLAB. Selanjutnya
sebagai pembanding, membuat program untuk metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah. Membandingkan keakuratan pendekatan metode Adams Bashforth Moul-ton 5 langkah dengan Adams Bashforth MoulMoul-ton 4 langkah, dengan lebar langkah h yang sama. Berkonsultasi terus menerus dengan dosen pembimbing skripsi.
Hasil studi literatur pada skripsi ini untuk mempermudah mencari penyele-saian persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal, yang didapatkan dari pendekatan solusi dengan menggunakan metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah, dengan analisis langkah h dibantu MATLAB. Serta perbandingannya de-ngan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah, dede-ngan analisis langkah h dan lebar langkah h yang sama.
1.7. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah se-bagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulis-an.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi teori yang mendasari pembahasan skripsi, yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal dengan menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah. Da-sar teori meliputi persamaan diferensial biasa, masalah nilai awal (MNA), eksis-tensi dan ketunggalan penyelesaian masalah nilai awal (MNA), interpolasi selisih mundur Newton, metode satu langkah, metode banyak langkah, metode prediktor-korektor, polinomial karakteristik metode banyak langkah, deret Taylor, galat, big-O, error bounds, dan kekonsistenan, kestabilan, serta kekonvergenan metode satu langkah.
spasi spasi
BAB III METODE PREDIKTOR-KOREKTOR: ADAMS BASHFORTH MOULTON 5 LANGKAH UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DI-FERENSIAL BIASA ORDE 1 DAN 2 DISERTAI NILAI AWAL
Bab ini berisi tentang pembahasan metode prediktor-korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah, yang merupakan kombinasi dari metode banyak langkah Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah, yang nilai-nilai awalnya dicari melalui metode Runge Kutta orde 4, analisis kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah, dan aplikasi metode Adams Bashfor-th Moulton pada persamaan diferensial orde 1 dan 2, serta perbandingannya dengan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah.
BAB IV PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan penyelesaian persamaan diferensial bia-sa orde 1 dan 2 disertai nilai awal menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah.
