LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori dasar yang digunakan untuk menetapkan harga premi pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen yang terdapat opsi surrender dalam kontraknya, di antaranya sebagai berikut:
2.1 Asuransi
2.1.1 Pengertian Asuransi
Asuransi adalah suatu perjanjian antara dua pihak, yaitu pihak penanggung (perusahaan asuransi) dan tertanggung (nasabah). Perusahaan asuransi mengeluarkan polis (kesepakatan) yang di dalamnya terdapat kewajiban masing- masing pihak. Tertanggung mempunyai kewajiban membayar premi pada perusahaan asuransi, sedangkan penanggung memberikan benefit kepada pemegang polis sebagai pengganti kerugian yang dialami tertanggung, sesuai dengan ketentuan yang telah ditetapkan.
2.1.2 Jenis Asuransi
Asuransi terdiri atas dua jenis, yaitu asuransi kerugian dan asuransi jiwa.
Asuransi kerugian merupakan asuransi yang tidak menyangkut jiwa atau kematian seorang pemegang polis, misalnya asuransi kendaraan bermotor, asuransi harta benda dan lainnya.
Asuransi jiwa terdiri atas beberapa jenis, di antaranya sebagai berikut:
1. Asuransi jiwa berjangka (term insurance).
2. Asuransi seumur hidup (whole insurance).
3. Asuransi endowmen murni (pure endowment insurance).
4. Asuransi endowmen (endowment insurance).
2.1.3 Pengertian Asuransi Jiwa Endowmen
Asuransi jiwa endowmen (dwiguna) adalah asuransi yang memberikan benefit jika pemegang polis meninggal dunia selama jangka waktu perjanjian atau masih hidup sampai waktu jatuh tempo perjanjian. Benefit dibayarkan perusahaan asuransi di akhir tahun kematian jika pemegang polis meninggal dunia, atau pada
saat jatuh tempo perjanjian apabila pemegang polis (tertanggung) tersebut masih hidup.
2.1.4 Pengertian Benefit pada Asuransi
Benefit adalah pembayaran pertanggungan oleh perusahaan asuransi sebagai pengganti kerugian yang diderita tertanggung, atau pembayaran berdasarkan meninggal atau hidupnya seorang tertanggung (pemegang polis).
2.1.5 Pembayaran Premi oleh Pemegang Polis
Premi adalah nilai yang dibayarkan oleh pemegang polis kepada perusahaan asuransi untuk memperoleh pertanggungan. Besarnya premi yang dibayarkan oleh pemegang polis bergantung pada benefit yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi. Premi pada perusahaan asuransi dapat dibayarkan secara periodik, misalnya secara tahunan dalam bentuk barisan premi tahunan. Dalam hal ini pembayaran premi berkaitan dengan anuitas hidup (life annuity), yaitu pembayaran yang dilakukan selama tertanggung masih hidup.
Berdasarkan waktu pembayarannya, anuitas terdiri atas dua jenis, yaitu anuitas yang pembayarannya dilakukan di awal tahun dan anuitas yang pembayarannya di akhir tahun, apabila premi yang dibayarkan oleh pemegang polis dilakukan secara tahunan.
Nilai sekarang aktuaria (actuarial present value) dari anuitas yang pembayarannya dilakukan di awal tahun dinotasikan dengan : dan didefinisikan sebagai:
: , dengan 1
1 2.1
dengan x adalah usia seseorang menjadi peserta asuransi, T jangka waktu pembayaran, faktor diskon pada waktu t 0,1, … , 1 , tingkat suku bunga pada perusahaan asuransi dan merupakan peluang seorang berumur x masih hidup pada umur .
(Bowers, 1997)
2.1.6 Cadangan Benefit pada Asuransi
Pada asuransi jiwa, selain benefit terdapat juga cadangan benefit, di mana cadangan benefit adalah perbedaan antara nilai tunai (actuarial present value) dari benefit dan premi pada waktu yang akan datang.
Cadangan benefit pada asuransi endowmen T tahun dinotasikan dengan
: , didefinisikan sebagai:
: : : : , 2.2
dengan : menyatakan nilai tunai dari asuransi endowmen berjangka bagi seseorang berusia dengan tingkat suku bunga i, : adalah premi bersih tahunan untuk : (nilai tunai dari asuransi endowmen berjangka bagi seseorang berusia ) dan : nilai tunai dari anuitas berjangka yang pembayarannya di awal tahun bagi seseorang berusia dengan tingkat suku bunga i.
(Bowers, 1997) 2.1.7 Pengertian Polis Partisipasi
Polis partisipasi adalah suatu polis asuransi di mana pemegang polis diikutsertakan ke dalam pembagian keuntungan perusahaan. Biasanya keuntungan dimasukkan ke dalam cadangan polis pada tiap akhir tahun kontrak, sehingga mengakibatkan perubahan benefit yang diterima oleh pemegang polis.
2.2 Opsi
2.2.1 Pengertian Opsi
Opsi merupakan salah satu instrumen derivatif yang berkembang di pasar bursa, sedangkan pengertian opsi tersebut adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana salah satu pihak mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan dan pada waktu yang telah ditentukan pula.
(Hull, 2006)
2.2.2 Jenis Opsi
Opsi terdiri atas dua jenis, yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli aset dasar (underlying asset) pada waktu dan harga yang telah ditentukan, sedangkan opsi put memberikan hak untuk menjual aset dasar pada waktu dan harga yang telah ditentukan.
Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Amerika dan opsi Eropa. Opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sebelum atau pada saat jatuh tempo dan opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat jatuh tempo.
(Hull, 2006) 2.2.3 Opsi Surrender
Opsi surrender merupakan suatu pilihan yang diberikan kepada pemegang polis oleh perusahaan asuransi. Pilihan tersebut adalah hak untuk mengakhiri suatu kontrak dan akan menerima nilai surrender.
2.2.4 Penetapan Harga Opsi dengan Model Binomial
Misalkan harga saham saat ini dalam sebuah opsi dinotasikan dengan S dan opsi memiliki satu periode eksekusi sebelum jatuh tempo serta periode dimulai pada saat 0. Ketika opsi jatuh tempo, harga saham akan mengambil satu dari dua nilai, yaitu meningkat dengan faktor u atau menurun dengan faktor d. Apabila meningkat harga saham dinotasikan dengan dan menurun dengan .
Jika harga opsi call adalah c dan harga pada kontrak adalah K, maka saat jatuh tempo opsi call menjadi atau . Perubahan saham dan opsi untuk satu periode dapat dilihat pada gambar berikut
Su S c
Sd Sehingga opsi call mempunyai nilai intrinsik sebagai berikut
0, dan 0, .
Misalkan tingkat suku bunga bebas risiko, yang dinotasikan dengan r, merupakan tingkat suku bunga selama periode opsi. Tingkat suku bunga ini berada di antara tingkat imbal hasil harga saham naik atau turun, yaitu
1 . (2.3) Misalkan sebuah portofolio terdiri atas beberapa saham dan satu opsi call.
Nilai portofolio saat ini dinotasikan dengan V dan didefinisikan sebagai berikut .
Pada akhir periode nilai portofolio akan menjadi jika harga saham naik dan jika harga saham turun, yang ditentukan oleh:
dan . 2.4 Posisi bebas risiko diperoleh apabila , dengan demikian nilai adalah:
. 2.5
Nilai portofolio V setelah satu periode menjadi , yang dengan menggunakan suku bunga diskret menjadi:
1
1 . 2.6 Substitusikan persamaan (2.5) pada persamaan (2.6) sehingga diperoleh harga opsi call:
1
1 dengan 1
. 2.7
(Chance, 2004) 2.2.5 Harga Aset pada Binomial Tree
Model binomial tree dua periode untuk harga aset (saham), dapat dilihat pada gambar berikut
Harga aset pada waktu 0 adalah , pada waktu ∆ harga aset atau , pada waktu 2∆ harga aset adalah , atau . Dengan demikian harga aset pada dua periode adalah salah satu dari:
, 0, 1, 2 dengan 1
. 2.8 Berdasarkan persamaan (2.8) maka diperoleh harga aset pada i periode adalah salah satu dari:
, 0, 1, 2, … , .
(Hull, 2006) 2.3 Peluang
Definisi 2.1 Percobaan Acak
Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, namun hasil dari percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi bisa diketahui kemungkinan hasil yang mungkin.
(Hogg dan Craig, 1995) Definisi 2.2 Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebut kejadian.
(Hogg dan Craig, 1995) Definisi 2.3 Peubah Acak
Misalkan Ω adalah ruang contoh pada sebuah percobaan. Fungsi bernilai real X:Ω→R adalah peubah acak pada percobaan jika untuk setiap interval I R, { s : X (s) I} adalah sebuah kejadian.
(Ghahramani, 2005)
Definisi 2.4 Peluang Binomial
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar binomial dengan parameter n dan p, jika fungsi massa peluang dari X adalah:
; , 1 , 0, 1, 2, … ,
(Ghahramani, 2005) Definisi 2.5 Proses Stokastik
Proses stokastik , adalah suatu koleksi (gugus, himpunan, atau kumpulan) dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh (sample spase) Ω ke suatu ruang state S.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 2.6 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Nilai harapan dari peubah acak diskret X dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai:
.
(Ross, 1996) Definisi 2.7 Ragam Peubah Acak
Ragam dari peubah acak X didefinisikan dengan:
.
(Ross, 1996) Definisi 2.8 Gerak Brown
Proses stokastik , disebut proses gerak Brown jika:
1. 0 0.
2. Untuk 0 , peubah acak ,
1, 2, … , saling bebas.
3. Untuk setiap 0, menyebar normal dengan rataan 0 dan ragam . (Ross, 1996)
