Bab 2
Persamaan Einstein dan Ricci Flow
2.1 Geometri Riemann
Sebuah himpunan M disebut sebagai manifold jika tiap titik Q dalam M memiliki lingkungan terbuka S yang dapat dipetakan 1-1 melalui sebuah pemetaan f secara sinambung (kontinyu) ke sebuah himpunan terbuka S 0 dalam R n untuk n tertentu [9]. Dengan demikian, secara lokal manifold mirip dengan R n . Hasil pemetaan f dari Q pada R n disebut sebagai koordinat dari Q menurut pemetaan f . Sembarang sistem koordinat dapat digunakan untuk memetakan manifold dengan sama baiknya, sebab pada sistem koordinat manapun yang digunakan, sebuah sistem fisis akan berperi- laku sama [10]. Misal sebuah daerah pada M dapat dipetakan ke sistem koordinat x α dan x 0α . Jika terdapat fungsi terdiferensialkan yang menghubungkan kedua ko- ordinat tersebut, maka M disebut sebagai manifold terdiferensialkan (differentiable manifold ) [9, 11].
Jarak (selang/interval) ds antara dua titik yang saling berdekatan x α dan x α +dx α dalam manifold diberikan oleh
ds 2 = g αβ (x)dx α dx β , (2.1) dengan g αβ (x) merupakan tensor kovarian tingkat dua yang simetrik (memenuhi
4
2.1 Geometri Riemann 5
g αβ = g βα ) dan komponen-komponenya bergantung pada posisi (koordinat). Tensor tersebut dinamakan metrik [1, 2]. Pemilihan metrik akan menambahkan struktur manifold [12]. Selanjutnya, panjang atau norm dari sebuah vektor kontravarian X α diberikan oleh
X 2 = g αβ (x)X α X β . (2.2)
Sebuah manifold terdiferensialkan yang vektor-vektor tak nol di dalamnya memiliki norm definit positif, disebut sebagai manifold Riemann [10, 12].
Karena suatu besaran fisis dapat digambarkan pada sembarang sistem koordinat, diharapkan bahwa operasi dan formulasi yang menggambarkan sistem fisis tersebut berbentuk sama pada sembarang kerangka koordinat yang digunakan (prinsip ko- variansi umum, [2, 10]). Formulasi yang demikian disebut formulasi kovarian. Salah satu operasi penting dalam fisika adalah turunan (derivative). Turunan kovarian dari sebuah vektor kontravarian dan kovarian masing-masing diberikan oleh
∇ α X β = ∂ α X β + Γ β αγ X γ , (2.3)
∇ α X β = ∂ α X β − Γ γ αβ X γ , ∂ α ≡ ∂
∂x α , (2.4)
dengan Γ β αγ disebut simbol Christoffel, yaitu sebuah besaran bukan tensor yang menggambarkan perubahan basis koordinat dari suatu titik ke titik lain dalam man- ifold [12]. Komponen-komponen simbol Christoffel ditentukan melalui hubungan
Γ γ µν = 1
2 g γα (∂ ν g αµ + ∂ µ g αν − ∂ α g µν ) , (2.5) yang ditentukan berdasarkan identitas [2, 12, 14],
∇ µ g αβ ≡ 0. (2.6)
Kelengkungan suatu ruang dicirikan oleh tensor kelengkungan (curvature tensor ).
Secara umum, tensor kelengkungan tersebut dinyatakan sebagai tensor Riemann yang merupakan tensor penghubung antara turunan kovarian-kedua dari suatu tensor dengan komponen tensor itu sendiri [2, 12, 13],
[∇ α , ∇ β ] V µ = R µ ναβ V ν , (2.7)
2.2 Persaman Einstein 6
dengan [∇ α , ∇ β ] ≡ ∇ α ∇ β − ∇ β ∇ α . Hubungan antara komponen tensor Riemann dengan simbol Christoffel dinyatakan oleh
R ναβ µ = ∂ α Γ µ νβ − ∂ β Γ µ να + Γ µ σα Γ σ νβ − Γ µ σβ Γ σ να . (2.8) Komponen-komponen tensor Riemann terhubung satu sama lain melalui sifat-sifat simetri,
R µανβ = −R µαβν = −R αµνβ = R νβµα , (2.9)
R µανβ + R µβαν + R µνβα = 0, (2.10)
dan identitas Bianchi
∇ λ R µανβ + ∇ β R µαλν + ∇ ν R µαβλ = 0. (2.11) Jika dilakukan kontraksi terhadap indeks pertama dan ketiga pada tensor Riemann, akan diperoleh identitas Bianchi terkontraksi
∇ α G α
β= 0, (2.12)
dengan
G αβ ≡ R αβ − 1
2 g αβ R (2.13)
disebut tensor Einstein,
R αβ = R µ αµβ (2.14)
merupakan tensor Ricci, dan
R = g αβ R αβ (2.15)
merupakan skalar Ricci.
2.2 Persaman Einstein
Persamaan Einstein merupakan persamaan diferensial tak linear yang menghubungkan antara kelengkungan ruang (yang dinyatakan oleh G αβ ) dengan kerapatan massa- energi (T αβ ) menurut
G αβ = 8πT αβ . (2.16)
2.2 Persaman Einstein 7
Divergensi dari besaran pada kedua ruas persamaan tersebut bernilai nol; ∇ α G αβ = 0 merupakan identitas Bianchi yang terkontraksi, dan ∇ α T αβ = 0 menyatakan hukum kekekalan energi-momentum [1, 2, 12, 14]. Mengingat ∇ µ g αβ = 0, persamaan Einstein dapat dimodifikasi menjadi
G αβ − Λg αβ = 8πT αβ , (2.17)
dengan Λ sebuah konstanta yang disebut konstanta kosmologi [2, 12, 14].
Persamaan Einstein dapat digunakan untuk menentukan metrik berdasarkan se- baran materi di suatu ruang 1 (dengan kata lain persamaan dibaca dari kanan ke kiri), menentukan sebaran materi berdasarkan metrik tertentu (persamaan dibaca dari kiri ke kanan), atau digunakan sebagai batasan (constraint ) bagi pemilihan g αβ dan T αβ yang simultan [2]. Karena g αβ dan T αβ bersifat simetrik, akan diperoleh sepuluh persamaan yang memberikan hubungan komponen-komponen kedua tensor tersebut. Jumlah ini lebih sedikit dibanding jumlah kuantitas yang tak diketahui (yaitu dua puluh: sepuluh komponen g αβ dan sepuluh komponen T αβ ). Dengan demikian, diperlukan constraint tertentu agar persamaan tersebut dapat dipecahkan [1, 2].
Kurang dari setahun setelah persamaan Einstein dipublikasikan, K. Schwarzschild menemukan solusi eksak persamaan tersebut dengan menambahkan asumsi simetri bola pada metrik dan meninjau kasus vakum (T αβ = 0)[2]. Berawal dari bentuk kanonik dari metrik bersimetri bola [1, 2],
ds 2 = e ν dt 2 − e λ dr 2 − r 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 , (2.18) dengan ν = ν (r, t) dan λ = λ (r, t), Schwarzschild mendapatkan solusi berbentuk
ds 2 =
1 − 2m r
dt 2 −
1 − 2m r
−1
dr 2 − r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 . (2.19) Solusi tersebut dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena gerak presesi peri- helion planet Merkurius, pelengkungan lintasan cahaya (light bending), pergeseran- merah gravitasional (gravitational redshift ), dan lubang hitam tak berotasi (non- rotating black hole) yang tak bermuatan [1, 2, 12].
1
hal ini sejalan dengan prinsip Mach, bahwa sebaran materi di suatu ruang menentukan geometri
ruang tersebut.
2.3 Ricci Flow 8
2.3 Ricci Flow
Persaman Ricci flow diperkenalkan oleh Richard Hamilton [3] pada tahun 1982 dalam usahanya membuktikan dugaan (conjecture) Thurston tentang geometrisasi mani- fold tertutup tiga dimensi [4], yang di dalamnya tercakup dugaan Poincar´ e bahwa manifold tiga dimensi yang tertutup, smooth, dan tersambung sederhana (simply con- nected) adalah difeomorfik 2 dengan bola tigaa dimensi atau S 3 [5]. Persaman terse- but merupakan analogi dari persamaan transfer panas difusif [15] pada geometri [6].
Persamaan Ricci flow dituliskan sebagai
∂g αβ
∂τ = γR αβ , (2.20)
dengan γ adalah konstanta. Persamaan tersebut mirip dengan persamaan transfer panas difusif, karena tensor Ricci R αβ merupakan besaran yang mengandung suku- suku turunan kedua dari metrik g αβ .
Persamaan (2.20) menggambarkan deformasi dari metrik Riemannan g αβ ter- hadap parameter τ . Deformasi tersebut ditentukan oleh tensor kelengkungan Ricci, sehingga bagian manifold yang memiliki kelengkungan lebih besar akan mengalami deformasi yang lebih besar pula [4]. Sebagai hasilnya, tensor kelengkungan akan berubah secara difusif, dan cenderung menyebarkan kelengkungan secara seragam ke seluruh bagian manifold [13].
2
