STMIK AMIKOM PURWOKERTO PENGOLAHAN CITRA DIGITAL. Transformasi Citra ABDUL AZIS, M.KOM

PENGOLAHAN CITRA DIGITAL

Transformasi

Citra

Dua Domain Manipulasi Image

Spatial Domain : (image plane)



Adalah teknik yang didasarkan pada manipulasi



l a n g s u n g p i x e l s u a t u i m a g e .

Frequency Domain :



Adalah teknik yang didasarkan pada modifikasi



t r a n s f o r m a s i F o u r i e r d a r i s u a t u i m a g e .

Dimungkinkan pula teknik manipulasi



image dengan cara menggabungkan dua

 Transformasi Fourier adalah konversi data image spasial I(x,y) menjadi r e p r e s e n t a s i f r e k u e n s i F ( u , v ) . Baik representasi spasial maupun 

frekuensi memuat informasi

kelebihan yang dan ekuivalen dengan

Konstruksi

Sebuah

Image

Basis vectors Combination Linear + + +

Analisa

Sebuah

Image

All basis images

... ...

I

Maka

…

= a₁ I₁ + a₂ I₂ + … + a_n I_n Im

Real Basis

Im dapat di recovered dari a bila I invertible

Fundamentals

Fourier Series : suatu fungsi periodik sebagai 

dapat direpresentasikan

penjumlahan sinus/cosinus dari f r e k u e n s i

perkalian koefisien yang berbeda. y a n g b e r b e d a l e w a t Fourier

periodic sebagai

Transform : Fungsi non 

dapat juga direpresentasikan integral dari sinus/cosinus

Fourier

suatu Transform adalah representasi



image sebagai jumlah dari ekponensial yang kompleks yang m e l i p u t i b e s a r a n m a g n i t u d e s , f r e q u e n c i e s , d a n p h a s e s . Fourier Transform memegang peranan penting dalam berbagai aplikasi image 

procressing termasuk enhancement, analysis, restoration, dan compression.

 Dapat

k e a dipandang sebagai array spasial dari nilai b u a n ( g r a y v a l u e ) .

 Dapat juga dipandang sebagai sebuah fungsi

s p a s i a l d i s k r e t .

Teknik

Fourier

Image



Selanjutnya image di dekomposisi kedalam



sebuah himpunan fungsi orthogonal yang

d i s e b u t d e n g a n b a s i s f u n c t i o n s .

The Fourier basis functions : sinusoids.

Konsep umum adalah pemetaan fungsi  i m a g e s p a s i a l k e d a l a m transformasi d o m a i n Fourier. frekuensi lewat adalah

Hasilnya sebuah himpunan fungsi



b a s i s Setiap

s i n u s o i d a l d a n c o e f f i c i e n t s . weighted basis adalah menjelaskan



kontribusi dari setiap bagian frekuensi

i m a g e .

Fourier Transform

Direct:

i 2 ux_dx { f ( x)} F (u) f ( x)e

f ( x)(cos2 ux i sin 2 ux)dx

f ( x) cos2 uxdx

even

i f ( x) sin 2 uxdx

Inverse Fourier Transform

Setelah

frekuensi processing pada domain



maka dikonversi ulang ke domain spasial lewat persamaan :

Bila f(x) adalah fungsi kontinyu dari variabel real x



Maka Transformasi Fourier dari

adalah : f(x)



f (x) F (u) f (x) exp[ j2 ux]dx

j 1

Sebaliknya bila diberikan F(u), maka f(x) dapat dicari lewat inverse transformasi

Fourier transform:



1_{{F (u)} f (x)}

Transformasi Fourier adalah

dari fungsi 2 variable : pasangan



{ f (x, y)} F (u, v) f (x, y) exp[ j2 (ux vy)]dxdy

dan

1_{{F (u, v)} f (x, y) F (u, v) exp[ j2 (ux vy)]dudv}

Bila fungsi f(m,n)  bernilai 1 sehingga b e r b e n t u k k o t a k untuk dan nilai 0 i y a n g l a n n y a .

Maka Magnitude dari Fourier Transform dalam bentuk Mesh



|F(u)| (magnitude function) adalah 

Fourier spectrum

sudut phasenya. dari f(x) dan (u)

The square P(u) of the 2 F (u) spectrum  R2 (u) I 2 (u)

1/ 2

R

2

(u,v)

2

(u,v)

Fourier spectrum:

F(u,v)

I

 I (u, v) 1 (u, v) tan • Phase: _{R(u, v)} • Power spectrum: ₂

 Input dan output dari DFT keduanya dalam

bentuk discrete yang akan memudahkan dalam p r o s e s m a n i p u l a s i .

Diskret Fourier Transform

P erh itu n ga n Fo u rie r t ra n s for m pad a



k o m p u t e r a k a n m e l i b a t k a n b e n t u k Fourier transform lain yaitu Discrete

t r a n s f o r m ( D F T ) .

Ada dua alasan mengapa digunakan bentuk



t r a n s f o r m D F T :

T e r d a p a t a l g o r i t m a y a n g c e p a t u n t u k



menghitung DFT yang disebut dengan Fast F o u r i e r t r a n s f o r m ( F F T ) .

Discrete Fourier Transform

Suatu fungsi kontinyu f(x) dapat didiskritkan



k e d a l a m b e n t u k u r u t a n t e r t e n t u d e n g a n m e n g a m b i l N s a m p l e s x u n i t s

Fungsi Discrete

Fungsi Kontinyu : f(x)  Discretized at t = 0, 1, f1, 2, f2, 3,… f3, …)  (f0, 

Discrete Fourier Transform

Bila x diasumsikan sebagai nilai diskrit (0,1,2,3,…,N-1), maka 

f (x) f (x

₀

x x)

• Urut a n { f( 0) , f(1 ) ,f (2 ),… f ( N- 1 )} a da la h uniform dengan menunjukkan bahwa setiap bentuk N

Discrete Fourier Transform

Pasangan Discrete Fourier Transform 

yang diaplikasikan terhadap fungsi s a m p l e d i n y a t a k a n d e n g a n :

N 1

1

F (u) f (x) exp[ j2 ux / N ] For u=0,1,2,…,N-1 N _{x 0}

and

N 1

f (x) f (u) exp[ j2 ux / N ] For x=0,1,2,…,N-1

Discrete Fourier Transform

Nilai u = 0, 1, 2, …, N-1

berkorespondensi dengan sample dari 

transformasi kontinyu pada nilai 0, u, 2 u, …, (N-1) u.

Contoh : F(u) adalah representasi 1



F(u u), dimana :

u

j e cos ) 1 j sin cos( ) cos( M 1

F (u) f ( x )[cos2 ux / M j sin 2 ux / M ] M _{x 0}

Seiap bentuk dari Fourier Transform FT 

(F(u) untuk setiap u) adalah tersusun dari semua nilai f(x).

Discrete Fourier Transform

Dalam adalah

F (u, v)

kasus 2 variable, pasangan DFT 

: _{M 1 N 1}

1

f (x, y) exp[ j2 (ux / M vy / N )] MN _{x 0 y 0}

For u=0,1,2,…,M-1 and v=0,1,2,…,N-1 Dan:

M 1 N 1

f (x, y) F (u, v) exp[ j2 (ux / M vy / N )]

u n t u k x = 0 , 1 , 2 , … , M - 1 a n d

y = 0 , 1 , 2 , … , N - 1 .

Discrete Fourier Transform

Sampling dari fungsi sekarang dalam 

bentuk 2-D grid ( x, y divisions). Fungsi

samples discrete f(x,y) menunjukkan



dari fungsi f(x₀+x x,y₀+y y)

1 1

u , v

Discrete Fourier Transform

Bila images dikenakan sampling dalam bentuk



square array, M = N dan pasangan Fourier T r a n s f o r m m e n j a d i :

N 1 N 1

1

F (u, v) f (x, y) exp[ j2 (ux vy) / N ] N _{x 0 y 0}

For u,v=0,1,2,…,N-1 Dan:

N 1 N 1

1

f (x, y) F (u, v) exp[ j2 (ux vy) / N ] N _{u 0 v 0}

Discrete Fourier Transform

Untuk menghitung F(u) maka dilakukan



substitusi u = 0 dalam bentuk exponential d a n s u m d a r i s e m u a n i l a i u Berakibat

M*M pada total jumlah dan perkalian



M 1

1

F(u) f (x)exp[ j2 ux / M] For u=0,1,2,…,M-1 M _{x 0}

 Dari persamaan diatas, jumlah perkalian

c o m p l e x d a n p e n j u m l a h a n u n t u k

Fast

Fourier Transform

N 1

1

F (u)

f (x) exp[ j2 ux / N ]

N

_{x 0}

mengimplementasikan Transformasi Fourier

N2

adalah (N complex multiplications and

 Kalikan hasil dengan sebuah filter fungsi

t r a n s f e r

Filtering Pada Domain Frekuensi

Hitung Transformasi Fourier dari Image

 L a k u k a n i n v e r s m e n g h a s i l k a n Summary: t r a n s f o r m u n t u k  p e r b a i k a n i m a g e 

G(u,v) = H(u,v) F(u,v)

1

Tipe dari enhancement : 

L owpass filtering : mengurangi high - atau



f requenc y c ontent  blurring

s m o o t h i n g

Highpass filtering: menambah magnitude



dari high-frequency components relatif terhadap low-frequency components 

Lowpass Filtering

Edges, noise contribute significantly to FT . 

the high-frequency content of the

o f a n i m a g e

Blurring/smoothing is achieved by 

reducing a specified range of high- f r e q u e n c y c o m p o n e n t s :