PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.

PENGGUNAAN TURUNAN

IKA ARFIANI, S.T.

MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM

• Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika

terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga f(x,y)

≤ f(a,b) untuk setiap (x,y) dalam kitaran itu, dan f(a,b) disebut nilai maksimum relatif.

• Sebaliknya, f dikatakan mencapai minimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b)

demikian sehingga f(x,y) ≤ f(a,b) untuk setiap (x,y) dalam kitaran itu, dan f(a,b) disebut nilai

minimum relatif.

• Nilai minimum relatif dan nilai maksimum relatif

biasa disebut nilai ekstrem relatif.

• Syarat perlu agar f mencapai nilai ekstrem relatif di titik (a,b) adalah:

• Titik (a,b) yang memenuhi persamaan diatas

biasa disebut titik kritis.

KEMONOTONAN & KECEKUNGAN

• Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka,

tertutup, ataupun tak satupun). Kita katakan

bahwa:

Kemonotonan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk

    ^{x f x x x I}

f x

x

₁



₂



₁



₂

, 

₁

,

₂



x₁ f(x₁)

x₂ f(x₂)

I

Fungsi f(x) monoton naik pada selang I

Fungsi f monoton turun pada selang I

f(x₁) f(x₂)

x₁ x₂

monoton turun pada interval I jika untuk

    ^{x f x x x I}

f x

x

₁



₂



₁



₂

, 

₁

,

₂



I

Contoh Tentukan selang kemonotonan dari Jawab :

f(x) monoton naik

f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).

2 4 ) 2

(

2





 

x x x x

f

) , 4 ( dan )

0 , (

pada  

2 2

) 2 (

) 4 2

( 1 ) 2 )(

2 2

) ( (

' 









 

x

x x

x x x

f 2

2 2

) 2 (

4 2 4

6 2











 

x

x x

x x

2 2

2

) 2 (

) 4 (

) 2 (

4



 



 

x x x x

x x

0 2 4

++++++

--- ---

+++++++

CONTOH

barangnya?

produksi penambahan

dengan seiring

turun atau

naik a

M arjinalny biaya

Apakah

a.

M arjinalny biaya

n 10.Tentuka 50x

5x 5 x

C(x) 2

dengan diberikan

barang unit

x produksi total

Biaya

2

3

  



Jawabannya

barang.

produksi

penambahan dengan

seiring naik

akan M arjinal

Biaya sehingga

0 dari besar

lebih selalu

akan (x)

M ' maka 0

x Karena 10

5 x 12

10 5 x

2.6 (x) M '

. 50 10

5 x 6 M (x)

ternyata :

0 x untuk 0,

(x) M ' 0;

(x) M ' apakah yaitu

barang penambahan

dengan seiring

turun atau

naik marjinal

biaya bahwa

menentukan untuk

Kemudian .

50 10

5 x M (x) 6 di

Ja

50 10

5 x 6

50 5.2x

5 .3x 2

(x) c' M (x) M arjinal

Biaya

2

2 2

2













































x

x x

CONTOH 2

(Positif) 0

6 6 12 )

2 ( 3 3(2)

(2) ' f

(Negatif) 4 0

- 3 4

6 4

) 3 2 (1 3 2)

3(1 2) (1 ' f

(Positif) 0

6 ) 1 ( 3 3(-1)

(-1) '

f

2 x dan 2 ,

x 1 -1, x

titik di

(x) ' f nilai selidiki

dan bilangan

garis Gambar

1 x atau 0

x 1) - 3x(x

3 3x

(x) ' f 2 x

x 3 f(x)

turun.

atau naik

2 x x 3

f(x) fungsi agar

interval Tentukan

2 2

2

2 2

3

2 3





























































 x

0 1

+ + + - - - + + +

1 x 0

interval pada

Turun

dan 1

x dan 0

x interval pada

naik 2 x

- 3 x f(x)

Jadi ^{3 2}











Jawaban





































(3) f'

(1) f'

(-1) f'

3 dan x

1 x

-1, x

di (x) f'

nilai selidika

2 atau x

0 x

0 2)

- 3x(x

0 6x

3x

0 (x)

f' naik fungsi

Syarat

6x 3x

(x) f'

3x x

f(x)

2

2 2

3

SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN

Stasioner.

Titik

5.

turun atau

naik fungsi

Interval

4.

fungsi definisi

Interval

3.

koordinat sumbu

- sumbu dengan

potong Titik

2.

kuadrat) atau

(Linear Dasar

Bentuk

1.

:

Syaratnya

CONTOH

dan(1,-10)

(-5,98) adalah

ya stasionern titik

- titik i Jad

-10 y

2 - 15.(1) -

6.(1) (1)

y maka 1

x a Jik

98 y

2 - 15.(-5) -

6.(-5) (-5)

y maka -5

x a Jik

1 x atau 5 x

0 1) - 5)(x (x

0 1) - 5)(x 3(x

0 . 15 12

3x

0 y' stasioner titik

Syarat

. 15 12

3x y'

2 15x 6x

x y a.

: JAWAB

grafiknya.

sketsa Buatlah

c.

a dari diperoleh

yang stasioner

titik titik dari

Jenis Tentukan

b.

2 15x 6x

x y fungsi untuk

stasioner titik

Carilah

a.

2 3

2 3

2 2

2 3

2 3





























































x x

b. LANJUTAN

turunan.

tabel dalam

hasilnya masukkan

0 21

y' maka

2 x

dan -15

y' maka

0 x

0 21

y' maka

-6 x

turunan.

fungsi kedalam

masukan

sampel sebagai

2 x

dan 0,

x -6, x

pilih kita

M isalnya

stasioner.

titik kanan

dan kiri

disebelah uji

titik pakai

kita maka

stasioner, titik

jenis menentukan

Untuk























TABEL TURUNAN

X -6 -5 0 1 2

Y’

Kemiringan

+ /

0 -

-

\

0 -

+ /

minimum.

balik titik

adalah (1,-10)

dan

maksimum balik

titik adalah

(-5,98) demikian

Dengan

c. LANJUTAN

(-7,873,0) dan

, (-0,127,0) (2,0),

adalah x,

sumbu dengan

potong titik

i Jad

7,873 -

x atau -0,127,

x atau 2,

x

ABC) rumus

(Pakai 15

-4 x

atau 2

x

0 1

8x x

atau 2

x

0 1)

8x 2)(x

- (x

0 2

- 15x -

6x x

0 y

maka x

sumbu dengan

potong Titik

1.

lagi titik

beberapa dibutuhkan

2 - 15x -

6x x

y fungsi grafik

mengsketsa Untuk

2 2

2 3

2 3





































C LANJUTAN

Titik potong dengan sumbu y maka x=0 Y=-2 Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,-2) Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:

Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turun

Pada interval selang (-5,1)

LANJUTAN SKETSA GRAFIK

(-5,98)

(1,-10) (0,-2)

(-0,127,0)

(-7,873,0) (2,0)

Y

X

2 - 15x -

6x x

y 

³



²

CONTOH-CONTOH SOAL

Selidikilah fungsi fungsi di bawah ini termasuk fungsi naik, fungsi stasioner atau fungsi turun pada titik titik yang

ditentukan

1. Y = 3x² + x -2 di titik x= 4 2. Y = x³ - 2x² - 1 di titik x= 1

4. Y = sin 2x + cos x di titik x = ½

3. Y = ½.x⁴ - 4x² - 7 di titik x= 1

Jawab .

1. y = 3x² + x -2 di titik x= 4 y ’ = 6x + 1

y ‘ = 25 > 0

karena y ‘ > 0 maka fungsi di titik x = 4 merupakan fungsi naik

2. Y = x³ - 2x² - 1 di titik x= 1 y ’= 3x² - 4x

y ‘ = -1 < 0

karena y ‘ < 0 maka fungsi di titik x = 1 merupakan fungsi turun

3. y = ½.x⁴ - 4x² - 7 di titik x= 2 y ’ = 2x³ - 8x

y ‘ = 0

karena y ‘ = 0 maka fungsi di titik x = 2 merupakan

fungsi stasioner

4. Y = sin 2x + cos x di titik x = ½ y ’= 2cos 2x – sin x

y ‘= -3 < 0

karena y ‘ < 0 maka fungsi di titik x = 1 merupakan fungsi turun

Latihan soal :

Selidikilah fungsi fungsi di bawah ini termasuk fungsi naik, fungsi stasioner atau fungsi turun pada titik titik yang ditentukan

1. y = 5x² + x - 7 di titik x= 1 2. Y = 2x³ - 5x² - 1 di titik x= 1

4. Y = cos 2x + sin x di titik x = ½

3. Y = 2.x⁴ - 4x³ - 7 di titik x= 1

Diketahui y = carilah : 6 8 2

1 3

1 _{3 2}





 x x x

a. Titik titik kritis

b. Selang dimana y bertambah dan berkurang c. Harga harga y maksimun da minimum

Jawab :

y ’ = x² + x - 6 = ( x – 2 )( x + 3 )

Dengan mengambil y ‘ = 0 diperoleh harga-harga x = -3, 2.

Titik titik kritis adalah (-3, 43/2) , (2, 2/3) a.

b. Gambar garis bilangan untuk menentukan selang fungsi naik atau fungsi turun

x=-3 x=2

x=-4 x=0 x=3

y ‘ = 6 >0 y ‘ = -6 < 0 y ‘ = 6 >0 Untuk x<-3

fungsi naik

Untuk -3<x<2 fungsi turun

Untuk x>2 fungsi naik

CONTOH 1 :

y =

Untuk y‘= 0 maka f(p) disebut nilai stasioner dari f pada x = p c.

y ‘ = 0 untuk x = -3 dan x = 2

8 2 6

1 3

1 _{3 2}





 x x

x

Untuk x = -3 maka nilai stasioner y = 43/2

f ‘(x) berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum relatif

Untuk x = 2 maka nilai stasioner y = 2/3

f ‘(x) berubah dari - menuju + menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai minimum relatif

Substitusikan nilai x = -3 dan x = 2 pada fungsi :

y = ^{6 8}

2 1 3

1 _{3 2}





 x x

x

Contoh 2.

Ditentukan fungsi y = sin x + cos x carilah : a. Titik titik kritis

b. Selang dimana y bertambah dan berkurang c. Harga harga y maximun da minimum

Jawab :

y ‘= cos x – sin x nilai stasioner diperoleh jika y ‘ = 0 Cos x – sin x = 0

Tgn x = 0 diperoleh nilai ^x₄ ^{atau x5}₄^ a.

b.

4



4 5 6

 

2 3

Untuk x <

fungsi naik

Untuk < x <

fungsi turun

Untuk x >

fungsi naik

4



4



4 5

4 5

y = sin x + cos x

Untuk y ‘= 0 maka f(p) disebut nilai stasioner dari f pada x=p c.

y ‘ = 0 untuk x = dan x =

Untuk x = maka nilai stasioner y =

f ‘(x) berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum relatif

Untuk x = maka nilai stasioner y =

f ‘(x) berubah dari - menuju + menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai minimum relatif

Substitusikan nilai x = dan x = pada fungsi : y = sin x + cos x

4 5 4



4



4 5

4



4 5

2

 2

Contoh 3 :

Jumlah dua bilangan adalah 30, tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum

Jawab.

Misal bilangan tersebut a dan b maka a + b = 30;

a = 30 – b, misal Hasil kali kedua bilangan = P P = a x b

= (30 – b)xb

= 30b – b²

15

Nilai stasioner jika P’ = 0 P’ = 30 – 2b

30 – 2b = 0 2b = 30

b = 15

10 20

P’ = 30 – 2b

P’ = 10 P’ = 30 – 2b

P’ = -10

Untuk b = 15 maka nilai stasioner y = 15 x 15 = 225 hasil kali antara a dan b berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum

Contoh 4 :

Dengan menggunakan pagar kawat sepanjang 200m akan dibangun suatu kandang ayam yang bentuknya persegi panjang, tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimum

Jawab.

Keliling kandang = 2P + 2L 2P + 2L = 200

P + L = 100 P = 100 - L

Luas kandang = p x L Luas = P.L

Luas = ( 100 – L). L Luas = 100L – L²

Nilai stasioner dicari dengan Luas ‘ = 0 Luas ‘ = 100 – 2L

100 – 2L = 0 2L = 100

L = 50 50

40 60

Luas ‘ = 100 – 2.40

= 20 > 0

Luas ‘ = 100 – 2.60

= -20 < 0

Untuk L = 50 maka nilai stasioner y = 50 x 50 = 2500 Luas‘ berubah dari + ^menuju -

menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum P = 100-L

= 100-50 = 50

Contoh 5 :

2. Dari suatu karton persegi panjang yang sisinya 24 cm, akan dibuat suatu kotak tanpa tutup dengan jalan memotong pada keempat sudut persegi panjang tersebut dengan sisi x cm tentukan x agar sisi kotak maksimum.

3. Segitiga siku siku AOB terbentuk dari sumbu X, sumbu Y, dan sisi AB dengan persamaan y = 10 – 2x. Dari titik C(x,y) yang terletak pada AB, dibuat garis tegak lurus sumbu sumbu koordinat sehingga terjadi persegi panjang dengan diagonal OC.

4.Jumlah dua bilangan adalah 40. tentukan masing masing bilangan tersebut agar hasil kali antara bilangan yang satu dengan kuadrat yang lainnya maksimum.

5. Suatu kotak tanpa tutup dengan alas persegi berisi x cm dan tinggi t cm. isi kotak tersebut 2.000 cm3. tentukan ukuran kotak agar bahan untuk membuat kotak minimum.( cari luas permukaan kotak minimum).

6.Suatu tangki air berbentuk silinder lingkaran tegak dengan diameter alasnya 1 m. apabila tinggi air dalam tangki x cm, tentukan laju perubahan volume v terhadap penambahan tinggi x, ketika air diisikan ke dalam tangki tersebut

SELESAI