BILANGAN BAB V BARISAN BILANGAN DAN DERET

Barisan Bilangan dan Deret

BILANGAN

BAB V

BARISAN BILANGAN DAN DERET

A. Barisan Bilangan

1. Pengertian Barisan Bilangan

Jika bilangan-bilangan diurutkan dengan aturan tertentu maka akan diperoleh suatu barisan bilangan.

Contoh :

Tentukan aturan pembentuk dan dua suku berikutnya dari barisan bilangan berikut! 1. 2, 6, 10, 14, ….. 2. 1, 2, 5, 10, ….. 3. 2, 6, 18, 54, ….. 4. 96, 48, 24, 12, ….. 5. 1, 1, 2, 3, 5, ….. Penyelesaian : 1.

Aturan pembentuknya adalah “di tambah 4” Dua suku berikutnya adalah 18 dan 22. 2.

Aturan pembentuknya adalah “di tambah bilangan ganjil beraturan” Dua suku berikutnya adalah 17 dan 26.

3.

Aturan pembentuknya adalah “di kalikan 3” Dua suku berikutnya adalah 162 dan 486. 4.

Aturan pembentuknya adalah “di bagi 2” Dua suku berikutnya adalah 6 dan 3. 5.

Aturan pembentuknya adalah “suku berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua suku di depannya”. Dua suku berikutnya adalah 8 dan 13.

Barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, ….. disebut sebagai barisan bilangan Fibonacci. +4 +4 2, 6, 10, 14, ... +4 1, +1 5, 2, 10, ... +3 +5 2, x3 18, 6, 54, ... x3 x3 96, :2 24, 48, 12, _... :2 :2 1, 1, 2, 3, 1 + 1 5, 2 + 3

Barisan Bilangan dan Deret

NURFARISYAH, S.Pd

2. Suku ke-n Suatu Barisan Bilangan Contoh :

Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan berikut! 1. 5, 8, 11, 14, …..

Penyelesaian :

Rumus suku ke-n nya adalah : U_n = n3 +2 2. 2, 8, 14, 20, …..

Penyelesaian :

Rumus suku ke-n nya adalah : U_n = n6 −4 3. Menggunakan Rumus Suku ke-n

Contoh :

Tentukan empat suku pertama suatu barisan bilangan, jika suku ke-n adalah n

(

n+2

)

.

Penyelesaian :

(

+2

)

= nn U_n 1 U = 1(1+2) = 3 2 U _{= 2(2+2) = 8} 3 U = 3(3+2) = 18 4 U = 4(4+2) = 24

Jadi empat suku pertama barisan tersebut adalah 3, 8, 18, dan 24.

B. DERET ARITMETIKA

1. Pengertian Deret Aritmetika, Suku, dan Beda

Deret Aritmetika (Deret Hitung) adalah deret yang mempunyai beda yang selalu tetap. 1 − − = =b U_n U_n Beda

Bentuk umum dari deret Aritmetika adalah :

n U U U U U U₁+ ₂ + ₃+ ₄+ ₅+...+ Contoh :

Selidiki bahwa 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … merupakan deret Aritmetika.

Penyelesaian :

1

U = 2, U₂= 5, U = 8, ₃ U₄= 11, U = 14 ₅

Cari beda nya : 1 − − = =b U_n U_n Beda 5, +3 11, 8, 14, ... +3 +3 2, +6 14, 8, 20, ... +6 +6

Barisan Bilangan dan Deret

4 5 U U − = 14 – 11 = 3 3 4 U U − = 11 – 8 = 3 2 3 U U − = 8 – 5 = 3 1 2 U U − = 5 – 2 = 3

Karena bedanya tetap, maka deret 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … merupakan deret ariematika. 2. Deret Aritmetika Naik dan Turun

Suatu deret aritmétika yang suku-sukunya selalu bertambah dan mempunyai beda lebih dari nol atau positif disebut deret aritmétika naik, sedangkan deret aritmétika yang suku-sukunya selalu berkurang dan mempunyai beda kurang dari nol atau positif disebut deret aritmétika turun.

Contoh :

Tentukan jenis deret aritmetika berikut, apakah deret aritmetika naik atau turun! 1. 5 + 7 + 9 + 11 + …. Penyelesaian : 5 + 7 + 9 + 11 + …. 1 2 U U − = 7 – 5 = 2 2 3 U U − = 9 – 7 = 2 3 4 U U − = 11 – 9 = 2

Karena beda = 2 (positif), maka 5 + 7 + 9 + 11 + …. Adalah deret aritmetika naik. 2. 10 + 7 + 4 + 1 + …. Penyelesaian : 10 + 7 + 4 + 1 + …. 1 2 U U − = 7 – 10 = –3 2 3 U U − = 4 – 7 = –3 3 4 U U − = 1 – 4 = –3

Karena beda = –3 (negatif), maka 10 + 7 + 4 + 1 + … Adalah deret aritmetika turun. 3. Rumus Suku ke-n pada Deret Aritmetika

Dalam deret Aritmetika U₁+U₂ +U₃+U₄+U₅ +...+U_n, dengan beda = b , maka berlaku rumus seku ke-n :

(

n

)

b U U_n = ₁+ −1 Keterangan : 1 U = Suku Pertama b= Beda n= Banyak Suku n U = Suku ke-n

Barisan Bilangan dan Deret

NURFARISYAH, S.Pd Contoh :

1. Tentukan suku ke-10 dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + …

Penyelesaian : 2 + 5 + 8 + 11 + … 1 2 U U − = 5 – 2 = 3 2 3 U U − = 8 – 5 = 3 3 4 U U − = 11 – 8 = 3 Beda = b = 3 n U = U₁+

(

n−1

)

b 10 U = 2 + (10 – 1)(3) = 2 + 27 = 29

Jadi, suku ke-10 adalah 29.

2. Dalam deret Aritmetika diketahui U1= 5 dan U = 29. Tentukan beda dari deret 7 tersebut. Penyelesaian : 1 U = 5, U = 29 ₇ → n=7 n U = U₁+

(

n−1

)

b 7 U = U₁+

(

7−1

)

b 29 = 5 + 6 b 6 b = 29 – 5 b = 6 24 = 4

Jadi bedanya adalah 4.

3. Pada deret Aritmetika diketahui U1= 3 dan U +5 U8= 61. Hitunglah U11.

Penyelesaian : 1 U = 3, U +₅ U₈= 61

(

n

)

b U U_n = ₁+ −1 U₁₁ = U₁+

(

11−1

)

b

(

)

(

)

b b U U b b U U 7 3 1 8 4 3 1 5 1 8 1 5 + = − + = + = − + = = 3 + 10(5) 8 5 U U + =

(

3+4b

) (

+ 3+7b

)

= 53 61 = 6 + 11 b b = 11 6 61− = 5 Jadi U₁₁= 53. + 1 U U2 U3 U4

Barisan Bilangan dan Deret

4. Sisipan pada Deret Aritmetika

Besar beda yang baru (b₁) dari deret aritmetika yang telah mendapat disipan adalah:

1 1 ₊ − = k x y b atau 1 1 = ₊ k b b Keterangan :

b= beda dari dua bilangan mula-mula yaitu x dan y

k= banyak bilangan yang disisipkan Contoh :

1. Di antara bilangan 3 dan 30 disisipkan 8 buah bilangan sehingga menbentuk deret aritmetika. Tentukan besar beda dari deret aritmetika tersebut, dan kemudian tentukan besar suku ke-6!

Penyelesaian : x= 3, y= 30, k= 8 1 b = 1 + − k x y n U = U₁+

(

n−1

)

b = 1 8 3 30 + − 6 U = 3+

(

6−1

)

3 = 3 = 18

Jadi, besar beda adalah 3 dan suku ke-6 adalah 18.

2. Di antara dua suku yang berurutan pada deret 2 + 8 + 14 + 20 + 26 disisipkan 2 buah bilangan sehingga membentuk deret aritmetika yang baru. Tentukan :

a. Besar beda deret yang baru b. Banyak suku deret yang baru

Penyelesaian : a. 2 + 8 + 14 + 20 + 26 b= U −₂ U₁= 8 – 2 = 6, k= 2 1 b = 1 + k b = 1 2 6 + = 2 b. U1= 2, U = 26, n b1= 2 n U = U₁+

(

n−1 b

)

₁ 26 = 2+ n

(

−1

)

2 26 = 2+ n2 −2 n = 2 26 = 13

Barisan Bilangan dan Deret

NURFARISYAH, S.Pd

5. Suku Tengah pada Deret Aritmetika

2 1 n t U U U = + Contoh :

Suku terakhir dari deret Aritmetika = 17, suku tengahnya = 11, dan suku keempatnya = 14. Tentukan :

1. Suku pertama 2. Bedanya

3. Banyak suku dalam deret tersebut

Penyelesaian : n U =17, U = 11, _t U₄= 14 1. U = t 2 1 Un U + 11 = 2 17 1+ U 1 U = (11 × 2) – 17 1 U = 5 2. U4 = 14 n U = U₁+

(

n−1

)

b 4 U = 5+

(

4−1

)

b 14 = 5 +3b b = 3 5 14 − b = 3 3. U = n U1+

(

n−1

)

b 17 = 5 +

(

n−1

)

(3) 17 = 5 + 3 −n 3 n = 3 2 17 − n = 5

6. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika

(

n

)

n nU U S = ₁+ 2 1 Contoh :

1. Tentukan jumlah 35 suku pertama dari deret Aritmetika 207 + 204 + 201 + 198 + ….

Barisan Bilangan dan Deret

207 + 204 + 201 + 198 + …. n _{= 35} b = 204 – 207 = –3 n U = U₁+

(

n−1

)

b S = _n n

(

U₁+U_n

)

2 1 35 U = 207 + (35 – 1)( –3) S = ₃₅

( )(

35 207 105

)

2 1 + = 207 + (–102) =

( )( )

35 312 2 1 = 105 = 5.640

2. Jumlah statu deret Aritmetika adalah 12.792. Jika banyak sukunya 41 dan bedanya 15. Tentukan : a. Suku pertama (U1) b. Suku terakhir (U41) c. Suku tengahnya Penyelesaian : n S = 12.792, n= 41, b = 15 a. S n = n

(

U1+Un

)

2 1 b. U = _n U₁+

(

n−1

)

b 41 S =

( )(

41 _{1 41}

)

2 1 U U + U₄₁ = 12 + (41 – 1)(15) 12.792 =

( )

41

(

[

(

1

)

]

)

2 1 1 1 U n b U + + − = 12 + 600 12.792 =

( )

41

(

[

(

41 1

)

15]

)

2 1 1 1+ U + − U = 612 12.792 =

( )

41

(

[

( )( )

40 15]

)

2 1 1 1+ U + U c. U = _t 2 1 Un U + 12.792 =

( )(

41 2 600

)

2 1 1+ U = 2 12+U₄₁ 12.792 =

( )(

41 U₁+300

)

= 2 612 12 +

(

U₁+300

)

= 41 792 . 12 = 312

(

U₁+300

)

= 312 1 U = 312 – 300 1 U = 12

3. Hitung jumlah bilangan-bilangan kelipatan 3 antara 1 dan 300.

Penyelesaian :

Barisan Bilangan dan Deret

NURFARISYAH, S.Pd 1 U = 3, U = 297, _n b= 6 – 3 = 3 n U = U₁+

(

n−1

)

b S = _n n

(

U₁+U_n

)

2 1 297 = 3 + (n – 1)(3) =

( )(

99 3 297

)

2 1 + 297 = 3 + 3n – 3 = 14.850 n = 3 297 = 99 C. DERET GEOMETRI

1. Pengertian Deret Geometri dan Rasio

Suatu deret yang memiliki Rasio (perbandingan) yang selalu tetap disebut Deret Geometri (Deret Ukur).

Rasio = 1 2 U U , 2 3 U U , 3 4 U U , …. , 1 − n n U U Rasio ( r ) = 1 − n n U U Contoh :

Selidiki bahwa 16 + 8 + 4 + 2 + … merupakan deret Geometri.

Penyelesaian : 16 + 8 + 4 + 2 + .… 1 2 U U = 16 8 = 2 1 , 2 3 U U = 8 4 = 2 1 , 3 4 U U = 4 2 = 2 1

Karena rasionya selalu tetap = 2 1

, maka 16 + 8 + 4 + 2 + .… merupakan deret geometri.

2. Deret Geometri Naik dan Turun

Suatu deret geometri yang nilai suku berikutnya lebih dari nilai suku sebelumnya atau

n

n U

U ₊₁ > disebut deret geometri naik. Sedangkan jika nilai suku berikutnya kurang

dari nilai suku sebelumnya atau U_n+1<U_n disebut deret geometri turun. Contoh :

Di antara deret-deret berikut, manakah yang termasuk deret geometri naik atau turun? a. 3 + 9 + 27 + 81 + …

b. –2 + (–4) + (–8) + (–16) + …

Penyelesaian :

1

Barisan Bilangan dan Deret

a. 3 + 9 + 27 + 81 + … 1 U = 3, U₂= 9, U = 27, dan ₃ U₄= 81 1 2 U U > , U >₃ U₂, U >₄ U₃

Karena U_n+1 >U_n, maka deret 3 + 9 + 27 + 81 + … disebut deret geometri naik. b. –2 + (–4) + (–8) + (–16) + … 1 U = –2, U₂= –4, U = –8, dan ₃ U₄= –16 1 2 U U < , U <₃ U₂, U <₄ U₃

Karena U_n+1<U_n, maka deret 3 + 9 + 27 + 81 + … disebut deret geometri turun. 3. Rumus Suku ke-n pada Deret Geometri

1 1 − × = n n U r U Atau 1 − × = n n a r

U , dengan a sebagai suku pertama.

Contoh :

1. Tentukan suku ke-6 dari deret geometri 81 + 27 + 9 + 3 + ….!

Penyelesaian : 81 + 27 + 9 + 3 + …. 1 2 U U = 81 27 = 3 1 , 2 3 U U = 27 9 = 3 1 , 3 4 U U = 9 3 = 3 1 . n U = U₁×rn−1 6 U = U₁× r6−1 6 U = 5 3 1 81       × = 3 1

Jadi, suku ke-6 adalah 3 1

.

2. Dalam deret geometri diketahui suku ke-2 = 7 dan suku ke-4 = 252. Tentukan suku ke-5 jika rasionya positif.

Penyelesaian :

2

U = 2, U₄= 252 1

Barisan Bilangan dan Deret

NURFARISYAH, S.Pd n U = U₁×rn−1 U₂ = U ×₁ r 4 2 U U = 252 7 7 = U₁×6 1 4 1 1 2 1 − − × × r U r U = 36 1 1 U = 6 1 1 2 1 r = 36 1 5 U = U ×₁ r4 2 r = 1 36 1× = 64 6 1 1 × 2 r = 36 = 1.512 r = 6 …….rasio positif

Jadi, suku ke-5 pada deret tersebut adalah 1.512.

3. Suku pertama dari deret geometri adalah 4, sedangkan suku ke-5 = 2.500. Hitunglah suku ke-3, jika rasionya positif!

Penyelesaian : 1 U = 4, U = 2.500 ₅ n U = U₁×rn−1 5 U = U₁× r5−1 U = ₃ U₁× r3−1 2.500 = 4 r× 4 = 4 r× 2 4 r = 625 = 4 ×52 r = 4 _{625 = 100} r = 5 …….rasio positif Jadi, suku ke-3 nya adalah 100. 4. Sisipan pada Deret Geometri

Rasio deret geometri setelah disisipkan k buah bilangan adalah : 1

1=k+ x y

r ….→ x dan y adalah dua suku mula-mula.

Jika k merupakan bilangan ganjil, maka 1 1 =±k+

x y

r

Contoh :

Tentukan rasio dari deret geometri yang terbentuk jika di antara dua suku berurutan yaitu 3 dan 48 disisipkan 3 suku!

Penyelesaian :

Bilangan mula-mula 3 dan 48. x= 3, y = 48, k = 3

Barisan Bilangan dan Deret

1 r = ±k+1 x y = 1 3 48 + ±3 = ±4₁₆ = ± 2

Jadi, rasio dari deret geometri itu adalah 2 atau –2 Untuk r₁= 2, maka deret geometrinya adalah :

3 + 3×21 + 3×22 +3×23 + 48 atau 3 + 6 + 12 + 24 + 48. Untuk r₁= –2, maka deret geometrinya adalah :

3 + 3×

( )

−21 + 3×

( )

−2 2 +3×

( )

−23 + 48 atau 3 + (–6) + 12 + (–24) + 48 atau 3 – 6 + 12 – 24 + 48.

5. Suku Tengah pada Deret Geometri

n

t U U

U = 1× Contoh :

Diketahui deret geometri 2 + 4 + 6 + 8 + 16 + … + 128. 1. Tentukan suku tengahnya

2. Suku ke berapakah suku tengahnya

Penyelesaian : 2 + 4 + 6 + 8 + 16 + … + 128. 1 U = 2, U = 128, _n 2 2 4 = = r . 1. U = t U ×1 Un = 2 ×128 = 256 = 16 2. U n = 1 1 − × n r U t U = U₁×rt−1 16 = 2×

( )

2 t−1

( )

1 2 t− = 2 16

( )

1 2 t− =

( )

23 1 − t = 3 t = 4

Barisan Bilangan dan Deret

NURFARISYAH, S.Pd

6. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri

(

)

r r U S n n ₋ − = 1 1 1 Contoh :

1. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret geometri jika suku pertama 6 dan rasio 2! Penyelesaian : 1 U = 6, r= 2. n S =

(

)

r r U n − − 1 1 1 8 S =

(

)

2 1 2 1 6 8 − − =

(

)

1 256 1 6 − − =

(

)

1 255 6 − − × = 1.530

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah 1.530.

2. Tentukan jumlah deret geometri 2 + (–10) + 50 + (–250) + 1.250!

Penyelesaian : 1 U = 2, n= 5, 5 2 10 − = − = r n S =

(

)

r r U n − − 1 1 1 5 S =

(

( )

)

( )

5 1 5 1 2 5 − − − − =

(

(

)

)

5 1 125 . 3 1 2 + − − = 6 126 . 3 2 × = 1.042

Jadi, jumlah deret tersebut adalah 1.042. 7. Rumus Geometri Turun Tak Hingga

r U S − = ∞ 1 1 untuk 0< r<1 Contoh :

1. Diketahui deret geometri tak hingga 5 + 6 5 + 36 5 + …. Penyelesaian :

Barisan Bilangan dan Deret

1 U = 5 6 1 5 1 6 5 5 6 5 = × = = r ∞ S = r U − 1 1 = 6 1 1 5 − = 6 5 5 = 6

Jadi, jumlah deret tersebut adalah 6.

2. Jumlah deret geometri turun tak hingga = 0,729 dan rasionya = 3 2

. Tentukan suku pertama dari deret geometri tersebut!

Penyelesaian : ∞ S = 0,729 r= 3 2 ∞ S = r U − 1 1 0,729 = 3 2 1 1 − U 0,729 = 3 1 1 U 1 U = 0,729 3 1 × 1 U = 0,243