Tugas Matematika Wajib
Dimensi Tiga
Oleh:
Nama : Jihan Agustin
Kelas : XII Mipa 1
SMA Negeri 2 Padang
Dimensi Tiga
1. Kubus
I. Unsur-Unsur Kubus
Sisi kubus :
bidang ABCD
bidang EFGH
bidang ABFE
bidang CDHG
bidang BCGF
bidang ADHE
Rusuk kubus :
AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, EH
Rusuk-rusuk yang sejajar pada kubus :
AB//DC//EF //HG
AD// BC// FG//EH
* Dua garis pada bangun ruang di katakan sejajar, jika kedua garis itu berpotongan dan terletak pada satu bidang *
Titik sudut : A, B, C, D, E, F, G, H
II. Diagonal pada Kubus
Rumus Diagonal Bidang
Dalam sebuah kubus ada 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Masing-masing sisi punya dua buah diagonal. Diagonal bidang adalah garis diagonal yang menghubungkan antara titik sudut yang saling bersebrangan tapi masih dalam satu sisi. Perhatikan gambar di bawah ini.
Panjang diagonal bidang dalam (Db) bangun ruang kubus dapat dicari dengan rumus phytagoras dengan sisi yang sama.
Db2 = S2 + S2
Db2 = 2S2
Db = √2S2
Db = S √2
Db = Diagonal Bidang
Diagonal ruang adalah garis yang melintasi ruang dalam kubus. Ia menghubungkan titik sudut yang saling bersebrangan tapi beda sisi. Dalam satu kubus ada 2 buah diagonal ruang. Perhatikan gambar di bawah ini
Garis yang menghubungkan titik sudut A dan G adalah diagonal ruang. Rumus diagonal ruang kubus sama dengan phytagoras antara sisi dengan diagonal bidang. Dr2 = S2 + Db2
Dr2 = S2 + (S√2)2
Dr2 = S2 + 2S2
Dr2 = 3S2
Dr = √(3S2)
Dr = S √3
Dr = Diagonal Ruang
Jika ada sebuah kubus dengan volume 64 cm3, berapa panjang diagonal ruangnya?
Dengan volume 64 cm3 maka panjang sisinya adalah 3√64 = 4 cm. Jadi panjang diagonal
Rumus Luas Bidang Diagonal Kubus
Di dalam sebuah kubus ada bidang atau luasan yang disebut bidang
diagonal. Bidang ini terbentuk dari diagonal sisi dan juga sisi. Bentuknya persegi panjang dengan panjang = diagonal sisi dan lebar = sisi. Perhatikan gambar di bawah ini
Luas Bidang diagonal kubus dirumuskan
Lb = Ds x S Lb = S√2 x S
Lb = S2√2
Lb = luas bidang diagonal kubus
Luas Permukaan Kubus
Luas permukaan kubus adalah jumlah luas sisi-sisi kubus. Kalian ingat bahwa kubus mempunyai 6 sisi dengan panjang rusuk (s). Sedangkan sisi kubus merupakan bangun datar yaitu persegi. Jadi, untuk mencari luas permukaan kubus adalah 6 kali luas persegi. Atau dengan rumus : 6 x s
keterangan:
s = panjang rusuk kubus
Volume Kubus
Kubus di samping mempunyai 8 kubus kecil. Kubus-kubus kecil tersebut merupakan isi/volume kubus besar.
Dengan kata lain, volume kubus di samping adalah
2 satuan x 2 satuan x 2 satuan = 8 satuan
V = rusuk xrusuk xrusuk = s x s x s
keterangan :
V = volume kubus
s = panjang rusuk
2. Balok
Balok adalah bangun ruang 3 dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang dengan paling tidak ada sepasang diantaranya berukuran berbeda. Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok memiliki sifat, unsur, dan juga rumus seperti luas permukaan, volume, bidang diagonal, diagonal bidang, dan diagonal ruang.
Sifat-Sifat Balok
Sisi-sisi balok berbentuk persegi panjang.
Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran sama panjang.
Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang.
Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegipanjang.
Unsur-Unsur balok
Sisi atau Bidang
Sisi balok adalah bidang yang membatasi balok. Balok memiliki 6 sisi. Perhatikan
gambar diatas yang merupakan yang merupakan sisi adalah sisi bawah (ABCD); sisi atas (EFGH); sisi depan (ABFE); sisi belakang (DCGH);sisi samping kiri (BCGF); dan sisi samping kanan(ADHE).
Balok memiliki 3 pasang sisi yang sama bentuk dan ukurannya. Pasangan tersebut adalah:
Sisi ABFE = sisi DCGH Sisi ABCD = sisi EFGH Sisi BCGF = sisi ADHE.
Rusuk
Diagonal Bidang Balok
Diagonal bidang suatu balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan bidang TUVW pada gambar di bawah ini.
Ruas garis yang menghubungkan titik sudut T dan V serta U dan W disebut diagonal bidang atau diagonal sisi. Dengan demikian, bidang TUVW mempunyai dua diagonal bidang, yaitu TV dan UW . Jadi, setiap bidang pada balok mempunyai dua diagonal bidang. Karena balok memiliki 6 bidang sisi, maka balok memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau diagonal sisi pada balok?
Untuk mencari panjang diagonal bidang atau sisi dapat menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar balok di bawah ini.
Misalkan balok PQRS.TUVW di atas memiliki panjang p, lebar l, dan tinggi t. Maka panjang TV dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga TUV siku-siku di U. Sehingga:
TV = √(TU2 + UV2)
Diagonal Ruang Balok
Diagonal ruang pada balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan gambar berikut di bawah ini.
Hubungkan titik P dan V, Q dan W, R dan T, atau S dan U. Garis PV, garis QW, garis RT, dan garis SU disebut diagonal ruang. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu balok memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik. Bagaimana menghitung panjang diagonal ruang balok?
Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Misalkan balok ABCD.EFGH di atas memiliki panjang p, lebar l, dan tinggi t. Maka panjang AG dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang AC, di mana AC merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABC siku-siku di B. Sehingga:
AC = √(AB2 + BC2)
Sekarang cari panjang AG dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga ACG siku-siku di G. Sehingga:
AG = √(AC2 + CG2)
AG = √(√(p2 + l2)2 + t2)
AG = √(p2 + l2 + t2)
Misalkan diagonal ruang balok adalah d maka secara umum diagonal ruang balok dapat dirumuskan:
d = √(p2 + l2 + t2)
Bidang Diagonal
Bidang diagonal suatu balok adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan balok PQRS.TUVW pada gambar di bawah ini.
Bidang PRVT dan PWVQ disebut bidang diagonal. Jadi balok memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen.
Bagaimana menghitung luas bidang diagonal? Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang
3. Prisma
Prisma adalah bangun ruang yang memiliki alas dan atap yang sama bentuk dan ukurannya serta memiliki sisi bagian samping yang berbentuk persegi panjang.
Menurut kamus besar bahasa Indonesia, prisma berarti zat padat yang mempunyai bentuk geometris dengan dua bidang sejajar yang identik.
1. Sisi atau Bidang
Terdapat 8 sisi atau bidang yang dimiliki oleh prisma segienam, yaitu; 1. Sisi ABCDEF (sisi alas),
2. Sisi GHIJKL (sisi atas), 3. Sisi BCIH (sisi depan), 4. Sisi FEKL (sisi belakang), 5. Sisi ABHG (sisi depan kanan), 6. Sisi AFLG (sisi belakang kanan), 7. Sisi CDJI (sisi depan kiri), 8. Sisi DEKJ (sisi belakang kiri).
2. Rusuk
Dari Gambar tersebut di atas , terlihat bahwa prisma segienam ABCDEF.GHIJKL memiliki 18 rusuk, 6 di antaranya adalah rusuk tegak. Rusuk-rusuk tersebut adalah AB, BC, CD, DE, EF, FA, GH, HI, IJ, JK, KL, LG, dan rusuk-rusuk tegaknya adalah AG, BH, CI, DJ, EK, FL.
3. Titik Sudut
Selain unsur-unsur yang telah disebutkan, prisma pun memiliki istilah diagonal bidang dan bidang diagonal.
Rumus Umum Banyak Bidang Diagonal Prisma Segi-n dan lainnya
Misalkan ada sebuah prisma segi-n beraturan, maka kita bisa menghitung banyaknya unsur-unsur pada prisma segi-n beraturan tersebut dengan rumus umum :
Banyaknya sisi =n+2
Banyaknya rusuk =3n
Banyaknya titik sudut =2n
Banyaknya diagonal bidang =n(n−1)
Banyaknya diagonal ruang =n(n−3)
Banyaknya bidang diagonal =1/2n(n−1) untuk n genap
Banyaknya bidang diagonal =1/2n(n−3) untuk n ganjil
Catatan :
*). Bidang diagonal Prisma segi-n beraturan berbentuk persegi panjang, *). Prisma segi-n beraturan memiliki bidang diagonal untuk n>3,
*). n adalah bilangan asli.
4. Limas
berpotongan pada satu titik. Nah titik potong dari sisi-sisi tegak limas di sebut dengan titik puncak limas.
Ciri ciri limas segi empat
1. Alasnya berbentuk segiempat. 2. Mempunyai lima buah bidang sisi. 3. Memiliki lima buah titik sudut. 4. Mempunyai delapan buah rusuk.
Rumus Limas Segi Empat
Luas (L) = Luas alas + 4 X Luas sisi dimana kita tahu :
luas alas limas = sisi×sisi
luas sisi tegak segitiga = (½×alas×tinggi)×4
Volume limas segiempat =1/3 x Panjang x Lebar x Tinggi atau
Rumus Umum Banyak Bidang Diagonal Limas dan lainnya :
Misalkan ada sebuah Limas, maka kita bisa menghitung banyaknya unsur-unsur pada limas tersebut dengan rumus umum :
Banyaknya sisi =n+1
Banyaknya rusuk =2n
Banyaknya titik sudut =n+1
Banyaknya diagonal bidang =1/2n(n−3)
Banyaknya diagonal ruang =0
Banyaknya bidang diagonal =1/2n(n−3)
Catatan :
