Ruang `2 yang dilengkapi dengan inner product hx, yi =

Vol. 4, No. 2, November 2007, 45–51

KONSTRUKSI RUANG 2-NORM SEBAGAI LUASAN

YANG DIRENTANG OLEH DUA VEKTOR

Sadjidon

1

_{, H. Gunawan}

2

1_{Jurusan Matematika,}2_{Departemen Matematika}

1_{Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya} 2_{Institut Teknologi Bandung, Bandung}

2_{hgunawan@dns.math.itb.ac.id}

Abstrak

Pada paper ini akan dikaji tentang pengkonstruk-sian ruang 2-norm yang didasari oleh sifat-sifat or-thogonalitas dari dua vektor sehingga diperoleh pen-definisikan ruang 2-norm, khususnya untuk ruang ℓ2_.

Katakunci:_{Ruang ℓ}2_{, orthogonalitas, ruang 2-norm.}

1. Pendahuluan

Ruang

ℓ

2

_{yang dilengkapi dengan inner product}

_h

_{x, y}

_i

₌

P

j

x

j

y

j

,

merupak-an rumerupak-ang inner product. Begitu juga rumerupak-ang

ℓ

2

_{yang dilengkapi dengan}

nor-ma

k

x

k

=

∞

P

k=1

|

x

k

|

2

1

2

merupakan ruang Banach. Selanjutnya dual dari

ruang

ℓ

2

_{yaitu himpunan dari semua fungsional linier kontinu pada ruang}

ℓ

2

yang dinotasikan dengan

ℓ

2

∗

adalah ruang

ℓ

2

juga. Jika

f

∈

ℓ

2

∗

,

maka

f

∈

ℓ

2

_{dan dapat diinterpretasikan untuk}

_f

₍

_x

_{) =}

P

j

x

j

z

j

=

h

x, z

i

,

dengan

x

∈

ℓ

2

_{, z}

_∈

_ℓ

2

∗

=

ℓ

2

_.

Sekarang pandang

S

himpunan semua barisan bilangan real dan

meru-pakan ruang vektor atas field

R

. Setiap subruang vektor

S

juga merupakan

ruang barisan. Untuk

X

subruang

S

didefinisikan suatu fungsi bernilai real

k•

, ...,

•k

pada

X

n

yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

1.

k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n

k

= 0, jika dan hanya jika

x

1

, x

2

, ..., x

n

dependen linier

2.

k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n

k

invarian terhadap permutasi

3.

k

x

₁

, x

₂

, ..., αx

n

k

=

|

α

| k

x

1

, x

2

, ..., x

n

k

untuk setiap

α

∈

R

4.

k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n−₁

, y

+

z

k ≤ k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n−₁

, y

k

+

k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n−₁

, z

k

disebut

n

-norma pada

X

dan pasangan (

X,

k•

, ...,

•k

) disebut ruang

n

-norma.

Pada [2], [3] telah dikonstruksi dan dijabarkan tentang 2-norma, yang

disebut sebagai 2-norma standar, selanjutnya dengan memperhatikan

sifat-sifat orthogonalitas dari [1], [4], maka dikonstruksi 2-norma sehingga

dipe-roleh pendefinisian ruang 2-norm.

2. Ruang

ℓ

2

_dan

n

_{-norma Standarnya}

Sebelum menjabarkan n-norma dijelaskan untuk 2-norma pada ruang

ℓ

2

yang diberikan sebagai berikut :

k

x, y

k

=

Sup

(

h

x, z

i

h

y, z

i

h

x, w

i h

y, w

i

:

z, w

∈

ℓ

2

,

k

z

k

,

k

w

k ≤

1

)

.

Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh

hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi

≤

hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi

1

2

hz, zi hz, wi hw, zi hw, wi

1 2

≤

hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi

1 2

Hasil ini menunjukkan bahwa

merupakan batas atas dari

him-punan

dan ini berarti bahwa :

Sup

Selanjutnya untukz= x

kxk ;w=

y−αx

ky−αxk =

y′

ky′k denganzdany

′ _{orthogonal, juga}

memenuhikzk,kwk ≤1, maka diperoleh

dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan sifat-sifat inner product diperoleh juga bahwa

Hasil ini menunjukkan bahwa

Dengan demikian dari Persamaan (1) dan Persamaan (2) diperoleh 2-norma pada ruangℓ2 _adalah

dan 2-Norma kx, yk tidak lain adalah luasan yang direntang oleh vektor-vektor

x dan y. Selanjutnya akan dijabarkan untuk n-normanya dalam ruang ℓ2 _yang dikenal sebagai ruang inner product dengan inner producthx, yi=P

j

xjyj, dapat dilengkapi dengann-normanya

kx1, x2, ..., xnk=

merupakan ruangn-norma standar sehingga ruangℓ2 _{merupakan ruangn-norma.} Khususnya jikan= 2 , maka 2-norma standar untuk ruangℓ2 _{adalah :}

kx, yk=

Untukn-norma pada ruang ℓp _{khususnya ruang ℓ}2_{, penjabarannya dan} pengem-bangannya dalam [2].

Sekarang akan dijabarkan n-norma pada ruang ℓ2 _{menurut pendefinisian [1]} dengann-norma nya sebagai berikut :

kx₁, ..., xnk

atau dapat dituliskan

kx₁, ..., xnk

Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz didapatkan

ini menunjukkan

batas atas dari himpunan



berarti bahwa

kx₁, ..., xnk

Selanjutnya untuk {z₁, z₂, ..., zn} yang merupakan hasil proses orthonormalisasi Gram-Schmidt terhadap{x₁, x₂, ..., xn}, juga memenuhikz1k,kz2k, ...,kznk= 1, maka diperoleh

Hasil ini menunjukkan bahwa

Dengan demikian dapat diperoleh

Sekarang diberikan fungsional linier padaℓ2 _{× ℓ}2_{yang diberikan}

f(u) =

∞

X

k=1

x1k+x2k

wk =hx₁, wi+hx₂, wi

denganu= (x₁, x₂)∈ℓ2 _{× ℓ}2 _{dan w∈ ℓ}2∗

=ℓ2 _dankuk=kx

1k+kx2k Maka 2-Norma pada ruangℓ2 _{× ℓ}2 _{didefinisikan menurut [1] dapat disajikan dengan}

ku, vk=Sup

f(u) f(v)

f(v) g(v)

, f, g∈ ℓ2∗

=ℓ2_{,kfk,kgk ≤1}

denganu= (x₁, x₂) , v= (y₁, y₂). Sehingga dapat dituliskan dengan

ku, vk=Sup

hx₁+x₂, wi hy₁+y₂, wi hx₁+x₂, zi hy₁+y₂, zi

, w, z∈ ℓ2∗

=ℓ2,kwk,kzk ≤1

.

Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh

hx₁+x₂, wi hy₁+y₂, wi hx₁+x₂, zi hy₁+y₂, zi

≤ kx₁, y₁k+kx₁, y₂k+kx₂, y₁k+kx₂, y₂k=kuk kvk

Hasil ini menunjukkan bahwakuk kvkbatas atas dari himpunan

hx₁+x₂, wi hy₁+y₂, wi hx₁+x₂, zi hy₁+y₂, zi

, w, z∈ ℓ2∗

=ℓ2,kwk,kzk ≤1

dengan demikian

ku, vk

=Sup

hx₁+x₂, wi hy₁+y₂, wi hx₁+x₂, zi hy₁+y₂, zi

, w, z∈ ℓ2∗

=ℓ2,kwk,kzk ≤1

≤ kuk kvk

Dari hasil yang dijabarkan diatas tentang 2-norma padaℓ2_{× ℓ}2_{dapat dilanjutkan} 2-norma untuk ruang ℓ2n

=ℓ2_×...×ℓ2_{. Untuk itu dalamℓ}2_×ℓ2_{apakah suatu} luasan yang dibentang dari jumlahan vektor yaitu (x₁+x₂) dan (y₁+y₂), begitu juga dalam ℓ2n

=ℓ2_{×...× ℓ}2_{.apakah luasan yang dibentang oleh jumlahan} dari vektor.

Pustaka

[2] H. Gunawan dan M. Mashadi, On n-normed spaces, Int.J.Math.Sci, (to ap-pear).

[3] H. Gunawan, The space of p-Summable sequences and its natural n-Norm, Bull.Austral.Math.Soc, Vol.64(137-147), 2001.

[4] J.R Partington, Orthogonality in Normed Spaces, Bull.Austral.Math.Soc.33 (449-455), 1986.