PEMODELAN DATA RUNTUK WAKTU PADA DATA PRODUKSI SUSU SAPI DI AMERIKA SEJAK TAHUN 1962 – 1975 Jantini Trianasari Natangku dan Fitria Puspitoningrum

PEMODELAN DATA RUNTUK WAKTU PADA DATA PRODUKSI SUSU SAPI DI AMERIKA SEJAK TAHUN 1962 – 1975

Jantini Trianasari Natangku dan Fitria Puspitoningrum Mahasiswa Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

Abstrak

Setiap peristiwa yang ada dalam kehidupan sehari –hari pasti akan berubah – ubah. Peramalan diperlukan untuk memperkirakan apa yang terjadi pada periode waktu ke depan, data yang digunakan merupakan kronologi kejadian dari pengamatan sebelumnya. Makalah ini menjelaskan cara mendiagnosi data “Milk” dengan model ARIMA. Model yang cocok setelah melakukan pengstasioneran pertama data diperoleh model ARIMA (0,1,1). Pengstasioneran kedua dilakukan untuk mencari model runtun waktu dalam periode 1 tahun. Keduanya digunakan untuk memprediksi peningkatan produksi dari data “Milk” periode 1 tahun yang akan datang. Prediksi dengan model ARIMA Seasonal

menunjukkan nilai data yang tidak berbeda jauh dari data sebenarnya.

Kata Kunci : Peramalan, Diagnosi, Prediksi.

PENDAHULUAN

Setiap peristiwa atau kejadian yang ada di kehidupan sehari – hari pasti akan berubah – ubah. Sebagai contoh, di bidang ekonomi terdapat rata – rata angka penjualan produk yang tidak menetap, indeks harga saham yang selalu berubah dan lain sebagainya. Peramalan diperlukan untuk memperkirakan apa yang akan terjadi sehingga dapat dilakukan tindakan yang tepat terhadap situasi yang terjadi. Dalam peramalan, data yang digunakan merupakan

runtun waktu, yaitu rentetan kronologi dari pengamatan – pengamatan yang dilakukan (Hanke, 1998).

Pada makalah ini, akan dibahas mengenai model peramalan ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average). Model peramalan ini dipelajari secara mendalam oleh

dengan nama mereka yaitu Box-Jenkins. Model ini dapat digunakan untuk data diskret maupun kontinu dengan selang waktu yang sama dan dapat dipakai untuk permalan data musiman ataupun tidak musiman asalkan data stasioner.

DASAR TEORI

Data Stasioner dan Non Stasioner

Dalam model permalan Box-Jenkins, sebelum melakukan identifikasi model sementara harus terlebih dahulu diperiksa apakah data runtun waktu yang akan diamati sudah stasioner. Untuk memeriksa hal tersebut dibutuhkan unsur – unsur statistic seperti nilai rata – rata (mean), variansi dan nilai autokorelasi. Atau dengan cara yang lain dengan melihat grafik yang terbentuk dari n buah yang diamati. Apabila grafik tersebut naik turun

di sekitar nilai rata – rata, maka deret tersebut stasioner. Jika tidak stasioner, data tersebut harus diubah menjadi stasioner dengan transformasi logaritma dan mendiferensialkannya.

Fungsi Autokorelasi Sampel (ACF)

Autokorelasi sampel merupakan relasi antara data runtun waktu. Jika diberikan

sembarang data runtun waktu Y₁,Y₂,...,Y_ndengan mengasumsikan bahwa data tersebut

telah stasioner, akan dapat diestimasi fungsi autokorelasi untuk berbagai lag k=1,2,....

Cara yang sederhana untuk melakukan hal ini dengan menghitung korelasi sampel untuk

pasangan )(Y₁,Y_1−k),(Y₂,Y_2−k),...,(Y_n−k,Y_n . Fungsi autokorelasi sampel r_kdidefinisikan pada

persamaan (1).

∑

Fungsi Autokorelasi Sampel Parsial (PACF)

Diperoleh estimasi dari fungsi autokorelasi parsial untuk lag k=1,2,... yang

dinotasikan dengan φ_kkseperti pada persamaan (2).

)

model sementara. Model sementara tersebut pasti memiliki satu atau lebih parameter yang nilai – nilainya belum diketahui dan harus diestimasi dari deret pengamatan. Model fitting terdiri dari penentuan estimasi yang mungkin dan terbaik dari parameter yang tidak diketahui dalam model yang diberikan sehingga sesuai dengan data runtun waktu yang dimodelkan.

Model didiagnosi untuk menganalisa kelayakan dari model sementara tersebut.

Apakah model cocok dengan data runtun waktunya? Jika cocok, maka model dapat digunakan untuk meramal nilai deret yang akan datang. Sebaliknya apabila tidak cocok maka dilakukan kembali identifikasi sampai model yang diperoleh cocok. Untuk mengetahui cocok tidaknya model sementara tersebut dengan melakukan pengujian terhadap nilai koefisien autokorelasi dengan menggunakan salah satu dari dua statistik berikut Box-Pierce dan

Ljung-Box yang dinyatakan pada persamaan (3) dan (4).

Statistik Box-Pierce

)

Statistik Ljung-Box

⎟⎟

MODEL ARIMA SEASONAL

Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi kedalam 3 kelompok, yaitu: model

autoregressive (AR), moving average (MA), dan model campuran ARIMA (autoregressive

moving average) yang mempunyai karakteristik dari dua model pertama bentuk umum dapat

dilihat dari pustaka Cryer (1986) dan pustaka Cryer dan Chan (2008).

Untuk meramalkan prediksi data dalam periode waktu ke depan dapat digunakan model ARIMA Seasonal. Bentuk umum dari model MA order Q dengan periode musiman didefinisikan pada persamaan (5), dengan karateristik musiman MA polynomial ditunjukkan pada persamaan (6).

Qs

Sedangkan bentuk umum untuk model AR order P dengan periode musiman didefinisikan pada persamaan (7). Persamaan (8) menunjukkan karateristik model AR polynomial.

METODE PENELITIAN Data

Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari perusahaan produksi susu sapi. Data diperoleh melalui penelitian yang dilakukan oleh perusahaan selama bulan Januari 1962 – Desember 1975 sebanyak 168 titik sampel. Dilakukan spesifikasi model dari data tersebut, sehingga model dapat digunakan untuk peramalan pada masa yang akan datang.

Model yang telah ditentukan harus didiagnosi sehingga memperoleh model terbaik sesuai dengan asumsi yang digunakan. Apabila model tersebut belum cocok, maka dilakukan kembali spesifikasi dan diagnosi model kembali sampai menemukan model data runtun waktu yang sesuai dengan data.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Data “Milk” yang digunakan terlebih dahulu dianalisis tentang kestasionerannya. Kestasioneran data “Milk” ditunjukkan melalui Gambar 1. Pada gambar tersebut diketahui bahwa data “Milk” tidak stasioner karena sampel tersebut makin lama makin menaik sepanjang tahun atau mengalami trend naik.

Gambar 1. Uji Stasioner Data Milk

Karena “Milk” tidak stasioner seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1 dan cenderung mengalami trend menaik, maka data tersebut harus distasionerkan terlebih dahulu. Hasil stasioner data “Milk” ditunjukkan pada Gambar 2. Untuk menstasionerkan data “Milk” dilakukan deferensial terhadap data tersebut sehingga diperoleh stasioner.

0 50 100 150

600

70

0

8

00

900

Milk Production per Cow 1962:1 – 1975:12

Month

P

Data stas ditunjukk

ACF yang tetapi lag “Milk” sta pada lag 3

sioner yang t an pada Gam

g diperoleh da 3 kembali b asioner pada 3 dan seterusn

P

ounds

telah diperol mbar 3 & 4. Ba

ari stasioner d bernilai sepert

lag 1 tidak b nya seperti ya

Gamb 0

-50

0

50

10

0

Mi

Gambar 2. D

leh harus dic atas UCL ( ga 1 n 1.96_=±

±

data “Milk” m ti yang disaji bernilai dan m ang terlihat pa

bar 3. ACF Dat 50

ilk Production per C

Data Milk Stasio

cari nilai AC aris putus – pu

0.151 168

.96 _=±

memperlihatk ikan pada Ga mulai bernilai ada Gambar 4

ta Milk Stasion 100

Cow 1962:1 – 1975:1

Month

oner

CF dan PAC utus) bernilai

12173

kan pada lag 1 ambar 3. PAC

pada lag 2, t 4.

ner Pertama 150

2 Stasioner

CF yang mas i

1 bernilai, lag CF yang dibe tetapi kembal

sing – masin

g 2 mendekati entuk dari da li tidak bernil

ng

Hasil pad mulai ber “Milk”. M ACF dan identifika lag 12 (mu

da Gambar 3 rnilai di lag 2 Model tersebu PACF yang si model mel usiman per ta

P

ounds

Gamba

& 4 mempe . Hal tersebu ut adalah ARI digunakan s alui differens ahun). Hasil d

Gambar 0

-30

-20

-10

0

10

20

30

M

ar 4. PACF Da

erlihatkan bah ut dapat digun IMA (0,1,1). M

ampai lag 50 sial untuk ke differensial un

5. Grafik Stasi 50

ilk Production per C

ata Milk Stasio

hwa baik AC nakan untuk m

Model tersebu 0. Berdasarka

2x nya, untuk ntuk yang ked

ioner Data Mil 100

ow 1962:1 – 1975:12

Month

oner Pertama

CF bernilai pa meramal mod ut terjadi untu an hal tersebu

k mencari mo dua diperlihat

lk yang Kedua 1

2 Stasioner2

ada lag 1 sed del data runtu uk lag 50, dik ut, maka dilak odel runtun w tkan pada Gam

50

dangkan PAC un waktu untu karenakan nil

kukan kemba waktu “Milk”

mbar 5. CF

Hasil Gam dalam Ga 12, sehing 13. Sedan pada lag 1

Gambar 6 merupaka “Milk” st ARIMA (

mbar 5 diguna ambar 6 & 7. gga diperoleh ngkan PACF

1.

6 & 7 diguna an model ARI tasioner perta (0,1,1) x (0,1,

akan dalam m Fungsi ACF h seperti Gam yang ditunjuk

Gam

Gam

akan untuk m IMA (0,1,1)12

ama dengan 1)12 untuk dat

∇12∇Y

menghitung ni yang diguna mbar 6 yang m kkan pada Ga

mbar 6. ACF D

mbar 7. PACF D

meramalkan m

2 . Sehingga p

“Milk” untuk ta “Milk” den

Yt= et– θet

ilai ACF dan akan pada “M menunjukkan

ambar 7 mak

Data Milk Stasio

Data Milk Stas

model data “M pada data “M k lag 12. Be ngan estimasi

– 1 – Θet – 12

PACF dari d Milk” stasione bahwa hanya kin lama maki

oner Ke-2

ioner ke-2

Milk” pada s Milk” ini digu erdasarkan ha parameter pa

2 + θΘet – 13

data “Milk” ya er kedua ini b a bernilai pad in mendekati

saat lag 12. M unakan perkal

al tersebut di ada persamaa

3

ang dinyataka berada pada la a lag 1, 12 da i 0 dan bernil

Model terseb lian antara da iperoleh mod an (1).

an ag an lai

dengan e

parameter parameter sedangkan

disubstitu

M model te standar b ###(kok Untuk me Kolmogo 0.2044 seh korelasi a sampai lag bagian ke tingkat si berdistrib

et saling beba r θ=-0.2443 r Θsebesar -0

untuk AIC ( usi ke persam

∇12∇Yt =

=

Model yang te rsebut dinya berkisar dia

bisa) enguji kenorm orov-Smirno

hingga tetap d ntar nilai resi g ke 20 berad tiga diperliha ignifikansi 5 busi normal

as dan mem dengan estim .6421 dengan

(Aikike Info maan (1), seh

= et – (-0.244

= et+ 0.2443

elah tersebut atakan pada antara -3 sa

malan residu s ov. Hasil pen dikatakan bah idu yang disaj da di dalam ba atkan bahwa n 5 %. Hal – ha yang ditunju

Gambar

iliki mean 0 masi standard

estimasi stan

ormation Cri hingga diper

43)et – 1 – (-0

3et – 1 + 0.642

dilakukan d Gambar 8 b ampai 4 da

standar data “ ngujian meng

hwa nilai resi jikan pada Ga atas garis biru nilai-p dari s

al tersebut m ukkan pada G

8. Grafik Hasi

0 serta varian

d error diper

dard error

iteria) bernil roleh persam

0.6421)et – 12

21)et – 12 + 0.

diagnosi dari bagian yang an dapat dik

Milk”, dilaku ggunakan uj

du standar ter ambar 8 bagia u, atau dapat d statistik Ljun memperkuat Gambar 9.

l Diagnosi Res

nsi σ2. Dipe roleh 0.0759. diperoleh 0.06

lai 1090,74. maan (2).

+ (-0.2443)

156865e t – 1

i residunya. pertama. Te katakan bah

ukan uji kenor i tersebut dip rsebut norma an kedua, terl dikatakan tida ng-Box tidak

pendapat me

sidu Data Milk

eroleh hasil e sedangkan u 671. Variansi d

Nilai param

(-0.6421)et –

3

Hasil residu erlihat bahw hwa berdistr

rmalan meng peroleh nilai l. Berdasarka lihat bahwa n ak bernilai. P k ada yang le

engenai resid

k

estimasi untu untuk estima diestimasi 61.4

meter tersebu

– 13

u standar da wa nilai resid rbusi norma

gunakan uji i p sebesar an nilai

ilai korelasi ada Gambar ebih kecil da du standar

Gambar 9. Grafik Kenormalan

Hasil peramalan data “Milk” tersebut sesuai model ARIMA seasonal yaituARIMA (0,1,1) x (0,1,1)12 digunakan untuk meramalkan prediksi 1 tahun ke depan beserta nilai standard error yang

dinyatakan dalam Tabel 1. Hasil prediksi tersebut dapat juga digambarkan dalam bentuk grafik dengan tingkat kepercayaan 95 % yang ditunjukkan pada Gambar 10. Terlihat bahwa grafik prediksi tidak berbeda jauh dengan grafik data sebenarnya.

Tabel 1. Hasil Prediksi data Milk

1975:2 1975:3 1975:4 1975:5 1975:6 1975:7 1975:8 1975:9 1975:10 Prediksi 864.86 817.99 924.24 937.46 1000.55 973.17 922 892.06 846.21

SE 7.84 9.83 11.48 12.92 14.21 15.40 16.5 17.53 18.51

1975:11 1975:12 1976:1

Prediksi 851.32 817.281 859.36

SE 19.43 20.32 21.16

-2 -1 0 1 2

-2

0

2

4

Normal Q-Q Plot

Theoretical Quantiles

S

a

m

p

le

Q

u

a

n

ti

le

Gambar 10. Grafik Produksi Susu Sapi di Amerika Serikat pada tahun 1962:1 sampai 1975:1 dan prediksinya dari 1975:2 sampai 1976:1.

KESIMPULAN

Makalah ini telah menjelaskan dan membahas peramalan model runtun waktu untuk data musiman. Hasil prediksi menunjukkan nilai yang tidak berbeda dari data sebenarnya.

Pemodelan yang digambarkan pada makalah ini terbatas pada Model ARIMA seasonal. Sehingga diperlukan penelitian lagi untuk membahas ARIMA seasonal model lain.

DAFTAR PUSTAKA

Cryer, J. D. , 1986, Time Series Analysis, PWS-Kent Publishing Company, Boston.

Cryer, J. D. dan Kung-Sik Chan, 2008, Time Series Analysis with Application in R, Springer, New York.