1 asimtot.wordpress.com
saniagusdkk@yahoo.co.id
muhammadsihabudin@yahoo.co.id
Informasi yang ada yaitu :
Suatu lingkaran yang berpusat di 𝑂(0, 0). Mempunyai jari-jari 4 cm. Sebuah titik 𝐴(4, 0) dan 𝐵(−4, 0) terletak pada lingkaran. Sebuah garis yang menghubungkan titik B dengan titik 𝐶(0,−4) akan dilukis pada lingkaran tersebut. Sudut 𝐵𝑂𝐶 disebut sudut pusat lingkaran. Sudut 𝐴𝐵𝐶 disebut sudut keliling lingkaran.
Gambar yang dihasilkan dari informasi yang ada adalah sebagai berikut:
A O
B
C -4
-4
2
Pertanyaan dari kelompok Enik dkk. adalah sebagai berikut :
A O
B
C -4
-4
4
L1 L2
1. Berapakah jari-jari lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶? (Jari-jari 𝐿1)
2. Berapakah luas dari sebuah lingkaran yang menyinggung sisi 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 dan sebuah lingkaran dalam ∆𝐴𝐵𝐶? (Luas 𝐿2)
3. Apakah Luas ∆𝐵𝐶𝐷 = Luas ∆𝐴𝐵𝐶? (Diketahui mempunyai tali busur dan sebuah sudut yang sama)
4. Jika 𝑟𝑎 merupakan jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi 𝐵𝐶, perpanjangan garis 𝐵𝐴 dan perpanjangan garis 𝐴𝐶. 𝑟𝑏 adalah jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi 𝐴𝐶, perpanjangan garis 𝐵𝐶 dan perpanjangan garis 𝐵𝐴. 𝑟𝑐 adalah jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi 𝐵𝐴, perpanjangan garis 𝐵𝐶 dan perpanjangan garis 𝐴𝐶. 𝑟𝑑 adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶
Tunjukkan bahwa
𝑟𝑎𝑟𝑏 𝑟𝑐 =
1
𝑟𝑑
5. Hitung luas daerah yang diarsir
A O
B
D E
C -4
-4
3 Komentar dan Jawaban :
1. Komentar :
Soal ini sangat bagus. Dari segi kejelasan pertanyaan sudah sangat jelas. Singkat, padat dan jelas. Apalagi soal nomor 1 ini dilengkapi dengan gambar. Sehingga dengan satu kali membaca soal saja sudah bisa dimengerti apa maksud dari soal tersebut.
Bobot pertanyaan masuk ke dalam kelompok sedang. Karena soal ini dapat diselesaikan dengan hanya beberapa langkah. Mencari panjang sisi yang belum diketahui, luas segitiga, dan kemudian mencari setengah keliling segitiga. Setelah itu sudah dapat ditemukan jari-jari lingkaran yang dimaksud.
Sangat bagus jika yang ditanyakan adalah luas lingkarannya. Atau luas daerah di dalam segitiga ABC kecuali lingkaran.
Jawaban :
A O
B
C -4
-4
4
L1 L2
Kita akan mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan menggunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga, yaitu :
𝑟= 𝐿
𝑠 𝑟 : jari-jari lingkaran dalam
𝐿 : luas segitiga
𝑠 : setengah keliling dari segitiga
𝐵𝐴 adalah diameter lingkaran. Sehingga, panjang 𝐵𝐴 adalah 8 𝑐𝑚. 𝐵𝐴 = 8
4 𝐵𝐶2 =𝐵𝑂2+ 𝐶𝑂2
𝐵𝐶2 = 42+ 42 𝐵𝐶2 = 32 𝐵𝐶 = 4 2
Segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga siku-siku. Tepatnya siku-siku di C. Sehingga,
Luas ∆𝐴𝐵𝐶 dapat dicari dengan rumus segitiga dasar. Yaitu 1
2𝑎𝑡.
𝐿∆𝐴𝐵𝐶 = 1
2 ×𝐵𝐶×𝐶𝐴
𝐿∆𝐴𝐵𝐶 = 1
2 × 4 2 𝑐𝑚 × 4 2 𝑐𝑚
𝐿∆𝐴𝐵𝐶 = 16 𝑐𝑚2
𝑠 adalah setengah keliling lingkaran. 𝑠 = 1
2 8 + 4 2 + 4 2 𝑐𝑚
𝑠 = 4 + 4 2 𝑐𝑚
Untuk mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC, kita gunakan rumus yang ada di atas. Diperoleh,
𝑟= 𝐿
𝑠 𝑟= 16
4+4 2 𝑐𝑚 ≈ 1,657 𝑐𝑚
∴ Jari-jari lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah 16
4+4 2 𝑐𝑚 .
2. Komentar :
Soal ini sangat bagus. Dari ke lima soal yang ada, soal ini adalah soal yang paling rumit. Pertanyaannya pun juga sangat jelas. Dan lagi-lagi bantuan gambar yang memperjelas pertanyaannya.
Bobot pertanyaan untuk soal ini termasuk sukar. Karena unsur-unsur yang nantinya akan digunakan untuk menyelesaikan soal harus dicari terlebih dahulu dengan beberapa langkah yang cukup rumit. Banyak langkah yang harus ditempuh untuk menyelesaikan soal ini. Tetapi apabila kita cukup teliti dengan keadaan, bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki dengan salah satu sudutnya adalah 90 derajat. Sehingga nantinya kita gunakan bantuan besaran sudut untuk mengerjakannya.
5 Jawaban :
Agar lebih jelas, gambarnya kita perbesar
𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 = 4
𝑂𝑇 = 𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖𝐿𝑖𝑛𝑔.𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 = 1,657
Kita bisa mencari panjang AT dengan menggunakan rumus Pythagoras dengan AT sebagai sisi miring, TO dan AO sebagai sisi lainnya.
𝐴𝑇2 = 𝑇𝑂2+ 𝐴𝑂2 𝐴𝑇2 = (1,657)2+ 42 𝐴𝑇 = 2,745 + 16 𝐴𝑇 = 4,33
Panjang AS dapat dicari dengan panjang AT dikurangi dengan jari-jari lingkaran besar.
𝐴𝑆= 𝐴𝑇 − 𝑇𝑆 . karena 𝑇𝑆 = 𝑂𝑇, maka 𝐴𝑆= 𝐴𝑇 − 𝑂𝑇 𝐴𝑆= 4,33−1,657
𝐴𝑆= 2,673
Mencari panjang RA dan RS dengan bantuan trigonometri. Perhatikan gambar!
∠𝑂𝐴𝐶 = 45°, maka ∠𝑇𝐴𝑂 = 22,5°.
Karena ∆𝑅𝑆𝐴 siku-siku di S. maka, untuk mencari panjang RA kita gunakan trigonometri, yaitu cos∠𝑇𝐴𝑂
cos∠𝑇𝐴𝑂 = 𝑆𝐴
𝑅𝐴
cos 22,5° =2,673
𝑅𝐴
𝑅𝐴= 2,673
0,924
6 mencari panjang RS kita gunakan sin∠𝑇𝐴𝑂
sin∠𝑇𝐴𝑂= 𝑅𝑆
𝑅𝐴
sin 22,5° = 𝑅𝑆
2,893
𝑅𝑆 = 0,383 × 2,893 RS = 1,107
Dengan demikian kita bisa mencari luas ∆𝑅𝐴𝑁, setengah keliling dari
∆𝑅𝐴𝑁 dan jari-jari lingkaran dalam yang menyinggung ∆𝑅𝐴𝑁. Luas ∆𝑅𝐴𝑁 = 1
2 ×𝑅𝑆×𝑆𝐴
Luas ∆𝑅𝐴𝑁 = 1
2 × 1,107 × 2,673
Luas ∆𝑅𝐴𝑁 = 1,48
𝑠 = 𝑅𝐴+𝑅𝑆 𝑠 = 2,893 + 1,107 𝑠 = 4
Sehingga, jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus, 𝑟=𝐿
𝑠 𝑟= 1,48
4 ≈0,37
Luas Lingkaran =π(0,37)2 Luas Lingkaran =π 0,1369
∴ Luas lingkaran = π 0,1369
3. Komentar :
Soal ini sangat konseptual. Bukan termasuk soal yang rumit. Dalam hal kejelasan soal sudah jelas. Soal juga sudah disertai gambar.
Adanya tambahan keterangan “Diketahui mempunyai tali busur dan sebuah sudut yang sama.”, membuat kelompok kami sempat sedikit bingung. Keterangan tersebut sama sekali tidak ada hubungannya dengan luas segitiga. Apa artinya menulis sebuah keterangan yang tidak ada hubungannya dengan pengerjaan atau jawaban.
7 Jawaban :
Apakah Luas ∆𝐵𝐶𝐷 = Luas ∆𝐴𝐵𝐶 ? Kita perhatikan gambar di bawah ini
A O
B
D E
C -4
-4
4
Kedua gambar tersebut merupakan gambar yang sama. Hanya saja gambar kedua adalah hasil perputaran 45° berlawanan jarum jam dari gambar pertama.
Sekarang kita perhatikan gambar kedua.
Kita perhatikan ∆𝐵𝐶𝐷 dan ∆𝐴𝐵𝐶. Kedua segitiga tersebut memiliki alas yang sama, yaitu BC. Tetapi kedua segitiga tersebut mempunyai tinggi yang berbeda.
Bukti :
Tarik garis 𝐴𝐸 yang sejajar dengan 𝐵𝐶. Titik 𝐴 berada pada garis 𝐴𝐸. Sedangkan titik 𝐷 berada di atas garis 𝐴𝐸. Sehingga jarak titik 𝐷 ke garis
𝐵𝐶 lebih besar dari pada jarak titik 𝐴 ke garis 𝐵𝐶.
Maka, tinggi segitiga 𝐵𝐶𝐷 tidak sama dengan tinggi segitiga 𝐴𝐵𝐶.
Jika dua buah segitiga mempunyai alas yang sama sedangkan tinggi kedua segitiga tersebut tidak sama, maka luas kedua segitiga tersebut tidak sama.
∴ Luas ∆𝐵𝐶𝐷≠ Luas ∆𝐴𝐵𝐶
4. Komentar :
Soal nomor 4 ini merupakan soal yang salah. Seharusnya jika kata-katanya buktikan atau tunjukkan, maka nantinya pasti harus terbukti. Mungkin maksud dari pembuat soal adalah tentukan benar atau salah, kemudian jika benar buktikan.
Menurut kelompok kami seharusnya pertanyaannya seperti itu.
Dalam pengerjaannya juga tidak begitu rumit. Hanya dengan menggunakan rumus-rumus yang ada.
A
O
B
D
E
C
-4 -4
8
Dengan menggunakan rumus garis singgung lingkaran, 𝑟𝑎 = 𝐿
Sehingga pernyataan awal adalah salah.
∴ 𝑃𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑟𝑏𝑟𝑐 = 1
𝑟𝑑 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ𝑝𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛𝑦𝑎𝑛𝑔𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ
5. Komentar :
Bobot pertanyaannya sangat ringan. Hanya mencari luas bangun-bangun dasar. Tingkat ketelitian dan kesabaran yang diuji di sini. Karena harus mencari begitu banyak luas yang ditanyakan. Sehingga harus teliti dan sabar dalam mengerjakannya.
9
Soal seperti ini dan semacamnya sebaiknya jangan diujikan pada waktu tes atau ulangan. Karena untuk menghitung satu soal ini saja menmbutuhkan waktu yang tidak sedikit.
Jawaban :
Hitung luas daerah yang diarsir!
Ada 3 lingkaran. Yaitu,
Lingkaran besar dengan 𝑟 = 4 Lingkaran sedang dengan 𝑟 = 𝐾𝑂 Lingkaran kecil dengan 𝑟 = 𝑁𝑂 𝐶𝑂 = 𝐵𝑂= 4
𝐾𝑂= 𝑃𝑂 = 2 2 𝐵𝐶 = 𝐶𝐴 = 4 2
𝑂𝑆= 2, 𝑀𝑅 = 4, 𝑀𝑆= 2 𝐾𝑁= 𝑂𝑁 = 2
Menghitung Luas 4
2 × 𝐿𝑢𝑎𝑠 4 = 𝐿𝑢𝑎𝑠∆𝐶𝑂𝐵 − 𝐿𝑢𝑎𝑠 1
4 𝐿𝑖𝑛𝑔.𝑆𝑒𝑑𝑎𝑛𝑔
2 × 𝐿𝑢𝑎𝑠 4 = 1
2 𝑂𝐶 × 𝑂𝐵 − 1
4 𝜋 × 𝑃𝑂 2
2 × 𝐿𝑢𝑎𝑠 4 = 1
2 × 4 × 4− 1
4 𝜋 × (2 2) 2
2 × 𝐿𝑢𝑎𝑠 4 = 8−2𝜋
𝐿𝑢𝑎𝑠 4 = 4− 𝜋
Menghitung Luas 1 + Luas 2 + Luas 4 𝐿𝑢𝑎𝑠 (1 + 2 + 4) =𝐿𝑢𝑎𝑠 1
2 𝐿𝑖𝑛𝑔.𝐵𝑠𝑟 − 𝐿𝑢𝑎𝑠 1
2 𝐿𝑖𝑛𝑔.𝑆𝑑𝑛𝑔 − 𝐿𝑢𝑎𝑠 4
𝐿𝑢𝑎𝑠 (1 + 2 + 4) = 1
2𝜋 4 2 − 1
2 𝜋 (2 2)
2− (4− 𝜋)
𝐿𝑢𝑎𝑠 (1 + 2 + 4) = 8𝜋 −4𝜋 −4 + 𝜋
10
Pertanyaan-pertanyaan seperti ini sangat bagus. Ada yang sangat susah, ada yang sedang dan ada yang cukup mudah. Tidak bagus memberikan pertanyaan yang semuanya sulit. Begitu juga sebaliknya, tidak bagus juga memberikan pertanyaan atau soal yang semuanya mudah. Kelompok kami menyimpulkan bahwa kelompok penanya sudah sangat baik. Karena soal yang diberikan adalah sangat bagus. Rata antara yang sulit dan yang mudah.
