Contoh untuk Algoritma Simpleks Dakota’s Problem

Linear Programming

(Pemrograman Linier)

Program Studi Statistika

Semester Ganjil 2011/2012

Contoh untuk Algoritma Simpleks

Dakota’s Problem



Perusahaan furniture Dakota

memproduksi bangku, meja dan kursi.



Untuk setiap jenis furniture dibutuhkan

bahan baku kayu dan 2 jenis waktu

pengerjaan:

fnishing & carpentry



Bahan baku dan waktu pengerjaan

terbatas



Ingin ditentukan jumlah produksi setiap

Dakota’s Problem dalam Tabel

Sumber daya Bangku Meja Kursi

Ketersedia an

Kayu (m2) 8 6 1 48 Finishing

(jam) 4 2 1.5 20 Carpentry

(jam) 2 1.5 0.5 8 Proft 60 30 20  

Peubah

Keputusan?

kursi

produksi

:#

meja

produksi

:#

bangku

produksi

:#

3 2 1

LP untuk Dakota’s

Problem

Sumber daya BangkuX1 MejaX2 KursiX3 Ketersediaan Kayu (m2) 8 6 1 48

Finishing

(jam) 4 2 1.5 20 Carpentry

Algoritma Simpleks

Tentukan BFS:

BV & NBV

Mula i

BFS optimal?

Selesa i

Lakukan iterasi untuk

menentukan BFS: BV & NBV

yang baru

Ya

Langkah 1 Algoritma Simpleks



Rubah ke bentuk Standar

0

Digunakan slack variabel karena semua kendala ≤

48

Kendala fnishing

Langkah 1 Algoritma Simpleks



Bentuk Standar LP

0

Baris 0 Baris 1 Baris 2 Baris 3



Modifkasi baris 0 menjadi:

0

Langkah 1 Algoritma Simpleks



Bentuk Tableau

0

Langkah 2 Algoritma Simpleks

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris

0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

Baris

1  0 8 6 1 1 0 0 48

Baris

2  0 4 2 1.5 0 1 0 20

Baris

3  0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

Tentukan BFS (BV dan NBV).

BV dapat ditentukan dari elemen tableau yang

berbentuk kanonik.

BV z=0 s1=4

8 s2=2

0 s3=8



s

1

,

s

2

,

s

3



BV



NBV





x

₁

,

x

₂

,

x

₃



8

,

20

,

48

,

0

Langkah 3 Algoritma Simpleks



Apakah BFS tersebut sudah optimal?

8

,

20

,

48

,

0

:

x

₁

_

x

₂

_

x

₃

_

s

₁

_

s

₂

_

s

₃

_

BFS

 

0

30

 

0

20

 

0

0

60

20

30

60

_{1 2 3}















x

x

x

z



Dapat dilihat dari koefsien baris 0.

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris

0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

Langkah 3 Algoritma Simpleks



Interpretasi koefsien baris 0

◦

Bagi

NBV

 _{Variabel dengan Koefsien -c: satu unit penambahan}

variabel tsb menaikkan Z sebesar c.

 _{Variabel dengan koefsien +c: satu unit penambahan}

variabel tsb menurunkan Z sebesar c.

◦

Variabel dengan koefsien 0: BV

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris

0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

• _{Semua koefsien bagi NBV adalah < 0}

• _{Ada beberapa kemungkinan menaikkan nilai Z}

dengan menaikkan nilai peubah keputusan: menambah produksi

Langkah 3 Algoritma Simpleks

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris

0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

Produksi satu unit x1 (Bangku) akan menaikkan Z (proft) sebesar 60 ($)

Produksi satu unit x2 (Meja) akan menaikkan Z (proft) sebesar 30 ($)

Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (proft) sebesar 20 ($)

Pilih Entering Variable: Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar, untuk menggantikan salah satu

peubah di BV

1

Langkah 4 Algoritma Simpleks



Menentukan peubah

BV

yang mana yang akan

digantikan oleh

x

1



Dengan melakukan

Ratio Test

, agar pergantian

peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Peubah selainn ya

Langkah 4 Algoritma Simpleks



Semua syarat:

₆

_,

₅

_,

₄

1 1

1



x



x



x



Terpenuhi pada: di baris 3

₄

1



x

 Ratio Test: agar pergantian peubah tetap berada di dalam

wilayah feasibel, dipilih peubah dengan nilai ratio test

terkecil

  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris

0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

Baris

1  0 8 6 1 1 0 0 48

Baris

2  0 4 2 1.5 0 1 0 20

Baris

3  0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=4

8 s2=2

0 s3=8

 Pada BFS berikutnya x1 adalah peubah NBV yang akan

menggantikan s3 salah satu dari BV

Langkah 4 Algoritma Simpleks



Elementary Row Operation

(Operasi

baris elementer): operasi antar baris

untuk menentukan bentuk kanonik

yang baru (

BV

&

NBV

yang baru)



Di dalam bentuk kanonik baru:



s

1

,

s

2

,

x

1



BV



NBV





s

3

,

x

2

,

x

3



Peubah di dalam

BV

harus

mempunyai bentuk kanonik

B1 B2 B3

0 0 1

0 1 0

Operasi Baris Elementer

  z X1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris

0 0 0 0

Baris

1 0 1 0

Baris

2 0 0 1

Baris

3 1 0 0



s

1

,

s

2

,

x

1



BV

_

NBV

_



s

₃

,

x

₂

,

x

₃



Operasi Baris Elementer

Tablea

u 0  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0 Baris 1  0 8 6 1 1 0 0 48 Baris 2  0 4 2 1.5 0 1 0 20 Baris 3  0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

 Tablea

u 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4

2

) 0 ( 3 )

1 (

3 Baris

Baris _

Initial Tableau (Tableau 0):

Operasi Baris Elementer

Tablea

u 0  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0 Baris 1  0 8 6 1 1 0 0 48 Baris 2  0 4 2 1.5 0 1 0 20 Baris 3  0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

 Tablea

u 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4

Initial Tableau (Tableau 0):

ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row) _{Baris0(1)  Baris0(0)60*Baris3(1)}

Operasi Baris Elementer

Tablea

u 0  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0 Baris 1  0 8 6 1 1 0 0 48 Baris 2  0 4 2 1.5 0 1 0 20 Baris 3  0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

 Tablea

u 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4

Initial Tableau (Tableau 0):

ERO untuk baris 1, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row) _{Baris1(1) Baris1(0)8*Baris3(1)}

Operasi Baris Elementer

Tablea

u 0  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0 Baris 1  0 8 6 1 1 0 0 48 Baris 2  0 4 2 1.5 0 1 0 20 Baris 3  0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

 Tablea

u 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4

Initial Tableau (Tableau 0):

ERO untuk baris 2, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row) _{Baris2(1)  Baris2(0)4*Baris3(1)}

Baris 0 1 0 15 -5 0 0 30 240 Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4

Tableau hasil iterasi: Tableau 1

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris

1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris

2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris

3 0 1

BV

0,75

_



s

₁0,25

,

s

₂

,

x

₁



NBV

0

_

0



s

₃

,

x

₂0,5

,

x

₃



4 x1=4

Pada tableau 1:

240 ,

0 ,

4 ,

16 ,

0 ,

4

: x_{1 } x_{2 } x_{3 } s_{1 } s_{2 } s_{3 } z _ BFS

 Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal?

 Lihat koefsien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan menaikkan

nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan?

Peubah dengan Koefsien baris

0 <0? 3

Langkah 3 Algoritma Simpleks,

Iterasi ke-2

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Produksi satu unit x2 (Meja) akan menurunkan Z (proft) sebesar 15 ($)

Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (proft) sebesar 5 ($)

Pilih Entering Variable: Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar, untuk menggantikan salah satu

peubah di BV

3

x



s

3

,

x

2

,

x

3



NBV





s

1

,

s

2

,

x

1



BV



Langkah 4 Algoritma Simpleks,

Iterasi 2



Menentukan peubah

BV

yang mana yang akan

digantikan oleh

x

2



Dengan melakukan

Ratio Test

, agar pergantian

peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris

1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris

2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris

3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4



s

1

,

s

2

,

x

1



BV

_

Baris 1

_

_x

₃

_

_s

₁

_

₁₆

_

_s

₁

_

_x

₃

_

₁₆

_

₀

_untuk

_semua

_x

₃

_

₀

Pada baris dengan koefsien negatif, tidak

Langkah 4 Algoritma Simpleks,

Iterasi 2

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris

1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris

2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris

3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Baris 2

agar

s

₂

_

0

_

x

₃

_

₀4_.5

_

8

Baris 3

agar

x

₁

_

0

_

x

₃

_

_0.4₂₅

_

1

6



Pemenang ratio test (terkecil): di baris 2

Langkah 4 Algoritma Simpleks,

Iterasi 2

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris

1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris

2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris

3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

 Pada BFS berikutnya x3 adalah peubah NBV yang akan

menggantikan s2 salah satu dari BV

 Dengan ERO – Elementary Row Operation

Kolom pivot Kolo

m pivot

Tableau 2 mempunyai bentuk kanonik baru:

 Tableau

2 z X1 x2 X3 s1 s2 s3 rhs

Baris 0 0 0 0

Baris 1 0 0 1

Baris 2 0 1 0

Baris 3 1 0 0



s1,x3,x1



BV _

Operasi Baris Elementer

5 . 0

) 1 ( 2 )

2 (

2 Baris

Baris _

Dengan ERO untuk memperoleh Tableau 2: baris 2 didahulukan (pivot row)

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris

1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris

2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris

3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Operasi Baris Elementer

) 2 ( 2 *

5 . 0 ) 1 ( 0 )

2 (

0 Baris Baris

Baris _{ }

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris

1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris

2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris

3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8

ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row)

Operasi Baris Elementer

) 2 ( 2 *

) 1 ( ) 1 ( 1 )

2 (

1 Baris Baris

Baris _{  }

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris

1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris

2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris

3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8

ERO untuk baris 1, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row)

Operasi Baris Elementer

) 2 ( 2 *

25 . 0 ) 1 ( 3 )

2 (

3 Baris Baris

Baris _{ }

Table

au1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris

0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris

1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris

2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris

3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8

ERO untuk baris 3, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row)

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24

Tableau Hasil Iterasi: Tableau 2

Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25

_

0

_

0 -0.5 1.5 2 x1=2

1 3 1

,

x

,

x

s

BV



NBV





s

₃

,

x

₂

,

s

₂



280 ,

0 ,

24 ,

8 ,

0 ,

2

: x_{1 } x_{2 } x_{3 } s_{1 } s_{2 } s_{3 } z _ BFS

 Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal?  Lihat koefsien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan

menaikkan nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan?

 Semua koefsien baris 0 >=0. Tidak mungkin lagi

menaikkan nilai z.

Solusi Optimal Dakota’s Problem

Agar keuntungan maksimum, dan

produksi yang sesuai dengan kendala

(bahan baku dan jam pengerjaan), harus

diproduksi sejumlah 2 buah bangku (x1), 8

buah kursi (x3), tanpa memproduksi meja

kursi

produksi

:#

meja

produksi

:#

bangku

produksi

:#

3 2 1

x

x

x

280 ,

0 ,

24 ,

8 ,

0 ,

2

Langkah-langkah Algoritma

Simpleks untuk Masalah Max

Langkah 1

Rubah LP ke bentuk standar,

tuliskan dalam bentuk tableau.

Langkah

2

Tentukan BFS (BV dan NBV).

BV dapat ditentukan dari elemen

tableau yang berbentuk kanonik.

Langkah

3

Jika semua koefsien baris 0 >=0,

BFS solusi optimal

Selainnya, pilih koefsien paling

negatif untuk masuk ke dalam BV

Langkah

4

Ratio test (terkecil) untuk

Langkah-langkah Algoritma

Simpleks untuk Masalah Max

Langkah 4

Lakukan ERO untuk membentuk

bentuk kanonik baru, BFS baru

(Tableau baru)