ELŐADÁSJEGYZET I. rész Matematika A2

ELŐADÁSJEGYZET

I. rész

Matematika A2

(BMETE90AX02)

Lektorálta:

Dr. Szilágyi Brigitta

Készítette:

Pálya Zsófia

Tartalomjegyzék

1. Lineáris algebra 2

1.1. Alapfogalmak . . . 2

1.2. Mátrixalgebra . . . 6

1.3. Mátrixműveletek . . . 7

1.4. Determináns . . . 8

1.5. Lineáris egyenletrendszerek . . . 14

1.6. Lineáris leképezések (tenzorok) . . . 17

1.7. Valós euklideszi terek . . . 23

1.8. Bázistranszformáció, koordinátatranszformáció . . . 24

2. Függvénysorozatok, függvénysorok 26 2.1. Alapfogalmak . . . 26

2.2. Taylor-sorok . . . 32

1. Lineáris algebra

1.1. Alapfogalmak

Definíció:Legyen G nemüres halmaz, és _◦ egy művelet, (G,_◦) csoport, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. a művelet asszociatív, azaz (a_◦b)_◦c=a_◦(b_◦c), _∀a, b, c,_∈ G,

2. létezik az egységelem (zéruselem)e, azaza_◦e =e_◦a, _∀a_∈ G,

3. létezik az inverzelem, azaz _∃ˆa _∈Ghogy a_◦ˆa= ˆa_◦a=e, _∀a_∈ G.

Megjegyzés: Ha a_◦ művelet kommutatív, akkor Abel-csoportról beszélünk.

Példa: (R,_·), (Q,+) és (C,+) mindegyike Abel-csoport.

Nem Abel-csoport azonban a (N,+), mert nem létezik az inverz elem és a (Q∗,+), mert

nem létezik az egységelem.

További példák:

Definíció:Legyen R nemüres halmaz▽ és♦műveletek. (R,▽,♦) gyűrű, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. (R, ♦) Abel-csoport,

2. a ▽művelet asszociatív, azaz (a▽b)▽c=a▽(b▽c), _∀a, b, c,_∈ R,

3. teljesül a disztributivitás, azaz (a♦b)▽c = (a▽c) ♦ (b▽c) , és a▽(b♦c) =

(a▽b)♦(a▽c) ,_∀a, b, c_∈ R.

Definíció:Legyen T nemüres halmaz_♥,és_♣műveletek. (T,_♥,_♣) test, ha teljesülnek

az alábbi feltételek:

1. (T, _♥) Abel-csoport,

2. a _♣művelet asszociatív, azaz (a_♣b)_♣c=a_♣(b_♣c), _∀a, b, c,_∈T,

3. létezik az egységelem e_∈T, azaza_♣e =e_♣a, _∀a_∈ T,

4. létezik az inverzelem, azaz _∃ˆa _∈T hogy a_♣ˆa= ˆa_♣a=e, _∀a_∈ T,

5. teljesül a disztributivitás.

Definíció: Legyen V nem üres halmaz és +, _• két művelet, T test. (V, +, _•) T test feletti vektortér (lineáris tér), ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. (V,+) Abel-csoport,

2. ha _∀α, β _∈ T és x_∈ V, akkor (α_•β)_•x=α_•(β_•x),

3. ha ε a T-beli egységelem, akkor ε_•x=x _∀ x_∈V,

4. ha_∀α, β _∈T ésx,y_∈V, akkor (α+β)_•x=α_•x+β_•x és α_•(x+y) = α_•x+α_•y.

Példa:

• a legfeljebb n-ed fokú polinomok a skalárral való szorzásra és az összeadásra nézve

vektorteret alkotnak,

• a függvények az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve vektorteret alkotnak.

További példák:

Definíció:A vektortér elemeit vektoroknak nevezzük. Jelölés: xvagy x.

I. Állítás: A zéruselem és az ellentett elem létezése egyértelmű.

Bizonyítás: [ Zéruselem létezése egyértelmű ]

Tegyük fel hogy0és ˆ0egymástól különböző zéruselemek (06= ˆ0). Ebben az esetben az alábbi egyenlőség áll fenn:

ˆ

0=0+ ˆ0=0 (1) Ezzel ellentmondásra jutunk, mert az egyenlőség szerint ˆ0és0megegyező zérusele-mek.

Bizonyítás: [ Inverzelem létezése egyértelmű ]

Tegyük fel hogy ₋x és ₋xˆ egyaránt x ellentettje (inverze) (₋x₆= ₋xˆ). Ebben az esetben:

−xˆ = (−x+x) + (−xˆ) =−x+ (x+ (−xˆ)) = −x (2)

Ezzel ellentmondásra jutunk, mert az egyenlőség szerint ₋xˆ és ₋x egyaránt x el-lentettje és egyenlők.

II. Állítás: 0·x=0.

III. Állítás: α_·0=0.

Bizonyítás:

IV. Állítás: α_·x=0 akkor és csak is akkor, ha α= 0 vagy x=0.

Bizonyítás:

Definíció: A (V, + , λ) vektortér a₁,a₂. . .a_n vektorait lineárisan függőnek (

össze-függőnek) mondjuk, ha az

α1a1+α2a2+· · ·+αnan =0 (3)

vektoregyenletnek létezik triviálistól különböző megoldása. Ellenkező esetben lineárisan függetlenek.

Definíció: Legyen (V,+,λ) R feletti vektortér és _{∅ 6}= L _⊂ V, L-t altérnek nevezzük V-ben, ha (L,+,λ) ugyancsak vektortér.

Példa: A polinomok (P_,+_{, λ}) vektorterének altere a legfeljebb n-ed fokú polinomok

(P_n,+_{, λ}) vektortere.

További példák:

Állítás: Alterek metszete ugyancsak altér. Alterek uniója azonban általában nem altér.

Definíció: Legyen _{∅ 6}= G _⊂ V. G által generált altérnek nevezzük azt a legszűkebb alteret, amely tartalmazza G-t. Jele: L (G).

Definíció: Adott _{∅ 6}= G. G generátorrendszere V-nek, ha L (G) = V.

Példa:

Megjegyzés: Ha G véges generátorrendszere V-nek, akkor G-t végesen generált vek-torrendszernek nevezzük.

Példa:

Állítás: Végesen generált vektortérben bármely két bázis azonos tagszámú.

Bizonyítás:

Definíció: Végesen generált vektortér dimenzióján a bázisainak közös tagszámát ért-jük.

Állítás: Legyen{b1,b2. . .bn}a V vektortérnek egy bázisa. Ekkor tetszőleges V-beli

vektor egyértelműen előállítható a _{b1,b2. . .bn} vektorok lineáris kombinációjaként.

Azaz_∀v_∈ V : _∃! (ξ1, ξ2. . . ξn) hogy,

v=ξ1b1+ξ2b2+· · ·+ξnbn = n

X

i=1

ξibi. (4)

A (ξ1, ξ2. . . ξn) szám n-est a v vektor {b1,b2. . .bn} bázisaira vonatkozó koordinátáinak

nevezzük.

Bizonyítás: ( egzisztencia )

{b1,b2. . .bn} lineárisan függetlenek, mert bázis. Ezért {v,b1,b2. . .bn} már lineárisan

függő, így a

λv+α1b1+α2b2 +· · ·+αnbn=0 (5)

vektoregyenletnek létezik triviálistól különböző megoldása, azaz nem lehet (λ, α1, α2, . . . , αn)

minden eleme egyszerre 0.

Tehát λ ₆= 0, mert ellenkező esetben α1 =α2 =· · ·=αn = 0 állna fent, így oszthatjuk

az (5)-ös egyenletet λ-val:

v=₋α1

λ

| {z }

:=ξ1

b1+

−α_λ2

| {z }

:=ξ2

b2 +· · ·+

−α_λn

| {z }

:=ξn

bn. (6)

Bizonyítás: ( unicitás )

Tegyük fel hogy (ξ1, ξ2. . . ξn) és (η1, η2. . . ηn) egyaránt v koordinátái a {b1,b2. . .bn}

bázisban, azaz

v=Xn

i=1

ξibi (7)

v=Xn

i=1

ηibi (8)

Vonjuk ki a (7)-es egyenletből a (8)-as egyenletet:

0= (ξ1−η1)

| {z }

0

b1+ (ξ2−η2)

| {z }

0

b2+· · ·+ (ξn−ηn)

| {z }

0

bn. (9)

Ezzel ellentmondásra jutunk, mivel_{b1,b2. . .bn}bázis, ezért a nullvektornak csak

1.2. Mátrixalgebra

 - nullmátrix

•

 - egységmátrix

Egyéb speciális mátrixstruktúrák:

Definíció: Egy mátrix transzponáltja a főátlóra való tükörképe. Jele: AT

Példa: A=

Definíció:HaA=₋AT_{, akkor antiszimmetrikus mátrixról beszélnünk (A∈M} n×n).

Antiszimmetrikus mátrix főátlójában mindenhol 0 szerepel.

1.3. Mátrixműveletek

Definíció:Két mátrix összegén azt a mátrixot értjük, melyet a két mátrix elemenkénti összeadásával kapunk, azaz, ha A,B _∈M_n×k, akkor C:=A+B, ahol _cij :=_aij +_bij.

Definíció: Egy mátrix és egy skalár szorzata olyan mátrix, melynek minden eleme skalárszorosa az eredeti mátrix elemeinek, azaz, ha A _∈ M_n×k és _{λ ∈} R(C), akkor

Definíció: Két mátrix szorzatán az alábbi műveletet értjük. Legyen A _∈ M_n×k és B_∈M_k×l. Ekkor C=A_·B_,

Célszerű az alábbi módon felírni a mátrixokat, hogy egyszerűbben elvégezzük a szorzást:

[ ]

1 0 3

Állítás: A mátrixszorzás nem kommutatív művelet.

Bizonyítás:

Állítás: Ha A,B,C olyan mátrixok hogy létezik (A· B)· C mátrixszorzat, akkor

Bizonyítás:

Definíció:[ A determináns axonometrikus felépítése ] Tekintsük a Rn _{tér a}

1,a2, . . . ,an vektorait, ezekhez hozzárendelünk egy R számot, amit

determinánsnak nevezünk és det(a1,a2, . . . ,an)-nel jelölünk. A hozzárendelés az alábbi

axiómák teljesülése mellett történik.

1. det(. . .

3. ha a determináns két oszlopát felcseréljük, a determináns értéke a (₋1)-szeresére változik,

Állítás: Ha egy determinánsban van két azonos oszlopvektor, akkor a determináns értéke 0.

Állítás: Ha egy determinánshoz hozzáadjuk egy oszlopvektor skalárszorosát a deter-mináns értéke nem változik.

Bizonyítás:

Tétel: [ Kifejtési tétel ]

det(a1,a2, . . . ,an) =

Jelölje a k. sor és j. oszlop kitakarásával kapott aldeterminánstAkj, ekkor az egyenlőség

a következőképpen írható át:

a11A11−a2,1A21+· · ·+ (−1)n−1an1An1.

Inverzió:

Következmény:

I. A determinánsban nem lényeges, hogy sorról vagy oszlopról beszélünk a determi-nánssal kapcsolatban.

detA = detAT

II. Determináns bármely sora vagy oszlopa szerint kifejthető.

j.oszlop szerint =Xn

k=1

aikAik

| {z }

i.sor szerint

Példa: A =

Definíció: A mátrix rangjának nevezzük az oszlopvektorai közül a lineárisan függet-lenek maximális számát.

A háromdimenziós tér 5 vektora, vagy az ötdimenziós tér 3 vektora közül legfeljebb 3 lehet lineárisan független, ezért a mátrix rangja legfeljebb 3.

Tétel: [ Mátrixok rangszámának tétele ]

Egy mátrix rangja megegyezik maximális el nem tűnő aldeterminánsának rendjével.

Bizonyítás:

Definíció: Egy mátrix elemi átalakításainak nevezzük a következőket:

1. A mátrix egy tetszőleges sorát vagy oszlopát egy 0-tól különböző számmal megszo-rozzuk.

2. A mátrix egy tetszőleges sorát vagy oszlopát felcseréljük.

3. A mátrix egy tetszőleges sorához vagy oszlopához egy másik tetszőleges sorát vagy oszlopát adjuk.

Állítás: Egy mátrix rangja elemi átalakítások során nem változik.

Bizonyítás: A determináns axiómáit figyelembe véve látható, hogy az elemi átalakí-tások nem változtatják meg a determináns 0 voltát.

Definíció: Egy kvadratikus (négyzetes) mátrixot regulárisnak mondunk, ha determi-nánsa nem 0.

Ha a kvadratikus mátrix determinánsa 0, szinguláris mátrixról beszélünk.

Tétel: [ A determinánsok szorzástétele ]

Legyen A,B_∈M_n×n mátrix, ekkor det(A_·B) = detA_·detB.

Bizonyítás:

Állítás: (M_n×n,+_,·) egységelemes gyűrű, mert:

• (M_n×n,+) Abel-csoport,

• (M_n×n,·) asszociatív,

• létezik a szorzás egységeleme, ami az egységmátrix: E=



  

1 . . . 0

... ... ... 0 . . . 1



 

.

Definíció: Az A _∈ M_n×n mátrix inverzén olyan A−1_{-gyel jelölt n ×n-es mátrixot} értünk, melyre A A−1 _=A−1_{A =E teljesül.}

Tétel: [ Ferde kifejtési tétel ] Legyen A_∈M_n×n, ekkor

n

X

i=1

aj,i Ak,i= 0, ha j 6=k. (10)

Bizonyítás:

Állítás: Egy szinguláris mátrixnak nem létezik inverze.

Bizonyítás: A bizonyítás indirekt módon történik. Tegyük fel, hogy A szinguláris mátrixnak létezik inverze A−1_{. Ekkor igaz, hogy A A}−1 _{= E. Vizsgáljuk a következő} egyenlőséget:

detA | {z }

=0

detA−1 _{= det(A}

·A−1) = det_{| {z }}E

=1

. (11)

Látjuk hogy ezzel ellenmondásra jutunk, tehát nem igaz a feltevés, szinguláris mátrixnak nem létezik inverze.

Állítás: Reguláris mátrix inverze egyértelmű. Ha A_∈M_n×n reguláris mátrix, akkor A−1 _:= adjAT

detA (12)

formulával számolható.

1.5. Lineáris egyenletrendszerek

Definíció:Véges sok elsőfokú egyenletet és véges sok ismeretlent tartalmazó egyenlet-rendszert lineáris egyenletrendszernek nevezünk.

Az m egyenletből és n ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszer (LER) általános alakja:

a11x1 +a12 x2+· · ·+a1nx1n =b1

a21x1 +a22 x2+· · ·+a2nx2n =b2 ...

am1 x1+am2 x2+· · ·+amn xmn =bm,

ahol aij együtthatók,bj konstansok, xj ismeretlenek.

Ha aij ∈R, akkor valós együtthatós egyenletrendszerről beszélünk. Általábanbj ∈R.

A (γ1, γ2, . . . , γn)∈Rnmegoldása a fenti lineáris egyenletrendszernek, ha (x1, x2, . . . , xn)

helyére (γ1, γ2, . . . , γn)-t beírva igaz egyenlőséget kapunk.

A lineáris egyenletrendszert megoldhatónak nevezzük, ha létezik megoldása.

A lineáris egyenletrendszert határozottnak nevezzük, ha egyetlen megoldása van.

A lineáris egyenletrendszerthatározatlannak mondjuk, ha végtelen sok megoldása van.

A lineáris egyenletrendszert ellentmondónak mondjuk, ha nem létezik megoldása.

Példa:

Definíció: Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megoldáshal-mazuk megegyezik.

Megjegyzés: Az ekvivalencia szempontjából az egyenletek és az ismeretlenek sor-rendje nem számít.

Bizonyítás:

Lineáris egyenletrendszerek ábrázolása mátrixosan:

a₁ a₂ a_n

együttható mátrix _{x b}

x1

Tétel: [ LER megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele ]

Az A x = b lineáris egyenletrendszer pontosan akkor megoldható, ha rg(A|b) = rgA.

Megjegyzés: Az (A_|b) mátrixot kibővített mátrixnak nevezzük.

Bizonyítás:

Definíció: Az A x = b lineáris egyenletrendszert homogénnek mondjuk, ha b = 0. Ha b₆=0, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.

Megjegyzés: Tekintsük az n egyenletből álló n ismeretlenes homogén LER-t. Azaz,

A x=0, ekkor, ha_{a1,a2, . . . ,an}lineárisan független, akkor egyetlen megoldás létezik,

a triviális megoldás. Abban az esetben, ha_{a1,a2, . . . ,an}lineárisan függő, akkor létezik

Megoldási módszerek:

1. A x=b, ha A reguláris (detA ₆= 0), akkor invertálható és x=A−1 _b. 2. Carmer-szabály, alkalmazhatóságának ugyanaz, a feltétele mint 1. esetben.

Tétel: [ Carmer-szabály ]

Az A x = b vagy _{a1x1 +a2x2 +· · ·+anxn = b} lineáris egyenletrendszenek

létezik egyértelmű megoldása, ha detA₆= 0. Ekkor:

x1 =

3. Gauss - elimináció, csak sorműveletekkel átalakítjuk a kibővített mátrixot, hogy egyszerűbb alakot nyerjünk ezzel könnyebben megoldható legyen az egyenletrend-szer.

1.6. Lineáris leképezések (tenzorok)

Definíció: Legyenek V1 és V2 ugyanazon test (R vagy C) feletti vektorterek. Legyen

ϕ:V1 →V2 leképezés, melyet lineáris leképezésnek nevezünk, ha

ϕ(a+b) =ϕ(a) +ϕ(b) _∀a,b_∈V1 (13)

ϕ(αa) =α ϕ(a) _∀a_∈V1, α∈RvagyC (14) teljesül.

Megjegyzés:

I. ϕ(0) = 0 minden lineáris leképezés esetén.

II. A linearitás miatt igaz, hogy ϕ(₋a) =₋ϕ(a).

Definíció: Hom(V1, V2) :={ϕ :V1 →V2|ϕ lineáris}.

Definíció: Ha V1 =V2 =V, Hom(V, V) =: End(V).

Állítás: (Hom(V1, V2), +, λ) vektortér RvagyCfelett.

Definíció: A ϕ :V1 →V2 leképezés izomorfizmus ha lineáris és bijektív.

Állítás: Véges dimenziós vektorterek esetén az egymással izomorf vektorterek dimen-ziója azonos.

Állítás: Legyenek V1 és V2 ugyanazon test feletti vektorterek és dimV1 = dimV2, ek-kor V1 ∼=V2.

Bizonyítás:

Tétel: [ Lineáris leképezések alaptétele ]

Legyenek V1 és V2 ugyanazon test feletti vektorterek, és legyen {b1,b2, . . . ,bn} bázis

V1-ben, és{a1,a2, . . . ,an}tetszőleges vektorrendszer V2-ben, ekkor egyetlen lineáris leké-pezés létezik, melyreϕ(bi) = ai , i∈ {1,2, . . . n}.

Bizonyítás: ( unicitás )

Indirekt módon. Legyenekϕ₆=ψ lineáris leképezések, melyekre ϕ(bi) =ai ésψ(bi) =ai

, i_{∈ {}1,2, . . . n_}. Legyenx_∈V1 tetszőleges, x=Pni=1ξibi. Hattatom ϕ-t x-re:

ϕ(x) =ϕ

n

X

i=1

ξibi

!

=Xn

i=1

ξi ϕ(bi) =ξ1ϕ(b1) +· · ·+ξnϕ(bn) =

Ezzel ϕ =ψ, ami ellentmond a feltételnek, tehát a feltevés nem igaz.

Bizonyítás: ( egzisztencia )

Konstruktív bizonyítás. Legyen ϕ : V1 → V2, és x 7−→ ϕ(x). Ha (ξ1, ξ2, . . . ξn) az x

koordinátái, akkor, ϕ(x) = ξ1a1 +· · ·+ξnan. Hasonló módon, legyen y (η1, η2, . . . ηn)

koordinátákkal.

ϕ(x+y) = (ξ1+η1)a1+· · ·+(ξn+ηn)an =ξ1a1+· · ·+ξnan+η1a1+· · ·+ηnan =ϕ(x)+ϕ(y)

ϕ(ϑx) =ϑ ξ1a1+· · ·+ϑ ξnan=ϑ(ξ1a1+· · ·+ξnan) =ϑ ϕ(x)

Lineáris léképkezesek mátrixreprezentációja:

LegyenV1 ésV2 ugyanazon test feletti vektorterek, és dimV1 =n, valamint dimV2 =k,

{a1,a2, . . . ,an} bázis V1-ben, és {b1,b2, . . . ,bn} bázis V2-ben. Legyen ϕ : V1 → V2 lineáris leképezés, ekkor

ϕ(ai) =α1ib1+α2ib2+· · ·+αkibk =

AzAmátrixotϕleképezést reprezentáló mátrixnak hívjuk, segítségével tetszőlegesx_∈V1 képét meghatározhatjuk. Legyenek (ξ1, ξ2, . . . , ξn) az x koordinátái, ekkor a képét az

alábbi módon számíthatjuk:



konstrukciót lást fent.

Példa:

Írjuk fel azα szögű forgatás mátrixát!

Állítás: Legyenek V1, V2, V3 vektorterek, dimV1 = k, dimV2 = m, dimV3 = n. Le-gyenek adva, ϕ : V1 → V2 és ψ :V2 →V3 lineáris leképezések, ekkor a V1-ből V3-ra való leképezés (ψ_◦ϕ : V1 → V3) olyan, hogy ha ϕ ↔ A ∈ Mm×k és ψ ↔ B ∈ Mn×m, akkor

ψ_◦ϕ_↔C_∈M_n×k, aholC=B_·A.

Speciálisan, ha V1 = V2 = V3 = V, dimV = n. Ekkor C = A · B ∈ Mn×n és

A,B_∈M_n×n.

Következmény: Invertálható lineáris leképezés mátrixa invertálható.

Definíció: Legyen ϕ : V1 → V2 lineáris leképezés, ker ϕ :={v|v∈ V1 ∧ϕ(v) =0} a leképezés magtere (nulltere).

Állítás: ker ϕ_⊆V1,altér V1-ben.

Bizonyítás:

Definíció: A magtér dimenzióját defektusnak nevezzük. _⇒dim (kerϕ) = defϕ.

Megjegyzés:

I. Nem létezik olyan vektortér, melynek magtere az üreshalmaz (a nullvektor mindig benne van, mert a nullvektor képe mindig nullvektor).

II. Invertálható lineáris leképezés magtere a nullvektor.

Állítás: A ϕ leképezés injektív, akkor és csak is akkor, ha kerϕ =_{0_{} ⇔}defϕ = 0.

Definíció: Egy lineáris leképezés rangjának nevezzük a képtér dimenzióját. rgϕ= dimϕ(V1).

Tétel: [ Rang-nullitás tétele ]

Legyen V1 véges dimenziós vektortér,ϕ :V1 →V2 lineáris leképezés, ekkor

rgϕ+ defϕ = dimV1. (16)

Bizonyítás:

Állítás: Tetszőleges lineáris leképezés rangja megegyezik bármely bázisra vonatkozó mátrixreprezentációjának rangjával. ϕ : V1 → V2, dimV1 = m, dimV2 =n → ϕ ↔ A,

A_∈M_n×m, rg_ϕ = rgA_.

Bizonyítás:

Tétel: Legyen ϕ : V _→ V lineáris leképezés (lineáris operátor), _{b1,b2, . . . ,bn}

és {bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn} bázisok V-ben. A ϕ{b1,b2, . . . ,bn} bázisra vonatkozó mátrixa A,

továbbá ϕ_{bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn} bázisra vonatkozó mátrixa ˆA. Jelölje S a {b1,b2, . . . ,bn}

bázisról a _{bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn}bázisra való áttérés mátrixát, ekkor

ˆ

A =S−1_{A S. (17)}

Megjegyzés:

I. A fenti tételben szereplő A és ˆA mátrixok hasonlók. II. Hasonló mátrixok determinánsa megegyezik.

III. Hasonló mátrixok rangja egyenlő.

Definíció: Legyen V a _T test feletti vektortér, v_∈T, v=₆ 0. v-t a ϕ:V _→V

lineá-ris leképezés sajátvektorának mondjuk, ha önmaga skalárszorosába megy át a leképezés során, azaz ϕ(v) =λv, λ_∈T. λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek mondjuk.

Megjegyzés: Ha v sajátvektora ϕ-nek, akkor µ_·v is sajátvektor (µ_∈T, µ ₆= 0).

box

Tétel: AzA _∈M_n×n mátrix sajátértékei a

det(A₋λE) = 0 (18)

egyenlet gyökeiként adódnak.

Bizonyítás: Legyen v sajátvektor, ekkor igaz az alábbi egyenlőség: Av=λv.

Rendezve:

Av₋λv=0,

Av₋λE v=0,

(A−λE)v=0.

Így egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, aminek létezik triviálistól eltérő meg-oldása (v₆=0), tehát det(A₋λE) = 0.

A det(A₋λE) = 0 egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.

A det(A₋λE) polinomot karakterisztikus polinomnak mondjuk.

Állítás: Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek.

Bizonyítás:

Állítás: Szimmetrikus mátrix sajátértékei valósak.

Állítás: Az n-edrendű szimmetrikus mátrixnak van n darab, páronként egymásra

merőleges sajátvektora.

Bizonyítás:

Példa: Határozzuk meg az A mátrix sajátértékeit és sajátvektorait!

A =

Így egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapunk, amiből: s1 =s2. Tehát a λ1 = 1 -hez tartozó sajátvektor: s=

1.7. Valós euklideszi terek

Definíció: Legyen adva egy R feletti vektortér és értelmezzük a < , >: V _×V _→ R függvényt, melyet skaláris szorzatnak mondunk, ha teljesíti az alábbiakat:

1. szimmetrikus: <x,y>=<y,x> _∀x,y_∈V esetén,

az így előállított (V, < , >) valós euklideszi tér. Jelölés: En: n dimenziós euklideszi tér.

A valós euklideszi térben értelmezhetjük a vektorok hosszát: _||x_||=√<x,x>.

melyetCauchy ₋Bunyakovszkij ₋ Schwartz - egyenlőtlenséget hívunk, és az alábbi alakban is felírhatunk:

<x,y>2 6 <x,x> <y,y> .

Következmény: Valós euklideszi térben igaz a háromszög - egyenlőtlenség.

||x+y||6 _||x_{|| · ||}y_||

Az n dimenziós euklideszi tér A : _{V → V} lineáris transzformációját ortogonálisnak

mondjuk, ha< Ax, Ay>=<x,y>,_∀x,y_∈V.

Megjegyzés:

I. Ortogonális transzformáció normatartó. II. Ortogonális transzformáció szögtartó.

III. Ortogonális transzformáció ortonormált bázist ortonormált bázisba visz át.

Belátható, hogy ha _{e1,e2, . . . ,en} → {f1,f2, . . . ,fn} transzformáció mátrixa S,

és _{f1,f2, . . . ,fn} → {e1,e2, . . . ,en} transzformáció mátrixa T, akkor S T = E.

EbbőlT=S−1 _=ST_{. HaS}−1 _=ST_{, akkor ortogonális mátrixról beszélünk.}

1.8. Bázistranszformáció, koordinátatranszformáció

Definíció:Legyenek _{b1,b2, . . . ,bn} és {bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn} bázisok V-ben. ekkor a

{b1,b2, . . . ,bn} → {bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn} bázistranszformáció S mátrixa a következőképpen

írható fel:

ˆ

b1 =

n

X

i=1

si1bi =s11b1+s21b2+· · ·+sn1bn

... ˆ

bj = n

X

i=1

sijbi =s1jb1+s2jb2 +· · ·+snjbn

... ˆ

bn = n

X

i=1

sinbi =s1nb1+s2nb2+· · ·+snnbn

⇓

S=



    

s11 . . . s1n

s21 . . . s2n

... ... ...

sn1 . . . snn



    

.

Állítás: A bázistranszformáció mátrixa mindig invertálható.

2. Függvénysorozatok, függvénysorok

2.1. Alapfogalmak

Definíció:Az fn:I ⊂R→R sorozatot függvénysorozatnak nevezzük.

Példa: fn :R→[−1,1], fn(x) = sin(nx).

gn : [0,∞]→R, gn(x) =xn.

További példák:

Definíció: Ha az x0 ∈ I pontban az (fn(x0)) számsorozat konvergens, akkor azt

mondjuk, hogy az (fn) függvénysorozat konvergensx0-ban. A konvergenciahalmaz:

H :=_{x_|x_∈I ∧ (fn) konvergens x−ben}

Példa: fn(x) = sin(nx); Hfn ={k·π, k∈Z}.

gn(x) =xn, Hgn = [0,1].

További példák:

Definíció: f(x) := lim

n→∞fn(x), x ∈ H. f-t az (fn) függvénysorozat határfüggvé-nyének nevezzük. Azt mondjuk, hogy (fn) függvénysorozat pontonként konvergál az f

határfüggvényhez H-n, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε, x) : _|fn(x)−f(x)|< ε, ha

n > N(ε, x).

Definíció: Azt mondjuk, hogy (fn) egyenletesen konvergens azE ⊂H halmazon, ha

minden ha minden ε >0 esetén létezik N(ε) :_|fn(x)−f(x)|< ε, ha n > N(ε) minden

x_∈E esetén.

Tétel: [ Cauchy - kritérium ]

a) Az (fn) konvergens az x0 ∈ H pontban akkor, és csak is akkor, ha minden ε >0 esetén létezik N(ε) :_|fn(x0)−fm(x0)|< ε, ha n, m > N(ε).

b) Az (fn) konvergens az H ⊂ I halmazon akkor, és csak is akkor, ha minden ε > 0

esetén létezik N(ε, x) :_|fn(x)−fm(x)|< ε, ha n, m > N(ε, x), ∀x∈H.

c) Az (fn) egyenletesen konvergens az E ⊂ H halmazon akkor, és csak is akkor, ha

mindenε >0 esetén létezik N(ε) :_|fn(x)−fm(x)|< ε, ha n, m > N(ε),∀x∈E.

Bizonyítás: Az a) és b) esetek bizonyítása a numerikus sorozatoknál tanultak szerint történik (Matematika A1 anyaga).

c) eset bizonyítása:

⇒ : (fn) egyenletesen konvergens E-n, akkor mindenε >0 esetén létezik N(ε) hogy:

|fn(x)−f(x)|<

ε

2, han > N

_ε

2

, ∀x∈E,

|fm(x)−f(x)|<

ε

2, ham > N

_ε

2

, _∀x_∈E.

|fn(x)−fm(x)|=|fn(x)−f(x) +f(x)−fm(x)|≦|fn(x)−f(x)|+|f(x)−fm(x)|=

felhasználva hogy _|a+b_|≦_|a_|+_|b_|,

=_|fn(x)−f(x)|

| {z }

<ε₂

+_|fm(x)−f(x)|

| {z }

<ε₂

< ε

2 +

ε

2 =ε,

han, m > N ε

2

, _∀x_∈E.

⇐ : |fn(x)−fm(x)|< ε₂, ha n, m > N

ε

2

, _∀x_∈E. fn(x) Cauchy - sorozat.

fm(x) is Cauchy - sorozat és konvergens, azaz fm(x)→f(x) ham → ∞ ∀x ∈E.

Ekkor:

|fn(x)−f(x)|<

ε

2 < ε han > Nε₂, _∀x_∈E.

Definíció: Legyen fn:I ⊂R→Rfüggvénysorozat.

s1(x) := f1(x) s2(x) :=f1(x) +f2(x)

...

sj(x) := j

X

i=1

fi(x)

Az így előálló (sn) függvénysorozatot az (fn) függvénysorozatból képzett függvénysornak

hívjuk és P

fn-el jelöljük.

AP

fnfüggvénysorkonvergens azx0 pontban, ha az (sn) függvénysorozat konvergens

azx0 pontban. A P

fn függvénysor konvergens a H ⊂ I halmazon, ha az (sn) függvénysorozat

kon-vergens H-n.

AP

fnfüggvénysoregyenletesen konvergens aE ⊂H halmazon, ha az (sn)

függvény-sorozat egyenletesen konvergens a E _⊂H halmazon.

Definíció: s(x) := lim

n→∞sn(x), x ∈ H, s-t a

P₍

fn) függvény összegfüggvényének

nevezzük.

Tétel: [ Cauchy-féle konvergencia kritérium egyenletes konvergenciára függvénysorok esetén ]

A P

fn függvénysor egyenletesen konvergens az E ⊂ H halmazon akkor, és csak is

akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε) : _|sn(x0)−sm(x0)| < ε, ha n, m > N(ε),

∀x_∈E.

Bizonyítás:

Tétel: [ Weierstrass - tétel függvénysorok egyenletes konvergenciájára ] Legyen fnI ⊂R→R és

P

fn a belőle képzett függvénysor, továbbá

P

an olyan

kon-vergens numerikus sor, melyre _|fn(x)| ≦ an ∀ x ∈ I vagy n > n0 ∈ N esetén teljesül, akkor a P

fn függvénysor egyenletesen konvergens.

Bizonyítás:

Definíció: A P

fn függvénysort abszolút konvergensnek mondjuk, ha P|fn|

függ-vénysor konvergens.

Definíció: Legyenfn(x) :=an(x−a)n, a belőle képzettPfn=

X

an(x−a)n, a∈R

sort hatványsornak nevezzük, ahol an a hatványsorn-edik együtthatója,apedig a

sorfej-tés centruma.

Tétel: LegyenP

fnfüggvénysor egyenletesen konvergens egy azx0 pontot tartalmazó környezeten, továbbá legyenek a sor tagjai x0-ban folytonosak, ekkor az összegfüggvény is folytonos az x0- pontban.

Bizonyítás: Tudjuk, hogy P

fn folytonos és egyenletesen konvergens.

Azt akarjuk belátni, hogy _|f(x)₋ f(x0)_| tetszőlegesen kicsivé tehető, mert ekkor az

egyenletes konv. miatt, mertfn folytonos, egyenletes konv. miatt.

ha n > N₃ε:= max._{N1

1. Folytonos függvények egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye is foly-tonos.

2. Folytonos függvények egyenletesen konvergens függvénysorának összegfüggvénye is folytonos, ha a függvénysor tagjai folytonosak.

Bizonyítás:

Tétel: [ Tagonkénti integrálhatóságról ] Legyenek P

fn függvénysor tagjai integrálhatóak az x ∈ [a, b] zárt intervallumon,

tegyük fel, hogy a sor egyenletesen konvergens [a, b]-n és összegfüggvénye folytonos, ekkor

Z b

Bizonyítás:

Megjegyzés: Nem korlátos intervallum esetén nem igaz az állítás.

Tétel: [ Tagonkénti differenciálhatóságról ] LegyenekP

fn függvénysor tagjai differenciálhatókJ-n ésfn′ derivált függvények

foly-tonosak J-n, valamint Pf_n′ egyenletesen konvergens J-n, továbbá Pfn is egyenletesen

konvergensJ-n, ekkor, ha f jelöli a Pfn összegfüggvényét:

f′(x) =

∞ X

n=1

fn′(x).

Bizonyítás:

Tétel: Ha a X 0

anxn hatványsor konvergens az x0 pontban, akkor az |x| < |x0| helyeken abszolút és egyenletesen konvergens.

−x0 0 x0

(₋x0, x0)-n a hatványsor abszolút és egyenletesen konvergens

Bizonyítás: Ha a P

anxn hatványsor konvergens azx0 pontban, akkor anxn0 −→0, ha n _{−→ ∞} (különben elszállna). Ekkor tehát korlátos is, azaz létezik K _∈ R, hogy

|anxn0|≦K.

|anxn|= |

an|

|x0|n|

x0|n|x|n =|anx0|n

| {z }

≦K

x x0

n

| {z }

<1,ha|x|<|x0|

−→0

Ekkor_|anxn|≦K·qn, tehát Panxn≦PK·qn=KPqn. Láthatjuk hogy így egy

kon-vergens geometriai sorral becsülhetjük a hatványsort. Alkalmazva a Weierstrass - tételt,

P

anxn abszolút és egyenletesen is konvergens, ha |x|<|x0|.

Tétel: [ Cauchy - Hadamard - tétel ]

a) r= 0, akkor a hatványsor csak az x0 = 0 pontban konvergens, b) r=_∞, akkor a hatványsor mindenx_∈R esetén konvergens, c) 0 < r <_∞, akkor a hatványsor abszolút konvergens, ha _|x_|< r,

és divergens, ha _|x_|> r.

−|r_{| |}r_|

div. absz. konvergens div.

Bizonyítás: Az a) és b) bizonyítása az előző tételek alapján könnyen adódik. c) Legyen x0 < r, tekintsük:

lim supqn

|anxn0|=|x0|lim sup

n

q

|an|= |

x0|

r <1

Azaz létezik q < 1, hogy Panxn hatványsor a gyökteszt miatt konvergens. Mivel x0 tetszőleges volt (_|x0| < r), így minden |x| < r esetén igaz, hogy a Panxn hatványsor

konvergens. Ugyancsak a gyökteszt miatt, ha_|x_|> r, akkorPanxnhatványsor divergens.

Megjegyzés:

I. Ha a lim

n→∞

n

q

|an| határértéke létezik, akkor az megegyezik a lim sup

n

q

|an| értékkel.

Gyakran az alábbi módon számolunk:

r = 1

lim

n→∞

n

q

|an|

II. L:= lim

n→∞

n

q

|an|= lim_n→∞|

an+1|

|an|

Tétel: [ Abel 2. tétele ] Tegyük fel hogy a P

anxn hatványsor konvergenciasugara r és ez a hatványsor az

x= r pontban konvergens. Ekkor a Panxn a [ 0, r] intervallumon egyenletesen

konver-gens, így az összegfüggvény a [ 0, r] intervallumon folytonos. Ha a hatványsor azx=₋r

pontban konvergens, akkor a hatványsor a [−r,0 ] intervallumon egyenletesen konvergens,

és így az összegfüggvény is folytonos [₋r,0 ] intervallumon.

Következmény:

1. A hatványsor összegfüggvénye a konvergencia intervallum belsejében folytonos. 2. A hatványsor a konvergenciaintervallum tetszőleges részintervallumán tagonként

integrálható, azaz ha [a, b]_⊂(₋r, r) és s(x) := lim

n→∞ X

anxn összegfüggvény, akkor

Z b

a s(x)dx=

∞ X

n=0

Z b

a anx n_dx.

3. Ha s összegfüggvénye aPanxn hatványsornak, akkor

∞ X

n=0

(anxn)′ =

∞ X

n=0

ann xn−1.

2.2. Taylor-sorok

Tegyük fel hogy az f függvény Panxn hatványsor alakban előállítható.

f(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+· · ·+anxn

f′(x) = a1+ 2a2x+ 3a3x2+· · ·+ann xn−1

f′′(x) = 2a2+ 2·3a3x+· · ·+ann(n−1)xn−2

f′′′_{(x) = 2·3a}

3+· · ·+ann(n−1) (n−2)xn−3

... Vizsgáljuk azt az esetet, amikorx= 0 _∈(r,₋r):

f(0) =a0

f′(0) =a1

f′′_{(0) = 2a} 2

f′′′(0) = 2_·3a3 ...

f(n)_{(0) =n!a}

n

Ebből felírva a függvényt: f(x) = f(0) + f′_1!(0)x+f′′_2!(0)x2+f′′′_3!(0)x3 +· · ·+ f(n)₍₀₎

n! x

n_.

Zárt alakra hozva:

f(x) =

∞ X

n=0

f(n)₍₀₎

n! x

n_,

ahol f(0)(x) = f(x).

Definíció: Legyen f :I _⊂R_→R függvény, mely az x0 ∈I pontban legalább p-szer diffható, ekkor azf függvény x0 körülip-edik Taylor - polinomja:

Tf,p= p

X

k=0

f(k)(x0)

k! (x−x0)

Tétel: [ Taylor - formula Lagrange - féle maradéktaggal ]

Ha felbontjuk a zárójeleket láthatjuk hogy az egyes tagok páronként kiejtik egymást, így az egyenlőség az alábbi alakra egyszerűsödik:

F′(t) = (x−t)

További példák:

Definíció: Legyen f az x=x0 helyen akárhányszor differenciálható. Ekkor a ∞

X

k=0

f(k)_(x0)

k! (x−x0)

k ₍₂₁₎

hatványsort az f függvény x=x0 körüli Taylor - sorának nevezzük. Ha x0 = 0, akkor Maclaurin - sorról beszélünk.

Tétel: Az előbb definiált Taylor - sor az x=x0 helyen akkor és csak is akkor állítja elő függvényt, ha a maradéktag nullához tart n_{→ ∞} esetén.

Bizonyítás:

Néhány fontosabb függvény (x0 = 0) körüli Taylor-sora és azok konvergencia

intervalluma:

függvény Taylor - sor konvergencia intervallum

f(x) =ex

∞ X

k=0

xk

k! −∞< x <+∞

f(x) = sin x

∞ X

k=0

(₋1)k x2k+1

(2k+ 1)! −∞< x <+∞

f(x) = cos x

∞ X

k=0

(₋1)k x2k

(2k)! −∞< x <+∞

f(x) = shx

∞ X

k=0

x2k+1

(2k+ 1)! −∞< x <+∞

f(x) = chx

∞ X

k=0

x2k

(2k)! −∞< x <+∞

f(x) = ln(1 +x)

∞ X

k=0

(₋1)k xk+1

(k+ 1) −1< x <1

f(x) = arthx

∞ X

k=0

x2k+1

(2k+ 1) −1< x <1

f(x) = (1 +k)α

∞ X

k=0

α k

!

xk ₋1< x <1

2.3. Fourier-sorok

Definíció:Egy

tn(x) = a0+a1 cosx+b1 sinx+a2 cos 2x+b2 sin 2x+· · ·+an cosnx+bn sinnx

alakú függvényt trigonometrikus polinomnak nevezzük.

Definíció: Egy

a0+a1 cosx+b1 sinx+a2 cos 2x+b2 sin 2x+· · ·+an cosnx+bn sinnx . . .

alakú végtelen összeget trigonometrikus sornak hívunk.

Megjegyzés:

I. Az összegfüggvény, ha létezik 2π szerint periodikus.

II. Ha folytonos a függvény és egyenletesen konvergens, akkor az összegfüggvény is konvergens.

Definíció: Legyen f : R _→ R egy 2l szerint periodikus függvény, amely a [0,2l]

intervallumon Riemann - integrálható (f _∈R[0_,2_l]). Ekkor _f Fourier - során az alábbi

trigonometrikus sort értjük: ∞ X

k=0

akcos

x kπ l

!

+bksin

x kπ l

!!

, (22)

ahol

a0 = 1 2l

Z 2l

0 f(x)dx, ak = 1

l

Z 2l

0 f(x) cos

x kπ l

!

dx, bk=

1

l

Z 2l

0 f(x) sin

x kπ l

!

dx.

Megjegyzés:

I. Ha azf függvény előáll a fenti típusú összegként, akkor az együtthatók csak ilyenek

lehetnek.

II. Ha f függvény 2l szerint periodikus, akkor mindegy hogy [0,2l] intervallumon

in-tegrálom vagy eltolom az integrálás intervallumát.

Z 2l

0 f(x)dx=

Z a+2l

a f(x)dx.

Tétel: Ha a 2π szerint periodikus f függvénynek létezik az x0 pontban a jobb- és baloldali határértéke, továbbá azf függvény Fourier - sora ebben a pontban konvergens,

Bizonyítás:

Következmény: Ha az f függvény folytonos az x0 pontban, akkor a Fourier - sor összege a határértékkel egyezik meg, azaz f(x0).

Tétel: Ha a 2π szerint periodikus, integrálhatóf függvény szakaszonként monoton és

azx0 pontban differenciálható, akkor azf függvény Fourier - sorax0 pontban konvergens.

Bizonyítás:

Állítás: Ha egy függvény páros, akkor Fourier - sorában csak a0 és koszinuszos tagok szerepelnek, azaz bk = 0 mindenk-ra.

Bizonyítás:

Állítás: Ha egy függvény páratlan, akkor Fourier - sorában csak szinuszos tagok sze-repelnek, azaz a0 = 0 és ak= 0 minden k-ra.

Példa: Állítsuk elő az f(x) = x2, ha x _∈ [₋π, π] és f(x) = f(k +k _·2π) k _∈ Z függvény Fourier - sorát.

Mivel a függvény páros, bk= 0. Most [−π, π] intervallumon érdemes integrálni.

a0 meghatározása:

a0 =

ak meghatározása: