Kul minggu 2 smp 4 Besaran Karakteristik Penampang

Fakultas Teknik

Luas Penampang

a. Bidang berbentuk tak beraturan

Luas penampang didefinisikan sebagai integral dari luas elemen diferensial dA

dengan

A : Luas penampang secara keseluruhan (mm2) dA : Luas elemen diferensial = dx . Dy

Example:

antara

nilai mempunyai

yang sumbu x

oleh dibatasi

dan

-1 persamaan

mempunyai

yang parabola

semisegmen berbentuk

yang bidang

luas Tentukan

3.

2 2

b x h

b.

Penampang bidang mempunyai tepi tak beraturan dan tidak

terdefinisi secara sistematis sederhana

Luas penampang dapat ditentukan dengan membagi bidang

menjadi elemen-elemen terhingga yang kecil-kecil, kemudian

menjumlahkannya.

Dengan :

n = Jumlah elemen yang terbentuk

“A_i = Luas elemen ke –i (in2 _{atau mm}2₎

n

i

i

A

A

Momen Statis

Momen statis dari suatu luasan terhadap sumbu x dan y didefinisikan sebagai integral dari hasil kali luas setiap elemendiferensial dA dengan jarak titik berat luasan elemen tersebut terhadap suatu sumbu yang ditinjau

Terhadap sumbu x :

Terhadap sumbu y :

)

mm

atau

(in

y.dA

M

_sx 3 3

)

mm

atau

(in

x.dA

Titik Pusat Berat Benda

Titik pusat berat suatu penampang dapat dinyatakan sebagai titik tangkap resultante gaya dalam arah horizontal dan vertikal atau suatu titik dimana semua berat terpusat pada titik tersebut. Koordinat x dan y dari pusat berat sama dengan momen statis dibagi dengan luas penampang

M1 M2 M3

Dimana:

m1, m2, m3 = massa pias

x1, x2, x3 = jarak massa terhadap

titik pusat O pada sumbu x

y1, y2, y3 = jarak massa terhadap

titik pusat O pada sumbu y

= jarak titik berat benda terhadap sumbu x dan y

M = Σm

Prinsip Besaran Momen

M

mx

x

mx

x

m

x

m

x

m

x

m

x

m

_{1 1 2 2 3 3}

...

Dengan cara yang sama:

Titik Berat Bidang / Penampang

A

x

a

x

.

A

y

a

y

.

Dimana:

a1, a2, a3 = luas penampang pias

x1, x2, x3 = Jarak penampang terhadap sumbu y

y1, y2, y3 = Jarak penampang terhadap sumbu x

Contoh:

Tentukan titik berat penampang berikut:

y1 y2

X Y

Penampang ABCH:

a1 = 10 x 3 = 30 cm2

x1 = 5 cm

y1 = 15 – 3/2 = 13,5 cm

Penampang DEFG:

a2 = (15 – 3) x 3 = 36 cm2

x2 = 5 cm

y2 = ½ (15 – 3) = 6 cm

5

36

30

5

36

5

30

.

x

x

A

x

a

x

9

,

41

36

30

6

36

5

,

13

30

.

x

x

3. Tampang L

Bagian Luas

Momen Statis terhadap

x y

I (15x20)=300 300x10=300 300x7,5=2250 II -(10x15)=-150 -150x12,5=-1875 -150x10=-1500

Jumlah 150 1125 750

5 150

750 .

5 , 7 150 1125 .

o o

A x a A

M x

A y a A

M y

Soal:

MOMEN INERSIA BIDANG (I)

r1

r2

r3

a1

a2 a3

2 3 3 2

2 2 2

1 1

2

.

.

.

.

r

a

r

a

r

a

I

r

a

I

Jika luas bidang yang diarsir: a1 = dA1

a2 = dA2

a3 = dA3

Jarak terhadap sumbu y: r1 = x1

r2 = x2

r3 = x3

Maka momen inersia terhadap sumbu x:

Maka momen inersia terhadap sumbu y:

2 xx

dA

Example :

Inersia segiempat terhadap sumbu x melalui titik berat

dx dy y 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 3 2b 1 2b 1 2 2

.

12

1

24

2

24

24

8

1

3

8

1

.

3

2

1

3

2

1

3

.

.

3

1

.

I

d.dx

dA

I

2 1

b

d

db

db

db

b

d

b

d

b

d

b

d

d

x

dx

x

d

dA

x

b b y x x y

Momen inersia pada penampang berlubang

Momen inersia segiempat ABCD terhadap sumbu x:

Ixx = 1/12 b d3

Momen inersia segiempat EFGH terhadap sumbu x :

Ixx = 1/12 b1 d13

Momen inersia segiempat berlubang:

Ixx = Ixx (ABCD) - Ixx (EFGH)

Ixx = 1/12 b d3 - 1/12 b1 d13

Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang terhadap sumbu y :

Iyy = Iyy (ABCD) - Iyy (EFGH)

Momen Inersia Penampang Lingkaran

dA

=

2π . r .

dr

2π . r

= keliling sebuah cincin

r

= jari-jari cincin

dr

= lebar cincin

Momen Inersia Pada Sistem Koordinat Translasi

a & b = koordinat pusat berat O terhadap sumbu x’y’ sumbu x // sumbu x’

sumbu y // sumbu y’

A b bMs Iy Iy dA b dA x b dA x dA x b dA x Iy y . 2 ' . 2 . . ' 2 2 2 2 2

A

a

aMs

Ix

Ix

dA

a

dA

y

a

dA

dA

y

a

dA

Ix

x

.

2

'

2

y

y'

'

2 2 2 2 2

x’ = b + x y’ = a + y

Bila:

koordinat X, Y bertitik

tangkap pada titik berat

penampang, maka Ms_x dan

Ms_y= 0

Menentukan titik berat penampang

Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakan dalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslah diperhitungkan terhadap sumbu yang melalui titik berat penampang

Keterangan Luas (A) (mm2)

Jarak titik berat thd.

alas (y (mm)) A x y (mm3)

Luas Total 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000

Luas Rongga

dalam -(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000

dasar

dari

mm

3

,

28

800

.

1

000

.

51

A

A.y

y

Momen inersia terhadap sumbu x



untuk luas penampang luar

Dari gambar terlihat bahwa r2 _{= x}2 _{+ y} 2

Sehingga rumus momen inersia polar dapat juga ditulis sbb :

dA

y

dA

x

dA

y

x

dA

r

Ip

2 2

2 2

2

Ip = Ix + Iy

Hubungan Momen Inersia Polar dan Momen Inersia terhadap sumbu x dan y

2 2

b

A

Iyc

Iy

a

A

Ixc

Ix

b

a

A

Iyc

Ixc

b

A

a

A

Iyc

Ixc

Ip

Iy

Ix

Ip

2 2

2 2

:

maka

:

Berhubung

Momen Inersia Terhadap Dua Sumbu (Silang)



I

xy

Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yang ditinjau. Produk inersia dapat bertanda positif, negatif, atau

bernilai 0 tergantung pada letak sumbu x’y’ terhadap

penampang tersebut.

A

xy

xy

dA

I

.

.

'

'

y

Ixy

a

b

A

Ix

Sehingga, untuk koordinat translasi:

Jari-jari Inersia (Radius Girasi)

Jari-jari inersia terhadap sumbu x :

Jari-jari inersia terhadap sumbu y:

)

(

cm

A

I

r

_x x

)

(

cm

A

I

r

_y y

I_x dan I_y berturut-turut sama dengan momen inersia

Suatu penampang pada gambar. Tentukan :

Titik Berat Penampang

Bagian Luas A (cm2) Jarak terhadap

sumbu x

Momen statis:

A.Y Letak sumbu

I 150 x 150 = 2250 7,5 16875

II 150 x 30 = 4500 75+15 = 90 405000

III 15 x 25 = 375 165–12,5 = 152,5 57187,5

IV 375 152,5 57187,5

V ½ (15) (15) = 112,5 165-25-1/3.15=135 57187,5

VI 112,5 135 57187,5

VII ½ (20) (20) = 200 15+1/3(20)=21,67 4334

VIII 200 21,67 4334

Total 8125 Total 575293

A Ay y

8125 575293

y

81 , 70

0

9.536,86

23

5

96

990

03

26.1

Ixy

.

Iy

,

.

sumbu x dan sumbu y membagi

penampang sama besar,

sehingga sumbu x dan sumbu y disebut sumbu simetri. Jika suatu penampang mempunyai sumbu simetri, maka sumbu tersebut dan sumbu lainnya yang tegak lurus sumbu tersebut disebut sumbu utama.

sumbu X dan Y bukan sumbu utama sehingga Ixy ≠ 0. Untuk menentukan sumbu utama, X dan sumbu Y dirotasikan sebesar

ø sehingga menjadi sumbu X’ dan Y’  tidak semua sumbu

utama menjadi sumbu simetri.

Menentukan momen inersia utama Ix’ dan Iy’ serta sudut putar ø

ø x ø y AC ø AB AD CD AD AC x AF y AC sin cos sin ' ; '

y’ = y cos ø –x sin ø

ø y ø x AF ø y ø AB BD EC ø x ø OB OE EC OE OC AF sin cos sin sin cos cos

Syarat sumbu utama :

ø

Iy

Ix

ø

Ixy

y

Ix

2

sin

2

1

cos2

o

o

'

'

Ix

Iy

Ixy

ø

tg

2

2

ø

tg

ø

ø

tg

ø

tg

ø

2

1

1

2

cos

2

1

2

2

sin

xy

I

Ix

Iy

Iy

Ix

Iy

2 2

2

1

2

1

'

o

'

'

y

Ix

Sumbu x’ dan y’ adalah sumbu yang saling tegak lurus dimana

momen inersia dari sumbu tersebut mempunyai harga maximum dan minimum.

xy

I

Ix

Iy

Iy

Ix

Ix

2 2

Suatu penampang seperti pada gambar Tentukan :

1. Letak titik berat penampang tersebut 2. I_max & I_min