• Tidak ada hasil yang ditemukan

2) Sifat-sifat Bilangan Bulat a) Tertutup Penjumlahan

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "2) Sifat-sifat Bilangan Bulat a) Tertutup Penjumlahan"

Copied!
7
0
0

Teks penuh

(1)

1 Bilangan

A. Operasi Aritmatika 1) Penjumlahan

Definisi

Penjumlahan adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Contoh: 2 + 3 = 5

2) Pengurangan

Definisi

Pengurangan adalah menambahkan dengan lawan dari bilangan itu. Untuk setiap bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). Contoh: 2 − 3 = 2 + (−3) = −1

3) Perkalian

Definisi

Perkalian adalah penjumlahan berulang. Maksudnya adalah 3 𝑥 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5 atau ditulis 3 𝑥 5 = 5 + 5 + 5. Untuk setiap bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏. Contoh: 2 ⋅ 3 = 6

4) Pembagian

Definisi

Pembagian adalah ada sekumpulan benda sebanyak 𝑎 dibagi rata (sama banyak)

dalam 𝑏 kelompok. Jika 𝑎

𝑏= 𝑐 maka 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐 Untuk setiap

bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku𝑎

𝑏= 𝑎 ⋅

1

𝑏. Contoh: 2

3 = 2 ⋅

1 3

5) Perpangkatan

Definisi

Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.

𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 , Dimana 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . Contoh: 23 = 2 ⋅ 2 ×⋅2

6) Akar

Definisi

Akar merupakan kebalikan dari pangkat. 𝑛√𝑎= 𝑎𝑛1 , 𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . Contoh: √2

3

= √23 1 = 213

B. Bilangan Bulat

1) Pengertian Bilangan Bulat

Definisi

Bilangan Asli (ℕ) (1,2,3, ⋯ )

Bilangan Nol (0)

Bilangan Negatif (⋯ , −3, −2, −1)

Bilangan Bulat (ℤ) Bilangan Pecahan

(2)

2

Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli atau bilangan

bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Contoh:

{⋯ , −5 − 4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7, ⋯ }.

2) Sifat-sifat Bilangan Bulat a) Tertutup

Penjumlahan

Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ.

Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 ∈ ℤ atau 5 ∈ ℤ.

Perkalian

Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 ∈ ℤ.

Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 ∈ ℤ atau 6 ∈ ℤ.

b) Komutatif (Pertukaran) Penjumlahan (A1)

Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 = 3 + 2.

Perkalian (M1)

Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎.

Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2.

c) Asosiatif (Pengelompokkan) Penjumlahan (A2)

Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).

Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) atau 5 + 4 = 2 + 7.

Perkalian (M2)

Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐).

Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) atau 6 ⋅ 4 = 2 ⋅ 12.

d) Identitas

Penjumlahan (A3)

Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 𝑎 + 0 = 𝑎 atau 0 + 𝑎 = 𝑎.

Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 2 + 0 = 2 atau 0 + 2 = 2.

Perkalian (M3)

Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎.

Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 2 ⋅ 1 = 2 atau 1 ⋅ 2 = 2.

e) Invers

Penjumlahan (A4)

Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada − 𝑎 ∈ ℤ maka 𝑎 + (−𝑎) = 0 atau (−𝑎) + 𝑎 = 0.

Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada − 2 ∈ ℤ maka 2 + (−2) = 0 atau (−2) + 2 = 0.

(3)

3

Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 1𝑎∈ ℤ maka 𝑎 ⋅1𝑎= 1 atau 1

𝑎⋅ 𝑎 = 1.

Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1

2∈ ℤ maka 2 ⋅

1

2 = 1 atau 1

2⋅ 2 = 1.

e) Distributif (Penyebaran) Distributif Kiri (D1)

Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) + (𝑎 ⋅ 𝑐).

Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka 2 ⋅ (3 + 4) = (2 ⋅ 3) + (2 ⋅ 4) atau 2 ⋅ 7 = 6 + 8.

Distributif Kanan (D2)

Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = (𝑎 ⋅ 𝑐) + (𝑏 ⋅ 𝑐).

Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka (2 + 3) ⋅ 4 = (2 ⋅ 4) + (3 ⋅ 4) atau 5 ⋅ 4 = 8 + 12.

C. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Teorema

Yang akan dicari FPB-nya, sama dengan pangkat terkecil dari hasil kali dari faktor-faktor prima yang ada. Contoh: 21 = 1 × 3 × 7

45 = 1 × 32 × 5

Jadi, 𝐹𝑃𝐵(21, 45) = 1 × 3 = 3

21 = 1 × 3 × 7

45 = 1 × 32 × 5

60 = 1 × 22 × 3 × 5

Jadi, 𝐹𝑃𝐵(21, 45, 60) = 1 × 3 = 3

D. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Teorema

Yang akan dicari KPK-nya, sama dengan pangkat terbesar dari hasil kali dari faktor-faktor prima yang ada.Contoh: 3 = 1 × 3

4 = 1 × 22

Jadi, 𝐾𝑃𝐾(3, 4) = 1 × 3 × 22 = 12

3 = 1 × 3

4 = 1 × 22

5 = 1 × 5

Jadi, 𝐾𝑃𝐾(3, 4) = 1 × 3 × 22× 5 = 60

E. Perpangkatan Bilangan Bulat

Definisi

Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.

1) 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 , Dimana 𝑎, 𝑛 ∈ 𝒁 . Contoh: 23 = 2 ⋅ 2 ×⋅ 2 = 8

2) 𝑎−𝑛 = 1

𝑎𝑛 Contoh: 2−3 = 1

23 =

(4)

4 3) 𝑎0 = 1

Contoh: 20 = 1

4) 𝑎𝑚⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Contoh: 23⋅ 22 = 23+2 = 25 atau 4 ⋅ 8 = 32

5) 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 Contoh: 23

22 = 23−2 = 21 atau 8 ⋅ 4 = 2

F. Pola Bilangan Bulat

Definisi

Pola bilangan adalah aturan yang digunakan untuk membentuk kelompok bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu.

1) Pola Garis Lurus

𝑈1 = 2 = 1 + 1

𝑈2 = 3 = 2 + 1

𝑈3 = 4 = 3 + 1

𝑈4 = 5 = 4 + 1

𝑈𝑛 = 𝑛 + 1

2) Pola Segitiga

Pola bilangan yang membentuk segitiga.

3) Pola Persegi

𝑈1 = 1 = 12

𝑈2 = 4 = 22

𝑈3 = 9 = 32

𝑈4 = 16 = 42

𝑈5 = 25 = 52

𝑈𝑛 = 𝑛2

4) Pola Persegi Panjang

𝑈1 = 2 = 1 ⋅ 2 = 1 ⋅ (1 + 1) = 12+ 1

𝑈2 = 6 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ (2 + 1) = 22+ 2

𝑈3 = 12 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ (3 + 1) = 32+ 3

(5)

5

𝑈𝑛 = 𝑛2+ 𝑛

5) Pola Bilangan Genap

𝑈1 = 2 = 2(1)

𝑈2 = 4 = 2(2)

𝑈3 = 6 = 2(3)

𝑈4 = 8 = 2(4)

𝑈𝑛 = 2𝑛

6) Pola Bilangan Ganjil

𝑈1 = 1 = 2(1) − 1

𝑈2 = 3 = 2(2) − 1

𝑈3 = 5 = 2(3) − 1

𝑈4 = 7 = 2(4) − 1

𝑈𝑛 = 2𝑛 − 1

7) Pola Segitiga Pascal

𝑈1 = 1 = 20 = 21−1

𝑈2 = 2 = 21 = 22−1

𝑈3 = 4 = 22 = 23−1

𝑈4 = 8 = 23 = 24−1

𝑈𝑛 = 2𝑛−1

G. Bilangan Pecahan

1) Pengertian Bilangan Pecahan

Definisi

Bilangan Pecahan adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk

𝑎

𝑏; dimana 𝑎=pembilang danb=penyebut serta 𝑎,b∈ ℤdan b≠0. Contoh:

1 2,

3 4,

9 17, dll.

(6)

6

Pecahan Biasa adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk

𝑎

𝑏;𝑎,b∈ ℤdanb≠0. Contoh: 1 2,

3 4,

9 17, dll.

b) Pecahan Campuran

Pecahan Campuran adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk c𝑎

𝑏; 𝑎,b,c∈ ℤdanb≠0. Contoh: 1 1 2, 4

3 4, 7

9 17, 𝑑𝑙𝑙.

c) Pecahan Desimal

Pecahan Desimal adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎, 𝑏 ; 𝑎,b∈ ℤ. Contoh:1,5; 4,7; 9,3; dll.

d) Persen

Persen adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎%; 𝑎 ∈ ℤ. Contoh: 1%, 9%, 50%, dll.

3) Sifat-sifat Bilangan Pecahan a) 𝑎

𝑏+ 𝑐 𝑑 =

𝑎𝑑+𝑏𝑐

𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0

Contoh: 2

3+ 4 5=

(2⋅5)+(3⋅4) 3⋅5

b) 𝑎

𝑏− 𝑐 𝑑 =

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0

Contoh: 2

3− 4 5=

(2⋅5)−(3⋅4) 3⋅5

c) 𝑎 ⋅𝑏

𝑐 = 𝑎𝑏

𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, serta 𝑐 ≠ 0

Contoh: 2 ⋅3

4= 2⋅3

4

d) 𝑎

𝑏⋅ 𝑐 𝑑=

𝑎𝑐

𝑏𝑑, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0

Contoh: 2

3⋅ 4 5 =

2⋅4 3⋅5

e) 𝑎

𝑏∶ 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏⋅ 𝑑 𝑐 = 𝑎𝑑

𝑏𝑐, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0

Contoh: 2

3∶ 4 5= 2 3⋅ 5 4= 2⋅5 3⋅4

f) Setiap Pecahan dikalikan dengan kebalikannya adalah 1. Contoh: 2

3× 3 2= 1

g) Setiap Pecahan dibagi dengan 1 hasilnya adalah Pecahan itu sendiri. Contoh: 2

1= 2 ;

2 3

1 = 2 3

h) Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah Pecahan, maka hasilnya adalah kebalikan Pecahan itu.

Contoh: 12 3

= 1 ×32= 32

(7)

7 Contoh: 2

3× 3 2= 1

m) Setiap 1 dapat dibentuk bilangan Pecahan berangka sama. Contoh: 1 =2

2 = 3 3=

4

Referensi

Dokumen terkait

[r]

- Hal-hal yang menggugurkan Penawaran : Peserta tidak memenuhi syarat-syarat substansial yang diminta dalam Lembar Data Pemilihan (LDP) dan Lembar Data Kualifikasi (LDK)

b) peserta didik merumuskan pertanyaan terkait dengan permasalahan yang diajukan guru, cara apa saja yang bisa digunakan untuk memperoleh data?”,

Pada area pabrik ini akan diterapkan penggunaan sel surya yang berguna untuk mengolah cahaya alami matahari menjadi energi listrik untuk mengurangi penggunaan

yang di bebankan pada hak atas tanah sebagaimana dimaksud dalam Undang-undang Nomor 5 Tahun 1960 tentang Peraturan Dasar Pokok-Pokok Agraria, berikut atau tidak berikut benda-benda

Untuk memastikan bahwa perangkat lunak yang dibuat memiliki standar minimal kualitas, maka salah satu metode untuk pengukuran kualitas perangkat lunak secara kuantitatif

Pembuktian Kualifikasi dihadiri oleh Pimpinan Perusahaan atau yang mewakili Perusahaan (yang ditunjukkan dengan Surat Kuasa dari Perusahaan), dengan membawa dokumen sebagai

Suatu file extension adalah akhiran berupa nama pada file komputer yang teraplikasikan yang menunjukkan format dari file tersebut, sedangkan suatu file signature