1 Bilangan
A. Operasi Aritmatika 1) Penjumlahan
Definisi
Penjumlahan adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Contoh: 2 + 3 = 5
2) Pengurangan
Definisi
Pengurangan adalah menambahkan dengan lawan dari bilangan itu. Untuk setiap bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). Contoh: 2 − 3 = 2 + (−3) = −1
3) Perkalian
Definisi
Perkalian adalah penjumlahan berulang. Maksudnya adalah 3 𝑥 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5 atau ditulis 3 𝑥 5 = 5 + 5 + 5. Untuk setiap bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏. Contoh: 2 ⋅ 3 = 6
4) Pembagian
Definisi
Pembagian adalah ada sekumpulan benda sebanyak 𝑎 dibagi rata (sama banyak)
dalam 𝑏 kelompok. Jika 𝑎
𝑏= 𝑐 maka 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐 Untuk setiap
bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku𝑎
𝑏= 𝑎 ⋅
1
𝑏. Contoh: 2
3 = 2 ⋅
1 3
5) Perpangkatan
Definisi
Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.
𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 , Dimana 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . Contoh: 23 = 2 ⋅ 2 ×⋅2
6) Akar
Definisi
Akar merupakan kebalikan dari pangkat. 𝑛√𝑎= 𝑎𝑛1 , 𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . Contoh: √2
3
= √23 1 = 213
B. Bilangan Bulat
1) Pengertian Bilangan Bulat
Definisi
Bilangan Asli (ℕ) (1,2,3, ⋯ )
Bilangan Nol (0)
Bilangan Negatif (⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Bulat (ℤ) Bilangan Pecahan
2
Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli atau bilangan
bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Contoh:
{⋯ , −5 − 4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7, ⋯ }.
2) Sifat-sifat Bilangan Bulat a) Tertutup
Penjumlahan
Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 ∈ ℤ atau 5 ∈ ℤ.
Perkalian
Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 ∈ ℤ.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 ∈ ℤ atau 6 ∈ ℤ.
b) Komutatif (Pertukaran) Penjumlahan (A1)
Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 = 3 + 2.
Perkalian (M1)
Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2.
c) Asosiatif (Pengelompokkan) Penjumlahan (A2)
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) atau 5 + 4 = 2 + 7.
Perkalian (M2)
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) atau 6 ⋅ 4 = 2 ⋅ 12.
d) Identitas
Penjumlahan (A3)
Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 𝑎 + 0 = 𝑎 atau 0 + 𝑎 = 𝑎.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 2 + 0 = 2 atau 0 + 2 = 2.
Perkalian (M3)
Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 2 ⋅ 1 = 2 atau 1 ⋅ 2 = 2.
e) Invers
Penjumlahan (A4)
Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada − 𝑎 ∈ ℤ maka 𝑎 + (−𝑎) = 0 atau (−𝑎) + 𝑎 = 0.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada − 2 ∈ ℤ maka 2 + (−2) = 0 atau (−2) + 2 = 0.
3
Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 1𝑎∈ ℤ maka 𝑎 ⋅1𝑎= 1 atau 1
𝑎⋅ 𝑎 = 1.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1
2∈ ℤ maka 2 ⋅
1
2 = 1 atau 1
2⋅ 2 = 1.
e) Distributif (Penyebaran) Distributif Kiri (D1)
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) + (𝑎 ⋅ 𝑐).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka 2 ⋅ (3 + 4) = (2 ⋅ 3) + (2 ⋅ 4) atau 2 ⋅ 7 = 6 + 8.
Distributif Kanan (D2)
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = (𝑎 ⋅ 𝑐) + (𝑏 ⋅ 𝑐).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka (2 + 3) ⋅ 4 = (2 ⋅ 4) + (3 ⋅ 4) atau 5 ⋅ 4 = 8 + 12.
C. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Teorema
Yang akan dicari FPB-nya, sama dengan pangkat terkecil dari hasil kali dari faktor-faktor prima yang ada. Contoh: 21 = 1 × 3 × 7
45 = 1 × 32 × 5
Jadi, 𝐹𝑃𝐵(21, 45) = 1 × 3 = 3
21 = 1 × 3 × 7
45 = 1 × 32 × 5
60 = 1 × 22 × 3 × 5
Jadi, 𝐹𝑃𝐵(21, 45, 60) = 1 × 3 = 3
D. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Teorema
Yang akan dicari KPK-nya, sama dengan pangkat terbesar dari hasil kali dari faktor-faktor prima yang ada.Contoh: 3 = 1 × 3
4 = 1 × 22
Jadi, 𝐾𝑃𝐾(3, 4) = 1 × 3 × 22 = 12
3 = 1 × 3
4 = 1 × 22
5 = 1 × 5
Jadi, 𝐾𝑃𝐾(3, 4) = 1 × 3 × 22× 5 = 60
E. Perpangkatan Bilangan Bulat
Definisi
Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.
1) 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 , Dimana 𝑎, 𝑛 ∈ 𝒁 . Contoh: 23 = 2 ⋅ 2 ×⋅ 2 = 8
2) 𝑎−𝑛 = 1
𝑎𝑛 Contoh: 2−3 = 1
23 =
4 3) 𝑎0 = 1
Contoh: 20 = 1
4) 𝑎𝑚⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Contoh: 23⋅ 22 = 23+2 = 25 atau 4 ⋅ 8 = 32
5) 𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 Contoh: 23
22 = 23−2 = 21 atau 8 ⋅ 4 = 2
F. Pola Bilangan Bulat
Definisi
Pola bilangan adalah aturan yang digunakan untuk membentuk kelompok bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu.
1) Pola Garis Lurus
𝑈1 = 2 = 1 + 1
𝑈2 = 3 = 2 + 1
𝑈3 = 4 = 3 + 1
𝑈4 = 5 = 4 + 1
⋮
𝑈𝑛 = 𝑛 + 1
2) Pola Segitiga
Pola bilangan yang membentuk segitiga.
3) Pola Persegi
𝑈1 = 1 = 12
𝑈2 = 4 = 22
𝑈3 = 9 = 32
𝑈4 = 16 = 42
𝑈5 = 25 = 52
⋮
𝑈𝑛 = 𝑛2
4) Pola Persegi Panjang
𝑈1 = 2 = 1 ⋅ 2 = 1 ⋅ (1 + 1) = 12+ 1
𝑈2 = 6 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ (2 + 1) = 22+ 2
𝑈3 = 12 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ (3 + 1) = 32+ 3
5
⋮
𝑈𝑛 = 𝑛2+ 𝑛
5) Pola Bilangan Genap
𝑈1 = 2 = 2(1)
𝑈2 = 4 = 2(2)
𝑈3 = 6 = 2(3)
𝑈4 = 8 = 2(4)
⋮
𝑈𝑛 = 2𝑛
6) Pola Bilangan Ganjil
𝑈1 = 1 = 2(1) − 1
𝑈2 = 3 = 2(2) − 1
𝑈3 = 5 = 2(3) − 1
𝑈4 = 7 = 2(4) − 1
⋮
𝑈𝑛 = 2𝑛 − 1
7) Pola Segitiga Pascal
𝑈1 = 1 = 20 = 21−1
𝑈2 = 2 = 21 = 22−1
𝑈3 = 4 = 22 = 23−1
𝑈4 = 8 = 23 = 24−1
⋮
𝑈𝑛 = 2𝑛−1
G. Bilangan Pecahan
1) Pengertian Bilangan Pecahan
Definisi
Bilangan Pecahan adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk
𝑎
𝑏; dimana 𝑎=pembilang danb=penyebut serta 𝑎,b∈ ℤdan b≠0. Contoh:
1 2,
3 4,
9 17, dll.
6
Pecahan Biasa adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk
𝑎
𝑏;𝑎,b∈ ℤdanb≠0. Contoh: 1 2,
3 4,
9 17, dll.
b) Pecahan Campuran
Pecahan Campuran adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk c𝑎
𝑏; 𝑎,b,c∈ ℤdanb≠0. Contoh: 1 1 2, 4
3 4, 7
9 17, 𝑑𝑙𝑙.
c) Pecahan Desimal
Pecahan Desimal adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎, 𝑏 ; 𝑎,b∈ ℤ. Contoh:1,5; 4,7; 9,3; dll.
d) Persen
Persen adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎%; 𝑎 ∈ ℤ. Contoh: 1%, 9%, 50%, dll.
3) Sifat-sifat Bilangan Pecahan a) 𝑎
𝑏+ 𝑐 𝑑 =
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
Contoh: 2
3+ 4 5=
(2⋅5)+(3⋅4) 3⋅5
b) 𝑎
𝑏− 𝑐 𝑑 =
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
Contoh: 2
3− 4 5=
(2⋅5)−(3⋅4) 3⋅5
c) 𝑎 ⋅𝑏
𝑐 = 𝑎𝑏
𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, serta 𝑐 ≠ 0
Contoh: 2 ⋅3
4= 2⋅3
4
d) 𝑎
𝑏⋅ 𝑐 𝑑=
𝑎𝑐
𝑏𝑑, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
Contoh: 2
3⋅ 4 5 =
2⋅4 3⋅5
e) 𝑎
𝑏∶ 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏⋅ 𝑑 𝑐 = 𝑎𝑑
𝑏𝑐, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
Contoh: 2
3∶ 4 5= 2 3⋅ 5 4= 2⋅5 3⋅4
f) Setiap Pecahan dikalikan dengan kebalikannya adalah 1. Contoh: 2
3× 3 2= 1
g) Setiap Pecahan dibagi dengan 1 hasilnya adalah Pecahan itu sendiri. Contoh: 2
1= 2 ;
2 3
1 = 2 3
h) Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah Pecahan, maka hasilnya adalah kebalikan Pecahan itu.
Contoh: 12 3
= 1 ×32= 32
7 Contoh: 2
3× 3 2= 1
m) Setiap 1 dapat dibentuk bilangan Pecahan berangka sama. Contoh: 1 =2
2 = 3 3=
4