2) Sifat-sifat Bilangan Bulat a) Tertutup Penjumlahan

(1)

1 Bilangan

A. Operasi Aritmatika 1) Penjumlahan

Definisi

Penjumlahan adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Contoh: 2 + 3 = 5

2) Pengurangan

Definisi

Pengurangan adalah menambahkan dengan lawan dari bilangan itu. Untuk setiap bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). Contoh: 2 − 3 = 2 + (−3) = −1

3) Perkalian

Definisi

Perkalian adalah penjumlahan berulang. Maksudnya adalah 3 𝑥 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5 atau ditulis 3 𝑥 5 = 5 + 5 + 5. Untuk setiap bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏. Contoh: 2 ⋅ 3 = 6

4) Pembagian

Definisi

Pembagian adalah ada sekumpulan benda sebanyak 𝑎 dibagi rata (sama banyak)

dalam 𝑏 kelompok. Jika 𝑎

𝑏= 𝑐 maka 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐 Untuk setiap

bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku𝑎

𝑏= 𝑎 ⋅

1

𝑏. Contoh: 2

3 = 2 ⋅

1 3

5) Perpangkatan

Definisi

Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.

𝑎𝑛 _{= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎}

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 , Dimana 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . Contoh: 23 = 2 ⋅ 2 ×⋅2

6) Akar

Definisi

Akar merupakan kebalikan dari pangkat. 𝑛√𝑎= 𝑎𝑛1 , 𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . Contoh: √2

3

= √23 1 _{= 2}1₃

B. Bilangan Bulat

1) Pengertian Bilangan Bulat

Definisi

Bilangan Asli (ℕ) (1,2,3, ⋯ )

Bilangan Nol (0)

Bilangan Negatif (⋯ , −3, −2, −1)

Bilangan Bulat (ℤ) Bilangan Pecahan

(2)

2

Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli atau bilangan

bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Contoh:

{⋯ , −5 − 4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7, ⋯ }.

2) Sifat-sifat Bilangan Bulat a) Tertutup

Penjumlahan

Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ.

Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 ∈ ℤ atau 5 ∈ ℤ.

Perkalian

Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 ∈ ℤ.

Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 ∈ ℤ atau 6 ∈ ℤ.

b) Komutatif (Pertukaran) Penjumlahan (A1)

Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 = 3 + 2.

Perkalian (M1)

Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎.

Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2.

c) Asosiatif (Pengelompokkan) Penjumlahan (A2)

Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).

Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) atau 5 + 4 = 2 + 7.

Perkalian (M2)

Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐).

Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) atau 6 ⋅ 4 = 2 ⋅ 12.

d) Identitas

Penjumlahan (A3)

Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 𝑎 + 0 = 𝑎 atau 0 + 𝑎 = 𝑎.

Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 2 + 0 = 2 atau 0 + 2 = 2.

Perkalian (M3)

Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎.

Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 2 ⋅ 1 = 2 atau 1 ⋅ 2 = 2.

e) Invers

Penjumlahan (A4)

Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada − 𝑎 ∈ ℤ maka 𝑎 + (−𝑎) = 0 atau (−𝑎) + 𝑎 = 0.

Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada − 2 ∈ ℤ maka 2 + (−2) = 0 atau (−2) + 2 = 0.

(3)

3

Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 1_𝑎∈ ℤ maka 𝑎 ⋅1_𝑎= 1 atau 1

𝑎⋅ 𝑎 = 1.

Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1

2∈ ℤ maka 2 ⋅

1

2 = 1 atau 1

2⋅ 2 = 1.

e) Distributif (Penyebaran) Distributif Kiri (D1)

Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) + (𝑎 ⋅ 𝑐).

Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka 2 ⋅ (3 + 4) = (2 ⋅ 3) + (2 ⋅ 4) atau 2 ⋅ 7 = 6 + 8.

Distributif Kanan (D2)

Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = (𝑎 ⋅ 𝑐) + (𝑏 ⋅ 𝑐).

Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka (2 + 3) ⋅ 4 = (2 ⋅ 4) + (3 ⋅ 4) atau 5 ⋅ 4 = 8 + 12.

C. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Teorema

Yang akan dicari FPB-nya, sama dengan pangkat terkecil dari hasil kali dari faktor-faktor prima yang ada. Contoh: 21 = 1 × 3 × 7

45 = 1 × 32 _{× 5}

Jadi, 𝐹𝑃𝐵(21, 45) = 1 × 3 = 3

21 = 1 × 3 × 7

45 = 1 × 32 _{× 5}

60 = 1 × 22 _{× 3 × 5}

Jadi, 𝐹𝑃𝐵(21, 45, 60) = 1 × 3 = 3

D. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Teorema

Yang akan dicari KPK-nya, sama dengan pangkat terbesar dari hasil kali dari faktor-faktor prima yang ada.Contoh: 3 = 1 × 3

4 = 1 × 22

Jadi, 𝐾𝑃𝐾(3, 4) = 1 × 3 × 22 = 12

3 = 1 × 3

4 = 1 × 22

5 = 1 × 5

Jadi, 𝐾𝑃𝐾(3, 4) = 1 × 3 × 22× 5 = 60

E. Perpangkatan Bilangan Bulat

Definisi

Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.

1) 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 , Dimana 𝑎, 𝑛 ∈ 𝒁 . Contoh: 23 = 2 ⋅ 2 ×⋅ 2 = 8

2) 𝑎−𝑛 = 1

𝑎𝑛 Contoh: 2−3 = 1

23 =

(4)

4 3) 𝑎0 = 1

Contoh: 20 = 1

4) 𝑎𝑚⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Contoh: 23⋅ 22 = 23+2 = 25 atau 4 ⋅ 8 = 32

5) 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 Contoh: 23

22 = 23−2 = 21 atau 8 ⋅ 4 = 2

F. Pola Bilangan Bulat

Definisi

Pola bilangan adalah aturan yang digunakan untuk membentuk kelompok bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu.

1) Pola Garis Lurus

 _𝑈₁ _{= 2 = 1 + 1}

 _𝑈₂ _{= 3 = 2 + 1}

 _𝑈₃ _{= 4 = 3 + 1}

 _𝑈₄ _{= 5 = 4 + 1}

 _⋮

 _𝑈_𝑛 _{= 𝑛 + 1}

2) Pola Segitiga

Pola bilangan yang membentuk segitiga.

3) Pola Persegi

 _𝑈₁ _{= 1 = 1}2

 _𝑈₂ _{= 4 = 2}2

 _𝑈₃ _{= 9 = 3}2

 _𝑈₄ _{= 16 = 4}2

 _𝑈₅ _{= 25 = 5}2

 _⋮

 _𝑈_𝑛 _{= 𝑛}2

4) Pola Persegi Panjang

 _𝑈₁ _{= 2 = 1 ⋅ 2 = 1 ⋅ (1 + 1) = 1}2_{+ 1}

 _𝑈₂ _{= 6 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ (2 + 1) = 2}2_{+ 2}

 _𝑈₃ _{= 12 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ (3 + 1) = 3}2_{+ 3}

(5)

5

 _⋮

 _𝑈_𝑛 _{= 𝑛}2_{+ 𝑛}

5) Pola Bilangan Genap

 _𝑈₁ _{= 2 = 2(1)}

 _𝑈₂ _{= 4 = 2(2)}

 _𝑈₃ _{= 6 = 2(3)}

 _𝑈₄ _{= 8 = 2(4)}

 _⋮

 _𝑈_𝑛 _{= 2𝑛}

6) Pola Bilangan Ganjil

 _𝑈₁ _{= 1 = 2(1) − 1}

 _𝑈₂ _{= 3 = 2(2) − 1}

 _𝑈₃ _{= 5 = 2(3) − 1}

 _𝑈₄ _{= 7 = 2(4) − 1}

 _⋮

 _𝑈_𝑛 _{= 2𝑛 − 1}

7) Pola Segitiga Pascal

 _𝑈₁ _{= 1 = 2}0 _{= 2}1−1

 _𝑈₂ _{= 2 = 2}1 _{= 2}2−1

 _𝑈₃ _{= 4 = 2}2 _{= 2}3−1

 _𝑈₄ _{= 8 = 2}3 _{= 2}4−1

 _⋮

 _𝑈_𝑛 _{= 2}𝑛−1

G. Bilangan Pecahan

1) Pengertian Bilangan Pecahan

Definisi

Bilangan Pecahan adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk

𝑎

𝑏; dimana 𝑎=pembilang danb=penyebut serta 𝑎,b∈ ℤdan b≠0. Contoh:

1 2,

3 4,

9 17, dll.

(6)

6

Pecahan Biasa adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk

𝑎

𝑏;𝑎,b∈ ℤdanb≠0. Contoh: 1 2,

3 4,

9 17, dll.

b) Pecahan Campuran

Pecahan Campuran adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk c𝑎

𝑏; 𝑎,b,c∈ ℤdanb≠0. Contoh: 1 1 2, 4

3 4, 7

9 17, 𝑑𝑙𝑙.

c) Pecahan Desimal

Pecahan Desimal adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎, 𝑏 ; 𝑎,b∈ ℤ. Contoh:1,5; 4,7; 9,3; dll.

d) Persen

Persen adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎%; 𝑎 ∈ ℤ. Contoh: 1%, 9%, 50%, dll.

3) Sifat-sifat Bilangan Pecahan a) 𝑎

𝑏+ 𝑐 𝑑 =

𝑎𝑑+𝑏𝑐

𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0

Contoh: 2

3+ 4 5=

(2⋅5)+(3⋅4) 3⋅5

b) 𝑎

𝑏− 𝑐 𝑑 =

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0

Contoh: 2

3− 4 5=

(2⋅5)−(3⋅4) 3⋅5

c) 𝑎 ⋅𝑏

𝑐 = 𝑎𝑏

𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, serta 𝑐 ≠ 0

Contoh: 2 ⋅3

4= 2⋅3

4

d) 𝑎

𝑏⋅ 𝑐 𝑑=

𝑎𝑐

𝑏𝑑, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0

Contoh: 2

3⋅ 4 5 =

2⋅4 3⋅5

e) 𝑎

𝑏∶ 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏⋅ 𝑑 𝑐 = 𝑎𝑑

𝑏𝑐, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0

Contoh: 2

3∶ 4 5= 2 3⋅ 5 4= 2⋅5 3⋅4

f) Setiap Pecahan dikalikan dengan kebalikannya adalah 1. Contoh: 2

3× 3 2= 1

g) Setiap Pecahan dibagi dengan 1 hasilnya adalah Pecahan itu sendiri. Contoh: 2

1= 2 ;

2 3

1 = 2 3

h) Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah Pecahan, maka hasilnya adalah kebalikan Pecahan itu.

Contoh: 1₂ 3

= 1 ×3₂= 3₂

(7)

7 Contoh: 2

3× 3 2= 1

m) Setiap 1 dapat dibentuk bilangan Pecahan berangka sama. Contoh: 1 =2

2 = 3 3=

4