Matriks
Pengertian
Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi
yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit
oleh dua kurung siku.
Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau
elemen matrik.
Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar,
sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan
huruf kecil.
Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang
Lambang Matrik
mn m
m
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2 1
2 22
21
1 12
11
a
ijA
Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:
atau
penulisan yang lebih singkat :
dengan
i
=1, 2, ..., m dan
j
=1, 2, ..., n.
Contoh Matriks
A=
B=
Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2
a
23= 1032
b
23= tidak ada
b
21= sin
x
13
80
1032
0
4
23451
,
0
2
2
7 3
1 3 2
sin
ln
2
1
x
e
x
Persamaan Matrik
jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama, matrik A dan B adalah sama ditulis A=B
Contoh:
Jika A= dan B=
dan A=B, maka
a = -1, b = 1, dan c = 1.
b
a
4
1
3
2
b
c
c
Jenis Matriks (1/7)
Matrik Bujursangkar banyak baris = banyak kolom
Matrik Segitiga Atas,
matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a
A Diagonal Utama
nn n n a a a a a a 0 0
0 22 2
Jenis Matriks (2/7)
Matrik Segitiga Bawah,
matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol
Matrik Diagonal,
matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol nn n
n a a
Jenis Matriks (3/7)
Matrik Satuan,
matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan
Matrik skalar,
matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c0. Efek dari perkalian sebarang
matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c.
I4=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1 I2=
1 0
Jenis Matriks (4/7)
Matrik Nol,
matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo
dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5 c c c 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
=c = cIn
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0O23= O
Jenis Matriks (5/7)
Matrik Invers,
matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1
d
b
c
a
b
a
c
d
bc
ad
1
Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu:
, maka A-1 =
A=
4 3
3 2
3 2
3 4
3 . 3 4 . 2
1
2 3
3 4
Jenis Matrik (6/7)
Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo
lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya.
Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan
matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan
menggunakan determinan bersama dengan matrik
adjoin.
Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus
Contoh
Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks
segitiga atas, segitiga bawah, diagonal,
ataukah skalar?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Jawab
Termasuk matrik segitiga atas
Termasuk matrik segitiga bawah
Termasuk matrik diagonal
Bukan matrik skalar, karena entry pada
Jenis Matriks (7/7)
Matrik Simetri, yaitu
matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT
Matrik Skew-Simetri,
matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.
0
4
2
4
5
1
2
1
Contoh
Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c
A=
Jawab:
AT= = = -A
Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti:
a = -1, b = 0, dan c = -2
0
2
0
0
1
0
c
b
a
0
2
0
0
1
0
c
b
a
0
2
0
0
1
0
c
b
Operasi Matriks
Penjumlahan Matrik
Perkalian Matrik dengan Skalar
Transpos Matrik
Penjumlahan matrik
Jika
A
=[
a
ij], dan
B
=[
b
ij]
Jumlah matrik
A
dan
B
ditulis:
C
=
A
+
B
Syarat: ordo
A
= ordo
B
Aturan:
Contoh
A= , B= , C=
Hitung: A+B, B+C Jawab:
A+B= + =
A+B=
B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B
10 4 7 5 2 5 3 2 1 10 4 7 5 2 5 3 2 1 7 1 3 4 2 312
2 2 3 4 7 1 3 4 2 312
Perkalian dengan Skalar
A
=[
a
ij] dan
k
skalar, maka:
kA
=[
ka
ij] {
semua entri dikalikan dengan k
}
(-4) = =
Akibat:
-A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B)
7
1
3
4
2
3
12
)
7
).(
4
(
1
).
4
(
3
).
4
(
4
).
4
(
)
2
).(
4
(
).
4
(
72
28
4
12
16
8
14
Transpos matrik
A
=[
a
ij],
i
=1, 2, ...,
n
;
j
=1, 2, ...,
m
Jika
B
=
A
T, dan
B
=[
b
ji], maka
b
ji=
a
ji{
kolom matrik A menjadi baris matrik AT}
A
=
A
T=
4 5
3 3
7 2
4 3 7
5 3
2
Perkalian dua Matrik
A =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}
C=AB
cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=
vektor baris ke-i dari matrik A
vektor kolom ke-k dari matrik B
entri matrik C adalah: cik =
m
j
jk ij
b
a
1
i
a
k
b
i
Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)
A= , B= , dan C=AB
c23=
c
21=
c
13=
5 1 2 4 1 3 2 6 7
1 4 1 2 3 0
2 1 5
7 1 2
2 1 5
2 1 0
3 1 4
7
1
2
= 4 – 1 – 35 = -32
= 0 – 1 + 10 = 9
Contoh Perkalian Matrik (2/2)
c
21=
= -9 + 4 – 24 = -29
C
=
AB
= =
5
1
2
4
1
3
2
6
7
1
4
1
2
3
0
32
32
9
23
29
7
3 1 4
6
Trase matrik
A
=[
a
ij],
i
=1, 2, ...,
n
dan
j
=1, 2, ...,
n
{
harus matrik bujur sangkar}
Trase(A)=
a
11+
a
22+ …+
a
nn{
penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama}
A =
,
trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1
1 1
4
5 2 3
3 0
Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)
Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar
1. A+B=B+A {sifat komutatif}
2. (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}
3. A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan}
4. A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}
5. k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k}
6. (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l}
7. (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}
8. 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}
Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4)
9.
AB
BA {
tidak berlaku komutatif perkalian
}
10.
(AB)C=A(BC)
{
sifat asosiatif
}
11.
AI=IA=A {
sifat matrik satuan, identitas perkalian
}
12.
AO=OA=O
{
sifat matrik nol
}
13.
(
A
+
B
)
T=
A
T+
B
T{
sifat transpos matrik terhadap
penjumlahan
}
14.
Jika AB=O,
tidak
dijamin berlaku: A=O atau B=O
atau BA=O
Contoh AB
BA
6
6
5
0
2
2
1
4
3
0
2
1
AB
2
2
11
4
3
0
2
1
2
2
1
4
BA
Contoh AB=0
0
2
0
1
A
4
3
0
0
B
4
3
0
0
0
2
0
1
AB
0
0
0
0
= , berarti AB=O
0
2
0
1
4
3
0
0
BA
5
0
0
0
Tetapi
Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4)
16.
trase(A+B) = trase(A) + trase(B)
17.
trase(A
T) = trase(A)
Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4)
20. (A+B)C=AC+BC 21. C(A+B)=CA+CB
22. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik}
23. (kA)T=kAT
24. An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0
25. ArAs=Ar+s, jika r dan s bilangan asli
26.
k n k
k
k
d d
d
D
0 0
0 0
0 0
2 1
Contoh Tambahan (1/3)
3 1 1 2 2 7 1 4 T1
8
0
6
1 0 8 6
1
3
1
2
2
1
7
4
1 0 8 6 T 5 25 4 1
5
4
25
1
1
3
1
2
2 1 7 4
1
13
12
9
Jika A = , dan B =
(A + B)T = =
AT + BT =
+ =
(AB)T =
=
ATBT =
= 2 1 7 4
1 3
1 2
5
4
25
1
BTAT =
Contoh Tambahan (2/3)
T
1
2
2 7 2 1
1
2
2 1 2 7
2
1
7
4
1 2 2 1 2 7
6
2
2
4
2 0 0 2
3
1
1
2
6 2 2 4(½B)T = =
½ BT = ½ =
–2 A =
–2IA = =
3 1 1 2 2 7 1 4
Contoh Tambahan (3/3)
1 8 0 6 trase(A) = 2 + 3 = 5 trase(B) = 4 + (-2) = 2trase(A+B) = trase( ) = 6 + 1 = 7
3
1
1
2
3
1
1
2
8 5 5 3 8 5 5 3
3
1
1
2
19 18 18 1A2 = AA= =
A3 = A2A =
= 3 1 1 2 2 7 1 4
Tantangan 1
A. Jika
Hitunglah:
1. BA, AB
2. E2, E3, E100,
3. A2 + 2A + I,(A+I)2,
4. (BC - D)T, CTBT– DT,
5. 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A), 6. trase(A + E)
0 3 2 1 A 3 1 2 0 0 2 1 B
1
0
3
5
4
13Tantangan 2
B.
Tentukan persamaan-persamaan dalam
variabel-variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga
berlaku persamaan matrik di bawah ini:
3 0 8 6
7 1 1
2
z
z
x
y
w
w
x
z
y
y
x
x
2
2
= -
87 3
Tantangan 3
C. Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A
dan B berordo 2x2
D. Tentukan syarat agar berlaku: A2 – B2 = (A - B)(A + B), jika A
dan B berordo 2x2
E. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y,
dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik berikut:
z
y
x
z
x
y
x
y
x
2
3
17
9
1
1
Tantangan 4
F. Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :
dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk: tentukan matrik A, X dan B]
G. Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan
mengingat sifat I = AA-1 .
H. Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka
trace(A)=0
2
4
1
3
2
y
x
Tantangan 5
I. Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik
diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal utama D dipangkatkan k.
J. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S = ½ (A + AT) adalah matrik simetri.
K. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R =
½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri.
L. Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku
hubungan A = S + R.
M. Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AAT
