1
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-Nya, sehingga kami dapat menyusun modul ini. Modul ini disusun semaksimal mungkin untuk memenuhi tugas mata kuliah Program Komputer I.
Modul ini berisikan tentang materi-materi dan konsep-konsep trigonometri yang ada di SMA/SMK seperti perbandingan suatu sudut pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri, dan sebagainya. Modul ini menjelaskan berbagai persoalan yang berhubungan dengan trigonometri. Dalam modul ini juga dijelaskan mengenai langkah-langkah petunjuk penggunaan program Quis Maker yang kami gunakan untuk mendampingi bahan ajar ini.
Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk para siswa SMA/SMK. Namun demikian, kami sadar modul ini masih banyak kekurangannya dan memerlukan masukan maupun perbaikan.
Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan modul ini.
2 Kami mengharapkan kritik dan saran dari Bapak, teman-teman, dan masyarakat pada umumnya khususnya para siswa SMA/SMK, sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya bagi para siswa SMA/SMK.
Cirebon, Oktober 2013
3
Daftar Isi
Kata Pengantar ... 1 Daftar Isi ... 2 Kata-kata Motivasi ... 4 Tujuan Pembelajaran ... 5 Trigonometri ... 6A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku ... 6
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa ... 8
C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran ... 10
D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi 11
E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub ... 14
F. Identitas Trigonometri ... 16
G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana ... 16
H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut ... 18
I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap ... 21
J. Merubah Rumus Perkalian ke Rumus Penjumlahan atau Pengurangan ... 21
Rangkuman ... 23
Aplikasi Trigomometri Dalam Kehidupan Sehari-hari ... 26
Latihan Soal ... 28
Daftar Pustaka ... 29
Petunjuk Penggunaan Program Quiz Maker ... 30
Biodata Kelompok ... 31 Deskripsi Kerja Kelompok ...
4
Kata-kata Motivasi
“Hidup tanpa mempunyai TUJUAN sama seperti “Layang-layang putus” Miliki tujuan dan PERCAYALAH Anda dapat mencapainya.”
“Jangan pernah putus asa atas mimpimu, karena mimpi bisa memberimu tujuan hidup. Ingatlah, sukses bukan merupakan kunci utama dari kebahagiaan, sebenarnya kebahagiaan adalah kunci sukses yang utama. Semangat!”
“Waktu adalah pedang, jika kamu bisa mengguanakan dengan baik, maka pasti akan membawa keberuntungan, tapi jika kau menggunakan dengan buruk, pasti dia akan membunuhmu.”
5
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat :
- Memahami perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-siku.
- Menggunakan perbandingan trigonometri, kemudian menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran.
- Memahami dan mampu menerapkan tentang perbandingan trigonometri sudut yang berelasi.
- Memahami dan mampu menerapkan tentang konsep koordinat cartesius dan kutub, serta pengkonversian koordinat cartsius dan kutub.
- Memahami konsep identitas trigonometri.
- Memahami dan mampu menyelesaikan tentang persamaan trigonometri sederhana.
- Memahami konsep trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut - Memahami konsep trigonometri sudut rangkap.
6
Trigonometri
Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu tempat tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan efisien.
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi (segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas, trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut pada segitiga tersbut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga pada trigonometri, maka sgitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (90°) artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku.
A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku Gambar disamping adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut siku-sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a, panajang sisi di hadapan B adalah b, dan panjang sisi di hadapan C adalah c Terhadap sudut :
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
A B C c a b Gb. 2.2 perbandingan trigonometri
7 A B C c a b Gb. 2.3 perbandingan trigonometri
Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut sebagai berikut :
1. c a hipotenusa panjang A sudut depan di siku -siku sisi panjang sin 2. c b hipotenusa panjang A sudut (berimpit) dekat di siku -siku sisi panjang os c 3. b a A sudut dekat di siku -siku sisi panjang A sudut depan di siku -siku sisi panjang tan 4. a c A sudut depan di siku -siku sisi panjang hipotenusa panjang csc 5. b c A sudut dekat di siku -siku sisi panjang hipotenusa panjang sec 6. a c A sudut depan di siku -siku sisi panjang A sudut dekat di siku -siku sisi panjang cot
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus : cos sin tan dan sin cos cot cos 1 sec dan sin 1 csc Contoh :
Pada gambar di samping segitiga siku-siku ABC dengan panjang a 24 dan c 25.
Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk .
Penyelesaian :
Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras
2 2 24 25 b 625576 497
8 25 24 sin c a 24 25 csc a c 25 7 os c c b 7 25 sec b c 7 24 tan b a 24 7 cot a c
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu : 0, 30, 45,60, dan 90.
Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45, dan 60. Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
Dari gamabar 2.4.a dapat ditentukan 2 2 1 2 1 45 sin 2 1 2 45 csc 2 2 1 2 1 45 cos 2 1 2 45 sec 1 1 1 45 tan 1 1 1 45 cot Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan
2 1 0 3 sin 3 2 1 2 3 0 6 sin Gb. 2.4.b. sudut istimewa 3 60 30 1 2
Gb. 2.4.a. sudut istimewa
2
45
1
9 3 2 1 2 3 0 3 cos 2 1 0 6 cos 3 3 1 3 1 30 tan 3 1 3 60 tan 2 1 2 30 csc 3 3 2 3 2 60 csc 3 3 2 3 2 30 sec 2 1 2 60 sec 3 1 3 30 cot 3 3 1 3 1 60 cot
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0 30 45 60 90 sin 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 cos 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 tan 0 3 3 1 1 3 Tak terdefinisi cot Tak terdefinisi 3 1 3 3 1 0 Contoh : 1. 2 2 1 2 2 1 2 1 45 cos 30 sin 2. 3 3 1 2 2 1 3 2 2 1 60 cot 45 cos 60 tan 45 sin 6 3 2 6 6 4 6 6 1 6 2 1
10 C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran
P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa
r y
x2 2
OP dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut : 1. r y OP panjang P ordinat α sin 4. y r P ordinat OP panjang α csc 2. r x OP panjang P absis α cos 5. x r P absis OP panjang α sec 3. x y P absis P ordinat α tan 6. y x P ordinat P absis α cot
Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.
y x X Y P(x,y) r 1 Gb. 2.5 O
Gb. 2.6 titik di berbagai kuadran y x X Y P(x,y) r 1 O y x X Y P(x,y) r 2 O y x X Y r P(x,y) 3 O y x X Y r P(x,y) 4 O
11 Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran :
Perbandingan Trigonometri Kuadran I II III IV Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + - Csc + + - - Sec + - - + Cot + - + -
D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90
), (180 ), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - ) Dari gambar 2.7 diketahui
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
Akibat pencerminan garis y x, sehingga diperoleh :
a. XOP = dan XOP1 = 90 -
b. x1 = x, y1= y dan r1 = r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh : a. sin
90
cos 1 1 r x r y y x X Y P(x,y) r (90-) P1(x1,y1) r1 x1 y1 y = xGb. 2.7. sudut yang berelasi
12 y x X Y P(x,y) r (180-) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O
Gb. 2.8. sudut yang berelasi
b. cos
90
sin 1 1 r y r x c. tan
90
cot 1 1 y x x yDari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut :
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - ) Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 -
b. x1 = x, y1= y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan : a. sin
180
sin 1 1 r y r y b. cos
180
cos 1 1 r x r x c.
tan 180 tan 1 1 x y x yDari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. sin
90
cos d. csc
90
sec b. cos
90
sin e. sec
90
cosec c. tan
90
cot f. cot
90
tana. sin
180
sin d. csc
180
csc b. cos
180
cos e. sec
180
sec c. tan
180
tan f. cot
180
cot13 3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )
Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah
bayangan dari titik P(x,y) akibat pencrminan terhadap garis y x, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 +
b. x1 = x, y1= y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan :
a. sin
180
sin 1 1 r y r y b. cos
180
cos 1 1 r x r x c.
tan 180 tan 1 1 x y x y x yDari hubungan di atas diperoleh rumus :
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) Dari gambar 2.10 diketahui titik
P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
Akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = -
b. x1 = x, y1= y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan : a. sin
sin 1 1 r y r y a. sin
180
sin d. csc
180
csc b. cos
180
cos e. sec
180
sec c. tan
180
tan f. cot
180
coty x X Y P(x,y) r (180+) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O
Gb. 2.9. sudut yang berelasi
y x X Y P(x,y) ,y) r (360-1) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O -
14 b. cos
cos 1 1 r x r x c. tan
tan 1 1 x y x yDari hubungan di atas diproleh rumus :
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 , misalnya sin (360) sin
E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub
Cara lain dalam menyajikan letgak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub.
Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub P(r, ) seperti pada gambar 2.12.
Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan :
r x cos xrcos r y sin y rsin a. sin
sin d. csc
csc b. cos
cos e. sec
sec c. tan
tan f. cot
coty x X Y P(x,y) O Gb 2.11. koordinat kartesius y x X Y P(r, ) r O Gb. 2.12 koordinat kutub
15 Jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, ) dapat dicari dengan hubungan :
2 2 y x r x y
tan arc tan x y
, arc tan adalah invers dari tan Contoh :
1. Ubahlah menjadi koordinat kutub a. B(5,5) b. C(4,4 3)
2. Ubahlah P (12,60) menjadi koordinat kartesius Penyelesaian :
1. a. B (5,5) b. C(4,4 3)
x 5, y 5 (kuadran I) x 4, y 4 3 (kuadran II)
2 2 5 5 r r
42
4 3 2 25255 2 1648 64 8 1 5 5 tan 45 3 4 3 4 tan 120 Jadi, B (5 2,45) jadi, C (8, 120)2. P (12,60) diubah ke koordinat kartesius x r cos y r sin 12 cos 60 12 sin 60 12(1/2) 12 3 2 1 x 6 y 6 3 Jadi koordinat kartesiusnya P
6,6 3
16 F. Identitas Trigonometri
Dari gambar di samping diperoleh ,
r y
sin dan r x2y2 . Sehingga
2 2 2 2 2 2 cos sin r x r y 1 2 2 2 2 2 r r r y x
G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat prbandingan trigonometri suatu sudut, dimana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.
Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.
1. Menyelesaikan persamaan sin x sin Dengan mengingat rumus
Sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh :
2. Menyelesaikan persamaan cod x cos Dengan mengingat rumus
coscos dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh Jika sin x sin maka
x + k. 360 atau x (180) + k. 360 , k B
Jika cos x cos maka
x + k. 360 atau x + k. 360, k B y x X Y P(x, y) r O Gb. 2.13. rumus identitas sin2 +cos2 1 Jadi
17 3. Menyelesaikan persamaan tan x tan
Dengan mengingat rumus
tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka diperoleh:
contoh :
Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0 x 360. a) 2 1 sinx c) tanx 3 b) 3 2 1 cosx Penyelesaian : a) 2 1
sinx sin x sin 30
x + k. 360 untuk k = 0 x 30
x (180) + k.360 untuk k = 0 x 180 30 150
b) 3
2 1
cosx cos x cos 30
x + k. 360 untuk k = 0 x 30
x + k. 360 untuk k = 1 x 30 + 360 330 c) tanx 3 tan x tan 120
x + k. 180 untuk k = 0 x 120
untuk k = 1 x 120 + 180 300
Catatan : satuan sudut selain derajat adalah radian, dimana satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.
AOB = 1 rad
Hubungan radian dengan derajat 360 = r r 2 rad
Jika tan x tan maka x + k. 180 , k B
r r
O A
18 = 2 rad
180 = rad
pendekatan 1 rad = 57,3.
Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula menggunakan satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x sin A maka penyelesaiannya adalah :
x A + k. 2 atau x ( A) + k. 2 , k B dimana x dan A masing-masing satuannya radian.
H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus cos ( + ) dan cos ()
Pada gambar disamping diketahui garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumkus cos ( + ).
AC AD cos
ACcos ADPada segitiga siku-siku CGF
CF GF
sin GFCFsin …………..(1) Pada segitiga siku-siku AFC,
AC CF sin CFACsin …………..(2) AC AF β cos AFACcos …………..(3) Pada segitiga siku-siku AEF,
AF AE
cos AE AFcos …………..(4) Dari (1) dan (2) diperoleh
A D E B C G F Gb. 2.14
19 GF AC sin sin
Karena DE GF maka DE AC sin sin Dari (3) dan (4) diperoleh
AE AC cos cos sehingga AD AE DE
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin
jadi
Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu disubstitusikan ke rumus cos ( + ).
cos ( ) cos ( + ())
cos cos () sin sin ()
cos cos sin (sin )
cos cos + sin sin jadi
2. Rumus sin ( + ) dan sin ()
Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus seblumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan
cos (90) sin
sin ( + ) cos (90 ( + ))
cos ((90 ) )
cos (90 ) cos + sin (90 ) sin
sin cos + cos sin jadi
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).
sin () sin ( + ())
cos ( + ) cos cos sin sin
cos () cos cos + sin sin
20
sin cos () + cos sin ()
sin cos + cos (sin )
sin cos cos sin Jadi
3. Rumus tan ( + ) dan tan () Dengan mengingat cos sin tan , maka sin sin cos cos sin cos cos sin ) ( cos ) ( sin ) ( tan cos sin cos sin 1 cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin cos cos sin ) ( tan tan tan 1 tan tan jadi
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ). tan () tan ( + ()) ) (-tan tan 1 ) (-tan tan ) tan ( tan 1 ) ( tan tan tan tan 1 tan tan jadi
sin () sin cos cos sin
tan tan 1 tan tan ) ( tan tan tan 1 tan tan ) ( tan
21 I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Dari rumus-rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.
1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos Jadi
2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2
Jadi
Rumus-rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.
cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2
cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2
2cos2 1 1 2 sin2 Sehingga 3. 2 tan 1 tan 2 tan tan 1 tan tan ) ( tan 2 tan Jadi
J. Merubah Rumus Perkalian ke Rumus Penjumlahan/Pengurangan 1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh :
cos ( + ) cos cos sin sin cos () cos cos + sin sin cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos Jadi
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin2
1) cos 2 cos2 sin2
2) cos 2 2cos2 1 3) cos 2 1 2 sin2 2 tan 1 tan 2 2 tan + cos ( + ) + cos () 2 cos cos
22 cos ( + ) cos cos sin sin
cos () cos cos + sin sin cos ( + ) cos () 2 sin sin Jadi
2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut diperoleh : sin ( + ) sin cos + cos sin
sin () sin cos cos sin sin ( + ) + sin () 2 sin cos Jadi
sin ( + ) sin cos + cos sin sin () sin cos cos sin sin ( + ) + sin () 2 sin cos Jadi
cos ( + ) cos () 2 sin sin
+ sin ( + ) + sin () 2 sin cos
23
RANGKUMAN
1. Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
2. Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri tiap kuadran
3. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi a. perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - )
0 30 45 60 90 sin 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 cos 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 tan 0 3 3 1 1 3 tak terdefinisi cot tak terdefinisi 3 1 3 3 1 0 Perbandingan Trigonometri Kuadran I II III IV Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + - Csc + + - - Sec + - - + Cot + - + -
1) sin
90
cos 4) csc
90
sec 2) cos
90
sin 5) sec
90
csc 3) tan
90
cot 6) cot
90
tan24 1) sin
180
sin 4) csc
180
csc 2) cos
180
cos 5) sec
180
sec 3) tan
180
tan 6) cot
180
cot b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )c. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )
d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )
4. Menyelesaikan persamaan trigonometri a. Jika sin x sin maka
x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B b. Jika cos x cos maka
x + k. 360 atau x + k. 360, k B c. Jika tan x tan maka x + k. 180 k B 5. Rumus-rumus trigonometri
a. Jumlah dan selisih dua sudut
1) cos ( + ) cos cos sin sin 2) cos () cos cos + sin sin 3) sin ( + ) sin cos + cos sin 4) sin () sin cos cos sin
1) sin
180
sin 4) csc
180
csc 2) cos
180
cos 5) sec
180
sec 3) tan
180
tan 6) cot
180
cot1) sin
sin 4) cosec
cosec 2) cos
cos 5) sec
sec 3) tan
tan 6) cot
cot25 5) tan tan 1 tan tan ) ( tan 6) tan tan 1 tan tan ) ( tan
b. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap 1) sin 2 2 sin cos
2) cos 2 cos2 sin2
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2 sin2
c. Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan 1) cos ( + ) + cos () 2 cos cos
2) cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin 3) sin ( + ) + sin () 2 sin cos 4) sin ( + ) sin () 2 cos sin
3) 2 tan 1 tan 2 2 tan
26
Aplikasi Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari-hari
Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segitiga. Tigonometri memiliki banyak aplikasi pada kehidupan sehari-hari, diantaranya pada bidang teknik sipil dan astronomi.
Trigonometri memili kaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita, baik secara langsung dan tidak langsung. Ilmu perbintangan dan konstruksi bangunan sangat dibantu oleh hadirnya trigonometri.
Seiring perkembangan jaman, trigonometri terus dikembangkan, dipadukan dengan disiplin kelimuan lain guna kemaslahatan bersama. Sebagai bagian dari rentetan artikel tentang aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari
28
Soal Latihan
1. Carilah nilai dari
a. sin 120 c. tan 150 e. cot 330 b. cos 300 d. sec 210 f. csc 120 2. Nilai dari sin 45 cos 135 + tan 210 sec 60 = …..
3. Jika cos = 5 4
tan 0 90 maka nilai tan adalah …… 4. Koordinat kutub dari titik (-10,10) adalah…..
5. Koordinat kartesius dari titik (9, 120) adalah ……. 6. Hitunglah panjang AB gambar 2.15 disamping 7. Jika nilai tan =
x 1
maka nilai dari cos2 - sin2 = ………..
8. Himpunan penyelesaian dari sin x = 3 2 1
untuk 0 x 360 adalah …..
9. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = sin 30 untuk 0 x 360 adalah ……..
10. Tulislah rumus cos (2x + 3y)!
11. Jika dan sudut-sudut lancip dngan sin = 5 3 dan sin = 13 5 , hitunglah sin ( + ) 12. Sederhanakan bentuk
cos 100 cos 10 + sin100 sin 10
13. Persamaan sin x = cos x dipenuhi untuk x = …… 14. Buktikan 1 + tan2 = sec 2
15. Sederhanakan a. (1 – cos ) (1 + cos ) b. tan2 - sec2 A B C 30 12 Gb. 2.15
29
Daftar Pustaka
Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika.
Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika.
Winarno & Al. Krismanto. (2011) Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.
abuindri.files.wordpress.com/.../modul-matematika-ke... setiyaantara.files.wordpress.com/.../modul-matematika... modul.smkn1-cirebon.sch.id/indexs.php?...doc.../07%2...
30
Petunjuk Penggunaan Program Quis Maker
1. Masukan CD quis maker kami setelah anda mempelajari materi Trigonometri dari modul yang kami buat.
2. Setelah Anda masukkan CD kuiz kami, silahkan anda klik dua kali file yang kami beri judul kuis Trigonometri (dalam bentuk Adobe flash player).
3. Masukkan password untuk mengaksesnya, yakni “0987654321”. 4. Klik START, kemudian akan muncul soal.
5. Pilih jawaban yang menurut anda benar. Setelah selesai menjawab lalu klik “submit”. Ulangi langkah nomer (5) dalam menjawab soal-soal selanjutnya.
6. Jawab soal-soal tersebut satu persatu secara teliti.
7. Apabila anda ingin mengubah jawaban yang sudah anda jawab pada soal sebelumnya, silahkan klik pilihan “prev”, dan silahkan rubah jawaban anda.
8. Setelah anda selesai mengerjakan 20 soal yang ada, dan anda sudah yakin akan jawaban anda. Silahkan klik pilihan “submit”. 9. Setelah anda submit jawaban anda, silahkan anda klik pilihan
“result” untuk mengetahui hasilnya, dan nilai dari ujian anda pun akan keluar.
10. Kriteria kelulusannya adalah 75% atau skor minimal 150. 11. Setelah keluar hasil ujian anda, silahkan klik pilihan “review”.
12. Setelah anda mengklik pilihan review, silahkan anda klik pilihan “Review Feedback” untuk mengetahui jawaban anda benar atau salah, serta mengetahui penyelesaian soal untuk jawaban yang benar.
13. Setelah selesai melihat feedback satu soal, silahkan klik pilihan “next”. Dan lakukan hal sama pada soal yang lain untuk mengetahui jawaban anda benar atau salah, serta mengetahui penyelesaian soal untuk jawaban yang benar.
31
BIODATA ANGGOTA KELOMPOK
Nama : Endang Nurkholis TTL : Cirebon, 6 April 1993
Alamat : Jl. P. Antasari Blok Desa RT 002/RW 02 Desa Kejuden Kec. Depok Kab. Cirebon
45115
No. HP : 08996380821
Email : endang.nurkholis@gmail.com
Nama : Aprian Nurdin
TTL : Kuningan, 16 Juni 1992 Alamat : Jl. Raya Cilimus Gg. Kramat
RT 004 / RW 001 Desa Cilimus Kec. Cilimus Kab. Kuningan 45556
No. HP : 087723066944
32
Deskripsi Kerja Kelompok
Dalam pembuatan proyek UTS ini kami membagi tugas, dimana Endang Nurkholis bertugas membuat Model Pembelajaran dan Aprian Nurdin membuat Quiz Maker. Dalam proses pengerjaannya kami saling membantu satu sama lain. Proses pengerjaan proyek ini kami kerjakan secara bersama-sama di kampus, kosan teman dan kami mengerjakan sendiri-sendiri di rumah masing-masing.
Pembuatan Model Pembelajaran
Pada tahap awal kami mengumpulkan materi bahan ajar yang akan di buat dari berbagai sumber seperti buku dan dari internet. Setelah kami mendapatkan bahan untuk membuat modul ini, lalu kami ketik dan copy materi yang sudah kami dapat ke dalam microsoft word untuk membuat modul ini. Pertama kami mengetik Isi dari modul ini, lalu dilanjutkan dengan bagian-bagian yang lainnya. Pengetikan modul ini dilakukan oleh Endang Nurkholis dengan bantuan dari Aprian Nurdin.
Pembuatan Quiz Maker
Kami mengumpulkan materi yang akan digunakan untuk membuat quiz maker. Sumbernya dari latihan soal, contoh soal yang ada di modul, dan dari berbagai sumber lainnya. Pembuatan quiz maker ini dilakukan oleh Aprian Nurdin dan dibantu oleh Endang Nurkholis.
