UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4
Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi.
Pembatasan Pelindungan Pasal 26
Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap:
i. penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian
ilmu pengetahuan;
iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran, kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan
iv. penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran.
Sanksi Pelanggaran Pasal 113
1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).
2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
PENGANTAR PELUANG DAN DISTRIBUSI Jaka Nugraha Desain Cover : Herlambang Rahmadhani Sumber : https://www.shutterstock.com Tata Letak : Titis Yuliyanti Proofreader : Avinda Yuda Wati
Ukuran : xii, 166 hlm, Uk: 15.5x23 cm ISBN : No ISBN Cetakan Pertama : Bulan 2020 Hak Cipta 2020, Pada Penulis Isi diluar tanggung jawab percetakan Copyright © 2020 by Deepublish Publisher
All Right Reserved Hak cipta dilindungi undang-undang Dilarang keras menerjemahkan, memfotokopi, atau
memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini tanpa izin tertulis dari Penerbit. PENERBIT DEEPUBLISH (Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)
Anggota IKAPI (076/DIY/2012)
Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581 Telp/Faks: (0274) 4533427 Website: www.deepublish.co.id www.penerbitdeepublish.com E-mail: [email protected] Maret 2020 978-623-02-0744-0
v
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, penyusunan buku dengan judul Pengantar Peluang dan Distribusi telah selesai disusun. Pemahaman tentang konsep probabilitas atau peluang merupakan materi dasar yang wajib dipelajari, karena konsep probabilitas menjadi dasar dalam merumuskan metode-metode statistika. Oleh karena itu buku ini ditulis untuk membantu pembaca dalam memahami konsep probabilitas/peluang dan distribusi.
Buku disusun dalam lima bab dan harus dipelajari secara berurutan dari bab satu sampai dengan bab lima. Pada setiap bab telah disertai soal latihan yang dapat digunakan untuk menguji penguasaan materi yang dibahas pada bab yang bersesuaian. Bab I berisi pembahasan tentang himpunan dan ruang sampel yang tujuannya adalah pembaca dapat mendefinisikan kejadian, memahami konsep ruang sampel dan dapat mencacah anggota ruang sampel. Bab II dibahas materi pembelajaran tentang peluang kejadian. Tujuan pembelajaran bab II adalah pembaca memahami dan dapat menghitung peluang suatu kejadian, memahami sifat-sifat peluang, memahami peluang bersyarat, memahami kaidah Bayes, memahami konsep dasar probabilitas.
Selanjutnya pada bab III dibahas materi tentang variabel random dan fungsi distribusi. Tujuan pembelajaran bab III adalah pembaca dapat mendefinisikan variabel random (diskret dan kontinu), dapat mendefinisikan distribusi probabilitas, dapat mendefinisikan distribusi gabungan dan distribusi marginal. Pembahasan tentang distribusi dilanjutkan pada bab 4 yang berisi fungsi distribusi khusus. Tujuan bab IV adalah pembaca mengenal dan mengidentifikasi serta menghitung peluang kejadian pada beberapa distribusi khusus.
Pada bab V berisi pembahasan tentang nilai harapan, transformasi dan fungsi variabel random, dan fungsi pembangkit momen. Tujuannya adalah pembaca memahami dan dapat menghitung nilai harapan,
memahami konsep transformasi variabel random dan distribusinya, memahami konsep dasar fungsi pembangkit momen.
Masih banyak kekurangan dalam penulisan buku ini, sehingga saran dan kritik sangat penulis harapkan.
Yogyakarta, 24 Februari 2020 Penulis
vii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ... v
DAFTAR ISI ... vii
DAFTAR TABEL ... x
DAFTAR GAMBAR ... xi
1. HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL ... 1
1.1. Himpunan ... 1
1.2. Ruang Sampel ... 7
1.3. Mencacah Titik Sampel ... 11
1.3.1. Kaidah Penggandaan ... 11
1.3.2. Permutasi... 12
1.3.3. Kombinasi ... 13
1.4. Mencacah Titik Sampel Menggunakan Excel ... 17
2. PELUANG KEJADIAN ... 19
2.1. Definisi Peluang... 19
2.2. Peluang Bersyarat ... 27
2.3. Kaidah Bayes ... 37
3. VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI DISTRIBUSI ... 43
3.1. Definisi Variabel Random ... 43
3.2. Fungsi Peluang dan Fungsi Distribusi ... 44
3.3. Fungsi Kepadatan (Densitas) Peluang... 52
3.4. Distribusi Bersama dan Kebebasan pada Variabel Random ... 57
3.5. Distribusi Campuran ... 66
4. DISTRIBUSI KHUSUS ... 73
4.1. Distribusi Khusus Variabel Random Diskret ... 73
4.1.1. Distribusi Bernouli ... 73
4.1.2. Distribusi Binomial ... 74
4.1.3. Distribusi Multinomial ... 79
4.1.4. Distribusi Hipergeometrik ... 80
4.1.5. Distribusi Hipergeometrik Peubah Ganda ... 81
4.1.6. Distribusi Geometrik ... 83
4.1.7. Distribusi Binomial Negatif ... 85
4.1.8. Distribusi Poisson ... 87
4.1.9. Distribusi Seragam ... 90
4.1.10. Hubungan Antara Distribusi ... 90
4.1.11. Menghitung Nilai Peluang Menggunakan Excel dan Program R ... 92
4.2. Distribusi Khusus pada Variabel Random Kontinu ... 93
4.2.1. Distribusi Eksponensial ... 93
4.2.2. Distribusi Normal ... 94
4.2.3. Distribusi Uniform (Seragam) ... 99
4.2.4. Distribusi Beta B(x|;α) (untuk ;α > -1) ... 99
4.2.5. Distribusi Gamma G(x| α; β;A) (untuk α > -1, β>0 ) ... 100
4.2.6. Distribusi Chi Kuadrat ... 101
4.2.7. Distribusi F ... 102
4.2.8. Distribusi Student-t ... 103
4.2.9. Distribusi Weibull ... 104
4.2.10. Distribusi Eksponen Rangkap (Laplace) ... 105
4.2.11. Distribusi Cauchy ... 106
4.2.12. Distribusi Pareto ... 107
4.2.13. Distribusi Rayleigh ... 108
4.2.14. Distribusi Logistik Baku ... 109
4.2.15. Menghitung Nilai Densitas dan Peluang dalam Distribusi Kontinu Menggunakan Excel dan Program R ... 110
ix
5. HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL
RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN ... 117
5.1. Harga Harapan ... 117
5.2. Variansi ... 118
5.3. Transformasi Variabel Random ... 120
5.4. Kovariansi dan Korelasi ... 122
5.5. Nilai Pendekatan untuk Mean dan Variansi ... 127
5.6. Mean dan Variansi pada Beberapa Distribusi Khusus ... 130
5.6.1. Distribusi Diskret... 130
5.6.2. Distribusi Kontinu ... 134
5.7. Distribusi dari Transformasi Variabel Random ... 141
5.7.1. Distribusi Transformasi Berdasarkan Fungsi Distribusi ... 141
5.7.2. Distribusi Transformasi Berdasarkan Fungsi Probabilitas... 144
5.7.3. Distribusi Bivariat (Dua Variabel Random) ... 149
5.8. Fungsi Pembangkit Momen ... 154
REFERENSI ... 163
GLOSARIUM ... 164
1.
HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL
1. HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL1.1. Himpunan
Sebelum membahas ruang sampel, kita perlu memahami kembali konsep himpunan beserta operasi-operasinya. Himpunan adalah kumpulan atau koleksi objek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan (tak diperhatikan keberurutan objek–objek anggotanya). Objek–objek itu disebut anggota atau elemen himpunan. Himpunan dapat juga didefinisikan sebagai kumpulan objek yang memiliki kesamaan sifat. Objek dapat berupa orang, binatang atau benda-benda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Kesamaan sifat merupakan syarat keanggotaan suatu objek menjadi anggota sebuah himpunan. Sebuah himpunan disimbolkan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Penulisan himpunan dapat dilakukan dengan menuliskan syarat keanggotaannya atau menyebutkan/menuliskan masing-masing anggota. Misalkan A adalah himpunan bilangan bulat 1 sampai dengan 10. Himpunan A dapat dituliskan dengan
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} atau
A = {x| x anggota bilangan bulat 1 sampai dengan 10}
Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca: a) dapat mendefinisikan percobaan dan kejadian b) memahami konsep ruang sampel diskret dan kontinu c) dapat mencacah anggota ruang sampel
19
2.
PELUANG KEJADIAN
2. PELUANG KEJADIAN2.1. Definisi Peluang
Telah didefinisikan bahwa dalam himpunan, S sebagai semesta pembicaraan. Sedangkan dalam pengamatan suatu percobaan, S sebagai Ruang sampel, yaitu himpunan semua kemungkinan hasil (dalam statistika). Setiap s anggota S (s S) disebut kejadian dasar atau unsur. A S maka A disebut kejadian.
Teori peluang bagi ruang sampel berhingga (finite) memberikan segugus bilangan nyata yang disebut pembobot atau peluang yang bernilai 0 sampai 1. Peluang merupakan fungsi real dengan domainnya adalah kejadian. Peluang dapat dituliskan menggunakan simbol P(.). Beberapa sifat peluang:
a. P(.) disebut fungsi peluang jika untuk setiap kejadian A S maka
0 ≤P(A)≤1, untuk setiap A
P(Ø) = 0 dan P(S) = 1
b. Peluang suatu kejadian A adalah peluang semua titik sampel dalam A.
Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat: a) memahami konsep dasar peluang
b) menjelaskan sifat-sifat peluang c) menghitung peluang suatu kejadian d) menghitung peluang bersyarat e) menggunakan kaidah Bayes f) menjelaskan kejadian bebas
3.
VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI
DISTRIBUSI
3. VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI DISTRIBUSI
3.1. Definisi Variabel Random
Variabel random adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel. Variabel random dapat disimbolkan dengan X(e) = x untuk setiap e S (Ruang Sampel) dan x R (bilangan Real).
Bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi banyaknya sama dengan bilangan cacah, maka variabel randomnya termasuk dalam variabel random diskret.
Contoh 3.1.
Menguji calon mahasiswa baru, hasilnya lulus (L) dan tidak lulus (G). Jika terdapat 3 calon maka
Ruang sampel S = {LLL, LLG, LGL, GLL, LGG, GLG, GGL, GGG} Variabel random X yaitu banyaknya calon yang lulus, maka
Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi dalam bab ini, pembaca dapat: a) menjelaskan sifat-sifat peluang
b) menghitung peluang suatu kejadian c) menghitung peluang bersyarat d) menggunakan kaidah Bayes e) menjelaskan kejadian bebas
73
4.
DISTRIBUSI KHUSUS
4. DISTRIBUSI KHUSUS
4.1. Distribusi Khusus Variabel Random Diskret
4.1.1. Distribusi Bernouli
Pengamatan atas kejadian yang dapat diklasifikasikan ke dalam dua sifat yang umumnya disebut “sukses” dan “gagal”. Variabel random X menyatakan hasil pengamatan (sukses atau gagal). Hasil sukses dinyatakan dengan X=1 dan hasil gagal dinyatakan dengan X=0. Peluang sukses dinyatakan dengan parameter π, sehingga
P(X=1) = π (4.1)
Peluang gagal, dapat dinyatakan sebagai
P(X=0) = 1- π. (4.2)
Variabel random X mempunyai distribusi Bernouli yang dapat dinyatakan dalam fungsi
1
(1 ) ; x 0, 1
( )
0 untuk x yang lainnya
x x f X x (4.3) dengan 0 1. Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat mengidentifikasi beberapa distribusi khusus, menghitung peluang kejadian pada distribusi khusus
5.
HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL
RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
5. HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
5.1. Harga Harapan
Harga harapan (expected value) disimbolkan dengan E(.). Jika X adalah
variabel random diskret dengan fungsi probabilitas (pdf: probability
density function) f(x), maka harga harapan untuk X didefinisikan sebagai
.
( )
( )
semua X
E X
xf x
(5.1)Jika X adalah variabel random kontinu dengan pdf f(x), maka harga
harapan untuk X didefinisikan sebagai
( )
( )
E X
xf x dx
(5.2)E(X) biasa disebut mean (rata-rata) atau ukuran pemusatan,
E(X) = μ = μX
Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat:
a) menghitung harga harapan, mean dan variansi
b) menghitung distribusi pada transformasi variabel random
c) menjelaskan fungsi pembangkit momen.
d) menggunakan fungsi pembangkit momen untuk menghitung mean dan
164
GLOSARIUM
Fungsi densitas : Disebut juga Probability Density Function (PDF)
atau fungsi kepadatan peluang, adalah fungsi yang memiliki sifat tertentu yaitu bernilai positif dan nilai integral atas seluruh domainnya bernilai satu.
Fungsi distribusi : Disebut Cumulative Density Function (CDF) yang
merupakan kumulatif (jumlah atau integral) dari fungsi densitas.
Fungsi peluang : Fungsi real yang bernilai 0 sampai 1 dengan
domainnya adalah kejadian
Kejadian Hasil pengamatan atas suatu percobaan
Parameter : Sebarang nilai yang menjelaskan ciri populasi
Percobaan Suatu proses untuk mendapatkan hasil pengamatan
atas suatu fenomena
Ruang Sampel : Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu
percobaan atau observasi
Sampel : Suatu himpunan bagian dari populasi
Statistik : Sebarang nilai yang menjelaskan ciri sampel
Variabel random : Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang
ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel Variabel random
diskret
: Variabel random yang ruang sampelnya mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi banyaknya sama dengan bilangan cacah
Variabel random kontinu
: Variabel random yang ruang sampelnya mengandung jumlah titik sampel yang tak-terhingga yang sama dengan banyaknya titik di garis bilangan.
INDEKS SUBJEK
B Binomial, x, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 85, 86, 87, 90, 91, 92, 93, 113, 130, 131 C Cauchy, 106, 107, 161 Chi Kuadrat, 101, 102, 134, 143 D Distribusi binomial, x, 74, 77, 78, 85, 91, 97, 131 Distribusi F, 102, 135, 144 E Eksponensial, 93, 94, 111, 112, 134, 159 F Fungsi densitas, 52, 53, 54, 56, 57, 61, 64, 65, 68, 70, 71, 72, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 119, 120, 125, 134, 139, 150, 151, 160, 164 Fungsi distribusi, v, 43, 44, 45, 46, 55, 56, 57, 58, 59, 66, 68, 69, 70, 71, 72, 92, 93, 110, 111, 141, 154, 161, 164 Fungsi peluang, 19, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 58, 59, 63, 64, 74, 75, 120, 156, 164 G Gamma, 69, 70, 100, 101, 111, 112, 134, 137, 158 Geometrik, x, 83, 84, 85, 130, 132, 157 K Kombinasi, 13, 15, 17, 74 L Laplace, 97, 105, 106 Logistik baku, 109, 110 N Normal, 94, 96, 97, 98, 104, 110, 111, 112, 114, 116, 134, 138, 145, 146, 150, 159166 P Parameter, 73, 79, 80, 92, 93, 94, 99, 100, 110, 111, 112, 146, 148, 157, 159, 164 Pareto, 107, 108, 161 Permutasi, 12, 13, 14, 16, 17 Poisson, x, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 113, 130, 132, 146, 148, 157 R Rayleigh, 108, 109 S Student-t, 103, 104, 135 V Variabel random, v, x, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 63, 64, 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 79, 83, 84, 85, 86, 88, 89, 90, 92, 93, 94, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 127, 128, 129, 130, 134, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 156, 161, 162, 164 W Weibull, 104, 105, 111, 112, 137
