Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1.
1. mendmendeskreskripsikipsikan dan menan dan menganaganalisis klisis konseonsep vektop vektor;r; 2.
2. mendesmendeskripsikripsikan dan mkan dan menyelesenyelesaikan oaikan operasi perasi aljabar aljabar vektorvektor;; 3.
3. mendemendeskripskripsikan dan mesikan dan menyelenyelesaikasaikan masalah jan masalah jarak dan sudurak dan sudut dua vektot dua vektor;r; 4.
4. memecamemecahkan hkan masalah masalah menggunamenggunakan kan kaidah-kkaidah-kaidah aidah vektorvektor..
Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik: Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik: 1.
1. menunjukkan perilamenunjukkan perilaku disiplin, siku disiplin, sikap kerja sama, sikap kerja sama, sikap kritiskap kritis, dan cermat dalam bek, dan cermat dalam bekerja menyelerja menyelesaikan maesaikan masalah kontesalah kontekstualkstual;; 2.
2. memiliki dan menunmemiliki dan menunjukkan sikap ingin tjukkan sikap ingin tahu, motivasi inahu, motivasi internal, rasa senternal, rasa senang dan tertarik, ang dan tertarik, dan percaya diri dan percaya diri dalam melakukandalam melakukan kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata.
kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata.
Latihan 5 Latihan 5 Latihan 2 Latihan 2 Konsep Vektor Konsep Vektor Vektor Vektor Ilmuwan yang Ilmuwan yang Mengembangkan Mengembangkan Analisis Vektor Analisis Vektor Sistem Koordinat Sistem Koordinat di R di R33 Operasi Vekor Operasi Vekor Latihan 3 Latihan 3 Informasi Informasi Pengertian Vektor Pengertian Vektor Latihan 4 Latihan 4 Latihan 1 Latihan 1 Ulangan Harian Ulangan Harian Soal-Soal Soal-Soal Vektor di R Vektor di R22 Vektor di R Vektor di R33 Vektor Posisi Vektor Posisi Kesamaan Vektor Kesamaan Vektor Penjumlahan Vektor Penjumlahan Vektor Pengurangan Vektor Pengurangan Vektor
Perkalian Bilangan dengan Vektor Perkalian Bilangan dengan Vektor Perbandingan Vektor Perbandingan Vektor Panjang Vekor Panjang Vekor Panjang Vektor Panjang Vektor Jarak Antara Dua Titik Jarak Antara Dua Titik Vektor Satuan Vektor Satuan
Menyatakan Vektor Menggunakan Vektor Menyatakan Vektor Menggunakan Vektor Satuan pada Sumbu Koordinat
Satuan pada Sumbu Koordinat Perkalian Skalar
Perkalian Skalar Dua Vekor Dua Vekor
Hasil Kali Skalar Dua Vektor Hasil Kali Skalar Dua Vektor Besar Sudut Antara Dua Vektor Besar Sudut Antara Dua Vektor Dua Vektor Saling Tegak Lurus Dua Vektor Saling Tegak Lurus Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
Pemantapan Pemantapan Tugas Tugas Kegiatan Kegiatan
Membuktikan Rumus Perbandingan Vektor Membuktikan Rumus Perbandingan Vektor Membuktikan Rumus Membuktikan Rumus a a ·· b b = = || a a |||| b b | cos| cosθθ Proyeksi Vektor
Proyeksi Vektor Proyeksi Skalar OrtogonalProyeksi Skalar Ortogonal Proyeksi Vektor Ortogonal Proyeksi Vektor Ortogonal
Menentukan Vektor Menentukan Vektor
Menggunakan Operasi Vektor Menggunakan Operasi Vektor Menggunakan Vektor Satuan Menggunakan Vektor Satuan
Membuktikan Sifat-Sifat Perkalian Skalar Membuktikan Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
Dua Vektor Materi
5.
5. JawaJawaban: ban: ee
Koordinat titik P(4, 8) Koordinat titik P(4, 8) dan Q(2, –3), maka dan Q(2, –3), maka vektor vektor PQPQ digambar-kan seperti di samping. kan seperti di samping. Dari titik P ke kiri 2 Dari titik P ke kiri 2 satuan (–2) dan ke satuan (–2) dan ke bawah 11 satuan (–11) bawah 11 satuan (–11) sampai di titik Q, maka sampai di titik Q, maka
PQ PQ = = ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ −− ⎞⎞⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 11 11 .. Cara lain: Cara lain: Koordinat titik P(4, 8), Koordinat titik P(4, 8), maka x
maka xPP = 4 dan y = 4 dan yPP = = 8.8. Koordinat titik Q(2, –3), Koordinat titik Q(2, –3), maka x
maka xQQ = 2 dan y = 2 dan yQQ = –3. = –3. PQ PQ = = ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ −− ⎞⎞⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ Q Q PP Q Q PP xx xx yy yy = = − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − −− ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 44 3 3 88 = = − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 11 11 Jadi, Jadi, PQPQ = = − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 11 11 .. 6.
6. JawaJawaban: ban: cc
Koordinat titik K(2, 3) dan Koordinat titik K(2, 3) dan KLKL
= = ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ −− ⎞⎞⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 5 5 4
4 , berarti dari, berarti dari titik K ke kiri 5
titik K ke kiri 5 satuan dan ke atas 4 satuan sampaisatuan dan ke atas 4 satuan sampai di titik L. perhatikan gambar berikut.
di titik L. perhatikan gambar berikut.
Diperoleh koordinat titik L(–3, 7). Diperoleh koordinat titik L(–3, 7). Cara lain:
Cara lain:
Misalkan koordinat titik L(x
Misalkan koordinat titik L(xLL, y, yLL), maka:), maka: KL KL = = ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ −− ⎞⎞⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ L L KK L L KK xx xx yy yy ⇔⇔ − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 5 5 4 4 = = − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ L L L L xx 22 yy 33 Dari kesamaan tersebut diperoleh: Dari kesamaan tersebut diperoleh: –5 = x –5 = xLL – 2 – 2 ⇔⇔ x x L L = –3 = –3 4 = y 4 = yLL – 3 – 3 ⇔⇔ y y L L = 7 = 7
Jadi, koordinat titik L(–3, 7). Jadi, koordinat titik L(–3, 7). A.
A. Pilihlah jawaban yang paling tepat.Pilihlah jawaban yang paling tepat. 1.
1. JawaJawaban: ban: dd
Gaya mempunyai besar/nilai yaitu besarnya gaya Gaya mempunyai besar/nilai yaitu besarnya gaya yang bekerja dan mempunyai arah yaitu arah gaya yang bekerja dan mempunyai arah yaitu arah gaya bekerja. Oleh karena mempunyai besar dan arah bekerja. Oleh karena mempunyai besar dan arah maka gaya merupakan besaran vektor.
maka gaya merupakan besaran vektor.
Panjang, massa, volume, dan suhu mempunyai Panjang, massa, volume, dan suhu mempunyai besar/nilai tetapi tidak mempunyai arah. Oleh besar/nilai tetapi tidak mempunyai arah. Oleh karena hanya mempunyai besar maka panjang, karena hanya mempunyai besar maka panjang, massa, volume, dan suhu termasuk besaran massa, volume, dan suhu termasuk besaran skalar.
skalar. 2.
2. JawaJawaban: ban: bb Pangkal vektor Pangkal vektor MNMN
adalah titik M dan ujungnya adalah titik M dan ujungnya titik N. Dari titik M ke kanan 6 satuan (6) dan ke titik N. Dari titik M ke kanan 6 satuan (6) dan ke bawah 3 satuan (–3) sampai di titik N. Jadi, vektor bawah 3 satuan (–3) sampai di titik N. Jadi, vektor
MN MN = = ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ 6 6 3 3 .. 3.
3. JawJawabanaban: c: c
Dari kedudukan titik A, B, dan C
Dari kedudukan titik A, B, dan C diperoleh vektor-diperoleh vektor-vektor berikut. vektor berikut. BA BA = = − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 5 5 0 0 AC AC = = ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ 1 1 3 3 CB CB = = ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 4 4 3 3
Jadi, pernyataan yang benar adalah (iii). Jadi, pernyataan yang benar adalah (iii). 4.
4. JawJawabanaban: e: e
Vektor-vektor di atas dapat dituliskan sebagai Vektor-vektor di atas dapat dituliskan sebagai berikut. berikut. p p = = ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ 5 5 2 2 q q = = − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 5 5 2 2 rr = = − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 5 5 ss = = ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ − − ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 5 5 tt = = − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 5 5 Jadi, Jadi, − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 5 5 = = tt . . 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 –1 –1 –2 –2 –3 –3 0 0 11 22 33 44 55 P P Q Q X X Y Y K K L L 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 – –3 –3 –2 –2 –1 01 0 11 22 33 XX Y Y
7. Jawaban: a
Koordinat titik Q(–4, 1) dan PQ = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 6 5 , berarti dari titik P ke kiri 6 satuan dan ke bawah 5 satuan sampai di titik Q. Perhatikan gambar berikut.
Diperoleh koordinat titik P(2, 6). Cara lain:
Misalkan koordinat titik P(xP, yP), maka: PQ = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ − ⎝ ⎠ Q P Q P x x y y ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 6 5 = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ P P 4 x 1 y Dari kesamaan tersebut diperoleh: –6 = –4 – xP ⇔ x P = –4 + 6 ⇔ x P = 2 –5 = 1 – yP ⇔ y P = 1 + 5 ⇔ y P = 6 Jadi, koordinat titik P(2, 6). 8. Jawaban: d
Koordinat titik D(–6, 12, –3). Vektor d
merupakan
vektor posisi titik D, yaitu d = OD = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 12 3 . Jadi, d = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 12 3 . 9. Jawaban: a
Koordinat titik M(7, –4, 2), maka xM = 7, yM = –4, dan zM = 2.
Koordinat titik N(1, 2, –5), maka xN = 1, yN = 2, dan zN = –5. NM = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ M N M N M N x x y y z z = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ 7 1 4 2 2 ( 5) = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 6 7 Jadi, NM = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 6 7 . 10. Jawaban: e
Koordinat titik A(–5, 4, 1), maka xA = –5, yA = 4, dan zA = 1.
Misalkan koordinat titik B(xB, yB, zB), maka:
AB = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ B A B A B A x x y y z z ⇔ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 2 5 = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ B B B x ( 5) y 4 z 1
Dari kesamaan tersebut diperoleh: 4 = xB – (–5) ⇔ x B = –1 –2 = yB – 4 ⇔ y B = 2 5 = zB – 1 ⇔ z B = 6
Jadi, koordinat titik B(–1, 2, 6). 11. Jawaban: c
Koordinat titik D(–2, 0, 1), maka xD = –2, yD = 0, dan zD = 1.
Misalkan koordinat titik C(xC, yC, zC), maka:
CD = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ D C D C D C x x y y z z ⇔ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 5 = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ C C C 2 x 0 y 1 z Dari kesamaan tersebut diperoleh: 3 = –2 – xC ⇔ x C= –2 – 3 ⇔ x C= –5 2 = 0 – yC ⇔ y C= –2 –5 = 1 – zC ⇔ z C= 1 + 5 ⇔ z C= 6
Jadi, koordinat titik C(–5, –2, 6). 12. Jawaban: b
Koordinat titik A(2, –1), maka xA = 2 dan yA = –1. Koordinat titik B(5, 3), maka xB = 5 dan yB = 3.
AB = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ − ⎝ ⎠ B A B A x x y y = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 5 2 3 ( 1) = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 4 Vektor posisi titik C adalah c
= AB = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 4 , maka koordinat titik C(3, 4).
Jadi, koordinat titik C adalah (3, 4). 13. Jawaban: a
Koordinat titik P(–1, –3), maka xP = –1 dan yP = –3. Koordinat titik Q(3, –2), maka xQ = 3 dan yQ = –2. Koordinat titik R(2, 3), maka xR = 2 dan yR = 3. Misalkan koordinat titik S(xS, yS), maka:
PQ = RS ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Q P Q P x x y y = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ S R S R x x y y ⇔ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ 3 ( 1) 2 ( 3) = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ S S x 2 y 3 ⇔ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ S S x 2 y 3 P Q 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X Y
Dari kesamaan vektor diperoleh: 4 = xS – 2 ⇔ x
S = 6 1 = yS – 3 ⇔ y
S = 4
Jadi, koordinat titik S adalah (6, 4). 14. Jawaban: e
Vektor posisi titik K adalah k = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 2 5 .
Koordinat titik L(–2, 3, 1), maka xL = –2, yL = 3, dan zL = 1.
Misalkan koordinat titik M(xM, yM, yM), maka:
k = LM ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 2 5 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ M L M L M L x x y y z z ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 2 5 = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ M M M x ( 2) y 3 z 1
Dari kesamaan tersebut diperoleh: –4 = xM – (–2) ⇔ x M = –6 –2 = yM – 3 ⇔ y M = 1 5 = zM – 1 ⇔ z B = 6
Jadi, koordinat titik M(–6, 1, 6). 15. Jawaban: b
Koordinat titik A(3, –1, 4), maka xA = 3, yA = –1, dan zA = 4.
Koordinat titik B(–2, 5, 3), maka xB = –2, yB = 5, dan zB = 3.
Koordinat titik D(1, 6, –2), maka xD = 1, yD = 6, dan zD = –2.
Misalkan koordinat titik C(xC, yC, zC), maka:
AB = CD ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ B A B A B A x x y y z z = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ D C D C D C x x y y z z ⇔ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 5 ( 1) 3 4 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ C C C 1 x 6 y 2 z ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 5 6 1 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ C C C 1 x 6 y 2 z Dari kesamaan vektor diperoleh: –5 = 1 – xC ⇔ x C = 6 6 = 6 – yC ⇔ y C = 0 –1 = –2 – zC ⇔ z C = –1
Diperoleh koordinat titik C(6, 0, –1) sehingga vektor
posisinya c = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ 6 0 1 .
Jadi, vektor posisi titik C adalah c = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ 6 0 1 . B. Uraian 1. a
dari titik pangkal ke kiri 3 satuan dan ke atas 1 satuan, maka a = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 1 . b
dari titik pangkal ke kiri 2 satuan dan ke bawah 5 satuan, maka b = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 2 5 . c
dari titik pangkal ke bawah 4 satuan, maka c = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 0 4 .
d dari titik pangkal ke kanan 4 satuan, maka d = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 0 . e
dari titik pangkal ke kanan 8 satuan dan ke atas 5 satuan, maka e = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8 5 . f
dari titik pangkal ke kanan 3 satuan dan ke bawah 2 satuan, maka f
= ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 3 2 .
2. Soal ini bersifat terbuka, artinya ada tak hingga banyak pasangan titik A(xA, yA) dan B(xB, yB) yang mungkin diberikan sebagai jawaban. Syarat pasangan titik A dan B yang benar adalah
− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ B A B A x x y y = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4
8 . Lima pasangan titik A dan B yang memenuhi misalnya:
i) A(0, 0) dan B(–4, 8) ii) A(4, –8) dan B(0, 0) iii) A(1, 1) dan B(–3, 9) iv) A(0, 1) dan B(–4, 9) v) A(1, 0) dan B(–3, 8)
3. Koordinat titik P(2, –5), maka xP = 2 dan yP = –5. Koordinat titik Q(–6, –8), maka xQ = –6 dan yQ = –8. a. Misalkan koordinat titik R(xR, yR), maka:
PR = q ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ R P R P x x y y = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Q Q x y ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ R R x 2 y ( 5) = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 6 8 ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ R R x 2 y 5 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 6 8 Dari kesamaan vektor diperoleh: xR – 2 = –6 ⇔ x
R = –4 yR + 5 = –8 ⇔ y
R = –13
Jadi, koordinat titik R adalah (–4, –13). b. Koordinat titik S(–4, 1), maka xS = –4 dan yS
= 1.
Misalkan koordinat titik R(xR, yR), maka: PQ = RS ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Q P Q P x x y y = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ S R S R x x y y ⇔ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ 6 2 8 ( 5) = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ R R 4 x 1 y ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 8 3 = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ R R 4 x 1 y Dari kesamaan vektor diperoleh: –8 = –4 – xR⇔ x
R = 4 –3 = 1 – yR⇔ y
R = 4
Jadi, koordinat titik R adalah (4, 4).
4. a. Vektor posisi titik P(2, –5, –1): p = OP = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 5 1
Vektor posisi titik Q(–3, 4, 0): q = OQ = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 4 0
Vektor posisi titik R(1, 4, –6): r = OR = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 6 b. Koordinat titik P(2, –5, –1), maka xP = 2,
yP = –5, dan zP = –1.
Koordinat titik Q(–3, 4, 0), maka xQ = –3, yQ = 4, dan zQ = 0.
Koordinat titik R(1, 4, –6), maka xR = 1, yR = 4, dan zR = –6. PR = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ R P R P R P x x y y z z = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ − − − ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 4 ( 5) 6 ( 1) = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 1 9 5 QP = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ P Q P Q P Q x x y y z z = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ 2 ( 3) 5 4 1 0 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 5 9 1 QR = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ R Q R Q R Q x x y y z z = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ 1 ( 3) 4 4 6 0 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 4 0 6
5. Koordinat titik A(–6, 2, –3), maka xA = –6, yA = 2, dan zA = –3.
Koordinat titik D(4, 4, –5), maka xD = 4, yD = 4, dan zD = –5.
a. Misalkan koordinat titik B(xB, yB, zB), maka:
AB = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 5 ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ B A B A B A x x y y z z = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 5 ⇔ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ B B B x ( 6) y 2 z ( 3) = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 5 ⇔ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ B B B x 6 y 2 z 3 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 5 Dari kesamaan vektor diperoleh: xB + 6 = –2 ⇔ x B = –8 yB – 2 = 8 ⇔ y B = 10 zB + 3 = 5 ⇔ z B = 2
Diperoleh koordinat titik B(–8, 10, 2). BD = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ D B D B D B x x y y z z = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ 4 ( 8) 4 10 5 2 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 12 6 7
Jadi, koordinat titik B(–8, 10, 2) dan vektor
BD = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 12 6 7 .
b. Misalkan koordinat titik C(xC, yC, zC), maka: CD = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 3 ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ D C D C D C x x y y z z = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 3 ⇔ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ C C C 4 x 4 y 5 z = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 3 Dari kesamaan vektor diperoleh: 4 – xC = 4 ⇔ x C = 0 4 – yC = –1 ⇔ y C = 5 –5 – zC = 3 ⇔ z C = –8
Diperoleh koordinat titik C(0, 5, –8).
AC = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ C A C A C A x x y y z z = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − − − ⎟ ⎝ ⎠ 0 ( 6) 5 2 8 ( 3) = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 3 5 Jadi, koordinat titik C(0, 5, –8) dan vektor
AC = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 3 5 .
A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: e BD = BO + OE + CD = AF + AF + (– AB ) = v + v + (– u ) = 2 v – u 2. Jawaban: b AB + AC + BC + BD = AB + ( AB + BC ) + BC + ( BC + CD ) = AB + ( AB + AD ) + AD + ( AD – AB ) = u + ( u + v ) + v + ( v – u ) = u + u + v + v + v – u = u + 3 v 3. Jawaban: b
Berdasarkan gambar diperoleh: u + v + w = 0 ⇔ u + w = 0 – v ⇔ u + w = – v
Jadi, pernyataan yang benar adalah u
+ w = – v . 4. Jawaban: a u = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 4 3 dan v = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 7 u + v = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 4 3 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 7 = ⎛ ⎜ + ⎞⎟ − + ⎝ ⎠ 4 5 3 7 = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9 4 5. Jawaban: c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 5 4 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 3 1 = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ − − − ⎟ ⎝ ⎠ 2 ( 6) 5 3 4 ( 1) = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 8 8 3 6. Jawaban: b 4 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 5 – 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 1 3 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8 20 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 3 9 = − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 8 ( 3) 20 ( 9) = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 29 7. Jawaban: c p = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 0 2 dan q = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 5 1 3 1 2 p + 3 q = 1 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 0 2 + 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 5 1 3 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 0 1 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 15 3 9 = − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − ⎜ ⎟ ⎜ + − ⎟ ⎝ ⎠ 2 15 0 ( 3) 1 ( 9) = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 13 3 8 8. Jawaban: d
Vektor posisi titik A(–2, 1, 5) adalah a
= − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 5 .
Vektor posisi titik B(–6, 4, –1) adalah b
= − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 4 1 . A B C D u v
3 a – 2b = 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 5 – 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 4 1 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 3 15 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 12 8 2 = − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠ 6 ( 12) 3 8 15 ( 2) = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 5 17 9. Jawaban: a a = PQ = q – p = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠25 – ⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞−21 = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠06 b = QR = r – q = ⎛ ⎜ ⎝ −42⎞⎟⎠ – ⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞52 = ⎛ ⎜ ⎝ −27⎞⎟⎠ 1 2 a + b = 1 2 0 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 2 7 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ = 0 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 2 7 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ = 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 10. Jawaban: b c – d = (2 a + b ) – ( a – 2 b ) = 2 a + b – a + 2 b = a + 3 b = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 8 + 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 8 + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9 6 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 15 14 11. Jawaban: c w = 3 u + 5 v u – 3 v – 2 w = u – 3 v – 2(3 u + 5 v ) = u – 3 v – 6 u – 10 v = –5u – 13 v = –5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 5 8 – 13 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 3 4 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10 25 40 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 39 52 = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 10 0 25 ( 39) 40 52 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 10 14 12 12. Jawaban: a 3 u – w = 2 v ⇔ w = 3 u – 2 v = 3 4 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ – 2 2 3 4 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 12 3 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ – 4 6 8 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 16 3 2 13. Jawaban: c 4 a + 2 c = a – b ⇔ 2 c = a – b – 4 a ⇔ 2 c = –3 a – b ⇔ 2 c = –3⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 4 3 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 ⇔ 2 c = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 12 9 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 ⇔ c = 1 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10 8 ⇔ c = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 5 4 Jadi, vektor c = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 5 4 . 14. Jawaban: b 2 v + 5 w = 3 w – 4 u ⇔ 5 w – 3 w = –4u – 2 v ⇔ 2 w = –4u – 2 v ⇔ w = –2 u – v Diperoleh w = –2u – v , maka: u + 2 v + w = u + 2 v + (–2 u – v ) = u + 2 v – 2 u – v = v – u
= ⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠ 1 5 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 4 = ⎛ ⎜ − − ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 1 2 5 4 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 3 1 15. Jawaban: c a = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 3 dan b = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ 2 5 1 PQ = 2 a – 3 b ⇔ q – p = 2 a – 3 b ⇔ –p = 2 a – 3 b – q ⇔ p = –2 a + 3 b + q ⇔ p = –2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 3 + 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ 2 5 1 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 6 ⇔ p = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 6 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 15 3 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 6 ⇔ p = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 8 24 3
Jadi, koordinat titik P(8, 24, –3). 16. Jawaban: a
Vektor posisi titik P(2, –3, –8) adalah p = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 8 .
Vektor posisi titik Q(–1, 4, 3) adalah q = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 3 .
Vektor posisi titik R(5, –1, 6) adalah r = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 1 6 . PQRS jajargenjang, maka: PQ = SR ⇔ q – p = r – s ⇔ s = p – q + r = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 8 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 3 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 1 6 = − − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − + − ⎜ ⎟ ⎜ − − + ⎟ ⎝ ⎠ 2 ( 1) 5 3 4 ( 1) 8 3 6 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 8 8 5 Jadi, koordinat titik S(8, –8, –5). 17. Jawaban: d TV = k UT ⇔ ( v – t ) = k( t – u ) ⇔ ⎛ ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎞⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8 4 2 2 = k ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⎞ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 1 2 1 ⇔ ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 12 4 = k − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 1 ⇔ ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 12 4 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3k k
Dari kesamaan di atas diperoleh k = –4. Jadi, nilai k = –4. 18. Jawaban: d AB = b – a = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 1 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 3 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 5 3 2
Titik P segaris dengan titik A dan B jika AP
= k AB
. Pada pilihan nilai xP = 12, maka dapat dimisalkan koordinat titik P(12, m, n).
AP = p – a = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 12 m n – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 3 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 15 m 2 n 3
AP = k AB ⇔ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 15 m 2 n 3 = k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 5 3 2 ⇔ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 15 m 2 n 3 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 5k 3k 2k Dari kesamaan di atas diperoleh: 15 = 5k ⇔ k = 3
m + 2 = 3k ⇔ m + 2 = 9
⇔ m = 7
n – 3 = –2k ⇔ n – 3 = –6
⇔ n = –3
Jadi, koordinat titik yang segaris dengan titik A dan B adalah (12, 7, –3). 19. Jawaban: c AB = b a− = 2 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – 4 2 q ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 4 1 q − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ AC = c a− = 8 p 2 8 ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ – 4 2 q ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 4 p 8 q ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠
Titik A, B, dan C segaris sehingga diperoleh hubungan berikut. k AB = AC ⇒ k 2 4 1 q − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 4 p 8 q ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⇔ 2k 4k (1 q)k − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 4 p 8 q ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠
Dari kesamaan vektor diperoleh: –2k = 4⇔k = –2 –4k = p ⇒ p = –4 × (–2) = 8 (1 – q)k = –8 – q ⇒ (1 – q) × (–2) = –8 – q ⇔ –2 + 2q = –8 – q ⇔ 3q = –6 ⇔ q = –2 Jadi, nilai p + q = 8 + (–2) = 6. 20. Jawaban: c AB : BP
= 3 : –2 dapat digambarkan sebagai berikut.
Jadi, gambar yang benar ada pada pilihan c.
21. Jawaban: a KH : HL = 2 : 1, maka: h = 2l k++ 2 1 = 13 ⎛ ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7 1 2 5 4 = 1 3 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 14 1 10 4 = 1 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 15 6 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 2
Jadi, koordinat titik H(5, 2). 22. Jawaban: e
Dari gambar diperoleh PM
: MQ = –3 : 5, maka: m = − − ++ 3q 5p 3 5 = 1 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ − + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 5 3 5 0 2 = 1 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞⎞ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 25 0 10 = 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 22 10 = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 11 5
Jadi, koordinat titik M(11, –5). 23. Jawaban: d
Misalkan titik tengah P(2, –2, 5) dan Q(–4, 0, 1) adalah R, maka: r = p q+ 2 = 1 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ − + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎝ ⎠ 2 4 2 0 5 1 = 1 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 6 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 3
Diperoleh koordinat titik R(–1, –1, 3).
Jadi, koordinat titik tengah P dan Q adalah (–1, –1, 3).
A P B
3
P Q R S T O M N K 3 –2 A(11, 3, –2) P B(6, 8, 3) 5 3 –2 24. Jawaban: b AB : BP = 5 : –2 ⇔ AP : PB = 3 : 2 xP= + + A B 2x 3x 2 3 = × + × 2 11 3 6 5 = 22 18+ 5 = 40 5 = 8 yP= + + A B 2y 3y 2 3 = × + × 2 3 3 8 5 = 6 24+ 5 = 30 5 = 6 zP= + + A B 2z 3z 2 3 = × − + × 2 ( 2) 3 3 5 = − +4 9 5 = 55 = 1
Jadi, koordinat titik P(8, 6, 1). 25. Jawaban: e
Kedudukan titik M, N, dan K dengan MN
: NK
= 1 : 2 dapat digambarkan sebagai berikut.
Dari gambar diperoleh MN : NK = 1 : 2 ekuivalen dengan MK : KN = 3 : –2 sehingga: k = 3n ( 2)m3 ( 2)+ −+ − = 1 1 ⎛ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ + − ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 3 ( 2) 5 0 1 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 9 0 + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 10 2 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 7 1 2
Jadi, koordinat titik K(–7, –1, 2).
B. Uraian 1. a. AB – ED + CD – CB = AB + DE + CD + BC = AB + BC + CD + DE = ( AB + BC ) + ( CD + DE ) = AB + CE = AE b. AB – AC – CD + BC = AB + CA + DC + BC = AB + BC + CA + DC = AC + CA + DC = AA + DC = 0 + DC = DC 2. PQ = u dan PS = v a. QS = QP + PS = – PQ + PS = – u + v b. OR = 1 2 PR = 1 2 (PQ + QR ) = 12 (PQ + PS ) = 1 2 ( u + v ) = 1 2 u + 1 2 v c. TS = TP + PS = – PT + PS = –1 2 PQ + PS = –21 u + v d. RT = RQ + QT = – QR + (– TQ ) = –PS –1 2 PQ = – v – 1 2 u
3. a. a + b + c = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 6 2 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 8 = ⎛ ⎜ + + − ⎞⎟ − + + ⎝ ⎠ 6 1 ( 3) 2 3 8 = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 9 b. a – b – c = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 6 2 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 8 = ⎛ ⎜ − − − ⎞⎟ − − − ⎝ ⎠ 6 1 ( 3) 2 3 8 = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 8 13 c. 1 2 a + 2 b – 3 c = 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 6 2 + 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 – 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 8 = ⎛ ⎞⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 3 1 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 6 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9 24 = ⎛ ⎜ + − − ⎞⎟ − + − ⎝ ⎠ 3 2 ( 9) 1 6 24 = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 14 19 d. (3 a + b ) – (4 a – 2 c ) = 3 a + b – 4 a + 2 c = – a + b + 2 c = –⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 6 2 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 + 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 8 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 2 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 16 = ⎛ ⎜ − + + − ⎞⎟ + + ⎝ ⎠ 6 1 ( 6) 2 3 16 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 11 21
4. a. Dari gambar diperoleh: u = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 v = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 5 2 w = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 3 5 b. 2 u – 3 v + w = 2⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 – 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 5 2 + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 5 = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 6 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 15 6 + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 5 = ⎛ ⎜ − + − ⎞⎟ − − + ⎝ ⎠ 4 15 ( 3) 6 ( 6) 5 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 14 17 c. u + v + w = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 5 2 + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 5 = ⎛ ⎜ + + − ⎞⎟ + − + ⎝ ⎠ 2 5 ( 3) 3 ( 2) 5 = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 6 = 2⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 = 2 u Terbukti: u + v + w = 2 u 5. a. u = 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 2 + 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 3 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 4 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 3 9 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8 5 5
v = 2 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 0 3 – 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 2 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 4 0 2 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 4 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 2 b. 2 u – 4 v = 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8 5 5 – 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 2 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 16 10 10 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8 32 8 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8 42 2 6. a. 2 u – 3 v – w = 0 ⇔ 2 u – 3 v = 0 + w ⇔ w = 2 u – 3 v ⇔ w = 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 2 – 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 6 ⇔ w = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 4 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9 6 18 ⇔ w = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 11 14 14 Jadi, vektor w = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 11 14 14 . b. 5 v – w – 2 u = u – 3 w ⇔ – w + 3 w = u – 5 v + 2 u ⇔ 2 w = 3 u – 5 v ⇔ 2 w = 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 2 – 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 6 ⇔ 2 w = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 12 6 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 15 10 30 ⇔ 2 w = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 18 22 24 ⇔ w = 1 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 18 22 24 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 9 11 12 Jadi, vektor w = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 9 11 12 . 7. a. u = m a + n b ⇔ ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 5 6 = m − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 + n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 ⇔ ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 5 6 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ m 4m + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3n 2n ⇔ ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 5 6 = − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ m 3n 4m 2n
Dari kesamaan vektor di atas diperoleh: –m + 3n = –5 . . . (i)
4m + 2n = 6 . . . (ii)
Eliminasi n dari persamaan (i) dan (ii): –m + 3n = –5 × 2 –2m + 6n = –10 4m + 2n = 6 × 3 12m + 6n = 18
––––––––––––– – –14m = –28
⇔ m = 2
Substitusi m = 2 ke dalam persamaan (ii): 4m + 2n = 6 ⇔ 4 × 2 + 2n = 6 ⇔ 8 + 2n = 6 ⇔ 2n = –2 ⇔ n = –1 Diperoleh u = m a + n b dipenuhi oleh m = 2 dan n = –1. Jadi, u = 2 a – b .
b. v = m a + n a ⇔ ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 3 12 = m − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 + n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 ⇔ ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 3 12 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ m 4m + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3n 2n ⇔ ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 3 12 = − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ m 3n 4m 2n
Dari kesamaan vektor tersebut diperoleh: –m + 3n = 3 . . . (i)
4m + 2n = –12 . . . (ii)
Eliminasi n dari persamaan (i) dan (ii): –m + 3n = 3 × 2 –2m + 6n = 6 4m + 2n = –12 × 3 12m + 6n = –36
––––––––––––– – –14m = 42
⇔ m = –3
Substitusi m = –3 ke dalam persamaan (ii): 4m + 2n = –12 ⇔ 4 × (–3) + 2n = –12 ⇔ –12 + 2n = –12 ⇔ 2n = 0 ⇔ n = 0 Diperoleh u = m a + n b dipenuhi oleh m = –3 dan n = 0. Jadi, v = –3 a + 0 b .
8. Koordinat A(–4, 5, 2); B(2, –1, 3); dan C(3, –2, 1).
a. AC = c a− = 3 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – 4 5 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 7 7 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ BC = c b− = 3 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – 2 1 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠
b. Misalkan koordinat titik D(x, y, z). AD = 2AC 3BC− ⇔ d a− = 2AC 3BC− ⇒ x y z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – 4 5 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 7 7 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ – 3 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ x y z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 14 14 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ – 3 3 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ + 4 5 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 11 11 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 4 5 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 7 6 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Jadi, koordinat titik D(7, –6, 6).
9. a. Perbandingan AC : CB = 2 : 1 dapat digambar-kan: Diperoleh: c = 2b a++ 2 1 = 1 3 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎞ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 2 2 2 1 = 1 3 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎞ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8 2 4 1 = 31 ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 3 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 1
Jadi, koordinat titik C(–2, 1).
b. Perbandingan AB : BC = 3 : 2 dapat digambar-kan: Perbandingan AB : BC = 3 : 2 ekuivalen dengan AC : CB = 5 : –2, sehingga: c = 5b ( 2)a5 ( 2)+ −+ − = 1 3 ⎛ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞⎞ + − ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 2 5 ( 2) 2 1 = 1 3 ⎛ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞− ⎞ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 20 4 10 2 = 1 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 24 12 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 8 4
Jadi, koordinat titik C(–8, 4).
A C B
2 1
A B C
10. a. Menentukan koordinat titik A.
Titik A membagi PQ di dalam dengan per-bandingan 1 : 2 maka PA : AQ = 1 : 2. xA= 1 x× Q++ ×2 xP 1 2 = 1 0 2 3× + × 3 = 6 3 = 2 yA= 1 y× Q++ ×2 yP 1 2 = 1 3 2 0 3 × + × = 3 3 = 1 zA= × + × + Q P 1 z 2 z 1 2 = 1 ( 3) 2 6× − + × 3 = 9 3 = 3
Diperoleh koordinat titik A(2, 1, 3).
Titik B merupakan titik tengah PR maka koordinat titik B: xB = xP+xR 2 = 3 1+ 2 = 2 yB = yP+yR 2 = 0 0+ 2 = 0 zB = zP+zR 2 = 6 4− 2 = 1
Diperoleh koordinat titik B(2, 0, 1).
Menentukan koordinat titik C.
Titik C membagi QR di luar dengan per-bandingan 2 : 1 maka QC : CR = 2 : (–1). xC = 2 x× R− ×−1 xQ 2 1 = 2 1 1 0× − × 1 = 2 – 0 = 2 yC = × − × − R Q 2 y 1 y 2 1 = 2 0 1 3× − × 1 = 0 – 3 = –3 zC = × − × − R Q 2 z 1 z 2 1 = 2 ( 4) 1 ( 3)× − − × − 1 = − +8 31 = –5
Diperoleh koordinat titik C(2, –3, –5).
b. Titik A, B, dan C kolinear jika memenuhi AC
= k AB
untuk suatu konstanta k.
AB = b a− = 2 2 0 1 1 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 0 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ AC = c a− = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 3 1 5 3 = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 0 4 8 = 4 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 0 1 2 = 4 AB Q R C 2 1 P 1 A Q 2
Terdapat k = 4 yang memenuhi AC = k AB , sehingga AC dan AB searah. Oleh karena AC dan AB keduanya melalui titik A, maka A, B, dan C segaris (kolinear). Jadi, terbukti titik A, B, dan C kolinear. c. Perbandingan panjang AB : BC BC = c b− = 2 2 0 3 0 3 5 1 6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ | AB | = 02 + − ( 1)2 + −( 2)2 = 0 1 4+ + = 5 |BC | = 02 + − ( 3)2 + −( 6)2 = 0 9 36+ + = 45 = 3 5
Jadi, perbandingan panjang AB
: BC
= 3 6 Jadi, p = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 7 dan | p | = 3 6 sehingga pernyataan yang benar ada pada pilihan b.
5. Jawaban: d v = a i – b j + c k = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b c Panjang vektor v : | v | = a2 + − ( b)2 +c2 = a2 + b2 +c2 Jadi, | v | = a2 + b2 +c .2 6. Jawaban: b Panjang vektor u = i + 3 j – 3 k : u = 12 + 32 + −( 3)2 = 1 9 9+ + = 19 Panjang vektor v = 2 i – 4 j + k : | v | = 22 + − ( 4)2 +12 = 4 16 1+ + = 21 Panjang vektor w = –2 i + 2 j – 3 k : | w | = ( 2)− + + −2 22 ( 3)2 = 4 4 9+ + = 17
Oleh karena 21 > 19 > 17 , maka urutan vektor dari yang terpanjang adalah v
, u , dan w . Jadi, urutan vektor dari yang terpanjang adalah v
, u , dan w . A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Panjang vektor v = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 4 : | v | = ( 2)− 2 +42 = 4 16+ = 20 = 2 5
Jadi, panjang vektor v
adalah 2 5 . 2. Jawaban: c
Dari gambar diperoleh vektor u
= ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 3 : |u | = 62 + −( 3)2 = 36 9+ = 45 = 3 5 Jadi, nilai | u | = 3 5 . 3. Jawaban: d Vektor a = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 2 , maka: | a | = 12 + 22 + −( 2)2 = 1 4 4+ + = 9 = 3 Jadi, nilai | a | = 3. 4. Jawaban: b p = i – 2 j – 7 k = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 7 |p | = 12 + − + −( 2)2 ( 7)2 = 1 4 49+ + = 54
10. Jawaban: b p + q = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 5 6 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 8 | p + q | = ( 2)− 2 +82 = 4 64+ = 68 = 2 17 Jadi, nilai | p + q | = 2 17 . 11. Jawaban: a 2 a – b = 2( ˆi – 2 ˆ j + 3 ˆk ) – (2 ˆi + ˆ j – 4 ˆk ) = (2 ˆi – 4 ˆ j + 6 ˆk ) – (2 ˆi + ˆ j – 4 ˆk ) = (2 – 2) ˆi + (–4 – 1) ˆ j + (6 + 4) ˆk = 0 ˆi – 5 ˆ j + 10 ˆk |2 a – b | = 02 + − ( 5)2 +102 = 0 25 100+ + = 125 = 5 5 Jadi, panjang vektor (2 a
– b ) adalah 5 5 . 12. Jawaban: d AB = b – a = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 3 7 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 1 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 8 |AB | = 62 + −( 8)2 = 36 64+ = 100 = 10 Jadi, nilai |AB | = 10. 13. Jawaban: e PQ = q – p = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ 0 5 1 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 3 3 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 4 2 4 7. Jawaban: d Panjang vektor u = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 3 3 : |u | = 62 + − ( 3)2 +32 = 36 9 9+ + = 54 = 3 6 Panjang vektor v = − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 4 2 : | v | = 22 + − ( 4)2 +22 = 4 16 4+ + = 24 = 2 6 2| u | + | v | = 2 × 3 6 + 2 6 = 6 6 + 2 6 = 8 6 Jadi, hasil 2| u | + | v | = 8 6 . 8. Jawaban: c Misalkan vektor v = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b , maka | v | = a2 +b .2 4 v = 4⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4a 4b |4 v | = (4a)2 +(4b)2 = 16a2 +16b2 = 16(a2 +b )2 = 16 (a2 +b )2 = 4 a2 +b2 = 4| v | Jadi, nilai |4 v | = 4| v |. 9. Jawaban: a Vektor u dan v
searah, maka berlaku: | u + v | = | u | + | v | | u – v | = |u | – | v | jika | u | > | v | | u – v | = | v | – |u | jika | u | < | v |
Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (i).
Jarak antara titik P dan Q sama dengan panjang vektor PQ , yaitu: |PQ | = 42 + 22 + −( 4)2 = 16 4 16+ + = 36 = 6
Jadi, jarak antara titik P dan Q adalah 6. 14. Jawaban: e PQ = OQ – OP = 7 x 3 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – 5 x 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 2x 1 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢PQ ⎢ = 3 ⇒ 22+ − ( 2x)2+12 = 3 ⇔ 4 4x+ 2+1 = 3 ⇔ 4x2+5 = 3 ⇔ 4x2 + 5 = 9 ⇔ 4x2= 4 ⇔ x2= 1 ⇔ x = –1 atau x = 1 Oleh karena x > 0 maka x = 1. Jadi, nilai x = 1.
15. Jawaban: a
Koordinat titik K(1, –2), L(2, 1), dan M(–2, –1), maka: |KL | = (xL − x )K 2 + (yL −y )K 2 = (2 1)− + − −2 (1 ( 2))2 = 12 +32 = 1 9+ = 10 |KM | = (xM− x )K 2 + (yM −y )K 2 = ( 2 1)− − + − − −2 ( 1 ( 2))2 = ( 3)− 2 +12 = 9 1+ = 10 |LM | = − 2 + − 2 M L M L (x x ) (y y ) = ( 2 2)− − 2 + − −( 1 1)2 = ( 4)− 2 + −( 2)2 = 16 4+ = 20 (i) | KL |2 + | KM |2 = ( 10 )2 + ( 10 )2 = 10 + 10 = 20 = ( 20 )2 = |LM |2
Jadi, segitiga KLM siku-siku di K. (ii) | KL
| = |KM
| = 10 , maka segitiga KLM sama kaki.
(iii) Luas segitiga KLM: L = 1 2 × | KL | × | KM | = 1 2 × 10 × 10 = 1 2 × 10 = 5 satuan luas (iv) Keliling segitiga KLM:
K = |KL | + |KM | + |LM | = 10 + 10 + 20 = 2 10 + 2 5 = 2( 10 + 5 ) satuan panjang ≠ 4 10 satuan panjang
Jadi, pernyataan yang benar adalah (i), (ii), dan (iii).
16. Jawaban: d
Koordinat titik P(3, 2, –1), Q(6, 0, –4), dan R(–1, –2, 3), maka: |PQ | = (xQ − x )P 2 + − (yQ y )P 2 + −(zQ z )P 2 = (6 3)− 2 + − (0 2)2 + − − −( 4 ( 1))2 = 32 + − + −( 2)2 ( 3)2 = 9 4 9+ + = 22 |PR | = − 2 + − 2 + − 2 R P R P R P (x x ) (y y ) (z z ) = ( 1 3)− − 2 + − − ( 2 2)2 + − −(3 ( 1))2
= ( 4)− + − +2 ( 4)2 42 = 16 16 16+ + = 48 = 4 3 | QR | = − 2 + − 2 + − 2 R Q R Q R Q (x x ) (y y ) (z z ) = ( 1 6)− − 2 + − − ( 2 0)2 + − −(3 ( 4))2 = ( 7)− + − +2 ( 2)2 72 = 49 4 49+ + = 102 Diperoleh | PQ | < |PR | < | QR |.
Jadi, pernyataan ”Sisi PQ lebih pendek daripada sisi PR” benar. 17. Jawaban: e Panjang vektor u = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 : |u | = 12 +12 = 1 1+ = 2 Panjang vektor v = ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 2 : | v | = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ + ⎜ ⎛ ⎜ ⎞⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 1 3 2 2 = 1+ 3 4 4 = 1 = 1 Panjang vektor w = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 5 2 5 : | w | = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 1 2 5 5 = 1+ 4 5 5 = 1 = 1
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan, yaitu v dan w . 18. Jawaban: b a = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 3 4 | a | = 32 + −( 4)2 = 9 16+ = 25 = 5 Vektor satuan dari a
: a ˆe = a | a | = 15 ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 3 4 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 5 4 5 = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 0,6 0,8
Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor a adalah ˆea = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 0,6 0,8 . 19. Jawaban: d PQ = q – p = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 5 – ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 3 = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 2 |PQ | = 12 + − ( 2)2 +22 = 1 4 4+ + = 9 = 3
Vektor satuan dari | PQ |: PQ ˆe = PQ | P Q | = 1 3 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 2 3 2 3 = 13 i – 23 j + 23 k
Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor
|PQ | adalah ˆePQ = 1 3 i – 2 3 j + 2 3 k .
20. Jawaban: d Vektor r = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 1 4
k merupakan vektor satuan jika:
| r | = 1 ⇔ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠ + +⎝ ⎠ 2 2 1 2 1 2 k 4 = 1 ⇔ 1+ 2+ 1 4 k 16 = 1 ⇔ 2 + 5 16 k = 1 ⇔ k2 + 5 16 = 1 2 ⇔ k2= 1 – 5 16 ⇔ k2= 11 16 ⇔ k = ± 1 4 11 Jadi, nilai k = 1 4 11 atau k = – 1 4 11. B. Uraian 1. a. Panjang vektor a = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 8 : | a | = ( 6)− 2 +82 = 36 64+ = 100 = 10 Panjang vektor b = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 3 5 : |b | = ( 3)− 2 +52 = 9 25+ = 34
Jadi, panjang vektor a dan b berturut-turut 10 dan 34 . b. a – b = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 8 – − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 5 = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 Panjang vektor a – b : | a – b | = ( 3)− 2 +32 = 9 9+ = 18 = 3 2 Jadi, a – b = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 3 3 dan panjangnya 3 2 . 2. a. Panjang vektor u = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 4 4 : |u | = 22 + 42 + −( 4)2 = 4 16 16+ + = 36 = 6 Panjang vektor v = ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 4 12 : | v | = 32 + − ( 4)2 +122 = 9 16 144+ + = 169 = 13
Jadi, panjang vektor u dan v berturut-turut 6 dan 13. b. 3 u + 2 v = 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 4 4 + 2 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 4 12 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 6 12 12 + ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 8 24 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 12 4 12
Panjang vektor 3 u + 2 v : |3 u + 2 v | = 122 + 42 +122 = 144 16 144+ + = 304 = 4 19 Jadi, 3 u + 2 v = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 12 4 12 dan panjangnya 4 19 . 3. Diketahui vektor u = 4 i + 2 j – 5 k dan v = 3 i – j + ak
. Jika panjang vektor w
= 2 u
– v
adalah 8, tentukan nilai a. Jawaban: u = 4 i + 2 j – 5k v = 3 i – j + ak w = 2 u – v = 2(4 i + 2 j – 5 k ) – (3 i – j + a k ) = (8 i + 4 j – 10k ) – (3 i – j + ak ) = 5 i + 5 j – (10 + a) k Panjang vektor w : | w | = 52 + 52 + (10 a)+ 2 ⇔ 8 = 25 25 (10 a)+ + + 2 ⇔ 64 = 50 + (10 + a)2 ⇔ 14 = (10 + a)2 ⇔ 10 + a = ± 14 ⇔ a = –10 ± 14 Jadi, nilai a = –10 ± 14 .
4. a. Koordinat titik A(4, 1, –2), B(2, –1, 3), dan C(–4, 2, 1), maka: | AB | = (xB− x )A 2+ − (yB y )A 2+ −(zB z )A 2 = (2 4)− 2 + − − + − −( 1 1)2 (3 ( 2))2 = ( 2)− + − +2 ( 2)2 52 = 4 4 25+ + = 33 | AC | = − 2+ − 2+ − 2 C A C A C A (x x ) (y y ) (z z ) = ( 4 4)− − 2 + − + − −(2 1)2 (1 ( 2))2 = ( 8)− 2 + +12 32 = 64 1 9+ + = 74 |BC | = − 2+ − 2+ − 2 C B C B C B (x x ) (y y ) (z z ) = ( 4 2)− − 2 + − − + −(2 ( 1))2 (1 3)2 = ( 6)− + + −2 32 ( 2)2 = 36 9 4+ + = 49 = 7
Jadi, panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-turut 33 , 74 , dan 7.
b. Panjang sisi-sisi segitiga ABC berbeda, maka segitiga ABC merupakan segitiga sembarang. Sisi terpanjang segitiga ABC adalah AC =
74 , maka:
AB2 + BC2 = ( 33 )2 + 72 = 33 + 49 = 82 AC2 = ( 74 )2 = 74
AB2 + BC2 > AC2, maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip.
Jadi, segitiga ABC merupakan segitiga sembarang dan lancip.
5.
a. Gerakan pesawat mainan dinyatakan sebagai PB
.
Gerakan angin dinyatakan sebagai PU . Gerakan pesawat mainan akibat tertiup angin dinyatakan sebagai PQ . ⎢PB ⎢= 30 ⎢BQ ⎢= PU = 16 P Q B U
⎢PQ ⎢2 = ⎢PB ⎢2+⎢BQ ⎢2 = 302 + 162 = 900 + 256 = 1.156 ⎢PQ ⎢2 = 1.156 ⇔ ⎢PQ ⎢ = 34
Jadi, kecepatan pesawat mainan akibat tertiup angin 34 km/jam. b. sin ∠QPU = | U Q | | P Q | = 30 34 = 0,8824 ∠QPU = arc sin 0,8824
≈ 61,93°
Jadi, besar sudut arah lintasan pesawat mainan terhadap arah angin kurang lebih 61,93°.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d = − u 4i 5j dan v = + i 6j ⋅ u v = (4i 5j ) × ( − i 6j )+ = 4 × 1 + (–5) × 6 = 4 + (–30) = –26 2. Jawaban: b AB = b – a = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠31 – ⎜ ⎝ ⎛ −42⎟⎞⎠ = 53 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ BC = c – b = ⎝ ⎛ ⎜ −23⎠⎞⎟ – ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟31 = ⎛ ⎜ ⎝ −−41⎞⎟⎠ AB · BC = ⎛ ⎜ ⎝ −53⎞⎟⎠ · ⎛ ⎜ ⎝ −−41⎞⎟⎠ = –3 × (–4) + 5 × (–1) = 12 – 5 = 7 3. Jawaban: b c = 2 a + b = 2⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 5 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 4 10 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 = ⎛ ⎜ ⎝ −57⎞⎟⎠ d = a + 2 b = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 2 5 + 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 5 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 6 = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 c· d = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 5 7 · ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 = 5 × 4 + (–7) × 1 = 20 + (–7) = 13 4. Jawaban: c a. q = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 1 , maka: p · q = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 2 · − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 = 5 × (–2) + 2 × 1 = –10 + 2 = –8 b. q = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 0 4 , maka: p · q = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 2 · ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 0 4 = 5 × 0 + 2 × (–4) = 0 + (–8) = –8 c. q = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 4 6 , maka: p · q = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 2 · ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 4 6 = 5 × 4 + 2 × (–6) = 20 + (–12) = 8 d. q = ⎛ ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ 2 9 , maka: p · q = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 2 · ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 2 9 = 5 × 2 + 2 × (–9) = 10 + (–18) = –8 e. q = ⎛ ⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 11 , maka: p · q = ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 2 · − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 11 = 5 × (–6) + 2 × 11 = –30 + 22 = –8
Jadi, hasil p · q = –8, kecuali untuk q = ⎛ ⎜ ⎞⎟ −
⎝ ⎠
4 6 .
5. Jawaban: c a = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 2 dan b = − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 5 1 a · b = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 2 · − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 5 1 = 4 × (–3) + (–1) × (–5) + 2 × 1 = –12 + 5 + 2 = –5 6. Jawaban: c a = 4 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan b = 3 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ a · a = 4 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ · 4 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 4 × 4 + (–2) × (–2) + 1 × 1 = 16 + 4 + 1 = 21 a · b = 4 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ · 3 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 4 × 3 + (–2) × 2 + 1 × (–2) = 12 – 4 – 2 = 6 a · ( a + b) = a · a + a · b = 21 + 6 = 27 7. Jawaban: d u = 2ˆi + 3ˆ j – 2ˆk v = aˆi – 2ˆ j + 4ˆk u · v = –4 ⇒ 2 × a + 3 × (–2) + (–2) × 4 = –4 ⇔ 2a – 6 – 8 = –4 ⇔ 2a = 10 ⇔ a = 5
Diperoleh v = 5 ˆi – 2 ˆ j + 4 ˆk , sehingga: u + v = (2 ˆi + 3 ˆ j – 2 ˆk ) + (5 ˆi – 2 ˆ j + 4 ˆk ) = 7 ˆi + ˆ j + 2 ˆk 8. Jawaban: b a· b = | a|| b| cos ∠( a, b ) = 5 × 2 × cos 30° = 10 × 1 2 3 = 5 3 9. Jawaban: a sin ∠( u, v) = 2 3 = y r → y = 2 dan r = 3 x = 32 −22 = 9 4− = 5 cos∠( u, v) = x r = 5 3 10. Jawaban: b a· b = | a|| b| cos∠( a, b ) ⇔ 8 = 4 × 6 × cosα ⇔ 8 = 24 cosα ⇔ cosα= 8 24 ⇔ cosα= 1 3
Jadi, nilai cos α = 1
3 . 11. Jawaban: d OA · OB = ( i + 2 j) · (4 i+ j) = 1 × 4 + 2 × 2 = 4 + 4 = 8 cos θ = OA OB⋅ |OA||OB| = 2+ 2 2+ 2 8 1 2 4 2 = 5 208 = 1008 = 8 10 = 4 5 tan θ = 3 4 12. Jawaban: a
Misalkanα = sudut antara vektor a dan b . cosα = a · b | a | | b | = × + × + × + + × + + 2 2 2 2 2 2 4 3 2 3 2 0 4 2 2 3 3 0 2 3 x 5 4 3 θ
= 18× 24 18 = 18 24 = 6 × 3 6 × 4 = 1 2 3
Oleh karena cosα = 1
2 3 makaα = 30°. Jadi, besar sudut antara vektor a dan b
adalah 30°. 13. Jawaban: b BA = a – b = 5 1 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – 2 1 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 3 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ BC = c – b = 4 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ – 2 1 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 2 3 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ BA · BC = 3 × 2 + 2 × 3 + 4 × (–3) = 6 + 6 – 12 = 0 |BA| = 32 + 22 +42 = 9 4 16 =+ + 29 |BC| = 22 + 32 + −( 3)2 = 4 9 9 =+ + 22
Misalkan sudut ABC = α, maka:
cosα= BA BC | B A | | B C | ⋅ = × 0 29 22 = 0 ⇒ α= 2 π
Jadi, besar sudut ABC = 2 π . 14. Jawaban: d OA = 4 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , OC = 0 6 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ AC = OC – OA = 0 6 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – 4 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 4 6 0 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ OA · AC = 4 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ · 4 6 0 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 4 × (–4) + 0 × 6 + 0 × 0 = –16 | AC | = ( 4)− 2 + 62 +02 = 16 36 0+ + = 52 = 2 13
Misalkan sudut antara vektor OA
dengan vektor AC adalahα. cosα = OA AC |OA||AC| ⋅ = 16 4 2 13 − × = – 2 13 = – 13 2 13 Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor OA
dengan vektor AC adalah – 2 13 13 . 15. Jawaban: d u · v = | u | | v | cos∠( u , v ) ⇒ 1 2 a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ · 1 2 a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 2 a+ + 2 1 2 a cos+ + 2 3 π ⇔ 1 – 2 + a2= (1 + 2 + a2) × 1 2 ⇔ 2(–1 + a2) = 3 + a2 ⇔ –2 + 2a2= 3 + a2 ⇔ a2= 5 ⇔ a = ± 5
Jadi, nilai a adalah – 5 atau 5 .
16. Jawaban: d Vektor u tegak lurus v , maka: u · v = 0 ⇔ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 2 3 · − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 p = 0 ⇔ 2 × (–6) + (–3) × p = 0 ⇔ –12 – 3p = 0 ⇔ –3p = 12 ⇔ p = –4 Jadi, nilai p = –4. 17. Jawaban: a
Oleh karena vektor p dan q saling tegak lurus, berlaku p · q = 0. ⇒ 3 6 4 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ · 2 1 x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 0 ⇔ 3 × 2 + (–6) × (–1) + (–4) × x = 0 ⇔ 6 + 6 – 4x = 0 ⇔ 12 – 4x = 0 ⇔ 4x = 12 ⇔ x = 3 Diperoleh vektor q = 2 1 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .
