Latihan Soal Dan Pembahasan Mid Semester Matematika

1 | P a g e

Soal-soal dan Pembahasan Matematika

Soal-soal Mid Semester

Matematika kelas XI

1. Jika diketahui P(x) = 2x3+4x2-3x+2, maka nilai dari P(5) adalah …

a. 57 b. 75 c. 337 d. 373 e. 377 Jawab (C): 𝑃𝑃(5) = 2.125 + 4.25 − 3.5 + 2 𝑃𝑃(5) = 337 2. Jika P(x) = 3x4-(m-1)x3+2(n-1)x+6 dan Q (x) = ax4-bx2+6x+c maka nilai dari m+n adalah … a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 Jawab (C)

Soal tersebut adalah tentang kesamaan fungsi, sehingga kita menyamakan koefisien dari suku yang mempunyai derajat pangkat sama.

−(𝑚𝑚 − 1) = 0 𝑚𝑚 = 1 2(𝑛𝑛 − 1) = 6 2𝑛𝑛 − 2 = 6 → 𝑛𝑛 = 4 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 = 1 + 5 = 5 3. Jika 3𝑥𝑥−1 𝑥𝑥2₋₉ = 𝑎𝑎 𝑥𝑥+3+ 𝑏𝑏

𝑥𝑥−3 maka nilai a-b

adalah … a. 3 b. 2/3 c. -2 d. 1/3 e. ¾ Jawab (D)

Masih tentang kesamaan fungsi 3𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥2_{− 9 =} 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 3) + 𝑏𝑏(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) 3𝑥𝑥−1 𝑥𝑥2₋₉ =(𝑎𝑎+𝑏𝑏)𝑥𝑥−3𝑎𝑎+3𝑏𝑏_𝑥𝑥2₋₉ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 3 …(1) −3𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = −1 …(2)

Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut didapatkan

𝑎𝑎 =5_{3 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏 =}4₃ Sehingga 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 =5_{3 −}4_{3 =}1₃ 4. Jika 𝑥𝑥6− 3𝑥𝑥4− 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 4 = (𝑥𝑥 + 1)𝑄𝑄(𝑥𝑥) + 𝑘𝑘 maka nilai k … a. -3 b. -2 c. -1

2 | P a g e d. 3 e. 4

Jawab (C)

Suatu fungsi dapat dinyatakan dengan hasil kali antara pembagi dan hasil bagi kemudian dijumlahkan dengan sisanya. Dalam soal tersebut (𝑥𝑥 + 1) merupakan pembagi, Q(x) merupakan hasil bagi dan k adalah sisanya. Teorema sisa menyatakan bahwa sisa merupakan fungsi dari nilai pembagi fungsi tersebut. Pembagi adalah (𝑥𝑥 + 1), 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑥𝑥 = −1. Selanjutnya kita masukkan nilai tersebut ke dalam fungsi

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥6_{− 3𝑥𝑥}4_{− 𝑥𝑥}2_{+ 2𝑥𝑥 + 4}

𝐹𝐹(−1) = 1 − 3 − 1 − 2 + 4 𝐹𝐹(−1) = −1

Berdasarkan teorema sisa maka -1 merupakan sisa dari fungsi tersebut. Maka nilai k= - 1 5. Jika 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3− 2𝑥𝑥 + 4 dibagi (𝑥𝑥 − 1), maka sisanya … a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 10 Jawab (A)

Masih menggunakan teorema sisa. Pembagi adalah (𝑥𝑥 − 1) maka x = 1 𝑃𝑃(1) = 3 − 2 + 4

𝑃𝑃(1) = 5

Maka sisa dari hasil pembagian tersebut adalah 5

6. Jika P(x) dibagi 𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥 sisanya 3𝑥𝑥 + 8, jika P(x) dibagi (𝑥𝑥 + 1) sisanya …

a. -11 b. -8 c. 2 d. 3 e. 5 Jawab (E)

Jika suku banyak dibagi oleh fungsi yang berderajat 2 maka sisanya dalam bentuk (𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏). Pembagi berderajat 2 dalam soal tersebut adalah 𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥 dan sisanya adalah 3𝑥𝑥 + 8.

𝑥𝑥2_{+ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)}

Untuk pembagi berderajat satu, maka sisanya adalah konstanta. Pembagi berderajat 1 adalah (𝑥𝑥 + 1) yang juga merupakan salah satu faktor dari pembagi berderajat 2, maka

𝑆𝑆(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 𝑆𝑆(−1) = 3(−1) + 8 𝑆𝑆(−1) = 5

3 | P a g e

7. Suku banyak 2𝑥𝑥5− 3𝑥𝑥4− 𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 − 1 dibagi 𝑥𝑥3_{− 1, maka sisanya …}

a. 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 − 1 b. 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 c. −3𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 + 1 d. 𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥 − 1 e. 𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 − 1 Jawab (A)

Dengan cara pembagian biasa kita dapatkan hasil 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 dan sisanya 𝑥𝑥2 _{− 𝑥𝑥 − 1}

8. Jika (2𝑥𝑥 − 1) adalah faktor dari suku banyak 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3+ 7𝑥𝑥2+ 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 3 maka faktor lainnya adalah …

a. (𝑥𝑥 − 3) dan (𝑥𝑥 + 1) b. (𝑥𝑥 + 3) dan (𝑥𝑥 + 1) c. (𝑥𝑥 + 3) dan (𝑥𝑥 − 1) d. (𝑥𝑥 − 3) dan (𝑥𝑥 − 1) e. (𝑥𝑥 + 2) dan (𝑥𝑥 − 6) Jawab (B)

Teorema faktor menyatakan bahwa jika suatu fungsi dibagi menggunakan akarnya maka sisanya adalah 0. 2𝑥𝑥 − 1 = 0 𝑥𝑥 =1 2 𝑃𝑃 �1₂� =1₄+7₄+𝑎𝑎₂− 3 0 = 2 +𝑎𝑎₂− 3 𝑎𝑎 = 2

Maka fungsi P(x) menjadi 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3_{+ 7𝑥𝑥}2_{+ 2𝑥𝑥 − 3}

Dengan menggunakan cara horner, jika P(x) dibagi (2𝑥𝑥 − 1) maka sisanya adalah:

𝑆𝑆(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2_{+ 8𝑥𝑥 + 6}

Untuk mencari 2 faktor yang lain, maka persamaan tersebut kita faktorkan

0 = 2𝑥𝑥2_{+ 8𝑥𝑥 + 6}

0 = 𝑥𝑥2_{+ 4𝑥𝑥 + 3}

0 = (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1)

9. Jika P(x) dibagi (𝑥𝑥 − 2) sisanya -3 dan jika dibagi (𝑥𝑥 + 1) sisanya 6. Jika P(x) dibagi 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 − 2adalah … a. – 𝑥𝑥 + 5 b. −3𝑥𝑥 + 3 c. 𝑥𝑥 − 1 d. −9𝑥𝑥 + 5 e. 𝑥𝑥 + 3 Jawab (B)

Jika 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 − 2 kita faktorkan hasilnya adalah (𝑥𝑥 − 2) dan (𝑥𝑥 + 1). Jika pembaginya berderajat 2, maka sisanya dalam bentuk 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. Dengan menggunakan teorema sisa dapat kita peroleh bahwa sisa merupakan fungsi dari pembagi

𝑆𝑆(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 𝑆𝑆(2) = 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

4 | P a g e

−3 = 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (1)

𝑆𝑆(−1) = −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

6 = −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (2)

Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, didapatkah a = -3 dan b = 3 sehingga sisanya adalah 𝑆𝑆(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥 + 3

10. Diketahui persamaan suku banyak 𝑥𝑥3 _{− 9𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 = 0, nilai m jika 2}

akarnya berlawanan adalah … a. -2 b. -1 c. 0 d. 2 e. 4 Jawab (C)

Persamaan tersebut mempunyai 2 akar berlawanan, kita misalkan:

𝑥𝑥1 = 𝑝𝑝

𝑥𝑥2 = −𝑝𝑝 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑏𝑏𝑛𝑛𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥1)

𝑥𝑥3 = 𝑞𝑞

Selanjutnya akar-akar tersebut kita masukkan ke sifat-sifat persamaan berderajat 3, yaitu: 𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥3 = −𝑏𝑏_𝑎𝑎 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞 = −0₁ 𝑞𝑞 = 0 𝑥𝑥1× 𝑥𝑥2× 𝑥𝑥3 = −𝑑𝑑_𝑎𝑎 𝑝𝑝 × (−𝑝𝑝) × 𝑞𝑞 = −𝑚𝑚₁ 𝑝𝑝 × (−𝑝𝑝) × 0 = −𝑚𝑚

Semua bilangan jika dikalikan 0 hasilnya juga 0, maka nilai m adalah 0. 11. Jika 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 dan 𝑑𝑑(𝑥𝑥) =1 𝑥𝑥 maka (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)(2) adalah … a. 3 b. 2 c. 1 d. ½ e. 1/3 Jawab (A)

Pertama kita cari fungsi (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)(𝑥𝑥) dulu. (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)(𝑥𝑥) = 2 �1_𝑥𝑥�2+ 5 �1_𝑥𝑥� Maka (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)(2) adalah (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)(2) = 2 �1_2�2+ 5 �1_2� (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)(2) =1_{2 +}5₂ (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)(2) = 3 12. Diketahui 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 − 6 dan 𝑑𝑑(𝑥𝑥)=√5 − 𝑥𝑥 domain fungsi (𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 adalah … a. {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ≥ 3, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅} b. {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ≤ 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅} c. {𝑥𝑥|3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅}

5 | P a g e

d. {𝑥𝑥|3 < 𝑥𝑥 < 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅} e. {𝑥𝑥|3 ≤ 𝑥𝑥 < 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅}

Jawab (C)

Domain fungsi dalam bentuk akar kuadrat adalah yang didalam akar harus lebih besar atau sama dengan 0, maka 2𝑥𝑥 − 6 ≥ 0 𝑥𝑥 ≥ 3 dan 5 − 𝑥𝑥 ≥ 0 𝑥𝑥 ≤ 5

Karena fungsinya adalah (𝑓𝑓 + 𝑑𝑑)(𝑥𝑥) maka domainnya harus memenuhi

kedua batas tersebut {𝑥𝑥|3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅}

13. Diketahui fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1 dan 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2_{− 3𝑥𝑥 + 3. Jika nilai}

(𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑡𝑡) = 7 maka nilai t adalah … a. 1 atau 2 b. -2/3 atau 1 c. -1 atau 2/3 d. -1 atau 3/2 e. -2 atau -1 Jawab (D)

Pertama kita hitung (𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑥𝑥)

(𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑥𝑥) = (2𝑥𝑥 + 1)2_{− 3(2𝑥𝑥 + 1) + 3} (𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥2_{− 2𝑥𝑥 + 1 = 0} (𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑡𝑡) = 7 4𝑡𝑡2_{− 2𝑡𝑡 + 1 = 7} 4𝑡𝑡2_{− 2𝑡𝑡 − 6 =0} (2𝑡𝑡 + 2)(2𝑡𝑡 − 3) = 0 𝑡𝑡 = −1 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 =3₂ 14. Jika 𝑓𝑓(2𝑥𝑥 − 3) = 5𝑥𝑥 + 1 maka 𝑓𝑓−1_{(−4) adalah …} a. -19 b. -11 c. -5 d. -3 e. 1 Jawab (C) Misalkan 𝑎𝑎 = 2𝑥𝑥 − 3, 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑥𝑥 =𝑎𝑎+3 2 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 5 �𝑎𝑎 + 3_{2 � + 1} 𝑓𝑓(𝑎𝑎) =5𝑎𝑎 + 17₂ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =5𝑥𝑥 + 17₂

Selanjutnya fungsi tersebut kita invers. Untuk menginvers kita misalkan 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦

𝑦𝑦 =5𝑥𝑥 + 17₂

Selanjutnya fungsi tersebut kita balik menjadi x= 2𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 + 17 𝑥𝑥 =2𝑦𝑦 − 17₅ Maka 𝑓𝑓−1_{(𝑥𝑥) =}2𝑥𝑥 − 17 5 𝑓𝑓−1_{(−4) =}2(−4) − 17 5 = −5

6 | P a g e

15. Invers dari fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥−1 − 3 adalah … a. log₅(5𝑥𝑥 + 15) b. log₅(𝑥𝑥 + 4) c. log₅(𝑥𝑥 + 3) d. -1 + log₅(𝑥𝑥 + 3) e. 1 − log₅(𝑥𝑥 + 3) Jawab (A) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥−1 _{− 3} 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥−1_{− 3} Ingat log_𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 → 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑥𝑥 − 1 = log5(𝑦𝑦 + 3) 𝑥𝑥 = log5(𝑦𝑦 + 3) + 1 𝑥𝑥 = log5(𝑦𝑦 + 3) + log55

Ingat log_𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 = log_𝑎𝑎𝑏𝑏 + log_𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑥𝑥 = log5(𝑦𝑦 + 3) . 5 𝑥𝑥 = log5(5𝑦𝑦 + 15) 𝑓𝑓−1_{(𝑥𝑥) = log} 5(5𝑥𝑥 + 15) 16. Diketahui 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1 𝑥𝑥 dan 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 −

1 maka nilai (𝑑𝑑−1_{𝑓𝑓𝑓𝑓}−1_{)(𝑥𝑥) adalah …}

a.

2𝑥𝑥−1 𝑥𝑥

b.

𝑥𝑥+1 2𝑥𝑥

c.

𝑥𝑥−1 2𝑥𝑥

d.

2𝑥𝑥 𝑥𝑥−1

e.

𝑥𝑥 2𝑥𝑥−1 Jawab (B)

Ada 2 cara untuk menyelesaikan soal tersebut, yaitu dengan menginvers masing-masing fungsi kemudian di komposisikan, atau menggunakan (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)−1_{(𝑥𝑥) = (𝑑𝑑}−1_{𝑓𝑓𝑓𝑓}−1_)(𝑥𝑥)

(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)(𝑥𝑥) =_{2𝑥𝑥 − 1}1 Selanjutnya kita invers 𝑦𝑦 =_{2𝑥𝑥 − 1}1 2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 = 1 𝑥𝑥 =1 + 𝑦𝑦_2𝑦𝑦 Maka (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑)−1_{(𝑥𝑥) =} 𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥