Ukuran Pemusatan Data. Arum Handini P., M.Sc Ayundyah K., M.Si.

Ukuran Pemusatan Data

Arum Handini P., M.Sc Ayundyah K., M.Si.

Notasi untuk Populasi dan Sampel

Notasi:

Sample Populasi Mean (rata-rata) μ Variansi s2 _σ2 Simpangan baku s σ x

Ukuran Pemusatan Data

1. Mean (rata-rata)

2. Median

Mean

1. Mean untuk data tunggal

• Mean sampel dari himpunan n observasi: x₁, x₂, x₃, …, x_n, dirumuskan:

• Contoh: The birth weights in pounds of five babies born in a hospital on a certain day are 9.2, 6.4, 10.5, 8.1, and 7.8.

• The mean birth weight for these data is

1 n i i x x n  



9.2 6.4 10.5 8.1 7.8 42 8.4 5 5 x       

• Mean sampel dari himpunan n observasi: x₁, x₂, x₃, …, x_n, yang mempunyai frekuensi berturut-turut f₁, f₂, f₃, …, f_n,

dirumuskan: 1 n i i i n i f x x f   





Nilai Frekuensi x₁ f₁ x₂ f₂ x₃ f₃ … … x_n f_n

Latihan: Mean

• Loss of calcium is a serious problem for older women. To investigate the amount of loss, a researcher measured the initial amount of bone mineral content in the radius bone of the dominant hand of elderly women and then the amount remaining after one year. The differences, representing the loss of bone mineral content, are given in the following table (courtesy of E. Smith).

2. Estimasi Mean data berkelompok

a) Menghitung mean data kelompok dengan metode biasa

• Penyajian data berkelompok:

• Mean dihitung dengan formula:

Interval/ Selang Titik Tengah (x_i) Frekuensi (f_i)

Limit kelas ke-1 X₁ f₁ Limit kelas ke-2 X₂ f₂

… … …

Limit kelas ke-n X_n f_n

1 1 n i i i n i i f x x f   





• Contoh:

Interval Kelas Titik Tengah Kelas (x_i) Frekuensi (f_i) fixi 7 – 9 8 2 16 10 – 12 11 8 88 13 – 15 14 14 196 16 – 18 17 19 323 19 – 21 20 7 140 Jumlah 50 763 1 763 _15.26 n i i i n f x x    



b) Menghitung mean data kelompok dengan metode simpangan rata-rata

• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari:

• Maka rataan hitung dirumuskan:

1 2 n x x A   1 1 n i i i n i i f d x A f    





x₁: limit bawah kelas pertama x_n: limit atas kelas terakhir

d_i: x_i – A

x_i: nilai tengah masing-masing kelas f_i: frekuensi kelas

• Contoh: Interval Kelas Titik Tengah Kelas (x_i) Deviasi (d_i) Frekuensi (f_i) f_i d_i 7 – 9 8 -6 2 -12 10 – 12 11 -3 8 -24 13 – 15 14 0 14 0 16 – 18 17 3 19 57 19 – 21 20 6 7 42 Jumlah 50 63 7 21 14 A    1 14 63 15.26 n i i i n f d x  A    



Untuk banyak interval kelas ganjil,

‘0’ pasti terletak di kelas yang tengah

c) Mean berkelompok dengan metode coding

• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari:

• Mean dengan metode coding dirumuskan:

1

2

n

x x

A   x1: limit bawah kelas pertama

x_n: limit atas kelas terakhir

1 1 n i i i n i i f c x A p f     





c_i: kode untuk setiap kelas

x_i: nilai tengah masing-masing kelas f_i: frekuensi kelas

• Contoh: Interval Kelas Kode (c_i) Frekuensi (f_i) fi ci 7 – 9 -2 2 -4 10 – 12 -1 8 -8 13 – 15 0 14 0 16 – 18 1 19 19 19 – 21 2 7 14 50 21 7 21 14 A    1 14 3 21 15.26 n i i i n f c x   A p     



Untuk banyak interval kelas ganjil,

‘0’ pasti terletak di kelas yang tengah

3. Mean data gabungan

• Sample berukuran n₁, n₂, …, n_k diambil dari k populasi, masing-masing memiliki mean , maka mean gabungan: 1, ,...,2 k x x x 1 1 k i i i c k i i n x x n   





4. Mean terboboti

• Terdapat k buah nilai x₁, x₂, …, x_k dengan bobot masing-masing w₁, w₂, …, w_k, maka mean dirumuskan:

• Contoh: • Nilai akhir: 1 1 k i i i w k i i w x x w   





Komponen Tugas Quiz UTS UAS

Bobot 20% 10% 30% 40% Nilai 80 75 65 75



0.2 80

 

0.1 75

 

0.3 65

 

0.4 75



73 0.2 0.1 0.3 0.4 w x            

Median

1. Median data tunggal

• Median sampel dari himpunan n observasi: x₁, x₂, x₃, …, x_n, adalah nilai tengah dari observasi terurut dari yang terkecil hingga terbesar.

• Letak median:

– Ukuran data ganjil

Median terletak di data ke-

– Ukuran data genap

Median terletak diantara data ke- dan data ke- 1 2 n 2 n 1 2 n _

• Contoh 1 (median):

Data 5 bobot bayi ketika lahir: 3.04; 4.20; 3.28; 3.12; 2.56

Diurutkan: 2.56, 3.04, 3.12, 3.28, 4.20 (n = 5)

Median terletak pada data ke- , yaitu 3.12. Data: 3, 15, 46, 64, 126, 623 (n = 6)

Median terletak pada data ke- dan ke- , yaitu: 5 1 3 2  _ 6 3 2  6 1 4 2   46 64 55 2  

• Contoh 2 (median)

Lamanya enam pasien pencangkokan jantung adalah sebagai berikut: 15, 3, 46, 623, 126, dan 64 hari.

Data terurut: 3, 15, 46, 64, 126, 623

Median-nya adalah 55, sementara mean-nya 146.2

Perhatikan: jika dilihat dari nilai mean, maka hanya ada 1 pasien yang hidup di atas 146.2 hari. Di sini median menjadi indikator yang lebih baik, yaitu ada 3 pasien yang bertahan hidup lebih dari 55 hari.

Bagi distribusi yang tidak simetrik, kiranya median akan menjadi ukuran nilai tengah yang lebih bermakna daripada mean

Contoh ini menunjukkan bahwa median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrem pada sampel.

2. Estimasi median data berkelompok

• Rumus untuk median data berkelompok (data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi):

1 2 k me n f Me b p f  _           

b: batas bawah kelas median p: panjang kelas

n: banyak data

f_k: frekuensi kumulatif sebelum kelas median f : frekuensi kelas median

Modus

• Modus suatu sampel adalah nilai yang paling banyak muncul atau paling tinggi frekuensinya.

• Estimasi modus untuk data berkelompok:

• dimana: 1 1 2 d Mo b p d d      _    1 1 2 1 mo mo mo mo d f f d f f      

b: batas bawah kelas modus p: panjang kelas

f_mo: frekuensi kelas modus

f_mo-1: frekuensi kelas sebelum kelas modus f_mo+1: frekuensi kelas setelah kelas modus

Persentil

• Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama.

• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P₁, P₂, …, P₉₉, yang bersifat 1% dari seluruh data terletak di bawah P₁, 2% terletak di bawah P₂,…, dan 99% terletak di bawah P₉₉.

• Menghitung persentil ke-p:

– Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar.

– Tentukan hasil kali: banyak data × proporsi = np.

• Jika np bukan bilangan bulat, maka lakukan pembulatan ke atas dan tentukan data pada urutan tersebut.

Desil

• Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 10 bagian yang sama.

• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D₁, D₂, …, D₉ yang bersifat 10% data berada di bawah D₁, 20% di bawah D₂, …, dan 90% di bawah D₉.

Kuartil

1. Kuartil data tunggal

• Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 4 bagian sama besar.

• Dilambangkan dengan:

– Q₁ (25% data jatuh di bawah nilai Q₁) – Q₂ (50% data jatuh di bawah nilai Q₂) – Q₃ (75% data jatuh di bawah nilai Q₃)

• Contoh:

• Contoh:

Data Pengukuran Tingkat Kebisingan Lalu Lintas (Decibel)

52 55.9 56.7 59.4 60.2 61 62.1 63.8 65.7 67.9 54.4 55.9 56.8 59.4 60.3 61.4 62.6 64 66.2 68.2 54.5 56.2 57.2 59.5 60.5 61.7 62.7 64.6 66.8 68.9 55.7 56.4 57.6 59.8 60.6 61.8 63.1 64.8 67 69.4 55.8 56.4 58.9 60 60.8 62 63.6 64.9 67.1 77.1

• Kuartil ke-1:

– letak: 0.25 × 50 = 12.5 (pecahan), maka bulatkan ke atas menjadi 13. Kuartil pertama adalah data ke-13 yaitu 57.2.

• Persentil ke-10:

– letak: 0.1 × 50 = 5 (bilangan bulat), sehingga letak persentil ke sepuluh adalah di antara data ke 5 dan 6 yaitu: (55.8 + 55.9)/2 = 55.85

2. Estimasi Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok

Rumus menghitung kuartil data berkelompok:

4 k i Q i n f Q b p f  _           

Q_i: kuartil ke-i, D_i: desil ke-i, P_i: persentil ke-i b: batas bawah kelas kuartil, desil, atau

persentil

p: panjang kelas n: banyak data

f_k: frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil, desil, atau persentil.

f_Q: frekuensi kelas kuartil, f_D: frekuensi kelas desil, f_P: frekuensi kelas persentil.

 _            10 k i D i n f D b p f  _            100 k i P i n f P b p f

Latihan

1. Delapan peserta lomba sepeda mencatat waktu tempuh sebagai berikut: 28, 22, 26, 33, 21, 23, 37, 24. Hitunglah mean dan mediannya.

2. Perhatikan tabel banyak anak pada setiap keluarga di Kampung Sejahtera.

Banyak anak Frekuensi

1 2

2 4

3 21

4 18

5 10

Tentukan mean dan mediannya.

3. Perhatikan diagram tangkai-daun skor ujian akhir mata kuliah statistika berikut:

2 48 3 155 4 002 5 03368 6 0124479 7 22355689 8 004577 9 0025 Hitunglah: a. Mean b. Median c. Kuartil: Q₁, Q₂, dan Q₃

4. Berdasarkan dari data berikut: Hitung: a) Mean b) Median c) Modus d) Kuartil pertama e) P₄₅

5. Berdasarkan data berikut: Hitung: a) Mean b) Median c) Modus d) Kuartil pertama e) P₄₅

6. Seorang mahasiwa mendapatkan nilai 87.4 untuk mata kuliah Metode Statistika. Nilai yang diperoleh mahasiswa tersebut dan bobot nilai pada mata kuliah Metode Statistika adalah sebagai berikut:

Berapakah nilai UAS yang diperoleh mahasiswa tersebut?

Penilaian Bobot Nilai

Tugas 20% 88

Quiz 10% 75

UTS 30% 85

Referensi

• Bhattacharya, G. K., dan R. A., Johnson, 1997,

Statistical Concept and Methods, John Wiley

and Sons, New York.

• Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika Edisi

ke-3, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri,