Notasi untuk Populasi dan Sampel

Ukuran Pemusatan Data

Notasi untuk Populasi dan Sampel

Notasi:

Sample Populasi

Mean (rata-rata) μ

Variansi s2 σ2

Simpangan baku s σ

Ukuran Pemusatan Data

1. Mean (rata-rata)

2. Median

Mean

1. Mean untuk data tunggal

• Mean sampel dari himpunan n observasi: x₁, x₂, x₃, …, x_n, dirumuskan:

• Contoh: The birth weights in pounds of five babies born in a hospital on a certain day are 9.2, 6.4, 10.5, 8.1, and 7.8.

• The mean birth weight for these data is

• Mean sampel dari himpunan n observasi: x₁, x₂, x₃, …, x_n,

Nilai Frekuensi

x₁ f₁

x₂ f₂

x₃ f₃

… …

Latihan: Mean

2. Estimasi Mean data berkelompok

a) Menghitung mean data kelompok dengan metode biasa • Penyajian data berkelompok:

• Mean dihitung dengan formula:

• Contoh:

Interval Kelas Titik Tengah Kelas (x_i)

Frekuensi

b) Menghitung mean data kelompok dengan metode simpangan rata-rata

• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari:

• Maka rataan hitung dirumuskan:

1

x₁: limit bawah kelas pertama x_n: limit atas kelas terakhir

d_i: x_i – A

• Contoh:

Frekuensi

(f_i) f_i d_i

Untuk banyak interval kelas ganjil,

c) Mean berkelompok dengan metode coding

• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari:

• Mean dengan metode coding dirumuskan:

1

2

n

x x

A   x1: limit bawah kelas pertama

x_n: limit atas kelas terakhir

1

x_i: nilai tengah masing-masing kelas f_i: frekuensi kelas

• Contoh:

Interval Kelas

Kode (c_i)

Frekuensi

Median

1. Median data tunggal

• Median sampel dari himpunan n observasi: x₁, x₂, x₃, …, x_n, adalah nilai tengah dari observasi terurut dari yang terkecil hingga terbesar.

• Letak median:

– Ukuran data ganjil

Median terletak di data ke-

– Ukuran data genap

• Contoh 1 (median):

Data 5 bobot bayi ketika lahir: 3.04; 4.20; 3.28; 3.12; 2.56

• Contoh 2 (median)

Lamanya enam pasien pencangkokan jantung adalah sebagai berikut: 15, 3, 46, 623, 126, dan 64 hari.

Data terurut: 3, 15, 46, 64, 126, 623

Median-nya adalah 55, sementara mean-nya 146.2

Perhatikan: jika dilihat dari nilai mean, maka hanya ada 1 pasien yang hidup di atas 146.2 hari. Di sini median menjadi indikator yang lebih baik, yaitu ada 3 pasien yang bertahan hidup lebih dari 55 hari.

Bagi distribusi yang tidak simetrik, kiranya median akan menjadi ukuran nilai tengah yang lebih bermakna daripada mean

2. Estimasi median data berkelompok

• Rumus untuk median data berkelompok (data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi):

1

b: batas bawah kelas median p: panjang kelas

n: banyak data

f_k: frekuensi kumulatif sebelum kelas median

Modus

• Modus suatu sampel adalah nilai yang paling banyak muncul atau paling tinggi frekuensinya.

• Estimasi modus untuk data berkelompok:

• dimana:

b: batas bawah kelas modus p: panjang kelas

f_mo: frekuensi kelas modus

Persentil

• Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama.

• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P₁, P₂, …, P₉₉, yang bersifat 1% dari seluruh data terletak di bawah P₁, 2% terletak di bawah P₂,…, dan 99% terletak di bawah P₉₉.

• Menghitung persentil ke-p:

– Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar.

– Tentukan hasil kali: banyak data × proporsi = np.

Desil

• Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 10 bagian yang sama.

Kuartil

1. Kuartil data tunggal

• Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 4 bagian sama besar.

• Dilambangkan dengan:

– Q₁ (25% data jatuh di bawah nilai Q₁)

– Q₂ (50% data jatuh di bawah nilai Q₂)

– Q₃ (75% data jatuh di bawah nilai Q₃)

• Contoh:

• Contoh:

Data Pengukuran Tingkat Kebisingan Lalu Lintas (Decibel)

•

Kuartil ke-1:

– letak: 0.25 × 50 = 12.5 (pecahan), maka bulatkan ke atas menjadi 13. Kuartil pertama adalah data ke-13 yaitu 57.2.

•

Persentil ke-10:

2. Estimasi Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok

Rumus menghitung kuartil data berkelompok:

4 k b: batas bawah kelas kuartil, desil, atau

persentil

p: panjang kelas n: banyak data

f_k: frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil, desil, atau persentil.

f_Q: frekuensi kelas kuartil, f_D: frekuensi kelas desil, f_P: frekuensi kelas persentil.

Latihan

1. Delapan peserta lomba sepeda mencatat waktu tempuh sebagai berikut: 28, 22, 26, 33, 21, 23, 37, 24. Hitunglah mean dan mediannya.

2. Perhatikan tabel banyak anak pada setiap keluarga di Kampung Sejahtera.

Banyak anak Frekuensi

1 2

2 4

3 21

4 18

5 10

3. Perhatikan diagram tangkai-daun skor ujian akhir mata kuliah statistika berikut:

2 48

3 155

4 002

5 03368

6 0124479

7 22355689

8 004577

9 0025

Hitunglah: a. Mean b. Median

4. Berdasarkan dari data berikut:

Hitung: a) Mean b) Median c) Modus

5. Berdasarkan data berikut:

Hitung: a) Mean b) Median c) Modus

6. Seorang mahasiwa mendapatkan nilai 87.4 untuk mata kuliah Metode Statistika. Nilai yang diperoleh mahasiswa tersebut dan bobot nilai pada mata kuliah Metode Statistika adalah sebagai berikut:

Berapakah nilai UAS yang diperoleh mahasiswa tersebut?

Penilaian Bobot Nilai

Tugas 20% 88

Quiz 10% 75

UTS 30% 85

Referensi

•

Bhattacharya, G. K., dan R. A., Johnson, 1997,

Statistical Concept and Methods

, John Wiley

and Sons, New York.

•

Walpole, R.E., 1995,

Pengantar Statistika Edisi

ke-3

, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri,