H dinotasikan dengan B H

93

OPERATOR KOMPAK

Mustafa A. H. Ruhama

Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Khairun

ABSTRAK

Diketahui H dan _{1 H dua ruang Hilbert, 2} B(H₁,H₂)merupakan koleksi semua operator (fungsi linear kontinu) dari H ke ₁ H . Jika _{2 H separabel dengan basis 1}

orthonormal



e_n:nN



maka TB(H₁,H₂)disebut operator Hilbert-Schmidt jika

 



  2 1 n n

Te . Koleksi semua operator Hilbert-Shcmidt dari ruang Hilbert separabel 1

H ke ruang Hilbert separabel H dinotasikan dengan ₂ B₂



H₁, H₂



. TB(H₁,H₂) disebut operator kompak jika untuk setiap barisan

 

x_n H₁ yang terbatas, terdapat barisan bagian



T(x_nk)

 

 T(x_n)



yang konvergen. Koleksi semua operator kompak dari ruang Hilbert H ke ruang Hilbert ₁ H dinotasikan dengan₂ B₀



H₁, H₂



. Akan ditunjukan setiap TB₂(H₁,H₂) merupakan operator kompak.

Kata Kunci: Ruang Hilbert Separabel, Operator Hilbert-Schmidt, dan Operator Kompak

PENDAHULUAN

Himpunan yang terdiri atas elemen - elemen yang memenuhi aksioma - aksioma tertentu disebut ruang. Di dalam analisis modern, beberapa ruang yang sering

dibicarakan adalah ruang linear, ruang metrik, ruang bernorma, ruang Banach, ruang pre-Hilbert dan ruang Hilbert.

Salah satu topik yang juga menarik dibahas dalam analisis modern adalah teori operator. Pengertian operator adalah fungsi linear kontinu atau linear terbatas dari suatu ruang Hilbert ke ruang Hilbert yang lain. Ruang Hilbert yang mempunyai barisan yang total disebut ruang Hilbert separabel. Pada penelitian ini yang dibicarakan adalah operator kompak dari suatu ruang Hilbert separabel ke ruang Hilbert separabel yang lain. Barisan terbatas pada ruang Hilbert dan konvergen sangat penting dalam membicarakan operator kompak.

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur, yaitu mengumpulkan materi-materi penelitian yang dimbil dari beberapa buku analisis yang memuat tentang ruang Hilbert dan operator kompak. Selanjutnya mempelajari dan membahas materi tersebut.

94 PEMBAHASAN

1.1. Landasan Teori 3.1.1 Operasi Biner

Secara intuitif suatu operasi biner atas suatu himpunan 𝑆 adalah suatu aturan yang menggabungkan dua unsur dari 𝑆 menjadi satu unsur dari 𝑆. Sebelum mendefinisikan operasi biner dalam konteks yang lebih umum, perlu diberikan definisi tentang relasi suatu himpunan sebagai berikut:

Definisi 3.1.1.1. Diketahui 𝐴 dan 𝐵 masing-masing dua himpunan yang tak kosong. Suatu relasi R dari 𝐴 ke 𝐵 adalah himpunan bagian dari 𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝐴 & 𝑦 ∈ 𝐵}. Dengan perkataan lain suatu relasi R dari 𝐴 ke 𝐵 adalah suatu aturan yang menghubungkan unsur dari 𝐴 ke 𝐵.

Andaikan 𝑅 adalah relasi dari 𝐴 ke 𝐵, dan misalkan 𝑅 menghubungkan 𝑥 ∈ 𝐴 ke 𝑦 ∈ 𝐵. Hubungan ini dinotasikan dengan 𝑥𝑅𝑦 atau (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅.

Definisi 3.1.1.2. Suatu operasi biner ∗ atas suatu himpunan 𝑆 adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap pasangan berurutan (𝑥, 𝑦) dari unsur-unsur di 𝑆 ke tepat satu 𝑧 ∈ 𝑆, dan dinotasikan dengan 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑧.

3.1.2 Ruang Linear

Sebelum membahas ruang linear (ruang vektor) terlebih dahulu diberikan tentang pengertian grup komutatif dan lapangan (filed).

Definisi 3.1.2.1. 𝑉 himpunan tak kosong dengan operasi biner ∗ merupakan grup komutatif (abelian) jika memenuhi:

(i). Untuk setiap 𝑣₁, 𝑣₂ ∈ 𝑉 berlaku 𝑣₁∗ 𝑣₂ = 𝑣₂∗ 𝑣₁.

(ii). Untuk setiap 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ∈ 𝑉 berlaku 𝑣1∗ (𝑣2∗ 𝑣3) = (𝑣1∗ 𝑣2) ∗ 𝑣3.

(iii). Terdapat unsur 𝑒 sehingga untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku 𝑣 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑣 = 𝑣. 𝑒 disebut unsur identitas terhadap operasi ∗.

(iv). Untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 terdapat 𝑣−1∈ 𝑉 sehingga berlaku 𝑣 ∗ 𝑣−1 = 𝑣−1∗ 𝑣 = 𝑒. 𝑣−1disebut invers terhadap operasi ∗.

Suatu grup 𝑉 dengan operasi biner ∗ dinotasikan dengan (𝑉,∗).

Definisi 3.1.2.2. 𝐹 himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yang dinotasikan dengan ⨁ dan ∙ merupakan lapangan jika memenuhi:

(i). (𝐹, ⨁) grup komutatif. (ii). (𝐹, ∙) grup komutatif.

95

𝑎 ∙ (𝑏⨁𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏⨁𝑎 ∙ 𝑐 dan (𝑎⨁𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐⨁𝑏 ∙ 𝑐. Contoh 3.1.2.3

1. ℝ merupakan himpunan bilangan real (nyata) dengan operasi penjumlahan biasa merupakan grup komutatif, sebab

(i). Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ berlaku 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥.

(ii). Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ berlaku 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧.

(iii). Terdapat unsur 0 ∈ ℝ sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ berlaku 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥. 0 disebut unsur identitas terhadap operasi penjumlahan.

(iv). Untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ terdapat −𝑥 ∈ ℝ sehingga berlaku

𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0. – 𝑥 disebut invers terhadap operasi penjumlahan. 2. ℝ dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (∙) biasa merupakan lapangan ,

sebab

(i). (ℝ, +) grup komutatif. (ii). (ℝ, ∙) grup komutatif.

(iii). Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ berlaku

𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 dan (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦 ∙ 𝑧.

Definisi 3.1.2.4. Diketahui (𝑉, +) grup komutatif dan (𝐹, ⨁,∙) lapangan. 𝑉 disebut ruang linear (linear space) atau ruang vektor (vector space) atas 𝐹 jika terdapat operasi ∗ antara keduanya sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉 dan 𝛼 ∈ 𝐹 menentukan dengan tunggal 𝛼 ∗ 𝑥 yang memenuhi sifat-sifat:

(i). 𝛼 ∗ (𝑥 + 𝑦) = 𝛼 ∗ 𝑥 + 𝛼 ∗ 𝑦, (ii). (𝛼⨁𝛽) ∗ 𝑥 = 𝛼 ∗ 𝑥 + 𝛽 ∗ 𝑥, (iii). (𝛼 ∙ 𝛽) ∗ 𝑥 = 𝛼 ∗ (𝑥 ∗ 𝛽), (iv). 1 ∗ 𝑥 = 𝑥,

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 dan 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐹.

Untuk penyederhanaan penulisan 𝛼 ∗ 𝑥 cukup ditulis 𝛼𝑥 , 𝛼⨁𝛽 cukup ditulis 𝛼 + 𝛽, dan 𝛼 ∙ 𝛽 cukup ditulis dengan 𝛼𝛽, asalkan tak ada salah pengertian. Anggota ruang vektor disebut vektor sedangkan anggota 𝐹 disebut skalar.

Contoh 3.1.2.5

1. Diberikan sebarang bilangan asli 𝑛 atau 𝑛 ∈ ℕ dan dibentuk ℝ𝑛 = {𝑥̃ = (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛): 𝑥_𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}. Operasi penjumlahan dan perkalian

skalar didefinisikan sebagai berikut:

96 𝛼𝑥̃ = (𝛼𝑥₁, 𝛼𝑥₂, … , 𝛼𝑥_𝑛)

untuk setiap 𝑥̃ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑦̃ = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛 dan 𝛼 ∈ ℝ. ℝ𝑛 merupakan ruang vektor real.

2. 𝑉 = 𝐶[𝑎, 𝑏], yaitu koleksi semua fungsi kontinu dari [𝑎, 𝑏] ke ℝ. Operasi penjumlahan (+) pada 𝐶[𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai berikut: Untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], fungsi 𝑓 + 𝑔 didefinisikan sebagai

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

maka 𝑉 merupakan grup komutatif, dengan (−𝑓)(𝑥) = −𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].Jika untuk setiap 𝑓 ∈ 𝑉 = 𝐶[𝑎, 𝑏] dan 𝛼 ∈ ℝ didefinisikan fungsi 𝛼𝑓,

dengan rumus (𝛼𝑓)(𝑥) = 𝛼𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] maka dapat dilihat bahwa 𝛼𝑓 ∈ 𝑉. 𝑉 merupakan ruang vektor real.

3.1.3 Ruang Bernorma

Definisi 3.1.3.1. Diberikan ruang linear X . Fungsi xX  x , yang mempunyai sifat-sifat:

)

(N₁ . x 0, untuk setiap xX.

0



x , jika dan hanya jika x, ( vektor nol).

)

(N₂ . x  x , untuk setiap skalar dan xX.

)

(N₃ . x y  x  y , untuk setiap skalar x,yX

disebut norma (norm) pada X dan bilangan nonnegatif x disebut norma vektor

x . Ruang linear X yang dilengkapi dengan norma . disebut ruang bernorma dan

dituliskan singkat dengan

 

X,. atau X saja asalkan normanya telah diketahui. Contoh 3.1.3.2

Koleksi semua barisan bilangan kompleks dituliskan dengan S. Untuk p2

didefinisikan koleksi barisan :

 



   x x x_k l2 : S dan



 1 2 k k x 



. 2

l merupakan ruang bernorma terhadap norma

2 1 1 2 2 _     



  k k x x , untuk setiap x 

 

x_k l2.

97

Definisi 3.1.3.3. Diketahui ruang bernorma

 

X,. dan barisan vektor

 

x_n  X.

)

(i .Barisan

 

xn X dikatakan konvergen, jika terdapat xX sehingga untuk setiap bilangan  0terdapat bilangan asli n sehingga untuk setiap bilangan asli n₀ dengan nn₀ berlaku x_nx  , dalam hal ini dinotasikan dengan x_n x, untuk n atau x_n x

n 

lim atau lim  0



 xn x

n .

)

(ii .Barisan

 

x_n X disebut barisan Cauchy, jika untuk setiap bilangan  0

terdapat bilangan asli n sehingga untuk setiap dua bilangan asli ₀ m, dengan n

0 ,n n

m  berlaku x_m x_n .

(iii). Barisan

 

x_n X dikatakan terbatas, jika terdapat bilangan real M 0

sehingga x_n M.

3.1.4 Fungsi Linear Kontinu

Definisi 3.1.4.1. Diketahui X dan Y masing-masing ruang bernorma dan T:X Y.

)

(i . T dikatakan linear jika untuk setiap x,yX dan sebarang skalar berlaku sifat-sifat T(x y)T(x)T(y) dan T(x)T(x).

)

(ii . T dikatakan kontinu di x₀X jika untuk setiap bilangan  0terdapat bilangan

0



 sehingga untuk setiap xX dengan x₀x  berlaku T(x₀)T(x) 

. Selanjutnya T kontinu pada X jika T kontinu di setiap xX.

)

(iii . T dari ruang bernorma X ke ruang bernorma Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M 0 sehingga T

 

x M x , untuk setiap xX .

Teorema 3.1.4.2. Diketahui X dan Y masing-masing ruang bernorma. Jika Y

X

T :  fungsi linear, maka pernyataan berikut ekuivalen:

).

(i T kontinu pada X . T kontinu di x₀X .

T kontinu di X .

).

(iv



T(x) :xX dan x 1



terbatas.

). (v T terbatas. ). (ii ). (iii

98 3.1.5 Ruang Pre-Hilbert

Definisi 3.1.5.1. Diketahui ruang linear P . Fungsi .,. :PxPC yang memenuhi :

)

(I1 . x,y  y,x , untuk setiap x,yP )

(I₂ . xy,z  x,y  x,z , untuk setiap x,y,zP )

(I₃ . x,y  x,y , untuk setiap x,yP dan sebarang skalar 

)

(I₄ . x,x 0 jika dan hanya jikax, untuk setiap xP

disebut produk skalar(scalar product/inner product). Ruang linear P yang diperlengkapi dengan produk skalar disebut ruang pre-Hilbert.

Contoh 3.1.5.2

Koleksi semua barisan bilangan kompleks dituliskan dengan S. Untuk p2

didefinisikan koleksi barisan l2 



x:x

 

x_k 

S dan



 1 2 k k x 



merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner product:



   1 , k k ky x y x , untuk setiap x

 

x_k , y

 

y_k l2.

Bukti. l2 merupakan ruang linear. Tinggal menunjukan l2 merupakan ruang pre-Hilbert. Untuk setiap x

 

x_k , y

 

yk l2 dan skalar , diperoleh

) (I₁ . x y x y y x y x k k k k k k , , 1 1   





    ) (I₂ . 



  1 , k k ky x y x   x y x y k k k , 1  



   ) (I₃ .  



   1 ) ( , k k k k y z x z y x ( ) 1 k k k k kz y z x



  



   1 k k kz x



   1 k k kz y  x,z  y,z ) (I₄ . x 0 ada i sehingga x_i 0 x,x  0 2 1 1  







   k k k k kx x x .

Teorema 3.1.5.3. Setiap ruang pre-Hilbert P merupakan ruang bernorma terhadap

norma :

x x

99

Definisi 3.1.5.4. Ruang pre-Hilbert dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen.

Definisi 3.1.5.5. Diketahui ruang pre-Hilbert P . Himpunan S P dikatakan total jika vektor yang tegak lurus dengan semua anggota S hanyalah vektor . Barisan vektor

 

xn P dikatakan barisan total jika vektor yang tegak lurus dengan setiap

P

x_n hanyalah vektor .

Definisi 3.1.5.6. Diketahui P suatu ruang pre-Hilbert. Dua vektorx,yPdikatakan saling tegak lurus (orthogonal) , dan dinotasikan dengan x y, jika x,y 0.

Definisi 3.1.5.7. Diketahui P suatu ruang pre-Hilbert. Barisan

 

x_n P dikatakan tegak lurus (orthogonal) jika xj xk, untuk setiap jk.

Definisi 3.1.5.8. Diketahui P ruang pre-Hilbert dan barisan

 

x_n P.

 

x_n disebut barisan orthonormal jika

 

x_n orthogonal dan x_n 1, untuk setiap bilangan asli k .

3.1.6 Ruang Hilbert dan Operator Hilbert-Schmidt

Definisi 3.1.6.1. Ruang pre-Hilbert yang lengkap disebut ruang Hilbert. Pada pembicaraan selanjutnya ruang Hilbert selalu dinotasikan dengan H .

Contoh 3.1.6.2 2

l merupakan ruang Hilbert.

Bukti. Pada Contoh 3.1.5.2, l2 merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner product:



   1 , k k ky x y x , untuk setiap x

 

x_k , y

 

y_k l2. Tinggal membuktikan 2

l lengkap. Diambil sebarang barisan Cauchy

 

x(n) l2 dengan



, ( ),...



2 ) ( 1 ) (n _xn _xn

x  , untuk setiap n . Jadi untuk setiap bilangan  0 terdapat bilangan asli n sehingga untuk setiap bilangan asli ₀ m, dengan n m,nn₀ berlaku

3 2 1 1 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) (        _  



  i n i m i n m x x x x .

Hal ini berakibat bahwa untuk setiap m,nn₀ berlaku ) ( ) ( n i m i x x  3   , untuk setiap i .

100

Dengan kata lain diperoleh untuk setiap

 

x_i(n) barisan Cauchy di dalam  atau C . Karena  dan C lengkap maka

 

xi(n) konvergen, artinya terdapat xi(C) sehingga

i n i nx x ) (

lim atau lim ( ) 0 

 i

n i

n x x , untuk setiap i . Dari hal tersebut diperoleh pula

(a).  (n)  i i x x lim _i(m) _i(n) mx x ₃   (b). Barisan x

 

x_i dengan 2 x 2 1 1 2       



  i i x 2 1 1 2 ) ( ) (       _{ } 



  i n i n i i x x x        _ 



  2 1 1 2 ) ( i n i i x x 2 1 1 2 ) (      

_

  i n i x   3  2 1 1 2 ) (      

_

  i n i x  

dengan kata lain terbukti x 

 

xi l2……(2.1)

Untuk setiap nn₀, diperoleh

2 ) ( x x n  2 1 1 2 ) (       _ 



  i i n i x x 2 1 1 2 ) ( ) ( lim       _ 



   i m i n i m x x    mlim 2 1 1 2 ) ( ) (      

_

 _  i m i n i x x   _  3

dengan kata lain

 

x(n) konvergen ke x ……(2.2)

Berdasarkan (2.1) dan (2.2) disimpulkan bahwa l2 lengkap atau l2 merupakan ruang Hilbert.

Definisi 3.1.6.3. Diketahui ruang Hilbert H . Barisan

 

x_n Hdisebut basis orthonormal jika

 

x_n barisan orthonormal dan total.

101

Definisi 3.1.6.4. Ruang Hilbert H dikatakan separable jika H mempunyai barisan total.

Definisi 3.1.6.5. Diketahui H dan ₁ H ruang Hilbert separabel. Operator ₂



H1, H2



B

T disebut operator Hilbert-Schmidt jika

 



  2 1 n n Te

dengan



e_n:nN



basis orthonormal H . ₁

Koleksi semua operator Hilbert-Shcmidt dari ruang Hilbert separabel H ke ₁

ruang Hilbert separabel H dinotasikan dengan₂ B₂



H₁, H₂



. Selanjutnya akan ditunjukan setiap TB₂(H₁,H₂) merupakan operator kompak. Untuk keperluan tersebut dibicarakan dulu apa yang dimaksud operator kompak.

3.1.7 Operator Kompak

Definisi 3.1.7.1. Diberikan dua ruang Hilbert H dan ₁ H . Operator ₂ TB(H₁,H₂)

disebut operator kompak jika untuk setiap barisan

 

x_n H₁ yang terbatas, terdapat barisan bagian



T(x_nk)

 

 T(x_n)



yang konvergen .

Koleksi semua operator kompak dari ruang Hilbert H ke ruang Hilbert ₁ H₂

dinotasikan denganB₀



H₁, H₂



.

Teorema 3.1.7.2. Diberikan dua ruang Hilbert H dan ₁ H . Jika ₂ S,TB₀(H₁,H₂)

maka T dan S T merupakan operator kompak, untuk sebarang  ; jadi

) , ( _{1 2} 0 H H

B ruang linear.

Bukti: Diambil sebarang barisan

 

x_n H₁ terbatas, untuk memudahkan dianggap 1



n

x untuk setiap nN. Karena T kompak maka terdapat barisan bagian



T(x_nk)

 

 T(x_n)



yang konvergen. Oleh karena itu

1.



T(x_nk)

 

 T(x_n)



konvergen, untuk sebarang  dan

2. Terdapat barisan bagian

   

x_mk  x_nk , sehingga



S(xmk)

 

 S(xnk)

 

 S(xn)



yang konvergen sehingga diperoleh



(TS)(x_mk)

 

 T(x_mk)

 

 S(x_mk)



konvergen.

102

Definisi 3.1.7.3. Diketahui H dan ₁ H ruang Hilbert . Operator ₂ TB(H₁,H₂)

dikatakan berdimensi hingga jika T(H₁)H₂berdimensi hingga.

Teorema 3.1.7.4. Diberikan dua ruang Hilbert H dan ₁ H . Setiap operator ₂

) , (H₁ H₂ B

T berdimensi hingga merupakan operator kompak.

Bukti: Karena operator T berdimensi hingga, maka terdapat basis orthonormal



z1,z2,...,zn



pada ruang Hilbert T(H1) sehingga untuk setiap yT(H1)(tentu ada 1

H

x sehinggayT(x)



terdapat



₁,₂,...,_n



C sehingga n nz z z x T( )_{1 1}_{2 2}... n n x z f z x f z x f x T( ) ₁( ) ₁ ₂( ) ₂... ( )



  n i i i x z f x T 1 ) ( ) (

dengan _i  f_i(x) untuk setiap i1,2,..,n merupakan skalar-skalar yang ditentukan dengan tunggal untuk setiap xH₁. Jadi, untuk setiap i1,2,..,n, f merupakan _i

fungsional linear kontinu pada H dan ₁ f_i(x) Tx,z_i  x,Tz_i untuk setiap n

i1,2,.., . f merupakan operator kompak, sebab untuk sebarang _i

 

x_m H₁ terbatas, yaitu terdapat M 0 sehigga x_m M, untuk setiap mN berlaku

m i m m i x Tx z Tx f ( )  ,  z_i  T x_m z_i M T z _i

maka terdapat barisan bagian



Tx ,_mk z_i







Tx ,_m z_i



yang konvergen. Oleh karena itu terdapat bilangan  sehingga barisan



Tx ,_mk z_i



konvergen ke  dan barisan

 

Txmk 



Txmk,zi zi



konvergen ke  z , untuk setiap i k 1,2,...,n. Jadi, menurut Teorema 3.1.7.2 diperoleh T merupakan operator kompak.

Teorema 3.1.7.5. Diberikan H ruang Hilbert. Jika S,TB(H) dengan T operator kompak, maka ST dan TS operator kompak.

Bukti: Menurut yang diketahui, untuk sebarang barisan

 

x_n H dengan x_n 1 untuk setiap nN terdapat barisan



T(xnk)



yang konvergen ke suatu yH . Hal ini berakibat barisan



ST(x_nk)



konvergen ke S( y) atau terbukti ST kompak. Untuk sebarang barisan

 

x_n H dengan x_n 1 untuk setiap nN terdapat barisan

103



S(x_n)



didalam H . Karena T kompak maka barisan



TS(x_n)



konvergen atau terbukti

TS kompak.

Teorema 3.1.7.6. Diketahui H dan ₁ H ruang Hilbert. Jika ₂

 

T_n B(H₁,H₂)

merupakan barisan operator kompak yang konvergen ke suatu TB(H₁,H₂), maka T merupakan operator kompak.

Bukti: Bukti dengan memanfaatkan prosedur diagonalisasi. Diambil sebarang barisan

 

xn H1 terbatas, dianggap xn 1 untuk setiap nN. Menurut yang diketahui

) 1

( .T operator kompak, berarti terdapat barisan bagian ₁

 

x1,n 

 

xn sehingga



T₁x_1,n





 

T₁x_n H₂konvergen,

) 2

( .T operator kompak dan ₂

 

x2,n H1 yang terbatas, berarti terdapat barisan bagian

   

x2,n  x1,n sehingga



T2x2,n



H2 konvergen, dan seterusnya.

Secara umum untuk setiap k ,

 

xk1,n terbatas dan T operator kompak, maka terdapat k barisan bagian

   

x_k,n  x_k1,n sehingga



T_kx_k,n



H₂ konvergen.

Diambil (diagonalisasi) barisan

 

xn,n , diperoleh



Tkxn,n



H2 konvergen, untuk setiap

k . Menurut yang diketahui

 

T konvergen ke T , artinya untuk setiap bilangan _n  0 terdapat bilangan asli n sehingga untuk setiap bilangan asli n dengan ₀ nn₀ berlaku

6



 T

T_n .

Hal ini berakibat, untuk setiap nn₀   ( ) ) ( _{n,n n,n} n x T x T T_n T (x_n,n) 3   .

Oleh karena itu untuk setiap kn₀, diperoleh

  ( ) ) (x_m,m T x_n,n T T(x_m,m)T_k(x_m,m)T_k(x_m,m)T_k(x_n,n)T_k(x_n,n)T(x_n,n)  T(x_m,m)T_k(x_m,m)  T_k(x_m,m)T_k(x_n,n)  T_k(x_n,n)T(x_n,n) 6   3     6 .

Jadi, barisan

 

Txn,n merupakan barisan Cauchy di dalam ruang Hilbert H . Oleh 2 karena itu

 

Tx_n,n konvergen. Dengan kata lain T merupakan operator kompak.

104

Akibat 3.1.7.7. Diketahui H dan ₁ H ruang Hilbert. Jika ₂

 

T_n B(H₁,H₂)barisan operator berdimensi hingga yang konvergen ke suatu TB(H1,H2)maka T

merupakan operator kompak.

Teorema 3.1.7.8. Diketahui H dan ₁ H dua ruang Hilbert yang separabel . Jika ₂

) , ( _{1 2} 2 H H

B

T maka TB0(H1,H2); oleh karena itu B2(H1,H2)B0(H1,H2). Bukti: Menurut yang diketahui, terdapat barisan orthonormal



e_n:nN



didalam H₁

. Karena TB₂(H₁,H₂) maka



   2 1 n n

Te . Karena H ruang Hilbert separabel ₂

maka H mempunyai basis orthonormal, katakan ₂



d_k :kN



. Jadi, untuk setiap 1 H x diperoleh  ) (x T H dan _{2 k} k k d d Tx x T



   1 , ) (

Untuk setiap nN, dibentuk T_n:H₁H₂ dengan

_k n k k n x Tx d d T



  1 , ) (   Tx,d₁ d₁ Tx,d₂ d₂ … Tx,d_n d_n n n x d T d x T d x T₁( ) ₁ ₂( ) ₂... ( ) 

dengan T_k(x) Tx,d_k  x,Td_k , untuk setiap k, k 1,2,...,n. Terlihat bahwa )

( ) (

limT_n x T x

n  , untuk setiap xH1. Karena

 

T merupakan barisan operator n berdimensi hingga dan konvergen ke TB₂(H₁,H₂), maka menurut Teorema 3.1.7.6 dan Akibat 3.1.7.7, T merupakan operator kompak. Oleh karena itu

) , ( ) , ( _{1 2 0 1 2} 2 H H B H H B  KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan, H, H , dan ₁ H tiga ruang Hilbert diperoleh ₂

kesimpulan sebagai berikut:

1. Jika S,TB₀(H₁,H₂)maka T dan S T merupakan operator kompak, untuk sebarang ; jadi B0(H1,H2)ruang linear.

105

3. Jika S,TB(H) dengan T operator kompak, maka ST dan TS operator kompak. 4. Jika

 

T_n B(H₁,H₂) merupakan barisan operator kompak yang konvergen ke suatu

) , (H₁ H₂ B

T , maka T merupakan operator kompak.

5. Jika

 

T_n B(H₁,H₂)barisan operator berdimensi hingga yang konvergen ke suatu )

, (H1 H2

B

T maka T merupakan operator kompak.

6. Diketahui H dan ₁ H dua ruang Hilbert yang separabel. Jika ₂ TB₂(H₁,H₂) maka )

, ( _{1 2} 0 H H

B

T ; oleh karena itu B₂(H₁,H₂)B₀(H₁,H₂).

DAFTAR PUSTAKA

Berberian, S.K., 1961. Introduction to Hilbert Space, Oxford University Press, New York. Conway, J. B., 1990. A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York. Debnath, L and Mikusiński, P., 1999. Introduction to Hilbert Spaces with Applications,

Academic Press.

Kreyszig, Erwin.,1978. Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons, New York.

Royden, H.L., 1989. Real Analysis, Macmillan Publishing Company, New York. Saih Suwilo, dkk. 1997. Aljabar Abstrak, Suatu Pengantar, USU Press, Medan.

Soeparna Darmawijaya, 2007. Pengantar Analisis Abstrak, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.