TEORI
TEORI PROBABILITAPROBABILITASS (PERTEMUAN KEDUA) (PERTEMUAN KEDUA)
A.
A. PRPROBOBABABILILITITASAS
Untuk menghadapi keadaan yang tidak pasti, biasanya orang hanya mengandalkan Untuk menghadapi keadaan yang tidak pasti, biasanya orang hanya mengandalkan tebak
tebakan. an. Dari tebakan Dari tebakan tersebtersebut, ut, muncumuncul l kemungkemungkinan atau kinan atau pelupeluang ang atau atau probprobabiliabilitastas kej
kejadiadian an yanyang g berbersansangkugkutan tan yanyang g kemkemudiudian an melmelahiahirkarkan n sebsebuah uah teoteori ri yanyang g dikdikenaenall dengan teori probabilitas. Teori ini bermula dari permainan judi di Eropa yang kemudian dengan teori probabilitas. Teori ini bermula dari permainan judi di Eropa yang kemudian dir
dirintintis is secsecara ara ilmilmiah iah padpada a seksekitaitar r abaabad d ke-1ke-17. 7. DimDimulaulai i dardari i sursurat at menmenyuryurat at antaantarara Che
Chevalvalier ier de de MerMere e seoseoranrang g banbangsagsawan wan PerPerancancis is dendengan gan seoseoranrang g berbernamnama a BlaBlaiseise Pascal yang merupakan seorang ilmuwan.
Pascal yang merupakan seorang ilmuwan. Pen
Penemu emu proprobabbabiliilitas tas lailainnynnya a antantara ara lailain n : : JacJacob ob BerBernounoullilli, , AbrAbrahaaham m de de MoiMoivrevre,, Reve
Reverand Thomas rand Thomas Bayes serta Bayes serta JosepJosep. . Teori-Teori-teori umum teori umum mengemengenai nai probprobabiliabilitas tas lahilahir r sekitar abad ke-19 setelah Pierre Simon dan Marquis Laplace menyatukan sekitar abad ke-19 setelah Pierre Simon dan Marquis Laplace menyatukan konsep-konsep dari para pendahulunya.
konsep dari para pendahulunya. Proba
Probabilitbilitas as juga sering diterjemahjuga sering diterjemahkan kan ke ke dalam kata dalam kata peluapeluang. ng. Teori probabiTeori probabilitaslitas sanga
sangat t luas penggunaluas penggunaannyaannya, , baik dalam baik dalam kehidkehidupan sehari-haupan sehari-hari ri maupumaupun n di di kalankalangangan ilmuwan. Sering kita mendengar perkataan mungkin dia sakit; kemungkinan besar hari ini ilmuwan. Sering kita mendengar perkataan mungkin dia sakit; kemungkinan besar hari ini ak
akan an huhujajan; n; mumungngkikin n sasaya ya bibisa sa memendndapapat at ninilalai i A A dadalalam m pepelalajajararan n StaStatitististikaka, , dadann sebagainya.
sebagainya.
Perkataan-perkataan
Perkataan-perkataan kemunkemungkinagkinan n tersebtersebut ut di di daladalam m teori probabiliteori probabilitas tas diterjditerjemahkaemahkann men
menjadjadi i angangka-ka-angangka, ka, sehsehingingga ga untuntuk uk selselanjanjutnutnya ya dapdapat at diodiolah lah dendengan gan menmengguggunaknakanan Mat
Matemaematikatika. . SeoSeoranrang g manmanageager r pempemasaasaran ran terleterlebih bih dahudahulu lu melimelihat hat besambesamya ya pelupeluangang produknya untuk merebut pasar, sebelum dia melemparkan produknya.
produknya untuk merebut pasar, sebelum dia melemparkan produknya. Te
Teorori i prprobobababililititas as inini i seseriring ng didigugunanakakan n ololeh eh papara ra pepengngamambibil l kekepupututusasan n ununtutukk memutuskan apa yang harus dilakukan selanjutnya atau apa yang harus dipilih. Sebelum memutuskan apa yang harus dilakukan selanjutnya atau apa yang harus dipilih. Sebelum me
mempempelalajajari ri peperhirhituntungagan n di di daldalam am proprobababibilitlitas, as, terterlelebibih h dadahuhulu lu akakan an didijejelalaskaskann beberapa istilah yang
beberapa istilah yang sering digunakansering digunakan.. Da
Dalalam m stastatististitika ka kikita ta memengnggugunanakakan n kakata ta pepercrcobobaaaan n ununtutuk k susuatatu u prprososes es yayangng menghasilkan data, baik data dalam jumlah kecil ataupun besar. Sebelum melakukan menghasilkan data, baik data dalam jumlah kecil ataupun besar. Sebelum melakukan perc
percobaobaan an kita kita sudsudah ah dapadapat t mendmenduga uga kemunkemungkingkinan-kean-kemungmungkinakinan n hasihasil l yang yang akanakan keluar jika percobaan telah berlangsung. Jika kita mencabut satu kartu secant acak dari keluar jika percobaan telah berlangsung. Jika kita mencabut satu kartu secant acak dari satu set kartu bridge, maka kita dapat menduga bahwa kemungkinan kartu itu adalah satu set kartu bridge, maka kita dapat menduga bahwa kemungkinan kartu itu adalah As, King, 10
Defenisi : Ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, Defenisi : Ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, dan dilambangkan dengan
dan dilambangkan dengan S.S. Un
Untutuk k memempmpererjejelalas s pepengngerertitian an ruruanang g cocontontoh h di di alalasas, , mamaririlalah h kikita ta babayayangngkakann percobaan melempar mata uang. Kemungkinan hasil yang akan kcluar ada dua sisi yaitu percobaan melempar mata uang. Kemungkinan hasil yang akan kcluar ada dua sisi yaitu sis
sisi i inuinuka ka dan dan belbelakaakang. ng. MakMaka a ruaruang ng concontoh toh perpercobcobaan aan melmelempempar ar matmata a uanuang g seksekaliali adalah sisi muka dan belakang.
adalah sisi muka dan belakang. Co
Contontoh h ununtuk tuk pepelelempmpararan an mamata ta uauang ng memempmpununyayai i 2 2 tittitik ik cocontontoh h yayaititu u M M dadan n B.B. Percobaan mencabut satu kartu dari satu set kartu bridge mempunyai 52 titik contoh. Titik Percobaan mencabut satu kartu dari satu set kartu bridge mempunyai 52 titik contoh. Titik contoh yang terhingga dapat didata ke dalam bentuk himpunan seperti contoh di atas, contoh yang terhingga dapat didata ke dalam bentuk himpunan seperti contoh di atas, atau ke dalam bentuk label.
atau ke dalam bentuk label.
B
B.. HHIMIMPPUNUNAANN
Himpunan merupakan sekumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat Himpunan merupakan sekumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dib
dibedaeda-be-bedakdakan. an. SetSetiap iap objobjek ek yanyang g secsecara ara kolkolektektif if memmembenbentuk tuk himhimpunpunan an tertersebsebutut disebut elemen atau unsur atau anggota
disebut elemen atau unsur atau anggota dari himpunan tersebut.dari himpunan tersebut. Him
Himpunpunan dilaman dilambanbangkagkan n dendengan pasagan pasangangan n kurukurung kurawng kurawal { al { } } dan biladan bilangangann biasanya dinyatakan dengan huruf besar seperti A, B, C. Anggota himpunan ditulis biasanya dinyatakan dengan huruf besar seperti A, B, C. Anggota himpunan ditulis deng
dengan an lambalambangng ∈∈, , bukbukan an anganggotgota a himhimpunpunan an dendengan gan lamlambinbingg ∉∉. . DaDalalam m stastatitististic,c, himpunan dikenal sebagai populasi.
himpunan dikenal sebagai populasi. 1
1.. UUnnssuur r hhiimmppuunnaann
Unsur himpunan ditulis satu per satu dengan contoh : Unsur himpunan ditulis satu per satu dengan contoh : A = {a, i, u, e, o}
A = {a, i, u, e, o} B = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5} 2
2.. CCiirrii--cciirri i hhiimmppuunnaann Cir
Ciri-ci-ciri iri himhimpunpunan an ditdituliulis s dendengan gan menmenyebyebutkautkan n circiri-ci-ciri iri dardari i himhimpunpunan an terstersebuebut,t, contoh : contoh : A = {X : x huruf hidup} A = {X : x huruf hidup} B = {X B = {X : 1 < : 1 < x < 2 x < 2 }}
3.
3.
Operasi himpunanOperasi himpunana.
a.
Operasi gabungan (simbol =Operasi gabungan (simbol = ∪∪))Gabungan dari himpunan A dan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam Gabungan dari himpunan A dan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B atau di dalam A dan B sekaligus.
A atau di dalam B atau di dalam A dan B sekaligus. Contoh A
S
A
B
Diagram Venn dari A ∪ B
Contoh soal : Jika diketahui S = {X: 0 ≤ x ≤ 10} P = {2,3,5,7} G = {2,4,6,8,10} Tentukan P ∪ G ! Jawaban : P ∪ G = {2,3,4,5,6,7,8,10} LATIHAN 1
Perhatikan ruang sampel berikut
S = {mobil pribadi, bus, kereta api, sepeda, perahu motor, pesawat terbang} yang menyatakan berbagai sarana transportasi, serta kejadian-kejadian antara lain :
A = {bus, kereta api dan pesawat terbang}
B = {kereta api, mobil pribadi dan pesawat terbang} C = {sepeda}
Tentukan A ∪ B ∪ C !
b.
Operasi irisan (simbol = ∩)Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsure yang termasuk di dalam A dan B. Irisan dari himpunan A dan B dilambangkan A ∩ B atau AB dan dituliskan A ∩ B = {X : x∈ A dan x∈ B}
S
A
B
Diagram Venn dari A ∩ B Contoh soal : Jika diketahui S = {X: 2 ≤ x ≤ 8} P = {2,3,5,7} G = {2,3,4,6} Tentukan P ∩ G ! Jawaban : P ∩ G = {2,3} LATIHAN 2
Perhatikan ruang sampel berikut
S = {mobil pribadi, bus, kereta api, sepeda, perahu motor, pesawat terbang} yang menyatakan berbagai sarana transportasi, serta kejadian-kejadian antara lain :
A = {bus, kereta api dan pesawat terbang}
B = {kereta api, mobil pribadi dan pesawat terbang} C = {sepeda}
Tentukan A ∩ B ∩ C !
c.
Operasi selisih (simbol -)Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsure A yang tidak termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A ∩ BC.
S
A
B
Diagram Venn dari A - B Contoh soal : Jika diketahui S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} P = {2,3,5,7} G = {2,4,6,8} Tentukan P - G ! Jawaban : P - G = {3,5,7}
d.
Kardinalitas himpunan Teori yang ada :n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AB) - n(AC) - n(BC) + n(ABC)
Kardinalitas himpunan disimbolkan dengan n(A) artinya bilangan kardinalitas himpunan A atau jumlah anggota himpunan A.
Contoh soal :
Suatu kelas yang jumlah mahasiswanya 70 orang, 50 orang diantaranya senang statistic, 40 orang senang matematika, serta 30 orang senang statistic dan matematika.
a. Berapa orang yang tidak senang statistic dan matematika b. Gambarkan diagram venanya ?
Jawaban :
1.
Menghitung orang yang tidak senang statistic dan matematikan(S) = 70 orang, n(St) = 50 orang, n(M) = 40 orang, n(St∩M) = 30 orang.
S
S
tM
n(St∩M)c = n(St) - n(St∩ M)
= 70 – 60 = 10 orang
2. Diagram vennnya sebagai berikut :
Diagram Venn dari A - B
LATIHAN 3
Apabila diketahui : A = {1,2,3,4,5…13} B = {2,3,5,7,11,13} P = {2,4,6,8,10}
Tentukan anggota himpunan berikut ini :
a.
A ∪ Bb.
A ∩ B c. Pd.
B ∩ Ae.
A - B C. FAKTORIALFaktorial adalah perkalian dari semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan yang bersangkutan atau sebaliknya. Faktorial dilambangkan dengan “
!
“Contoh soal :
Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut :
a.
5 !b. 3! X 2 !
20 30 10
Jawaban
a.
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120b.
3! = 3 x 2 x 1 = 12c.
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 30 4! 4 x 3 x 2 x 1 D. PERMUTASIPermutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa obyek ke dalam suatu urutan tertentu.
Contoh :
1.
Ada tiga obyek yaitu ABC, pengaturan obyek tersebut adalah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 obyek menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda.Sehingga rumusnya : 4P4 = 4! = 24
2.
Pengaturan 4 huruf dari 6 huruf pertama dalam abjad menghasilkan 360 cara yang berbedaSehingga rumusnya : 6!
6P4 = _____________ = 360 ( 6 – 4 ) !
3.
Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih seorang ketua, sekretaris dan bendahara.a.
Berapa cara keempat calon tersebut dipilih ? b. Tuliskan kemungkinan susunannya ?Jawaban : n = 4 dan r = 3
a. 4! 4 x 3 x 2 x 1
4P3 = _____________ = ____________________ = 24
( 4 –3 ) ! 1
b. Kemungkinan susunannya adalah : ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB
4.
Sebuah kelompok orang yang terdiri dari 4 orang mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam beberapa cara keempat orang itu dapat diatur sekeliling meja tersebut.Jawaban : n = 4 P = (n-1)! = (4-1)! = (3)! = 6 cara LATIHAN 4
Tentukan nilai dari permutasi berikut ini !
a.
P 37b.
P 36c.
P 49d.
P 58E. KOMBINASI
Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa obyek tanpa memperhatikan urutan obyek tersebut.
Contoh :
Ada 4 objek yaitu A, B, C, D. kombinasi 3 dari obyek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD. Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan obyek yang diikutsertakan, bukan urutannya. Oleh karena itu :
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ABD = ADB = BAD = BDA= DAB = DBA ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DBC Rumus-rumus kombinasi antara lain :
1.
Kombinasi r dari n obyek yang berbeda dirumuskan :)! ( ! ! r n r n C r n
−
=
, n ≥ r
Contoh :a. Tentukan nilai dari C 46
Jawab :
)! 4 6 ( ! 4 ! 6 6 4=
−
C= 15
b. Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk ?
Jawab :
)! 2 5 ( ! 2 ! 5 5 2=
−
C= 10
2. Hubungan permutasi dengan kombinasi
Hubungan antara permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :
n r n r r C P = !.
atau
! r P C n r n r=
, n ≥ r
Contoh :Tentukan nilai permutasi dari kombinasi dari P 34
dan
43 C
Jawab :
4 3 4 3 3!.C P=
= 3! x
)! 3 4 ( ! 3 ! 4−
= 6 x 4 = 24
! 3 4 3 4 3 P C=
= 24 / 6 = 4
LATIHAN 5Seorang mahasiswa diminta untuk menjawab 7 dari 10 pertanyaan yang diberikan. Hitunglah kombinasi soal yang mungkin dapat dikerjakannya dalam ujian tersebut !
TEORI PROBABILITAS (PERTEMUAN KETIGA)
A.
KAIDAH BAYESKaidah Bayes atau Teori Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Inggris tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Kaidah Bayes ini kemudian disempurnakan oleh Laplace. Kaidah ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
Teori ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (missal A) dengan syarat peristiwa lain (misal X) telah terjadi, dan probabilitas terjadinya peristiwa X dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Kaidah ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.
Kaidah Bayes ini menyatakan jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa saling lepas (mutually exclusive) yaitu misalkan A1, A2, A3, …. Anyang memiliki
probabilitas tidak sama dengan nol dan apabila ada peristiwa lain (missal X) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, … . An dengan diketahui
peristiwa X tersebut, maka : P(Ai / Xi) = R ) /A )P(X P(Ai i i Keterangan : i = 1,2,3,4 … n R =
∑
P(A i). P ( X i / Ai)R = P(A1) . P(X1/ A1) + P(A2) . P(X2/ A2) + … + P(An) . P(Xn/ An)
Pada kaidah ini, terdapat beberapa bentuk probabilitas yaitu :
1.
Probabilitas awal (probabilitas prior) yaitu probabilitas berdasarkan informasi yang tersedia (sebelum ada tambahan informasi) yaitu P(A1)2.
Probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas dimana terjadinya suatu peristiwa didahului oleh terjadinya peristiwa lain, yaitu P(X1/A1)3.
Peristiwa ganda, yaitu gabungan dari beberapa probabilitas (probabilitas gabungan) yaitu∑
P(A i). P ( X i / Ai)4. Probabilitas posterior, yaitu probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi
tambahan yaitu
P(Ai / Xi).Contoh pertama :
Tiga buah kotak masing-masing memiliki dua laci. Di dalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola. Di dalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak ?
Jawab :
A1peristiwa terambil kotak I
A2peristiwa terambil kotak II
A3peristiwa terambil kotak III
X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas X ini merupakan tambahan informasi
1. Probabilitas awal (probabilitas prior) P(A1) = 3 1
=0,33
P(A2) = 3 1=0,33
P(A3) = 3 1=0,33
2.
Probabilitas bersyarat P(X/A1) =1
P(X/A2) =0
P(X/A3) = 2 1=0,5
3.
Probabilitas ganda (R)R = P(A1) . P(X/A1) + P(A2) . P(X/A2) + P(A3) . P(X/A3)
R = (0,333) (1) + (0,333) (0) + (0,333) (0,5) R = 0,333 + 0 + 0,1665 R = 0,4995
4.
Probabilitas posterior P(A3/X) = R ) /A )P(X P(Ai i i=
0,4995 0,1665 0,4995 5) (0,333)(0,=
= 0,333
Contoh kedua :
Diketahui bahwa penyajian mata kuliah statistic 2 diikuti oleh 40 mahasiswa semester III, 20 mahasiswa semester V, dan 10 mahasiswa semester VII. Hasil ujian akhir (final test) menunjukkan bahwa 10 mahasiswa semester III, 7 mahasiswa semester VII dan 5 mahasiswa semester VII mendapat nilai A. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak dan diketahui mendapat nilai A, berapa probabilitas ia berasal dari semester VII ?
Jawab :
A1peristiwa terpilihnya semester III
A2peristiwa terpilihnya semester V
A3peristiwa terpilihnya semester VII
X peristiwa mendapat nilai A P(A1) = 70 40
=0,57
P(A2) = 70 20=0,29
P(A3) = 70 10=0,14
P(X/A1) = 40 10=0,25
P(X/A2) = 20 7=0,35
P(X/A3) = 10 5=0,5
P(A3/X) = ) ).P(X/A P(A ) ).P(X/A P(A ) ).P(X/A P(A ) ).P(X/A P(A 3 3 2 2 1 1 3 3 + +=
5) (0.14).(0. 35) (0.29).(0. 25) (0.57).(0. 5) (0.14).(0.+
+
=
0,223
B. HARAPAN MATEMATIKAHarapan matematika atau nilai harapan adalah jumlah dari semua hasil perkalian antara nilai variabel random dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut.
Jika X adalah suatu variabel random yang memiliki harga-harga X1,X2,… Xndengan
probabilitas variabel randomnya adalah P(X) serta probabilitas masing-masing harga adalah P(X1), P(X2), … P(Xn) maka harapan matematikanya adalah :
E (X) = Σ X . P(X)
Contoh pertama :
Berapa nilai harapan untuk bermain satu kali dalam sebuah permainan, jika seorang akan menang Rp. 150.000 dengan probabilitas 0,35 dan Rp. 100.000 dengan probabilitas 0,45 ? Jawab : X1= 150000 X2= 100000 P(X1) = 0,35 P(X2) = 0,45 E (X) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2) = (150000) (0,35) + (100000) (0,45) = 97500 Contoh kedua :
Seorang akuntan menghadapi pilihan dan keputusannya tidak dapat ditunda. Ia harus mengambil keputusan apakah akan menerima atau menolak suatu pekerjaan dengan gaji Rp. 250.000 dengan harapan memperoleh pekerjaan lain dengan gaji Rp. 400.000 per bulan. Apabila menolak pekerjaan yang gajinya Rp. 250.000 berapa probabilitas ia memperoleh pekerjaan dengan gaji Rp. 400.000 per bulan ?
Jawab :
Akuntan menolak pekerjaan yang gajinya Rp. 250.000 per bulan
Jika harapan matematikanya lebih kecil daripada pekerjaan yang gajinya Rp. 400.000 atau harapan matematika pekerjaan dengan gaji Rp. 400.000 lebih besar daripada harapan matematika pekerjaan dengan gaji Rp. 250.000.
Jadi, probabilitas ia memperoleh pekerjaan dengan gaji sebesar Rp. 400.000 adalah : X . P(X) > 250000
400000 P > 250000 P > 250000 / 400000 P > 0,625
LATIHAN 6
1.
Berikut ini data dari sekelompok mahasiswa yang telah menyelesaikan studinya dan telah bekerjaBekerja Tidak Bekerja Jumlah
Laki-laki 520 60 580
Wanita 180 240 420
Jumlah 700 300 1000
Jika seorang dipilih secara random dan diketahui orang tersebut tidak bekerja, berap probabilitas orang tersebut wanita ?
2.
Tiga kartu diambil secara random dari satu set kartu bridge. Hitung probabilitas bahwa kartu tersebut adalah kartu diamond !3.
Suatu kelas statistic berisi 65% mahasiswa perempuan. Pada waktu pengukuran tinggi badan, diperoleh 35% dari mahasiswa laki-laki dan 5% mahasiswa perempuan tingginya lebih dari 160 cm. Seorang mahasiswa dipilih secara random dan ternyata tingginya lebih dari 160 cm. Berapa probabilitas bahwa mahasiswa yang dipilih itu adalah perempuan ?4.
Ada tiga buah keranjang yaitu P, Q, dan R.Keranjang P berisi 35 telur ayam dan 25 telur itik Keranjang Q berisi 47 telur ayam dan 18 telur itik Keranjang R berisi 28 telur ayam dan 42 telur itik
Sebuah keranjang dipilih secara random dan sebuah telur diambil dari keranjang tersebut. Jika yang terambil adalah telur ayam, berapa probabilitas bahwa telur itu berasal dari keranjang P ?
5.
Menjelang hari raya, penjual ayam akan untung Rp. 100.000 per hari, tetapi pada bulan-bulan lain penjual ayam kadang mengalami kerugian Rp. 7500 per hari. Jika probabilitas penjual ayam akan untung adalah 0,65 berapakah harapan matematika penjual ayam tersebut ?6.
Seorang eksportir bawang putih hendak mengekspor di salah satu Negara A atau B. Eksportir tersebut telah memperhitungkan dengan teliti, jika mengekspor ke Negara A akan memperoleh 45 milyar rupiah per tahun dengan probabilitas 0,80 dan jika gagal akan mengalami kerugian 12 milyar rupiah per tahun. Jika mengekspor ke Negara B ia akan memperoleh 60 miliar rupiah dengan probabilitas 0,60 dan jika gagal akan rugi 20 miliar rupiah. Dimana sebaiknya eksportir tersebut akan mengekspor bawang putihnya ?DISTRIBUSI SAMPLING (PERTEMUAN KEEMPAT)
A. Populasi
Populasi yaitu sekelompok orang, kejadian atau segala sesuatu yang mempunyai
karakteristik tertentu. Masalah populasi timbul terutama pada penelitian opini yang
menggunakan metode survei sebagai teknik pengumpulan data.
B. Sampel
-
Sampel adalah sebagian dari elemen-elemen populasi.
Peneliti dapat meneliti seluruh elemen populasi yang disebut dengan pengambilan
sampel yang disebut penelitian populasi atau sensus. Alasan menggunakan penelitian
sensus karena elemen-elemen populasi yang relatif sedikit dan variabilitas setiap
elemen relatif tinggi (heterogen). Sensus juga lebih layak dilakukan jika penelitian
dimaksudkan untuk menjelaskan karakteristik setiap elemen dari suatu populasi.
-
Kendala yang dihadapi peneliti umumnya masalah keterbatasan
waktu, biaya dan tenaga yang tersedia.
Alasan penelitian sampel atau sensus antara lain :
1. Jika jumlah elemen populasi relative banyak, peneliti tidak mungkin
mengumpulkan seluruh elemen populasi, karena akan memerlukan biaya dan
tenaga yang relatif tidak sedikit.
2. Kualitas data yang dihasilkan oleh penelitian sampel sering lebih baik
dibandingkan dengan hasil sensus, karena proses pengumpulan dan analisis data
sampel yang relatif lebih teliti.
3. Proses penelitian dengan menggunakan data sampel relatif lebih cepat
dibandingkan sensus, sehingga dapat mengurangi jangka waktu antara saat
timbulnya kebutuhan informasi hasil penelitian dengan saat tersedianya informasi
yang diperlukan.
4. Alasan lain yang menghendaki penelitian dengan sampel, terutama dalam
kasus pengujian yang bersifat merusak.
C. Hubungan Populasi dan Sampel
Analisis data sampel untuk penelitian kuantitatif akan menghasilkan statistik sampel
(
sample statistic) yang akan digunakan untuk mengestimasi parameter populasinya
(
population parameters). Statistik merupakan ukuran numeris yang dihitung dari
pengukuran sampel. Parameter adalah ukuran deskriptif numeris yang dihitung dari
pengukuran populasi. Statistik sampel digunakan untuk membuat inferensi mengenai
parameter populasinya.
D. Kriteria Pemilihan Sampel
Penelitian dengan menggunakan sampel yang representatif akan memberikan hasil yang
mempunyai kemampuan untuk digeneralisasi. Kriteria sampel yang representative
tergantung pada dua aspek yang saling berkaitan yaitu :
1.
Akurasi yaitu sejauhmana statistik sampel dapat mengestimasi parameter
populasi dengan tepat. Akurasi berkaitan dengan tingkat keyakinan (
confidence level).
2.
Presisi yaitu sejauhmana hasil penelitian berdasarkan sampel dapat
merefleksikan realitas populasinya dengan teliti. Presisi menunjukkan tingkat
ketepatan hasil penelitian berdasarkan sampel yang menggambarkan karakteristik
populasinya.
E. Metode Pemilihan Sampel
Ada banyak cara yang dapat digunakan untuk memilih sampel. Metode pemilihan sampel
secara garis besar dikelompokkan menjadi dua yaitu :
1.
Metode pemilihan sampel probabilitas (
probability sampling methods) atau
metode pengambilan sampel secara acak (
randomly sampling methods) yaitu terdiri
dari metode pemilihan sampel antara lain :
a.
Simple random sampling
Atau dinamakan metode pemilihan sampel secara acak sederhana yang
memberikan kesempatan yang sama yang bersifat tidak terbatas pada setiap
elemen populasi untuk dipilih sebagai sampel.
b.
Systematic sampling
Yaitu memilih secara acak setiap elemen dengan nomor tertentu. Kelemahan
metode ini yaitu memungkinkan terjadinya bias atau sistematisasi yang digunakan
c.
Stratified random sampling
Yaitu dengan mengklasifikasikan sampel secara acak suatu populasi ke dalam
sub-sub populasi berdasarkan karakteristik tertentu dari elemen-elemen populasi. Cara
pemilihan sampel ini disebut dengan metode pemilihan sampel secara acak
berdasarkan strata.
d.
Cluster sampling
Pemilihan sampel berdasarkan kelompok dapat dilakukan melalui satu tahap (
one stage) atau beberapa tahap (
multi stage). Elemen populasi dikelompokkkan ke
dalam unit-unit sampel seperti yang dilakukan dalam pemilihan sampel dengan
stratifikasi.
e.
Area sampling
Yaitu metode pemilihan sampel berdasarkan kelompok yang digunakan untuk
memilih sampel dari populasi yang lokasi geografisnya terpencar. Metode ini
diterapkan jika faktor lokasi menjadi pertimbangan penting dalam pemilihan
sampel.
2.
Metode pemilihan sampel non probabilitas (
non-probability sampling methods) atau metode pengambilan sampel secara tidak acak (
non-randomly sampling methods) yaitu terdiri dari metode pemilihan sampel antara lain :
a.
Convenience sampling
Metode ini memilih sampel dari elemen populasi yang datanya secara mudah dapat
diperoleh oleh peneliti. Metode ini ada beberapa pakar yang mendefinisikan sama
dengan metode accidental sampling.
b.
Purposive sampling
Ada dua jenis metode pemilihan sampel dengan metode purposive sampling ini
yaitu :
1)
Judgement sampling
Merupakan tipe pemilihan sampel secara tidak acak yang informasinya
diperoleh dengan menggunakan pertimbangan tertentu.
2)
Quota
sampling
Pemilihan sampel secara tidak acak dengan berdasarkan pada kuota (jumlah
tertinggi) untuk setiap kategori dalam suatu populasi.
F. Penentuan Ukuran Sampel
Salah satu cara untuk menentukan ukuran sampel dari suatu populasi dapat digunakan
rumus Slovin sebagai berikut :
2 N.e 1 N n + =
Keterangan :
n
: ukuran sampel
N : ukuran populasi
e
:
presentase kelonggaran penelitian (error), dapat menggunakan tingkat
confidence (confidence level 1%, 5% atau 10%)
G. Distribusi Sampling
•
Sensus = pendataan setiap anggota populasi
•
Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilan
sampel
•
Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena:
1.
mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang
2.
ketelitian pekerjaan yang melibatkan sampel lebih tinggi dibanding pekerjaan
yang melibatkan populasi
3.
populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus
misal : dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika semua
donat dimakan, dan donat tidak tersisa, tidak ada yang dijual?
•
Sampel yang baik → Sampel yang representatif
Besaran/ciri sampel (
Statistik Sampel)memberikan gambaran
yang tepat mengenai besaran/ciri populasi (
ParameterMasih ingat beda antara
Statistik SampelVs
Parameter Populasi?Perhatikan tabel
berikut:
Ukuran/Ciri
Statistik Sampel
Parameter Populasi
Rata-Rata
xµ : myu
Selisih 2 Rata-rata
x 1−
x2: nilai
mutlak
µ1−
µ2: nilai
mutlak
Standar Deviasi = Simpangan
Baku
s
σ
:
sigma
Varians = Ragam
s
²σ
²Proporsi
patau
p$
π
:
phi
atau
p
Selisih 2 proporsi
p1−
p2: nilai
mutlak
π 1
−
π 2: nilai
mutlak
catatan : pada Nilai Mutlak, nilai negatif diabaikan misal : 3 - 7 = -4 = 4
atau gunakan asumsi
p1adalah nilai yang selalu lebih besar dari
p2atau
p1
>
p2•
Sampel yang baik diperoleh dengan memperhatikan hal-hal berikut :
1. keacakannya (
randomness)2. ukuran
3. teknik penarikan sampel (
sampling)yang sesuai dengan kondisi atau sifat
populasi
•
Sampel Acak = Contoh Random → dipilih dari populasi di mana setiap anggota
populasi memiliki peluang yang sama terpilih menjadi anggota sampel.
•
Berdasarkan Ukurannya, maka sampel dibedakan menjadi :
a.
Sampel Besar jika ukuran sampel (n) ≥ 30
b.
Sampel Kecil jika ukuran sampel (n) < 30
•
Beberapa Teknik Penarikan Sampel :
a.
Penarikan Sampel Acak Sederhana (
Simple Randomized Sampling)Pengacakan dapat dilakukan dengan : undian, tabel bilangan acak, program
komputer.
b.
Penarikan Sampel Sistematik (
Systematic Sampling)Tetapkan
interval lalu pilih secara acak anggota pertama sampel
Contoh :
Ditetapkan interval = 20
Secara acak terpilih : Anggota populasi ke-7 sebagai anggota ke-1 sampel maka
:
Anggota populasi ke-27 menjadi anggota ke-2 sampel
Anggota populasi ke-47 menjadi anggota ke-3 sampel, dst.
c.
Penarikan Sampel Berlapis (
Stratified Sampling)Populasi terdiri dari beberapa kelas/kelompok. Dari setiap kelas diambil sampel secara
acak.
Perhatikan !!!!
Antar Kelas bersifat (cenderung) berbeda nyata (heterogen). Anggota dalam suatu kelas
akan (cenderung) sama (homogen).
Contoh :
Dari 1500 penumpang KA (setiap kelas memiliki ukuran yang sama) akan diambil
150 orang sebagai sampel, dilakukan pendataan tentang tingkat kepuasan, maka
sampel acak dapat diambil dari :
Kelas Eksekutif
: 50 orang
Kelas Bisnis
: 50 orang
Kelas Ekonomi
: 50 orang
d.
Penarikan Sampel Gerombol/Kelompok (
Cluster Sampling)Populasi juga terdiri dari beberapa kelas/kelompok
Sampel yang diambil berupa kelompok bukan individu anggota
Perhatikan !!!!
Antar Kelas bersifat (cenderung) sama (homogen). Anggota dalam suatu kelas akan
(cenderung) berbeda (heterogen).
Contoh :
Terdapat 40 kelas untuk tingkat II Jurusan Ekonomi-GD, setiap kelas terdiri dari 100
orang. Populasi mahasiswa kelas 2, Ekonomi-UGD = 40 × 100 = 4000.
Jika suatu penelitian dilakukan pada populasi tersebut dan sampel yang
diperlukan = 600 orang, maka sampel dapat diambil dari 6 kelas.... Dari 40 kelas,
ambil secara acak 6 kelas.
e.
Penarikan Sampel Area (
Area Sampling)Prinsipnya sama dengan
Cluster Sampling.Pengelompokan ditentukan oleh letak geografis atau administratif.
Contoh : Pengambilan sampel di daerah JAWA BARAT, dapat dilakukan
dengan memilih secara acak KOTAMADYA tempat pengambilan sampel, misalnya
terpilih, Kodya Bogor, Sukabumi dan Bandung.
Sampel acak menjadi dasar penarikan sampel lain. Selanjutnya, pembahasan akan
menyangkut Penarikan Sampel Acak.
•
Penarikan Sampel Acak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :
a.
Penarikan sampel tanpa pemulihan/tanpa pengembalian: setelah didata, anggota
sampel tidak dikembalikan ke dalam ruang sampel
Distribusi Penarikan Sampel = Distribusi Sampling
•
Jumlah Sampel Acak yang dapat diambil dari suatu populasi adalah sangat banyak.
•
Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel.
•
Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung
dari sampel yang kita ambil.
•
Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi peluang yang
kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling = Distribusi
Penarikan Sampel
Statistik sampel yang paling populer dipelajari adalah Rata-Rata (
x) 2.
Distribusi Sampling 1 Nilai Rata-Rata
Beberapa notasi :
•
:
ukuran
sampel
N
:
ukuran
populasi
x: rata-rata sampel
µ
: rata-rata populasi
s
: standar deviasi sampel
ó
: standar deviasi populasi
µ x
: rata-rata dari semua rata-rata sampel
PENDUGAAN PARAMETER (PERTEMUAN KELIMA)
A. Pendugaan dan Penduga
Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau
menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu
pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari
sampel, dalam hal ini sampel random yang diambil dari populasi bersangkutan. Jadi
dengan pendugaan itu, keadaan parameter populasi dapat diketahui.
Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan untuk menduga suatu
parameter. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauih suatu parameter populasi
yang tidak diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel). Secara umum, parameter
diberi lambang theta
sedangkan penduga diberi lambang
(theta topi).
B. Pendugaan Interval untuk Rata-rata
1.
Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Besar (n > 30) : Populasi Tidak Terbatas, dengan Pengembalian Sampel dan diketahui.Untuk populasi yang tidak terbatas atau dari populasi terbatas yang pengambilan
sampelnya dengan pengembalian dan diketahui simpangan baku (
σ ), maka pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan sebagai berikut :X - Z
α/2.
n σ<
µ< X + Z
α/2.
n σ Contoh 1Warung nasi Bu Sum mengadakan penelitian perkiraan pengeluaran karyawan perusahaan yang digunakan untuk membeli makanan di warngnya selama setahun. Untuk keperluan penelitian tersebut diambil sampel yang terdiri dari 300 karyawan. Ternyata, rata-rata pengeluaran untuk membeli makanan adalah 406.000 setahun dengan simpangan baku 165.000. Lakukan pendugaan pengeluaran karyawan untuk membeli makanan dalam setahun degan interval keyakinan 95%.
Jawab : n = 300 X = 406.000 σ = 165000
1-
α = 95% α = 5% Z α /2 = 1,96X - Z
α/2.
n σ<
µ< X + Z
α /2.
n σ406.000 – (1,96) (
300 165000) <
µ< 406.000 – (1,96) (
300 165000)
387.328,49 <
µ< 424.671,51
Artinya : Dugaan bahwa rata-rata pengeluaran karyawan yang berada diantara 387328,49 sampai 424671,51 akan benar 95% dari keseluruhan waktu, jika pendugaan itu dilakukan berulang-ulang dengan cara yang sama.
2.
Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Besar (n > 30) : Populasi Terbatas, Tanpa Pengembalian Sampel dengan Pengembalian dan diketahui.Untuk populasi yang terbatas yang pengambilan sampelnya dengan pengembalian dan
diketahui simpangan baku (
σ ), maka pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan sebagai berikut :X - Z
α/2.
n σ 1 - N n N −<
µ< X + Z
α/2.
n σ 1 - N n N − Contoh 2Perusahaan PT. Maju Terus memiliki karyawan 250 orang. Untuk keperluan tertentu, ingin diketahui rata-rata lama jam kerjanya per minggu. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 35 orang dan diperoleh data bahwa rata-rata jam kerja karyawan tersebut adalah 39,76 jam per minggu. Jika simpangan baku rata-rata jam kerjanya 0,93 jam, dugalah dengan tingkat keyakinan 90%, rata-rata jam
Jawab : N = 250 (populasi) n = 35 (sampel) X = 39,76 σ = 0,93 (simpangan baku) α = 90% (tingkat keyakinan/kebenaran) α = 10% = 0,1 (tingkat kesalahan) Z α /2 = 1,65
X - Z
α/2.
n σ 1 - N n N −<
µ< X + Z
α/2.
n σ 1 - N n N −39,76 – (1,65)
35 93 , 0 1 -250 35 250 −<
µ< 39,76 + (1,65)
35 93 , 0 1 -250 35 250 −39,53 <
µ< 39,99
Jadi, rata-rata jam kerja karyawan perusahaan dengan tingkat keyakinan 90%
berada antara 39,53 sampai 39,99 jam per minggu.
3.
Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Kecil (n < 30) : Sampel Kecil, dan tidak diketahui.Untuk sampel yang kecil dan tidak diketahui simpangan baku (
σ atau s), maka pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan sebagai berikut :X - t
α/2.
n s<
µ< X + t
α/2.
n s s = ) 1 ( ) ( 1 2 2 − Σ − − Σ n n X n X Contoh 3Suatu sampel random yang terdiri atas 9 orang karyawan di sebuah perusahaan memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan, yaitu 14, 17, 15, 18, 18, 14, 15, 19, 15 menit. Dugalah rata-rata waktu yang digunakan bagi karyawan tersebut dengan interval keyakinan 99% !
Jawab : n = 9
Σ X2 = 2365 X = 145 / 9 = 16,11
1-
α = 99% α = 1% n-1 = 9-1 = 8 t(0,005; 8) = 3,355 s = ) 1 ( ) ( 1 2 2 − Σ − − Σ n n X n X=
72 ) 145 ( 8 2365 2−
= 1,9
X - t
α/2.
n s<
µ< X + t
α/2.
n s16,11 – (3,355) (
3 9 , 1) <
µ< 16,11 + (3,355) (
3 9 , 1)
13,985 <
µ< 18,235
4. Penentuan Ukuran Sampel Pendugaan
Untuk pendugaan rata-rata, banyaknya sampel dapat ditentukan dengan rumus :
n =
2 2 / E .
σ α Z Contoh 4Tentukan besarnya sampel (n) yang harus diambil untuk menyelidiki waktu rata-rata yang digunakan oleh mahasiswa, untuk sebuah soal ujian statistik, jika digunakan interval keyakinan 95% dengan kesalahan duga tidak lebih dari 0,08 menit dan simpangan baku 0,7 menit (rata-rata sampel tidak akan berbeda dari rata-rata populasi) !
Jawab :
1 - α = 95% (tingkat keyakinan/kebenaran)
α = 5% (tingkat kesalahan)
Zα/2 = 1,96 (Z tabel tabel uji Z)
E = 0,08 (kesalahan duga) σ = 0,7
n =
2 2 / E .
σ α Z=
2 (0,08) ) 7 , 0 ).( 96 , 1 (
= 294,1225
Jadi besarnya sampel yang harus diambil adalah 294 orang.
n =
4 1.
2 2 / E
Z α Contoh 5Tentukan besarnya sampel (n) yang harus diambil untuk mengetahui proporsi tinggi mahasiswa di perguruan tinggi dengan interval keyakinan 99% dan kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 0,09 !
Jawab : 1 - α = 99% α = 1% = 0,01 Zα/2 = Z0,005= 2,58 E = 0,09
n =
4 1.
2 2 / E .
σ α Z=
4 1.
2 (0,09) ) 58 , 2 (
= 205,44
Jadi besarnya sampel yang harus diambil adalah 205 orang.
LATIHAN 7
1. Perusahaan MEKAR mengadakan penelitian mengenai IQ para karyawannya. Untuk keperluan tersebut, diambil sampel 80 karyawan secara acak. Jika diketahui rata-rata IQ sampel adalah 109 dengan simpangan baku populasinya 20, buatlah pendugaan interval dari rata-rata IQ dengan tingkat keyakinan 97% !
2.
Lima orang karyawan PT. TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya ialah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dengan tingkat keyakinan 99%.3. Dari sampel random 400 orang yang makan siang di restoran NIKMAT selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 orang yang menyukai makanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya, orang yang menyukai makanan tradisional untuk makan siangnya pada hari Sabtu di restoran tersebut, dengan menggunakan interval keyakinan 98%. 4. Sebuah populasi karyawan berukuran 500 orang, diambil sampel random
- Buatlah pendugaan interval proporsi populasi yang menyukai merek TOP, gunakan interval keyakinan 90%
- Dengan tingkat keyakinan 95%, berapa kesalahan duga bila diduga proporsi perokok yang menyukai merek TOP sebesar 0,3 ?
5.
Dari produksi bola lampu sebuah perusahaan, diketahui simpangan baku umur bola lampu adalah 40 jam. Berapa besarnya sampel yang diperlukan apabila kita ingin percaya 97% dengan kesalahan duga 10 jam dari rata-rata umur bola lampu sebenarnya ?6.
Ingin diselidiki, rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh sebuah mesin. Tentukan besarnya sampel yang harus diambil jika digunakan interval keyakinan 99% dengan kesalahan duga tidak lebih dari 0,3 desiliter dan simpangan baku 1,5 desiliter.7. Apabila ingin diketahui proporsi penduduk yang mendukung suatu program, berapa besar sampel yang harus diambil dengan interbal keyakinan 89% dan kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 0,02 dari proporsi populasi yang sebenarnya ?
