Makalah Teorema Konvolusi.docx

(1)

TEOREMA KONVOLUSI

PENGOLAHAN ISYARAT DIGITAL

Oleh :

Frezy Susanto.M.H

(D41112277)

PROGRAM STUDI TEKNIK TELEKOMUNIKASI

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

UNIVERSITAS HASANUDDIN

2014

(2)

KATA PENGATAR

Alhamdulillahi rabbil ‘ _{alamin. Segala puji hanya milik Allah atas}

limpahan rahmat dan nikmat-Nya yang begitu besar, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Ucapan terima kasih kami hanturkan kepada dosen pembimbing dan teman-teman atas bantuan dan partisipasinya, sehingga kami bisa menghadirkan hasil diskusi kami dan mempersentasekannya.

Makalah ini disusun dengan harapan bisa menjadi pertanggungjawaban terhadap materi yang dibebankan kepada kami. Dan juga dapat menjadi media referensi untuk para civitas akademika yang lain.

Penulisan makalah ini telah dilaksanakan dengan semaksimal mungkin. Oleh karena itu, kritik dan saran senantiasa penyusun harapkan agar ke depan lebih baik lagi. Dan dengan segala kerendahan, penyusun mengucapkan terimah kasih.

Gowa, 30 September 2014 Penulis

(3)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... DAFTAR ISI ... BAB I PENDAHULUAN ... BAB II TEORI KONVOLUSI ... A. Teori Dasar ... B. Contoh Soal dan Pengembangan Sinyal ... BAB III KESIMPULAN ... DAFTAR PUSTAKA ...

(4)

BAB I

PENDAHULUAN

Makalah ini berisi konsep matematis yang melandasi teori pengolahan citra. Dua operasi matematis penting yang perlu dipahami dalam mempelajari pengolahan citra digital adalah operasi Konvolusi dan Transformasi Fourier. Konvolusi terdapat pada operasi pengolahan citra yang mengalikan sebuah citra dengan sebuah mask atau kernel (akan dijelaskan kemudian), sedangkan Transformasi Fourier dilakukan bila citra dimanipulasi dalam ranah (domain) frekuensi ketimbang dalam ranah spasial. Pada bab kedua akan dibahas terlebih dahulu mengenai teori dasar konvolusi.

BAB II

TEORI KONVOLUSI

A. Teori Dasar

Secara umum konvolusi didefinisikan sebagai cara untuk mengkombinasikan dua buah deret angka yang menghasilkan deret angka yang ketiga. Secara matematis, konvolusi adalah integral yang mencerminkan jumlah lingkupan dari sebuah fungsi a yang digeser atas fungsi b sehingga menghasilkan fungsi c. Konvolusi dilambangkan dengan asterisk (*). Sehingga, a*b = c berarti fungsi a dikonvolusikan dengan fungsi b menghasilkan fungsi c.

Dilihat dari jenis sinyalnya maka jenis konvolusi dibedakan menjadi jumlah konvolusi yang dipakai pada sistem berwaktu diskrit dan integral konvolusi yang dipakai pada sistem berwaktu kontinu.

1. Konvolusi Kontinyu

Keluaran sistem dengan tanggapan impuls h(t) dan masukan x(t) dapat direpresentasikan sebagai:







     all t x t y( ) ( ) ( )

(5)



  





_x _p _h _t _p _dp t y( ) ( ) ( )

atau dapat juga dinyatakan:



  





_h _p_x _t _p _dp t y( ) ( ) ( )

Kedua rumusan diatas dikenal sebagai integral konvolusi. Untuk dua fungsi sembarang x(t) dan h(t) maka integral konvolusi r(t) dapat dinyatakan sebagai: r(t) = x(t) * h(t)



  





_x _p _h _t _p _dp t r ( ) ( ) ( )

Konvolusi kontinyu mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

a) Komutatif x(t)*y(t) = y(t)*x(t) r xy(t) = r yx(t) b) Distributif x(t)*[y(t) _{z(t)] = [x(t)*y(t)]} _[x(t)*z(t)] r xy(t) = r yx(t) r xz(t) c) Asosiatif x(t)*[y(t)*z(t)] = [x(t)*y(t)]*z(t) (c) 2. Konvolusi Diskrit

Konvolusi diskrit antara dua sinyal x(n) dan h(n) dapat dirumuskan sebagai berikut:

(6)





k all k) -x(k)h(n h(n) * x(n) r(n)

Komputasi tersebut diselesaikan dengan merubah indeks waktu diskrit n menjadi k dalam sinyal x[n] dan h[n]. Sinyal yang dihasilkan x[k] dan h[k] selanjutnya menjadi sebuah fungsi waktu diskrit k. Langkah berikutnya adalah menentukan h[n-k] dengan h[k] merupakan pencerminan dari h[k] yang diorientasikan pada sumbu vertikal dan h [n-k] merupakan h[ki] yang digeser ke kanan dengan sejauh n. Saat pertama kali hasil perkalian x[k]k[n-k] terbentuk, nilai pada konvolusi x[n]*v[n] pada titik n dihitung dengan menjumlahkan nilai x[k]h[n-k] sesuai rentang k pada sederetan nilai integer tertentu.

B. Contoh Soal dan Pengembangan Sinyal 1. Integral Konvolusi

Dua buah isyarat mempunyai rumusan sebagai berikut: x(t) = 1 0<t<1

0, t lainnya dan, h(t) = 1 1<t<2

0, t lainnya

Carilah sinyal r(t) yang merupakan hasil konvolusi dua isyarat tersebut.

Penyelesaian:

Untuk mencari nilai konvolusi kedua is yarat kontinyu digunakan: r(t) = x(t) * h(t)



  





_x _p _h _t _p _dp t r ( ) ( ) ( )

(7)

Pada rumus diatas dapat dilihat bahwa untuk mencari nilai r(t) diperlukan sinyal x(p) dan sinyal h(t-p).

x(t) = 1 0<t<1

0, t lainnya maka, x(p) = 1 0<p<1

0, p lainnya

sedangkan h(t-p) dapat dicari sebagai berikut: h(t-p) = 1 1<t-p<

0, t-p lainnya

yang dibutuhkan adalah fungsi h dalam p maka: h(t-p) = 1 -2+t<p<-1+t

0, p lainnya

Untuk mempermudah diilustrasikan sebagai berikut:

Gambar 1 Sinyal x(p), h(p) dan h(t-p)

Pada gambar diatas sinyal h(t-p) adalah sinyal h(-p) yang tergeser sejauh t. Dari rumusan integral konvolusi dapat dilihat bahwa sinyal h(-p) dijalankan dari -∞ sampai +∞. Nilai integral konvolusi dapat dibagi menjadi beberapa kasus penggal waktu t yaitu:

 _{Pada saat t<1} 1 x(p) p 1 -1 1 h(p) p 1 2 -1 1 h(t-p) p 1 t-1 t-2

(8)

 _{Pada saat 1<t<2}  _{Pada saat 2<t<3}  _{Pada saat t>3}

Untuk memperjelas keempat kasus ini x(p) dan h(t-p) digambarkan dalam satu sumbu y(p).

Gambar 2 (a) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat t<1 (b) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat 1<t<2 (c) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat 2<t<3 (d) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat t>3

Hasil konvolusi r(t) pada tiap penggal waktu tersebut adalah sebagai berikut a) Pada saat t<1

Pada periode ini sinyal h(t-p) belum sampai ke titik awal x(p) maka:



  





_x _p _h _t _p _dp t r ( ) ( ) ( ) r(t) = 0 1 h(t-p) p 1 t-1 t-2 y(p) x(p) (a) 1 h(t-p) p 1 t-1 t-2 y(p) x(p) (b) 1 p 1 h(t-p) t-1 t-2 y(p) x(p) (c) 1 p 1 h(t-p) t-1 t-2 y(p) x(p) (d)

(9)

b) Pada saat 1<t<2

Pada saat 1<t<2 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar 2.2 (b) adalah 0 dengan batas atas t-1.







1 0 ) ( ) ( ) ( t dp p t h p x t r







1 0 ) 1 )( 1 ( ) ( t dp t r r(t) = t-1 c) Pada saat 2<t<3

Pada saat 2<t<3 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar 2.2 (c) adalah t-2 dengan batas atas 1.







1 2 ) ( ) ( ) ( t dp p t h p x t r







1 2 ) 1 )( 1 ( ) ( t dp t r r(t) = 1-(t-2) = 3-t d) Pada saat t<3

Pada waktu ini h(t-p) sudah meninggalkan batas akhir x(p) sehingga:



  





_x _p _h _t _p _dp t r ( ) ( ) ( ) r(t) = 0

(10)

Dengan demikian hasil konvolusi secara keseluruhan adalah sebagai berikut:

t-1 1<t<2 r(t) = 3-t 2<t<3

0, t lainnya

Gambar 3 Sinyal r(t) hasil konvolusi x(t) dan h(t)

2. Konvolusi Diskrit

Dua buah isyarat diskrit x(n) dan y(n) mempunyai representasi sebagai berikut: x(n) = 1 n = -1,0,1 0, n lainnya sedangkan, 1 n=1 y(n) = 2, n=2 0, n lainnya carilah r(n) = x(n)*y(n). Penyelesaian:

Untuk mencari nilai r(n) adalah sebagai berikut:

1 t 1 3-t 3 2 r(t) t-1

(11)





k all k) -x(k)y(n y(n) * x(n) r(n)

dari rumusan tersebut dibutuhkan x(k) dan y(n-k).

Nilai x(k) didapat dengan mengganti indeks n menjadi k.

x(k) = 1 k = -1,0,1

0, k lainnya

Sedangkan y(n-k) adalah sebagai berikut :

1 k=n-1

y(n-k) = 2, k=n-2

0, n lainnya

Nilai r(n) dievaluasi untuk setiap n.

a) Untuk n= -1 x(k) =_{(k+1) +}_{(k) +}_(k-1) y(-1-k) = 2_{(k+3) +}_(k+2)









k all k) -x(k)y(-1 r(-1) r(-1) = .... + x(-3)y(-3) + x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+.... r(-1) = 0 b) Untuk n= 0 x(k) =_{(k+1) +}_{(k) +}_(k-1) y(-1-k) = 2_{(k+2) +}_(k+1)

(12)









k all k) -x(k)y(-1 r(0) r(0) = .... + x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1).... = ...+(0)(2) +(1)(1) +(1)(0)+(1)(0)+.... r(0) = 1 c) Untuk n= 1 x(k) =_{(k+1) +}_{(k) +}_(k-1) y(-1-k) = 2_{(k+1) +}_(k) r(1) = .... + x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1)+x(2)y(2)+.... r(1) = ...+(0)(0)+(1)(2)+(1)(1)+(1)(0)+(0)(0)+.... r(1) = 3 d) Untuk n= 2 x(k) =_{(k+1) +}_{(k) +}_(k-1) y(-1-k) = 2_{(k) +}_(k-1) r(1) = .... + x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1)+x(2)y(2)+.... r(1) = ...+(0)(0)+(1)(0)+(1)(2)+(1)(1)+(0)(0)+.... r(1) = 3 e) Untuk n= 3 x(k) =_{(k+1) +}_{(k) +}_(k-1)

(13)

y(-1-k) = 2_{(k-1) +}_(k-2) r(1) = .... x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1)+x(2)y(2)+ + x(3)y(3)+.... r(1) = ...+(0)(0)+(1)(0)+(1)(0)+(1)(2)+(0)(1)+(0)(0).... r(1) = 2 f) Untuk n= 4 x(k) =_{(k+1) +}_{(k) +}_(k-1) y(-1-k) = 2_{(k-2) +}_(k-3) r(1) = .... x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1)+x(2)y(2)+ + x(3)y(3)+.... r(1) = ...+(0)(0)+(1)(0)+(1)(0)+(1)(0)+(0)(2)+(0)(1).... r(1) = 0

Jadi secara keseluruhan hasil konvolusi antara x(n) dan h(n) adalah:

r(n)= (n)+3 x k k 1 1 2 -1 -2 (n-1)+ 3 (n-2)+2 (n-3) -3 3 k k 1 1 2 -1 -2 -3 3 2 a n-k k 1 1 2 -1 -2 -3 3 2 b -k k 1 1 2 -1 -2 -3 3 2 c r n n 1 1 2 -1 -2 -3 3 2 4 5 3

(14)

Gambar 4 (a) Sinyal x(k) dan y(k)

(b) Sinyal y(-k) dan y(n-k) pada saat n=1

(15)

BAB III KESIMPULAN

Berdasarkan penjelasan-penjelasan mengenai jenis-jenis noise dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Konvolusi didefinisikan sebagai cara untuk mengkombinasikan dua buah deret angka yang menghasilkan deret angka yang ketiga. Secara matematis, konvolusi adalah integral yang mencerminkan jumlah lingkupan dari sebuah fungsi a yang digeser atas fungsi b sehingga menghasilkan fungsi c.

2. Jenis konvolusi dibedakan menjadi jumlah konvolusi yang dipakai pada sistem berwaktu diskrit dan integral konvolusi yang dipakai pada

(16)

DAFTAR PUSTAKA

http://pengolahancitra.com/index2.php?option=com_content&do_pdf=1&id=30 http://rasyid14.files.wordpress.com/2009/05/ringkasanturunanfungsi.pdf