MAKALAH
Pembuktian Teorema Pythagoras
Disusun Oleh: Kelompok 12
1. Muhammad Naufal Faris 12030174229
2. Weni Handayani 14030174003
3. Wahyu Okta Handayani 14030174024 4. Faza Rahmalita Maharani 14030174026
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Surabaya
PENGERTIAN TEOREMA PYTHAGORAS
Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana.
Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer. Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS 1. Pembuktian dari Sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di bawah.
Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2 Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2 Dengan demikian a2 + b2 = c2
2. Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.
Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan diperoleh:
(a + b) = c2 + 4. ab a2 + 2ab + b2 = c2 + 2 ab
a2 + b2 = c2
3. Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka: Luas PQRS (4 luas ABQ) = luas ABCD
(b – a)2 + (4 . ab) = c2 b2 – 2ab + a2 + (2ab) = c2
a2 + b2 = c2
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
Luas trapesium = . tinggi = . (a + b)
Di lain pihak, luas trapesium = 2. ab + c2
Sehingga, . (a + b) = 2. ab + c2 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
5. Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara yang Kedua)
Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga = atau b2 = c . c1 ... (1)
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga = atau a2 = c . c2 ... (2) Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c . c1 + c . c2
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c . c
a2 + b2 = c2
6. Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh 900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan segitiga ABC.
a2 = (1) b2 = (2) + (3) --- + a2 + b2 = (1) + (2) + (3) = [(1) + (2)] + (3) = cx + cy = c (x + y) = c.c = c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
7. Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c. Lalu bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti pada gambar di atas. Dengan perbandingan sisi pada segitiga-segitiga sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di samping. Dari konstruksi tersebut jelas c2 = a2 + b2.
Bukti sejenis ini terdapat pula dalam beberapa buku dan publikasi, seperti oleh Birkhoff.
8. Bukti dengan “Bayangan”
Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah gelap dengan luas yang sama (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).
Bukti bayangan di atas, menggunakan perubahan bentuk bangun datar karena strain (peregangan) dan translasi yang keduanya tidak mengubah luas bangun datar. Berturut-turut perubahan yang terjadi adalah strain-translasi-strain.
Perhatikan proses dari diagram di atas.
Luas daerah gambar awal = a2 + b2 + 2. . ab
Luas daerah gambar akhir = c2 + 2. . ab
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh ab atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku akan diperoleh:
a2 + b2 = c2 (Sumardyono, 2003)
10. Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”
Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser, memotong, dan memutar.
(Sumardyono, 2004)
11. Bukti dari Euclid
DBQE = NLBD ... kedua bangun konruen
= MLBC... alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD = SRBC ... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR
= a2
ADEP = KNDA... kedua bangun konruen
= KMCA ... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD = UTCA ... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU
= b2
c2 = BDQE + ADEP = a2 + b2
12. Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan ABC. Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut: Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC
Luas ADEFGC = luas ABCJHI
Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC, sehingga: Luas ADEFGC – 2. Luas ABC = luas ABCJHI – 2. Luas ABC
Luas ABED + luas BCGF = luas ACJI
13. Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC seperti pada gambar sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar dengan luas b – a.
Maka diperoleh:
Luas KMNPQR = luas KSQR + luas MNP = a2 + b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di sebelah kanan. Bangun yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan sisi c, sehingga luasnya c2. (Sumardyono, 2003)
Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat membuktikannya secara aljabar.
15. Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan merupakan generalisasi Teorema Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC. Buatlah titik A’ dan B’ pada AB sedemikian sehingga < BA’C = < AB’C = < CAB’ (untuk gambar atas <CAB’ tumpul dan untuk gambar bawah < CAB’ lancip). Dengan demikian tampak bahwa segitiga ABC, segitiga CBA’ dan segitiga ACB’ saling sebangun.
Kesebangunan ini mengakibatkan: = (pandang segitiga CBA’ dan ABC )
= (pandang segitiga ACB’ dan ABC)
Sehingga akan diperoleh BC2 + AC2 = AB(A’B + AB’)
Apabila sudut C siku-siku maka A’ = B’ dan Teorema Pythagoras terpenuhi.
16. Bukti dari Pappus
Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu generalisasi. Buat sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajargenjang CADE (di sisi CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian panjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian lukis AL dan BM sejajar dan sama panjang dengan HC. Maka:
Luas CADE = luas CAUH = luas SLAR
Luas CBFG = luas CBVH = luas SMBR
--- +
Luas CADE + luas CBFG = luas ABML
Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C) serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar, maka akan diperoleh Teorema Pythagoras.
17. Pembuktian dengan Segitiga Sama Sisi
Kemudian buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b, dan c di setiap sisi-sisinyasehinggaakan tampak seperti gambar berikut.
Dari gambar di atas,diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama dengan jumlah segitiga sama sisi lainnya.
Karena luas segitiga sama sisi pada sisi c sisi miring) sama dengan jumlah dari luas segitiga sama sisi pada sisi a dan b, maka :
18. Pembuktian dengan Identitas Trigonometri Pythagoras
Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus dan cosinus sudut Ө yaitu sebagai berikut.
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa.
(terbukti)
19. Pembuktian dengan Persamaan Differensial
b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak lurus terhadap sisi miring) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.
Oleh karena itu rasio atau perbandingan sisi-sisi pada segitiga tersebut harus sama, yaitu:
Dapat ditulis sebagai berikut c.dc – b.db = 0
c2 – b2 = c
c2 = b2 + c
Perhatikan gambar, apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c. Artiya a = c. Maka konstanta = c2 = a2 sehingga c2 = b2 + a2 terbukti.
20. Pembuktian Thabit Ibn Qurra
Buat persegi panjang dengan panjang a dan b, kemudian disusun berdampingan seperti gambar berikut.
Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu a2 + b2.
Persegi di atas kita gabungkan, kemudian buat garis sedemikian rupa sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, dimana sisi c menjadi sisi miring.
Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yaitu samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar berikut.
Bangun yang terbentuk adalah sbuah bujur sangkar dengan luas c2.
21. Pembuktian John Kawamura
Pembuktian ini ditemukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh Chris Davis, guru geometrinya di Head-Rouce School, Oakland, CA.
Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah yang sama dengan
sehingga
= Luas bangun ABCD = Luas BCD + Luas ABD
= a. + b. c2 = a2 + b2 terbukti
22. Pembuktian Tao Tong
Luas ABD = BD. = DE.
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
= b. .x = CF (diperoleh dari kesamaan BD dan AC pada segitiga BFC dan ABC).
x =
23. Pembuktian dengan beberapa segitiga yang sebangun.
Berdasarkan gambar di atas diperoleh = , = + cx = aa’ + bb’
maka cc’ = aa’ + bb’
24. Pembuktian dengan dua trapesium yang kongruen
Pembuktian ini ditemukan oleh seorang siswa SMA, Jamie deLemos.
Luas dari trapesium tersebut adalah .(a+b)
2. + 2b. + 2.
Dari dua persamaan tersebut diperoleh: a2 + b2 = c2
25. Pembuktian dari weininjieda dari Cina
Misal CE = BC = a, CD =AC =b, F titik potong DE dan AB. Segitiga CED kongruen dengan segitiga ABC, misal DE = AB = c. AC tegak lurus dengan BD
BE tegak lurus dengan AD, dan
ED tegak lurus dengan AB. Maka diperoleh
Luas segitiga ABD = Luas segitiga ABE + Luas segitiga ACD + luas segitiga BCE Akan diperoleh persmaan
c(c+EF) = EF. C + b2 + a2 yang bentuk sederhananya c2 = b2 + a2
