25 Macam Pembuktian Teorema
Pythagoras
Siapa yang belum mendengar “Teorema Pythagoras”? sejak di sekolah dasar kita telah diperkenalkan dengan sifat yang terdapat pada segitiga siku-siku tersebut. Sebagai tambahan wawasan dan pengetahuan bagi para guru, berikut ini disajikan penjelasan singkat mengenai sejarah teorema Phytagoras serta 25 cara membuktikannya.
Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana.
Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan-bangunan mereka termasuk piramid. Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk segitiga siku-siku belum mereka ketahui.
Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini. Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?”
Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer. Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
1. Pembuktian dari Sekolah Pythagoras
bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di bawah.
Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2 Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2 Dengan demikian a2 + b2 = c2
2. Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.
Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan diperoleh: (a + b) = c2 + 4. ½ ab
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2 ab a2 + b2 = c2
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka: Luas PQRS + 4 x luas ABQ = luas ABCD (b – a)2 + 4 x ½ . ab = c2
b2 – 2ab + a2 + 2ab = c2 a2 + b2 = c2
4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
Luas trapesium = (alas + atas)/2. tinggi = (a + b)/2. (a + b) Di lain pihak, luas trapesium = 2. ½ ab + ½ c2
a2 + b2 = c2
5. Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara
yang Kedua)
½ a2 = (1) ½ b2 = (2) + (3) --- +
½ a2 + ½ b2 = (1) + (2) + (3) = [(1) + (2)] + (3) = ½ cx + ½ cy = ½ c (x + y) = ½ c.c = ½ c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
7. Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi
segitiga-segitiga sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di samping. Dari konstruksi tersebut jelas c2 = a2 + b2.
Bukti sejenis ini terdapat pula dalambeberapa buku dan publikasi, seperti oleh Birkhoff.
8. Bukti dengan “Bayangan”
Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah gelap dengan luas yang sama (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).
9. Bukti dengan “Putaran”
Perhatikan proses dari diagram di atas.
Luas daerah gambar awal = a2 + b2 + 2. ½ . ab Luas daerah gambar akhir = c2 + 2. ½. Ab
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh ab atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku akan diperoleh:
a2 + b2 = c2 (Sumardyono, 2003)
10. Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”
(Sumardyono, 2004)
11. Bukti dari Euclid
Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclid. Perhatikan gambar di bawah ini.
DBQE = NLBD ... kedua bangun konruen
= MLBC... alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD = SRBC ... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR = a2
ADEP = KNDA... kedua bangun konruen
= KMCA ... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD = UTCA ... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU = b2
12. Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan ABC. Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut: Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC Luas ADEFGC = luas ABCJHI
Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC, sehingga: Luas ADEFGC – 2. Luas ABC = luas ABCJHI – 2. Luas ABC
Luas ABED + luas BCGF = luas ACJI
13. Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Maka diperoleh:
Luas KMNPQR = luas KSQR + luas MNP = a2 + b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di sebelah kanan. Bangun yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan sisi c, sehingga luasnya c2. (Sumardyono, 2003)
14. Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi)
Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat membuktikannya secara aljabar.
15. Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Kesebangunan ini mengakibatkan:
AC/BA = A’B/CB (pandang segitiga CBA’ dan ABC ) AC/AB = AB’/AC (pandang segitiga ACB’ dan ABC)
Sehingga akan diperoleh BC2 + AC2 = AB(A’B + AB’)
Apabila sudut C siku-siku maka A’ = B’ dan Teorema Pythagoras terpenuhi.
16. Bukti dari Pappus
Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu generalisasi. Buat sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajargenjang CADE (di sisi CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian panjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian lukis AL dan BM sejajar dan sama panjang dengan HC. Maka:
Luas CADE = luas CAUH = luas SLAR
Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C) serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar, maka akan diperoleh Teorema Pythagoras.
17. Pembuktian dengan Segitiga Sama Sisi
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan c.
Kemudian buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b, dan c di setiap sisi-sisinyasehinggaakan tampak seperti gambar berikut.
Dari gambar di atas,diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama dengan jumlah segitiga sama sisi lainnya.
18. Pembuktian dengan Identitas Trigonometri Pythagoras
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan, c seperti gambar berikut.
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa.
Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut
b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak lurus terhadap sisi miring) dan segitiga
ABC seperti gambar berikut.
oleh karena itu rasio atau perbandingan sisi-sisi pada segitiga tersebut harus sama, yaitu:
Perhatikan gambar, apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c. Artiya a = c. Maka konstanta = c2 = a2 sehingga c2 = b2 + a2 terbukti.
20. Pembuktian Thabit Ibn Qurra
Buat persegi panjang dengan panjang a dan b, kemudian disusun berdampingan seperti gambar berikut.
Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu a2 + b2.
Persegi di atas kita gabungkan, kemudian buat garis sedemikian rupa sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, dimana sisi c menjadi sisi miring.
Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yaitu samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar berikut.
Bangun yang terbentuk adalah sbuah bujur sangkar dengan luas c2.
Pembuktian ini ditemukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh Chris Davis, guru geometrinya di Head-Rouce School, Oakland, CA.
Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah yang sama dengan c2/2 sehingga
c2/2 = Luas bangun ABCD
= Luas BCD + Luas ABD = a.a/2 + b.b/2
c2 = a2 + b2 terbukti
ABC dan BED dua buah segitiga yang kongruen. E pada AB. Luas ABD = BD.AF/2 = DE.AB/2
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
(c-x)/2 = b.b/2.x = CF (diperoleh dari kesamaan BD dan AC pada segitiga BFC dan ABC). x = a2/2
23. Pembuktian dengan beberapa segitiga yang sebangun.
Berdasarkan gambar di atas diperoleh y/b = b’/c, x/a = a’/c + cx = aa’ + bb’ maka cc’ = aa’ + bb’
24. Pembuktian dengan dua trapesium yang kongruen
Pembuktianini ditemukan oleh seorang siswa SMA, Jamie deLemos.
Kuas dari trapesium tersebut adalah (2a+2b)/2.(a+b)
Di lain pihak
Dari dua persamaan tersebut diperoleh: a2 + b2 = c2
25. Pembuktian dari weininjieda dari Cina
Misal CE = BC = a, CD =AC =b, F titik potong DE dan AB.
Segitiga CED kongruen dengan segitiga ABC, misal DE = AB = c. AC tegak lurus dengan BD
BE tegak lurus dengan AD, dan
ED tegak lurus dengan AB. Maka diperoleh
Luas segitiga ABD = Luas segitiga ABE + Luas segitiga ACD + luas segitiga BCE Akan diperoleh persmaan
c(c+EF) = EF. C + b2 + a2 yang bentuk sederhananya c2 = b2 + a2
