Permutasi dan Kombinasi. 2012

Statistika

@ 2012

Pendahuluan



Probabilitas



intepretasi keluaran peluang yang terjadi dalam suatu percobaan



Tingkat kepastian dari munculnya hasil percobaan statistik



Dilambangkan dengan P



Konsep probabilitas dari permainan yang dilakukan pengamatan

untuk diperoleh fakta (empiris) kemudian diformulakan kedalam

konsep dan dilakukan pengujian

Permutasi vs. Kombinasi

3



Keduanya digunakan untuk mengukur posibility.



Perbedaan keduanya adalah permasalahan URUTAN.

Perhatikan kartu poker berikut:



A

♦

, 5

♥

, 7

♣

, 10

♠

, K

♠



Apakah sama dengan ini:



K

♠

, 10

♠

, 7

♣

, 5

♥

, A

♦



Apakah urutan kartu di atas penting?



JikaYA, maka kita berurusan dengan Permutasi



JikaTIDAK, maka kita menggunakan kombinasi

Permutasi dan Kombinasi



Faktorial

n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1

0! = 1 dan 1! = 1



Permutasi

susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan

dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota

himpunan dan

memberi arti

pada urutan anggota dari

susunan





!

!

r

n

n

P

_r n





Definisi:

permutasi dari sekumpulan objek adalah

banyaknya susunan objek-objek berbeda dalam

urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang

dari objek-objek tersebut

permutasi



Misalkan H adalah himpunan dengan

n

objek



Misalkan

k ≤ n,

permutasi k objek dari himpunan H adalah

susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu

yang terdiri dari k

objek anggota himpunan H

situasi:

ada n objek yang satu sama

lain berbeda

masalah:

menentukan banyaknya

susunan terurut terdiri dari

n objek yang ada

notasi:

permutasi

n

objek dari

n

objek

yang berbeda

n n

P

P

(

n

,

n

)

n n

P

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah

menempatkan

n

objek dalam

n

kotak yang berbeda

Kotak ke- 1 2 ……… n – 1 n

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-n

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1

1

n

2

2

n – 1

…

…

…

n – 1

n – 1

2

Menurut kaidah perkalian

Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:

n(n-1)(n-2)(n-3) …2 • 1 = n!

n

n

P

=

n!

Contoh:

Dari empat calon pengurus LK Mahaika, berapa banyak susunan

yang dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris

dan bendahara?

Solusi:

Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 4 objek dari 4 objek

24

1

.

2

.

3

.

4

!

4

4

situasi:

ada

n

objek yang satu sama

lain berbeda

masalah:

menentukan banyaknya

susunan terurut terdiri dari

k

objek dari

n

objek yang ada,

k

≤

n

notasi:

Permutasi

k

objek dari

n

objek

yang berbeda

,

k

≤

n

n k

P

)

,

(

n

k

P

k n

P

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah

memilih

k

objek dalam

n

objek yang ada,

k

≤

n

Kotak ke- 1 2 ……… k – 1 k

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-k

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1

1

n

2

2

n – 1

…

…

…

k – 1

k – 1

n - (k - 2) = n – k +2

Menurut kaidah perkalian

Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:

n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) =

)!

(

!

k

n

n



Contoh:

Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada

enam calon.

Solusi:

Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 2 objek dari 6 objek

sehingga ada:

susunan presiden dan wakil presiden

)!

(

!

k

n

n

P

_k n





30

5

6

!

4

!

6

)!

2

6

(

!

6

2 6













P

situasi:

ada

n

objek yang beberapa diantaranya sama. Misal ada sejumlah

n

₁

objek q

₁

, sejumlah n

₂

objek q

₂

, … n

_k

objek q

_k

, dengan

n

₁

+n

₂

+…+n

_k

=

n

masalah:

menentukan banyak susunan terurut terdiri dari

n

objek

notasi:

Permutasi

n

objek dari

n

objek

dengan beberapa objek sama

) .. ,... , (n₁ n₂ n_k n

P

Permutasi n objek dari

n

objek yang terdiri dari sejumlah n

₁

objek

q

₁

, sejumlah n

₂

objek q

₂

, … n

_k

objek q

_k

, dengan n

₁

+n

₂

+…+n

_k

=

n

adalah:

!

!...

!

!

2

1

)

..

,...

,

(

_{1 2}

k

n

n

n

n

n

n

n

n

P

k



Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKAWAN?

Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4 huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:

64864800

!

4

.

2

.

1

.

2

.

1

!

4

.

5

.

6

.

7

.

8

.

9

.

10

.

11

.

12

.

13

!

1

!

1

!

1

!

1

!

1

!

2

!

4

!

2

!

13

) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 4 , 2 ( 13

P









Contoh

Himpunan {a,b,c}

diambil 3 anggota, diperoleh susunan:

abc; acb; bac; bca; cab; cba

diambil 2 anggota, diperoleh susunan:

ab; ba; bc; cb; ac; ca



3

3



!

6

!

3

3 3

P









3 2



! 6 ! 3 2 3P  _ 



Kombinasi

susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan

dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota

himpunan dan

tanpa memberi arti

pada urutan anggota dari

susunan

Contoh: himpunan {a,b,c} diambil 2 anggota,

diperoleh susunan: ab; bc; ca

{Permutasi ab = ba; bc = cb; ca = ac}





!

!

!

r

n

r

n

r

n

C

_r n



















Kombinasi

Dalam suatu pertemuan MUKERNAS terdapat 10 orang yang

belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka

saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang

terjadi.



Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian perkalian antara

banyaknya kombinasi suatu kumpulan obyek dengan banyaknya

kombinasi dari obyek lainnya.



Formulasi untuk mencari kombinasi dari kombinasi adalah sebagai

berikut :

nCk . mCy = (n!)/(k!(n-x)!) . (m!)/(y!(m-y)!)

.

Contoh :

Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan

memilih 3 orang pengurus LK. Berapa cara yang dapat dibentuk dari

pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.

Jawab : 3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara,

yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3

W2

Definisi



Population – group of things (people) having one or more

common characteristics



Sample – representasi dari subgroup populasi yang lebih

besar



Digunakan untuk mengestimasi sesuatu tentang populasi

(generalisasi)

Sampling

Sampling

merupakan suatu proses seleksi terhadap

sejumlah elemen kecil dari suatu grup target

yang lebih besar sehingga akan dapat dilakukan

penentuan keputusan terhadap

Basics of Sampling Theory

Population Element Defined target population Sampling unit Sampling frame

Sampling Error

Sampling error

adalah segala tipe bias

Yang memungkinkan terjadinya

Kesalahan baik dalam menggambarkan

Sampel ataupun dalam menentukan

1.

Define the Population of Interest

2.

Identify a Sampling Frame (if possible)

3.

Select a Sampling Method

4.

Determine Sample Size

5.

Execute the Sampling Plan



Population of interest is entirely dependent on Management

Problem, Research Problems, and Research Design.



Some Bases for Defining Population:



Geographic Area



Demographics



Usage/Lifestyle



Awareness



A list of population elements (people, companies,

houses, cities, etc.) from which units to be sampled can

be selected.



Difficult to get an accurate list.



Sample frame error

occurs when certain elements of

the population are accidentally omitted or not included

on the list.



See Survey Sampling International for some good

examples

http://www.surveysampling.com/

Sampling Methods

Probability

sampling

Nonprobability

sampling

Sample Size



Critical factor is whether sample is representative



Necessary sample size depends on population size



Recommendations:

 Use tables from books  30 per group

 Descriptive studies – 10-20% of population  No more than 50% of population



Statistical power



Attrition

Other Sampling Considerations



Random assignment



Sampling of treatments (experimental research)



Use post hoc analysis to show groups were equal at the start



Since random sampling is often impossible, sample must be

selected on some theoretical basis

When Selecting Subjects …



Are subjects with special characteristics necessary for

your research? (age, gender, trained/untrained,

expert/novice, size, etc.)



Can you obtain the necessary permission and

cooperation from the subjects?



Can you find enough subjects?



Interaction among selection of subjects, treatments, and

Reporting Subjects



State how many subjects were selected



Describe how the subjects were selected



Discuss whether any subjects were lost during the study

and why



Explain why the subjects were selected



Describe subject characteristics that are pertinent to

study – be very specific

UNSUR DASAR PERANCANGAN PERCOBAAN

1.

Ulangan

2.

Pengacakan

3.

Kesalahan percobaan

4.

Pengawasan Setempat

UNSUR DASAR PERANCANGAN PERCOBAAN

(1) ULANGAN

Perlakuan diberikan lebih dari sekali dalam suatu percobaan

→ _{perlakuan tsb. dikatakan}

diulang.

Fungsi Ulangan:

1). Untuk menghasilkan nilai-dugaan bagi galat percobaan

Sampel Sedimen ke: Perlakuan Kimiawi A B C 1 2 . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.K. d.b. J.K. K.T. Fhit. Ftabel Perlakuan G a l a t t - 1 t ( n – 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . _{. . .} T o t a l t n - 1 . . . Ulangan

2. PENGACAKAN

Dalam percobaan suatu penelitian →

penentuan secara acak

berarti setiap perlakuan harus mempunyai kesempatan yang sama untuk diberikan pada sembarang satuan percobaan.

Harus bertindak seobyektif mungkin (tidak boleh menurut selera kita)

cara lotre (paling sederhana)

Pengacakan

dengan menggunakan tabel bilangan acak

Fungsi Pengacakan:

1. Untuk menghindari bias atau untuk memperkecil bias yang mungkin terdapat dalam percobaan.

2) Meningkatkan ketelitian / ketepatan percobaan 3) Memperluas daya cakup kesimpulan percobaan

Contoh:

Meneliti 2 varitas rumput laut di daerah tertentu. Daerah tsb.

terdapat

2 jenis perairan

4) mengendalikan ragam galat percobaan Contoh:

Meneliti pengaruh pemberian kitosan pada ikan tuna Tuna: 1 – 2 bulan → _{10 ulangan}

Tuna: 2 – 3 bulan → 10 ulangan Tuna: 3 – 4 bulan → _{10 ulangan}

Kondisi Perairan A

Kondisi Perairan A Varietas I Varietas II

Varietas I Varietas II

PENGAMBILAN SAMPEL SECARA ACAK

( PENGACAKAN )

# Penentuan secara acak → _{satuan percobaan berpeluang sama}

untuk mendapat perlakuan (bertindak obyektif).

Pengacakan → kegunaannya untuk menghindari / memperkecil bias yang terdapat dalam percobaan.

# Sampel mencerminkan populasi → _{pengambilan sampel harus}

seobyektif mungkin, dengan cara random / acak, antara lain di-bedakan:

I. Random sampel

(simple random sample)

II. Pengambilan sampel secara sistematik

(sistematic sample)

III. Random sampel berstrata

(stratified random sample)

dengan lotre

Metode Sampling

Probability Sampling



Simple random sampling



Stratified random sampling



Systematic sampling



Cluster (area) sampling



Multistage sampling

Non-Probability Sampling



Deliberate (quota) sampling



Convenience sampling

Simple Random Sampling



Equal probability



Techniques



Table of random numbers



Advantage



Most representative group



Disadvantage

RANDOM SAMPEL: (A) Dengan cara lotre

5 satuan percobaan akan memperoleh perlakuan P, Q, R, S danT

( I ) ( II ) - Satuan percobaan diberi - P,Q, R, S danT ditulis

nomor 1, 2, 3, 4 dan 5 dikertas, dan digulung - Ambil 5 potongan kertas kecil, - 1, 2, 3, 4 dan 5 ditulis

tuliskan huruf P, Q, R, S danT dikertas, dan digulung

↓ ↓

kertas digulung ambil satu persatu: Pengambilan pertama dari Pengambilan pertama tertulis Q, kertas isi perlakuan → _S.

berarti ditempatkan pada Pengambilan pertama dari satuan percobaan ke 1 kertas isi sat. percob.→ ₅

Pengambilan kedua tertulisT, un- ↓

tuk satuan percobaan ke 2 maka S menempati sat.percob. 5 Dan seterusnya. - Dan seterusnya

( B ) Dengan tabel bilangan acak → (lebih dianjurkan)

CONTOH:

Suatu percobaan mendapat perlakuan A, B, C dan D masing-masing diulang 5 kali

terdapat 4x5 = 20 satuan percobaan yang harus disediakan untuk:

A1 A2 A3 A4 A5

B1 B2 B3 B4 B5

C1 C2 C3 C4 C5

D1 D2 D3 D4 D5

Cara penempatan perlakuan-perlakuan tersebut ke dalam satuan-satuan percobaan adalah sbb.:

(a). Satuan-satuan percobaan tersebut diberi nomor urut

(b). Dari tabel bilangan acak, tentukan bilangan-bilangan yang digunakan untuk pengacakan. Misalnya, setelah terpilih titik mula, didapat gugus bilangan acak:

421658 027639 516240 743165 926304 895421 195237

(c). Yang diperlukan hanya sampai no 20

Dilakukan pengelompokan beranggotakan 2 angka sebanyak 20 gugus (bila ada gugus sama → _lewatkan)

42 16 58 02 76 39 51 62 40 74 31 65 92 63 04 89 54 21 19 52

(d). Bilangan tersebut di atas diberi nomor urut sesuai urutannya (bilangan kecil pertama adalah 02) :

9 3 13 1 18 7 10 14 8 17 6 16 20 15 2 19 12 5 4 11

(e). Berdasarkan (d) →

perlakuan A (ulangan 1 s/d 5) ditempatkan pada satuan perco-baan nomor 9 3 13 1 18, perlakuan B menempati nomor 7 10 14 8 17. sehingga diperoleh:

1 2 3 4 5

A4 C5 A2 D4 D3

Sudah menghilang-6 7 8 9 10 kan sifat berbias

C1 B1 B4 A1 B2 dalam penempatan perlakuan ke dalam 11 12 13 14 15 satuan percobaan D5 D2 A3 B3 C4 16 17 18 19 20 C2 B5 A5 D1 C3

Stratified Random Sampling



Technique



Divide population into various strata



Randomly sample within each strata



Sample from each strata should be proportional



Advantage



Better in achieving representativeness on control variable



Disadvantage



Difficult to pick appropriate strata

PENGAMBILAN SAMPEL SECARA BERSTRATA:

Bila populasi tidak homogen→ perlu distratakan terlebih dahulu

menjadi bagian-bagian yang homogen.

↓

Dari bagian-bagian homogen inilah baru diambil sampelnya

CONTOH:

Suatu penelitian terdiri dari 5 perlakuan dan 4 ulangan →

diperlukan 20 ekor ikan tuna yang “seragam”. Namun yang tersedia dilapangan ikan tuna umur ½ s/d 3½ bln.

↓

perlu distratakan menjadi 4 kelompok yang homogen: kelompok I, ikan tuna umur kurang 1 bln

kelompok II, ikan tuna umur 1 – 2 bln kelompok III, ikan tuna umur 2 – 3 bln kelompok IV, ikan tuna umur lebih 3 bln

Systematic Sampling



Technique

 Use “system” to select sample (e.g., every 5th item in alphabetized list, every

10th name in phone book)



Advantage

 Quick, efficient, saves time and energy



Disadvantage

 Not entirely bias free; each item does not have equal chance to be selected  System for selecting subjects may introduce systematic error

PENGAMBILAN SAMPEL SECARA SISTEMATIK

10 petak tanah, masing-masing ditanami 7 x 12 = 84 rumput gajah → diambil bbrp

tanaman sampel untuk diteliti . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 . . . 2 . x . . . x = . . x . . 3 . . . . . . . 4 . . . x = . = x = . . . 5 . . . . . . . . 6 . x . . . x = . . x . . 7 . . . . . . . .

Macam-macam cara pengambilan sampel secara sistematik:

- cara diagonal, cara bujursangkar, cara leter L,

- cara hitungan (misalnya tiap hitungan ke 3), Harus konsisten

Cluster (Area) Sampling



Randomly select groups (cluster) – all members of

groups are subjects



Appropriate when



you can’t obtain a list of the members of the population



have little knowledge of pop characteristics

Cluster (Area) Sampling



Advantage



More practical, less costly



Conclusions should be stated in terms of cluster (sample unit

– school)

Multistage Sampling



Stage 1



randomly sample clusters (schools)



Stage 2

Sampling Methods

Probability Sampling



Simple random sampling



Stratified random sampling



Systematic sampling



Cluster (area) sampling



Multistage sampling

Non-Probability Sampling



Deliberate (quota) sampling



Convenience sampling

(3) KESALAHAN / GALAT PERCOBAAN

Satu perlakuan diulang pada satuan percobaan yang berkondisi serba sama

↓

Nilai pengamatan yang diperoleh tidak akan sama satu dengan yang lain

↓

Kegagalan satuan-satuan percobaan ini

disebut dengan

kesalahan / galat percobaan

Keaneka-ragaman yang disebabkan ketidak mampuan materi

percobaan yang diperlakukan sama untuk berperilaku sama disebut

: - Kesalahan percobaan

- Galat percobaan

- Error percobaan

- Sisa percobaan

→ _{karena merupakan hasil selisih}

Total dan Sumber Keragaman

(4) PENGAWASAN SETEMPAT

ialah usaha mengatur / menempatkan unit-unit percobaan untuk memperkecil kesalahan

D

A

F

C E

B

Tanah ketinggian tak sama

Quiz time….

1.

Berikan penjelasan mengenai perbedaan antara permutasi

dan kombinasi, sertakan juga contohnya!

2.

Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk

dari kata HIMITEKINDO!

3.

Suatu kelompok warga terdiri dari 8 orang pria dan 2

orang wanita akan memilih 5 orang pengurus RT. Berapa

cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus

terdiri dari 3 orang pria dan 3 orang wanita?