IV. PERBANDINGAN KONFIGURASI MATRIKS
INTERAKSI: METODE PROCRUSTES
4.1 Pendahuluan
Dua pendekatan dalam menangani ketaknornalan data pada pemodelan bilinier telah dibicarakan pada bab-bab sebelumnya. Bab 2 membicarakan penggunaan transformasi Box-Cox untuk mengatasi pelanggaran asumsi yaitu ketaknormalan distribusi peubah respon pada AMMI. Sedangkan bab 3 membicarakan model biliner dalam kelas pemodelan linier terampat (GAMMI). GAMMI mengakomodir ketaknormalan respon melalui penetapan distribusi respon dan fungsi hubung yang bersesuaian dengan distribusi peubah respon itu sendiri.
Pendekatan transformasi bagaimanapun menemui kesulitan mana kala transformasi yang diinginkan tidak mudah diperoleh. Tujuan pemodelan statistika adalah menyediakan interpretasi atas fenomena yang dipelajari, dan menyatakannya dengan bahasa yag sesuai dengan bidang aplikasi. Karenanya, ada alasan lain untuk tidak melakukan transformasi data. Pada kondisi tertentu kesimpulan yang diperoleh dari data pada skala asal menjadi amat peting karena mudah dipahami jika diperoleh langsung dari data asal (McCullagh & Nelder, 1989). Sebaliknya, kesimpulan dari analisis pada data tertrasformasi tidak dapat secara langsung diterapkan pada data asal.
Sementara itu, untuk memahami interpetasi model biliner pada kelas GLM membutuhkan landasan statistika lebih dalam dan pengetahuan tambahan tentang komputasi. Hal ini mungkin menimbulkan kesulitan lain bagi peneliti bidang terapan di luar statistika dan matematika.
Perbandingan kedua pendekatan ini perlu dilakukan untuk menilai sejauh mana kedekatan hasil dari kedua pendekatan ini. Tentu saja dengan tetap memperhatikan kelebihan dan kekurangan masing-masing. Perbandingan ini dapat dilakukan pada matriks interaksi dugaan dari kedua pendekatan. Hal ini
sesuai dengan tujuan utama pemodelan bilinier, yaitu memodelkan pengaruh interaksi.
Bab ini bertujuan membandingkan penggunaan pendekatan transformasi kenormalan pada model AMMI dengan pendekatan model GAMMI pada gugus data yang sama.
4.2 Kesesuaian Dua Konfigurasi Matriks: Metode Procrustes
Analisis peubah ganda seringkali memberikan koordinat dari segugus titik dalama ruang berdimensi banyak (multidimensi). Secara khusus hal ini diperoleh dari upaya merepresentasi data sebagai jarak antara titik-titik objek dalam ruang multidimensi tersebut. Salah satu diantaranya adalah analisis komponen utama ataupun biplot yang melibatkan konsep jarak (jarak Pitagoras ataupun Mahalanobis) didalamnya. Jarak antar titik tidak berubah dengan berubahnya titik asal (origin), tidak pula berubah bila sumbu koordinatnya diputar.
Dua figur dalam ruang dimensi r dan masing-masing mewakili n titik dikatakan kongruen jika keduanya dibedakan oleh suatu transformasi yang kekar. Dua figur, X dan X*, dikatakan mempunyai bentuk yang sama jika keduanya dihubungkan oleh suatu transformasi kesamaan sehingga :
X* = β X Γ + 1N τ'
dimana | Γ | = 1, τ(rx1) dan β > 0 adalah skalar. (τ, β,Γ) merupakan komponen translasi, skala dan rotasi transformasi kesamaan dari X ke X*.
Metode Procrustes Biasa (Ordinary Procustes Method) bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi titik yang mewakili n unit pengamatan yang sama. Pada prinsipnya, untuk melihat kesamaan bentuk dan ukuran dari dua konfigurasi, salah satu konfigurasi dibuat tetap, sementara konfigurasi lainnya ditransformasi sehingga cocok dengan konfigurasi yang pertama (Digby & Kempton , 1987).
Menurut Digby & Kempton (1987) ada tiga tipe transformasi yang diperlukan : translasi, rotasi sumbu koordinat dan penskalaan yang dilakukan jika kedua konfigurasi mempunyai skala yang tidak sama.
Translasi adalah perpindahan paralel dari setiap titik pengamatan ke suatu titik asal yang baru. Secara aljabar, translasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
X* = XH
dengan H matrik translasi, X adalah matriks data dan X* adalah matriks data setelah ditranslasi.
Rotasi adalah perputaran, titik ataupun sumbu koordinat. Pada metode Procrustes ini, rotasi yang diperbolehkan adalah rotasi sumbu koordinat. Pada dasarnya, rotasi ini adalah penggunaan suatu matriks ortogonal sebagai matriks transformasi.
Jadi, jika suatu gugus pengamatan X ingin dirotasikan dengan suatu matriks rotasi Γ, X* = X Γ, maka matriks Γ tersebut haruslah memenuhi kedua sifat tersebut di atas, atau secara aljabar linear dapat dituliskan sebagai :
Γ'Γ = I dan ΓΓ' = I
Pada metode Procrustes, jenis perpindahan yang dipilih adalah perpindahan yang dapat meminimumkan jumlah kuadrat jarak antara tititk-titik pada konfigurasi yang dipindahkan terhadap titik-titik yang sesuai pada konfigurasi yang dibuat tetap (Digby & Kempton, 1987).
Statistik R2 (R-kuadrat) adalah salah satu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan kesamaan bentuk kedua konfigurasi yang dibandingkan. Nilai ini menunjukkan berapa persen pengamatan pada kedua konfigurasi yang dapat dianggap sama. Jika nilai ini sama dengan 1 (100 %), berarti kedua konfigurasi mempunyai bentuk yang sama. Perbedaan yang terdapat sebelum teknik Procrustes diterapkan hanya disebabkan karena rotasi, translasi atau penskalaan.
Anggaplah kita memiliki dua konfigurasi yaitu A dan R. Konfigurasi A tetap sedangkan konfigurasi R ditransformasi menjadi Z, dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, ingin didapat, Γˆ , dan
β
ˆ yang bisa meminimumkan jumlah kuadrat jarak (m2AR) titik-titik yang dipindahkan terhadap titik-titik yangsepadan pada konfigurasi yang dibuat tetap. Secara aljabar dituliskan: m2AR = tr
( (A-Z)’ (A-Z) )
Untuk meminimumkan nilai m2AR ini, akan lebih baik kalau kedua matriks
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan :( ~) ( ~)
^ ^ ^
A− A −β R− R Γ =1N τ
dengan A~ dan R~ adalah matriks data terpusat.
Nilai β dan matriks rotasi Γ diperoleh dengan meminimumkan :
tr AS((~ −
β
R~Γ)'(AS~ −β
R~Γ))=tr A A(~'~)+β
2tr( 'ΓR R~'~Γ)−2β
tr A R(~'~Γ) Misalkan penguraian nilai singular (Singular Value Decomposition) dariA R
~
'
~
didefinisikan :'
~
'
~
ULQ
R
A
=
maka dugaan nilai β, matriks Γ adalah:
Γ^ = Q U'.
Karena Q dan U adalah matriks ortogonal, maka matriks Γ
^
juga merupakan matriks ortogonal, sehingga dapat digunakan sebagai matriks rotasi. Sedangkan penduga parameter skala adalah :
β^ ^ ( ~' ~ ) ( ~' ~) = tr A R tr R R Γ
Matriks kesalahan adalah simpangan matriks dugaan terbaik Z terhadap matriks target, yaitu matriks A. Matriks kesalahan secara aljabar dapat ditulis dalam bentuk:
E = (A - Z)
Dengan demikian, jumlah kuadrat galat ini adalah jumlah kuadrat unsur-unsur pada matriks simpangan. Jumlah Kuadrat Total (JKT) dan jumlah kuadrat galat (JKG) secara aljabar dapat dituliskan :
JKT = tr (A’A) dan JKG = tr ((A-Z)’ (A-Z))
Sedangkan R2 yang merupakan suatu ukuran kesamaan kedua konfigurasi dapat dihitung dengan rumus :
R2= 1 - JKG/JKT
= 1 - tr ((A-Z)’ (A-Z))/tr (A’A)
Pembandingan kedua gugus data dilakukan dengan melihat besarnya nilai R2. Jika nilai R2 mendekati nilai 1 (100 %), berarti dua gugus data yang dibandingkan memiliki kemiripan karakteristik.
Dalam GENSTAT, procrustes rotasi orthogonal adalah metoda yang paling umum digunakan, dan disajikan oleh The ROTATION Directive. Anggaplah bahwa ada dua satuan koordinat untuk n titik dengan r dimensi dalam n×r matriks X dan Y. Gugus X dijadikan acuan yang dianggap tetap, dan konfigurasi Y akan digeser dan diputar sedemikian sehingga diperoleh kesesuaian terbaik terhadap X. Di sini “terbaik” berarti meminimumkan penjumlahan dari jarak kuadrat antara titik-titik pada koordinat X dan koordinat “terbaik” setelah digeser dan diputar, titik-titik pada Y. Translasi terbaik (pergeseran titik orogin) membuat centroids untuk keduanya koordinat secara bersamaan; ini mudah dilaksanakan dengan translasi kedua-duanya sedemikian sehingga centroids mereka adalah di titik asal itu. Setelah translasi, dicari rotasi terbaik melalui penguraian nilai singular (Lawes Agricultural Trust, 2003).
4.3 Metodologi
Dari dua bab terdahulu dijelaskan metode mengepasan model AMMI dan GAMMI sehingga diperoleh hasil pemodelan interaksi. Langkah penelitian pada bab ini adalah sebagai berikut:
1. Pemodelan AMMI untuk data proporsi gabah isi padi dan populasi hama daun yang telah ditransformasi Box-Cox.
2. Pemodelan GAMMI logit-link untuk data asal proporsi gabah isi padi, dan model GAMMI log–link untuk data asal populasi hama daun kedelai. 3. Pembentukan matriks interaksi dugaan dari model AMMI dan model
GAMMI. Pembentukan matriks interaksi ini dapat dilakukan dengan cara:
a. Membentuk matriks skor genotipe dan matrik skor lingkungan dari model penuh (full model)
b. Mengalikan matriks skor genotipe dan matriks skor lingkugan untuk memperoleh matriks interaksi dugan
4. Menghitung kesesuaian kedua matriks iteraksi dugaan dengan metode Procrustes menggunakan prosedur Procrustes Rotation pada GENSTAT (Lampiran 12).
4.4 Hasil Perbandingan Matriks Interaksi
4.4.1 Matriks Interaksi Ketahanan Kedelai Terhadap Hama Daun
Model AMMI pada data hama daun yang ditransformasi dengan pangkat 0.66 melalui metode trasformasi box-cox menghasilkan matriks interaksi sebagai berikut:
-0.527851 -0.062761 0.665758 -0.109114 0.033889 0.116444 -0.130709 -0.184108 -0.023206 0.221626 0.192549 0.441590 -0.134987 0.176737 -0.675950 0.218851 -0.248173 -0.346669 -0.044436 0.420517
Sedangkan model GAMMI Log-link data hama daun menghasilkan matriks interaksi sebagai berikut:
0.532780 0.037319 0.624311 -0.241579 0.112729 0.139683 -0.136263 -0.234720 0.004502 0.226799 0.194269 0.326580 -0.036568 0.246332 -0.730612 0.198829 -0.227636 -0.353022 -0.009255 0.391085
Perbandingan kedua matriks interaksi yang dihasilkan kedua metode ini menggunakan metode procrustes diperoleh nilai R kuadrat sebesar 98.73% Angka ini menunjukkan bahwa pada pendugaan matriks interaksi kedua metode ini sangat dekat, tidak banyak berbeda. Apakah ini berasal dari peran penggunaan transformasi Box-Cox, tidaklah sertamerta kita dapat katakan demikan. Sebab bila kita kita menggunakan AMMI secara langsung pada data asal diperoleh R-kuadrat procrustes sebasar 98.26%. Hal yang paling mungkin berperan dalam hal ini adalah karakter distribusi data rataan populasi hama mirip dengan sebaran Normal (Lampiran 8). Penggunaan AMMI model penuh tidak menemui masalah ketaknormalan, namun pada penentuan model AMMI terbaik (dua komponen) ditemui sisaan yang tidak menyebar Normal (Lampiran 3).
Bila kita perhatikan sel baris petama kolom pertama kedua pada kedua matriks tersebut di atas, terlihat angka yang sama cukup besar (dibandingkan angka pada sel-sel lain) namun berbeda tanda. Secara geometris hal ini berarti pada dimensi tersebut titik ini berada pada posisi yang berlawanan sehingga menyebabkan perbedaan pada konfigurasi kedua matriks ini. Namun bila titik-titik lain relatif sama maka perbedaan ini menjadi tidak tampak atau tidak terdeteksi oleh metode procrustes, karena secara matetatis metode procrustes tidak
memperhatikan “tanda”. Karena itulah meskipun kedua matriks interaksi di atas sangat mirip, namun interpretasi kestabilan/ketahanan terhadap hama penyakit dapat saja berbeda.
4.4.2 Matriks Interaksi Kestabilan Gabah Isi Varietas Padi
Melalui AMMI model penuh (4 komponen) pada data proporsi gabah isi yang ditransformasi dengan pangkat 7.80 menghasilkan matriks interaksi sebagai berikut: 0.014517 -0.150186 -0.004814 -0.021742 0.162217 -0.028690 -0.155001 -0.140138 0.093252 0.230564 -0.191356 -0.277336 0.270206 0.421639 -0.223137 0.312974 0.235850 0.174702 -0.353611 -0.369877 0.582736 -0.127614 -0.468470 0.104372 -0.090978 -0.315364 0.500658 -0.110342 -0.110522 0.035535 -0.073343 -0.162583 0.515172 -0.016845 -0.262382 -0.263813 0.317211 -0.310599 0.057525 0.199637 -0.035537 0.350965 0.051077 -0.070406 -0.296088 0.117565 -0.118566 -0.214731 0.371982 -0.156224 -0.312965 -0.160172 0.062789 0.082227 0.328082 0.193313 -0.253172 0.175077 -0.557899 0.442659
Matriks interaksi diatas diperoleh pada model penuh. Sedangkan matriks interaksi data asal proporsi gabah isi dengan model GAMMI Logit-link model penuh sebagai berikut:
-0.079536 -0.126249 0.011454 0.387973 -0.193642 -0.318166 0.389463 0.009024 -0.133706 0.053385 0.553968 0.030956 0.198006 -0.110326 -0.672604 -0.075247 0.504607 -0.088826 -0.203903 -0.136630 0.046359 0.004622 -0.273107 0.355246 -0.133120 -0.117087 -0.107006 -0.101694 0.283432 0.042355 -0.128413 -0.499332 0.595015 -0.075319 0.108050 -0.015852 -0.209936 -0.246076 0.323054 0.148809 -0.141927 0.015831 0.217416 -0.165527 0.074208 0.404657 -0.112217 -0.442194 -0.219253 0.369007 -0.342932 0.217629 0.099554 -0.010763 0.036512 0.214146 -0.108284 0.021402 -0.430906 0.303642
Perbandingan kedua matriks interaksi dugaan pada data proporsi gabah isi, menunjukkan hasil berlawanan dengan sub-bab sebelumnya. Perbandingan kedua matriks interaksi yang dihasilkan kedua metode ini menggunakan metode procrustes diperoleh nilai R kuadrat sebesar 23.36%. Angka ini mengindikasikan ketidaksesuaian hasil dari kedua pendekatan.
Uji kenormalan bagi data poporsi gabah isi menunjukkan ketidaknormalan, sementara bagi data yang ditransformasi menunjukkan Normal (lihat Gambar 2.3). Transformasi Box-Cox berhasil mengatasi ketidaknormalan sehingga AMMI dapat digunakan pada data ternormalkan secara sahih. Namun begitu, matriks interaksi dugaan hasil kedua metode menunjukkan perbedaan yang tidak dapat diabaikan. Hal ini menunjukkan bahwa perlu kehati-hatian dalam interpretasi AMMI data ternormalkan karena hasilnya sangat berbeda dengan GAMMI.
4.3 Simpulan
Hasil AMMI pada pendekatan transfomasi Box-Cox pada data rataan proporsi (binomial) memberikan matriks interaksi dugaan yang berbeda dari model GAMMI logit-link. Pada data rataan populasi hama (berdistribusi Poisson), AMMI dengan transformasi Box-Cox tidak banyak berbeda dengan model GAMMI log-link. Namun perlu dicatat bahwa bentuk sebaran data ini sangat mirip dengan distribusi Normal.
Tidak demikian halnya dengan data proporsi gabah isi, pendekatan transformasi Box-Cox pada model AMMI untuk data proporsi ini memberikan hasil yang berdeda dari model GAMMI logit-link.
Bila distribusi data sangat mirip dengan sebaran Normal (simetrik) maka hasil AMMI dengan pendekatan transformasi Box-Cox tidak jauh berbeda dengan penggunan GAMMI. Sebaiknya pada data yang bukan Normal hasil kedua pendekatan ini sangat berbeda.
Hal yang tidak kalah pentingnya adalah menyadari bahwa metode procrustes yang digunakan dalam perbandingan memeriksa kemiripan konfigurasi dua matriks dan tidak memperhatikan “tanda”.
