FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM GEOMETRI TAKSI

906

FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM GEOMETRI TAKSI

Al Kausar dan Oki Neswan

Program Studi Magister Pengajaran Matematika FMIPA-ITB, Kelompok Keahlian Matematika Geometri FMIPA - ITB

E-mail: Alka_saliwu@yahoo.com, oneswan@math.itb.ac.id

ABSTRAK : Geometri taksi (taxicab geometry) adalah salah satu geometri non-Euclid, dimana jarak antara dua titik dan bukan merupakan panjang dari segmen garis ̅̅̅̅ seperti dalam geometri Euclid, tetapi jumlah dari nilai mutlak selisih koordinat dari A dan B yaitu . Pada makalah ini kami membahas konsekuensi penggunaan konsep jarak tersebut pada pengertian sudut, relasi trigonometri, fungsi trigonometri khususnya fungsi sinus dan cosinus. Kami memberikan deskripsi rumus fungsi sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut. Selanjutnya diberikan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus.

Kata Kunci : Jarak taksi, sudut, kuadran, lingkaran satuan, fungsi sinus dan cosinus.

Geometri taksi (taxicab geometry) pertama kali diperkenalkan oleh Herman Minkowski (1864-1909) yang berkebang-saan Jerman. Geometri taksi pada dasarnya menyiratkan tentang studi sebuah kota yang ideal dengan semua jalan adalah horizontal atau vertikal. Misalkan seorang sopir taksi berangkat dari kota A ke kota B, dimana semua jalan dapat digunakan maka sopir taksi mulai dari A dapat mengambil cara yang berbeda, yang memiliki jarak yang sama untuk sampai ketujuan B. Geometri taksi mendapat perhatian kembali pada tahun 1975, ketika Krause menerbitkan sebuah buku “Taxicab Geometry”. Dalam bukunya, Krause (1986) mendefinisikan jarak antara dua titik dan adalah

| | | |. Akibat dari fungsi jarak tersebut, sifat kekongruenan SAS (sisi sudut sisi) tidak berlaku. Karena keunikannya itu, penelitian tentang geometri taksi terus dikembangkan. Akca dan Kaya (1997) dan Thompson dan Dray (2011) telah

mengembangkan/menuliskan masalah trigonometri dalam geometri taksi. Berdasarkan tulisan mereka, kami men-coba mengembangkan fungsi trigonometri dalam geometri taksi khususnya fungsi sinus dan cosinus sampai pada rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus yang tidak termuat dalam tulisan mereka.

1. Teori Dasar

2.1 Jarak antara Dua Titik

Jarak taksi antara titik dan

didefinisikan sebagai

. Adapun hubungan jarak antara dua titik di geometri Euclid dan di geometri taksi, Colakoglu dan Kaya (2008) memberikan teorema dan pada makalah ini diberikan bukti yang lebih detail.

Teorema 2.1

Misalkan diberikan 2 titik berbeda yaitu

dan , maka

2. √

, jika

dengan m adalah gradien ruas

garis AB.

Bukti :

Misalkan dan maka

√ dan dengan dan 1. Jika maka √ 2. Jika , maka √ (√ ) √ ⁄ √ ⁄ √ ⁄√ √ ⁄ √ ( ₎ ⁄ √ ⁄

sebab √ . Kemudian kalikan bentuk terakhir dengan bentuk satu lainnya, yaitu untuk mem-peroleh √ | |⁄ √ | _| | | | | √ | | 2.2 Panjang Kurva

Pada geometri Euclid, panjang kurva dari suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang

[a,b] diberikan oleh

∫ √

Untuk menemukan formula dari panjang kurva pada geometri taksi, digunakan metode tradisional yakni membagi kurva menjadi n bagian, (Thompson , 2011). Pertama, pandang suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak perlu panjangnya sama) memakai titik-titik

dan andaikan . Selanjutnya, nilai-nilai fungsi f untuk titik-titik berturut-turut dimisalkan seperti pada gambar berikut :

Pada tiap selang bagian menurut geometri taksi diperoleh panjang kurva

.

Menurut teorema nilai rata-rata, terdapat titik diantara dan sedemikian sehingga . Dengan demikian panjang kurva dari

ke menjadi

( ) sehingga diperoleh panjang kurva adalah

∑ ∑ ( ) .

Selanjutnya, tetapkan │P│ menyatakan panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P. Jika │P│semakin kecil atau dapat ditulis │P│→ 0 maka panjang kurva menjadi

Ruas kanan dari persamaan ini memenuhi definisi dari integral tentu, sehingga panjang kurva fungsi pada interval

adalah

∫ ( )

Teorema 2.2 (Thompson, 2011) Jika

suatu fungsi monoton naik atau turun

dan terdeferensialkan pada titik-titik

dalam selang , maka panjang kurva

pada interval adalah

Bukti: Panjang kurva dari fungsi pada interval adalah

∫ ( ) ∫ ( )

Jika monoton naik maka , sehingga diperoleh

Jika monoton turun maka , sehingga diperoleh

Dari kedua kasus diperoleh

2.3 Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik yang berjarak tetap terhadap titik tertentu (pusat lingkaran). Lingkaran taksi dengan pusat P dan jari-jari r dapat dituliskan dalam bentuk

.

Jika dan maka

. Khususnya, bila maka

dapat digambarkan sebagai berikut :

Grafik dari lingkaran terdiri dari empat ruas garis dengan persamaan :

Keliling lingkaran yang berjari-jari r dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak taksi diantara dua titik, sebagai berikut :

Dapat juga menghitung panjang

dengan menggunakan rumus dari panjang kurva. Garis dipandang sebagai fungsi dengan persamaan Sehingga panjang adalah

∫ ( )

∫ | | ∫ Diperoleh panjang satuan. Dengan demikian keliling lingkaran taksi yang berjari-jari satuan adalah satuan.

Lingkaran yang berjari-jari 1 satuan dengan pusat O(0,0) akan dinamakan sebagai lingkaran satuan.

Ada yang menarik/aneh dari panjang kurva yang diberikan oleh Thompson (2011). Sebagai contoh, lingkaran taksi dan lingkaran Euclid yang berjari-jari satuan memiliki keliling yang sama.

Telah diketahui bahwa lingkaran taksi berjari-jari pada kuadran I adalah kurva atau garis dengan persamaan

Maka panjang kurva adalah

∫ ( )

∫ | | ∫

Sedangkan pada lingkaran Euclid yang berjari-jari , diketahui bahwa pada kuadran I memiliki kurva dengan persamaan √ sehingga panjang kurva adalah

∫ ( )

∫ ( ) ( √ )

Diperoleh bahwa kurva dengan persamaan

dan √ memiliki panjang yang sama. Akibatnya, lingkaran taksi dan lingkaran Euclid yang berjari-jari satuan memiliki keliling yang sama yaitu

satuan. 2.4 Sudut

Sebuah sudut pada pusat lingkaran satuan yang dibentuk oleh penyadapan busur lingkaran sepanjang satuan memiliki besar sudut -radian. Thompson dan Dray (2011) menyatakan bila sudut Euclid , dan π dalam posisi standar, di geometri taksi sekarang memiliki ukuran masing-masing 1, 2, dan 4.

Adapun hubungan sudut taksi dan sudut Euclid, Thompson dan Dray (2011) memberikan teorema berikut :

Teorema 2.3 Misalkan α adalah sebuah sudut Euclid pada posisi standar di kuadran I dan t adalah sudut taksi, maka

Bukti : Dengan menggunakan lingkaran satuan, misalkan α adalah sebuah sudut Euclid pada posisi standar di kuadran I, diperoleh garis dari titik pusat sehingga berpotongan dengan lingkaran yaitu garis terminal dengan persamaan

seperti pada gambar berikut :

Misalkan t adalah sudut taksi, diperoleh

( )

Dengan proses yang sama seperti pada pembuktian Teorema 2.3 diperoleh hubungan dan untuk di kuadaran II, III atau IV yakni :

Selanjutnya, misalkan diketahui sudut seperti pada gambar berikut :

Maka dinamakan sebagai sudut dengan referensi , dengan adalah sudut pada posisi standar. Pada pembahasan selan-jutnya, sudut yang akan dibahas adalah sudut dengan referensi .

3. Fungsi Trigonometri

Misalkan adalah suatu pemetaan dari

ke lingkaran taksi | | | | seperti gambar berikut :

Untuk tiap adalah titik

pada lingkaran taksi | | | | sehingga total panjang kurva dari

ke dalam arah berlawanan jarum jam

sama dengan . Dengan mudah dapat dipahami bahwa { atau { | | | | | | | | | | | | | | | |

Pada pemetaan di atas merupakan fungsi 1-1 dan pada, selanjutnya dikatakan sebagai fungsi trigonometri (Akca dan Kaya, 1997).

3.1 Fungsi Sinus dan Cosinus pada Bidang Geometri Taksi

Misalkan sebuah sudut pada posisi standar dan sebuah titik di luar lingkaran

| | | | dengan

̅̅̅̅ , maka didefinisikan perban-dingan (rasio) trigonometri dan

Diperoleh empat sistem persamaan yaitu

1.

dan

2.

dan

3.

dan

4.

dan

Pada sistem persamaan 1, jika mengeliminasi maka diperoleh ( ) dan jika mengeliminasi maka diperoleh ( ). Dengan cara yang serupa untuk sistem persamaan 2, 3 dan 4. Selanjutnya, semua solusi dari keempat sistem persamaan di atas disubstitusi pada perbandingan trigonometri dan

diperoleh nilai fungsi sinus dan cosinus sebagai berikut :

{ dan {

Untuk sudut negatif, pandang jari-jari

pada lingkaran satuan berputar searah jarum jam maka sudut yang terbentuk adalah negatif, seperti pada gambar berikut :

Asumsikan titik bayangan merupakan pencerminan dari terhadap sumbu . Akibatnya, bila ) maka

Sehingga

dan

Selanjutnya, dengan menggunakan aturan sudut negatif dan nilai fungsi trigonometri diperoleh relasi trigonometri. Thompson dan Dray (2011) menuliskan relasi trigo-nometri seperti pada tabel berikut :

Tabel 1: Relasi Trigonometri

Fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi periodik dengan perioda 8 sehingga dapat dituliskan

dan

, untuk setiap bilangan bulat. Sehingga grafiknya

berulang setiap satu putaran, yaitu setiap 8 radian. dapat dilihat pada gambar berikut :

3.2 Fungsi Cosinus Jumlah Dua Sudut Misalkan ada dua sudut dan maka akan ada 10 situasi, salah satunya di kuadran II dan di kuadran I yang dapat dinota-sikan dan . Karena kekongrue-nan SAS (sisi sudut sisi) tidak berlaku, maka untuk membuktikan rumus fungsi cosinus jumlah dua sudut digunakan situasi-situasi dari dan , dimana dan sudut dengan referensi 0. Thompson dan Dray (2011) memberikan teorema berikut :

Teorema 3.1

(

), dimana akan dipenuhi untuk

tanda positif ketika t dan s berada pada sisi yang berbeda dari sumbu X dengan sumbu Y yang sama atau t dan s pada kuadran yang sama, jika tidak maka memenuhi tanda negatif.

Bukti : Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan karena jika sebuah sudut terletak di luar maka terdapat

sehingga dan dapat digunakan relasi .

Untuk tanda positif

, berarti ada 6 kasus yaitu ;

dan ; ; ; dan

; .

Kasus : t II, s I berarti

, sehingga ( ) ( ) {

Cara yang serupa untuk kasus yang lain. Untuk tanda negatif

, berarti ada 4 kasus yaitu dan ;

dan ; dan ;

dan .

Kasus : t III, s I berarti

, sehingga ( ) ( )

Cara yang serupa untuk kasus yang lain. Sehingga untuk semua kasus dapat dideskripsikan rumus fungsi cosinus jumlah dua sudut secara lengkap melalui tabel berikut : Tabel 2: Rumus t s t + s I II IV IV I I III IV II II III IV I II III III

t s t + s III III IV I II I III IV IV II I II

Sebagai akibat dari Teorema 3.1 diperoleh aturan untuk sudut ganda.

Akibat 3.2 Bukti :

3.3 Fungsi Sinus Jumlah Dua Sudut Berdasarkan Teorema 3.1 serta relasi

dapat diturunkan rumus fungsi sinus jumlah dua sudut sebagai berikut :

( ) ( )

( ) ( )

Selanjutnya dengan menggunakan informasi dari tabel 2 dan relasi , diperoleh deskripsi rumus fungsi sinus jumlah dua sudut untuk semua kondisi dari t dan s sebagai berikut:

Tabel 3: Rumus dari

Akibat 3.3

( )

3.4 Fungsi Cosinus Selisih Dua Sudut Berdasarkan Teorema 3.1 dapat diturunkan rumus fungsi cosinus selisih dua sudut sebagai berikut :

( ), karena maka

( )

Adapun rumus , untuk semua kondisi dari t dan s dideskripsikan pada tabel berikut : t s t + s II II III IV I II I IV II III III IV IV II I II III IV I III IV IV I III I II I III IV I III II

Tabel 4: Rumus

Dapat dilihat bahwa rumus dari memiliki bentuk yang sama dengan rumus , namun pada penggunaannya perlu diperhatikan kuadran letak sudut sebab akan berbeda untuk setiap kondisi dan .

3.5 Fungsi Sinus Selisih Dua Sudut Berdasarkan rumus fungsi cosinus selisih dua sudut dan relasi

, dapat diturunkan rumus fungsi sinus selisih dua sudut sebagai berikut : ( ) karena maka ( ).

Adapun rumus , untuk semua kondisi dari dan dideskripsikan pada tabel berikut :

Tabel 5: Rumus

3.6 Jumlah dan Selisih Cosinus

Rumus jumlah dan selisih cosinus, ditentukan dengan menggunakan informasi dari tabel 2 dan tabel 4.

Misalkan : dan , jika keduanya dijumlahkan maka diperoleh t s ( ) I II II I II I III IV IV III IV III III IV IV I I II III III IV I II II t s ( ) I IV I I III IV IV III I II II III III IV IV I I II III IV II II III IV I II II III

dan jika dikurangkan maka diperoleh .

Dalam hal ini, perlu diselidiki semua kemungkinan dari kondisi t dan s yang memenuhi dan yaitu yaitu ; dan ;

; dan ; dan

; dan .

Untuk kasus , diperoleh

;

dan

;

Jika kedua persamaan dijumlahkan diperoleh

⟺ Jika kedua persamaan dikurangkan diperoleh

⟺

Dengan cara yang serupa untuk kasus yang lain sehingga untuk semua kondisi dan

, rumus jumlah cosinus dapat dideskripsikan pada tabel berikut :

Tabel 6 : Rumus a B I II II III IV IV I I II III III IV III III IV IV I II I II Sehingga untuk semua kondisi a dan b, rumus dari dapat ditulis

{

tanda positif berlaku jika dan pada kuadran yang sama, atau dan berada pada sisi yang berbeda dari sumbu-dengan sumbu- yang sama. Untuk kondisi yang lain memenuhi tanda negatif. Sedangkan rumus selisih cosinus dideskripsikan pada tabel berikut :

Tabel 7 : Rumus I II II I I II III III IV I II I III IV IV II I II III IV IV III III IV

Dari tabel 7 di atas, tampak 2 hasil yang berbeda pada saat dan pada saat tergantung dari kuadran letak .

Pada kondisi , baik pada saat

maupun pada saat , diperoleh .

Sedangkan pada kondisi , baik pada saat maupun pada saat , diperoleh

Sehingga untuk semua kondisi dan , rumus dari dapat ditulis

( ), masing-masing untuk tanda yang sama.

3.7 Jumlah dan Selisih Sinus

Dengan cara yang serupa seperti pada penyelidikan rumus jumlah dan selisih cosinus, menggunakan informasi dari tabel 3 dan tabel 5 diperoleh :

1. Rumus jumlah sinus

{

Untuk semua kondisi dari a dan b dideskripsikan melalui tabel berikut :

Tabel 8 : Rumus a B I II III III IV I II II III IV II III I I IV I IV IV II III

2. Rumus selisih sinus

{

Untuk semua kondisi dari a dan b dideskripsikan melalui tabel berikut :

Tabel 9 : Rumus a B I IV I IV II I II III III II II III II III I I IV I IV IV II III IV III

Dari tabel 9 di atas, tampak 2 hasil yang berbeda pada saat dan pada saat sama halnya seperti pada tabel 7 tergantung dari kuadran letak

. Untuk , pada kondisi diperoleh , tetapi pada kondisi diperoleh .

Sedangkan untuk , pada kondisi diperoleh

, tetapi pada kondisi

diperoleh .

4. Kesimpulan

Fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi periodik dengan perioda 8 sehingga dapat dituliskan dan , untuk setiap

bilangan bulat.

Selanjutnya dalam penggunaan rumus fungsi sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut, serta rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus perlu diperhatikan kuadran letak sudut.

DAFTAR RUJUKAN

Akca, Z. dan Kaya, R. 1997. On The Taxicab Trigonometry. Jour. of Inst. of Math. & Comp. Sci. [Math. Ser.] Vol. 10, No. 3 (1997) 151-159.

Colakoglu, H. B. dan Kaya, R. 2008. Taxicab Versions of the Pytha-gorean Theorem. ΠME. Journal. Vol. 12. No. 9, pp 535 – 539. Krause, F. E. 1986. Taxicab Geometry.

Dover Publications, Inc., New York.

Thompson, K. 2011. The Nature of Length, Area, and Volume in Taxicab Geometry. arXiv:1101. 2922v1 [math.MG] 14 Jan 2011. Thompson, K. dan Dray, T. 2011. Taxicab

Angles and Trigonometry. arXiv: 1101.2917v1 [math.MG] 14 Jan 2011.