Penerapan Teorema Mesh dalam Penyederhanaan Arus Bolak Balik serta Penyelesaian Matriks (Minor, Kofaktordan Determinan)

(1)

RESUME RANGKAIAN LISTRIK II

Penerapan Teorema Mesh dalam Penyederhanaan Arus

Bolak – Balik serta Penyelesaian Matriks

(Minor, Kofaktordan Determinan)

Tujuan

1. Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis Mesh. 2. Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan teorema Mesh dalam menyelesaikan

soal rangkaian listrik.

3. Mahasiswa dapat memahami pengertian Minor dan Kofaktor serta dapat menerapkannya dalam mencari Determinan.

(2)

I. PENDAHULUAN

Suatu rangkaian yang terhubung secara seri maupun paralel yang telah kita pelajari sebelumnya merupakan contoh rangkaian yang sederhana. Pada rangkaian sederhana yang mengkombinasikan tahanan-tahanan atau sumber-sumber yang seri atau paralel dapat kita analisis dengan menggunakan prinsip pembagian arus dan tegangan sesuai hukum yang telah dipelajari yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchoff.

Rangkaian-rangkaian sederhana tersebut merupakan suatu latihan pemahaman dalam pemecahan masalah untuk menolong kita memahami hukum-hukum dasar yang selanjutnya akan kita gunakan dalam rangkaian-rangkaian yang lebih sukar atau lebih kompleks.

Dalam menyederhanakan analisis pada rangkaian yang lebih sukar diperlukan suatu metode analisis yang lebih cocok dan mudah. Metode mesh dapat pula digunakan untuk menyederhanakan rangkaian dalam arus bolak-balik

(3)

II. TEOREMA MESH

Pada Rangkaian Listrik I kita telah mempelajari cara menyederhanakan rangkaian dalam arus DC (searah) dengan menggunakan teorema Mesh. Kali ini kita akan mempelajari cara menyederhanakan suatu rangkaian yang berada dalam arus AC (bolak-balik).

Pada dasarnya cara perhitungannya sama dengan perhitungan teorema Mesh pada arus searah. Yang berbeda adalah, dalam penyederhanaan rangkaian arus bolak-balik, bukan hanya resistor yang menjadi tahanannya namun juga terdapat induktansi dan kapasitansi. Sehingga terlebih dahulu kita harus mencari impedansi (Z) dari tiap-tiap bagian.

Pada suatu rangkaian yang terlihat pada Gambar 1.1 dapat menggunakan analisis Mesh untuk menyelesaikannya dengan menggunakan konsep arus mesh dan Hukum Tegangan Kirchoff (Kirchoff Voltage Law/KVL).

Gambar 1.1 Rangkaian dengan analisis teorema Mesh Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Mesh :

1. Tentukan impedansi (Z) dari setiap bagian rangkaian dan sumber tegangannya. Pada rangkaian tersebut didapatkan tiga impedansi yaitu Z1, Z2, dan Z3.

 Z1 hanya terdiri dari induktor, sehingga impedansinya:

Z1 = 0 + j2

= +j2

(4)

Z2 = 0 – j1

= -j

 Z3 hanya terdiri dari resistor, sehingga impedansinya:

Z3 = 4

 VA = 2 00

 VB = 6 00

2. Tentukan arah loop dan arusnya. Arah loop pada teorema Mesh sebaiknya searah jarum jam. Apabila arah arus searah dengan arah loop, maka tandanya negatif (-), namun apabila arah arus berlawanan dengan arah loop, maka tandanya positif (+)

Gambar 1.2. Menentukan arah arus, loop dan tegangan.

3. Tentukan arah dari masing-masing tegangan. Pada tegangan, apabila arahnya searah dengan arah loop, maka tandanya (+), namun apabila tegangan berlawanan dengan arah loop, maka tandanya negatif (-).

4. Kemudian buat persamaan tegangan masing-masing loop.

Gambar 1.3. Daerah loop 1  Loop 1:

(5)

VA – I1.Z1 – I1.Z3 + I2.Z3 = 0

2

00 – I1.j2 – I1.(4) + I2.(4) = 0

2

00 – (4+j2).I1 + 4I2 = 0

(4+j2).I

1

– 4I

2

= 2

00 ... (1)

Gambar 1.4. Daerah loop 2



Loop 2: -VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z3 = 0 -VB – (Z2 + Z3).I2 + I1 Z3 = 0 -6 00 – (-j+4).I2 + I1.(4) = 0 -6 00 – (4-j).I2 + 4I1 = 0 4I1 – (4-j).I2 = 6 00 ... (2)

5. Setelah mendapatkan kedua persamaannya, masukkan persamaaan tersebut ke dalam matriks.

[ _{] [} ] [ ] 6. Untuk mencari I1, maka kolom pertama [

] diganti dengan [ ] sehingga matriksnya menjadi [_{]. Kemudian dibagi dengan bentuk matriks awalnya.}

(6)

[_] [ _]

Kemudian hitung determinan masing-masing matriks. ( ) ( )( ) ( )( )

Lalu ubah ke bentuk polarnya.

7. Untuk mencari I2, maka kolom kedua [

] diganti dengan [ ] sehingga matriksnya menjadi [

]. Kemudian dibagi dengan bentuk matriks awalnya. [ _]

[ _]

Kemudian hitung determinan masing-masing matriks. ( ) ( )( ) ( )( ) Cara Kedua Ingat, j2= 1

(7)

Cara kedua dalam analisis Mesh ini adalah dengan membuat daerah loop 2 satu rangkaian penuh seperti pada gambar 1. .berbeda dengan cara yang pertama yaitu daerah loop 1 dan loop 2 dibagi menjadi dua bagian yang sama.

Gambar 1.5. Cara kedua menggambarkan loop

Langkah-langkah penyelesaiannya sama dengan cara pertama dari nomor 1-3, yang berbeda adalah dalam penghitungan persamaan loop 2. Persamaan pada loop 1 sama dengan cara sebelumnya.

 Loop 1: VA – I1.Z1 – I1.Z3 + I2.Z3 = 0

2

00 – I1.j2 – I1.(4) + I2.(4) = 0

2

00 – (4+j2).I1 + 4I2 = 0

(4+j2).I

1

– 4I

2

= 2

00 ... (1)



Loop 2: VA - VB – I2 Z1 – I2 Z2 + I1 Z1 = 0 VA - VB – (Z1 + Z2).I2 + I1 Z1 = 0 2 00_{- 6 0}0 – (j2 - j).I2 + I1.(j2) = 0 -6 00 – (4-j).I2 + 4I1 = 0 4I1 – (4-j).I2 = 6 00 ... (2)

Setelah mendapatkan kedua persamaannya, masukkan persamaaan tersebut ke dalam matriks. Lalu hitung I1 dan I2 nya dengan cara sama seperti cara sebelumnya.

(8)

Contoh Soal 2:

Perhatikan gambar rangkaian di bawah ini.

Gambar 1.6. Contoh soal rangkaian analisis Mesh

Tentukanlah berapa besar I1 dan I2 pada rangkaian tersebut!

Jawab:

Langkah-langkahnya adalah:

a. Tentukan impedansi (Z) dari setiap bagian rangkaian dan sumber tegangannya.  Z1 = 1 + j2

 Z2 = 4 – j8

 Z3 = j6

 VA = 8 200

 VB = 10 00

(9)

Gambar 1.7. Arah loop, arus dan tegangan pada analisis Mesh

c. Kemudian buat persamaan tegangan masing-masing loop.  Loop 1: VA + VB – I1 . Z1 – I1 . Z2 + I2 . Z2 = 0 VA + VB – I1(Z1 + Z2) + I2 . Z2 = 0 8 200_{+ 10 0}0 - (5-j6).I1 + (4-j8) I2 = 0 (5-j6).I1 - (4-j8) I2 = 8 200 + 10 00 ... (1)



Loop 2: -VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z2 = 0 - VB – (Z2 + Z3).I2 + I1 Z2 = 0 (4-j2).I2 - I1.(4-j8) = – 10 00 ... (2)

Masukkan ke dalam persamaan matriks:

[ ( ) _{] [} ] [ ] Mencari I1:

[ ( ) _] [ ( ) _]

Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.

(10)

III. PENYEDERHANAAN DENGAN DETERMINAN MATRIKS

Matriks adalah suatu susunan dari banjar (array) bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat, dengan jumlah baris sebanyak m dan jumlah kolom sebanyak n dan dinotasikan sebagai A = (aij)mxn; I = 1,…,m; dan j = 1,…,n serta aij adalah elemen dari matriks A pada

baris ke-I kolom ke-j.

Gambar 3.1. Matriks A

Minor dan Kofaktor

Minor aij yang dinyatakan dengan Mij adalah determinan submatriks setelah baris ke-I

dan kolom ke-j dihilangkan dari [A]. Contoh :

Minor dari a13 adalah M13, baris pertama dan kolom ketiga dihilangkan sehingga

M13 [ ] [ ] Kofaktor

 

                     m n m j m m in ij i i n j n j a a a a a a a a a a a a a a a a A                 2 1 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11

(11)

-

Kofaktor entri aij dinyatakan oleh cij adalah bilangan (-1)i+j . Mij , dimana Mij adalah

minor dari aij. Pangkat dari kofaktor adalah penjumlahan dari posisi baris (i) dan kolom (j)

satu elemen dalam sebuah matriks. Apabila besar pangkatnya ganjil, maka minornya bernilai negatif (-). Apabila besar pangkatnya genap, maka minornya bernilai positif (+). Kofaktor dilambangkan dengan .

Contoh :

= (-1)2+3 . M23 = - M23 , karena 2+3 = 5 (ganjil) maka minornya negatif. = (-1)3+1 . M31 = + M31 , karena 3+1 = 4 (genap) maka minornya positif.

Determinan

Determinan dapat disimbolkan dengan detA , atau | |. Untuk mencari determinan orde tinggi bisa dengan menggunakan kofaktor minor dari matriks.

Contoh :

B = [ ]

Tentukan determinan dari matriks B! Jawab :

1. Tentukan baris atau kolom mana yang akan menjadi acuan kofaktor minornya. B = [ ]

2. Hitung jumlah kofaktor minor dari baris kedua. B = a21 . 21 + a22 . 22 + a23 . 23 = a21 . (-1)2+1 . M21 + a22 . (-1)2+2 . M22 + a23 . (-1)2+3 . M23 = - a21 . M21 + a22 . M22 - a23 . M23 = - (-1) [ ] + 0 [ ] - (-1) [ ] = (1) . (3.3- 2.4) + 1 . (0.4 – 3.2) = 1 - 6 = -5

Cara lain mencari determinan adalah dengan menambahkan dua kolom pertama pada matriks tersebut disebelah kanan, kemudian mengalikannya secara diagonal.

(12)

+

-

+

-

+

-

B = [ ]

Tentukan determinan dari matriks B! Jawab :

1. Tambahkan dua kolom yang sama di sebelah kanan matriks. Det B= | |

2. Hitung determinan dengan mengalikan entri secara diagonal. 0.0.3 + 3.(-1).2 + 2.(-1).4 – 2.0.2 – 0.(-1).4 – 3.(-1).3 = -14 + 9

= -5

(13)

IV. SOAL DAN JAWABAN

1.

Tentukanlah I1 dan I2pada rangkaian tersebut! Jawab :

Diketahui :

VA = 4V VB = 2V

Z1 = 2 Z2 = 1 + j0 Z3 = -j a. Tentukan arah loop, arus, dan tegangannya

b. Persamaan loop Loop 1 ∑V = 0 VA – I1 ZI – I1 Z3 + I2 Z3 = 0 VA – I1 (Z1 + Z3) + I2 Z3 = 0 I1(Z1 + Z3) – I2 Z3 = VA (2-j) I1 – (-j) I2 = 4 0... (1) Loop 2 ∑V = 0 -VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z3 = 0 -VB – I2 (Z2 + Z3) + I1 Z3 = 0 I1 Z3 – I2(Z2 + Z3) = VB (-j) I1 – (1+j) I2 = 2 0... (2)

(14)

[ _{] [} ] [ ] I1 = |_| | _| I1 = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) I1 = I1 = I1 = I1 = I1 = 1,75 42,27 I2 = | _| | _| I2 = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) I2 = I2 = I2 = I2 = I2 = 0,4 12,53 2.

Tentukanlah I1 pada rangkaian tersebut! Jawab :

Diketahui :

V1 = 6 10 V2 = 8 20

(15)

Resume Rangkaian Listrik 2 Penyelesaian teori Mesh dalam ABB dan Matriks

15

a. Tentukan arah loop, arus, dan tegangannya

b. Persamaan loop Loop 1 ∑V = 0 V1 – I1 ZI – I1 Z3+ I2 Z3 = 0 V1 – I1 (Z1 + Z3) + I2 Z3 = 0 I1 (Z1 + Z3) - I2 Z3 = V1 (1+j4) I1- (j3) I2 = 6 10 ... (1) Loop 1 ∑V = 0 V2 – I2 Z3 – I2 Z2+ I1 Z3 = 0 V2 – I2 (Z2 + Z3) + I1 Z3 = 0 I1 Z3- I2 (Z2 + Z3) = -V1 (j3) I1+ (2-j) I2 = -8 20 ... (2) [ _{] [} ] I1 = |_| | _| I1 = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) I1 = ( ) ( ) ( ) ( ) I1 = I1 = I1 = I1 =

(16)

16

I1 = 3,54 -13,35 I1 = 3,54 373,35

3. Tentukan M13 dari satu matriks A33 dengan elemen a11 = 4; a12 = 3; a13 = -1; a21 = 0;

a22 = 4; a23 = 1; a31 = -2; a32 = 0; dan a33 = 2 !

Jawab :

[

] M13 = | |

4. Tentukan kofaktor dari soal nomor 1 ! Jawab :

( )

5. Tentukan determinan dari soal nomor 1 ! Jawab : ( ) ( ) ( ) | | | | | | ( ) ( ) ( )

(17)