Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )

(1)

SISTEM N PARTIKEL IDENTIK SISTEM N PARTIKEL IDENTIK Sistem N partikel di

Sistem N partikel di nyatakan dengan fungsi gelombang:nyatakan dengan fungsi gelombang:

ψ

( x( x11, x, x22, ……., x, ……., x N N)) Keadaan ternormalisasi: Keadaan ternormalisasi:

∫ ∫

…………

∫ ∫

dxdx11dxdx22 ……. dx……. dx N N

ψ

( x( x11, x, x22, ……., x, ……., x N N))



22= 1= 1

ψ

( x( x11, x, x22, ……., x, ……., x N N))



22adalah generalisasi dariadalah generalisasi dari

ψ

(x)(x) artinya: probabilitas menemukan patikel 1 pada x

artinya: probabilitas menemukan patikel 1 pada x1,1, partikel 2 pada xpartikel 2 pada x22, dan, dan partikel N pada x

partikel N pada x N N.. Hamiltonian sistem N partikel: Hamiltonian sistem N partikel:

H= H=

∑

== N N ii 11 mmii P Pii 2 2 2 2 + V(x + V(x11, x, x22, ……., x, ……., x N N)) H= H= -- (( 22 2 2 2 2 1 1 x xii m m_ii

∂

+……+ +……+ ₂₂ 2 2 2 2 1 1 N N N N xx m m

∂

) + V(x ) + V(x11, x, x22, ……., x, ……., x N N))

SISTEM 2 N PARTIKEL IDENTIK SISTEM 2 N PARTIKEL IDENTIK

Tinjau sistem 2 partikel identik, t’ berinteraksi satu dengan yang lain di namakan Tinjau sistem 2 partikel identik, t’ berinteraksi satu dengan yang lain di namakan partikel 1 dan partikel 2.

partikel 1 dan partikel 2.

••

(inti)(inti)

))

EE 1 1

))

EE22

Partikel sistem t’ saling berinteraksi, maka fungsi Hamilton total sistem adalah: Partikel sistem t’ saling berinteraksi, maka fungsi Hamilton total sistem adalah:

Ĥ

Ĥ (1,2) =(1,2) = Ĥ(Ĥ(11)+Ĥ()+Ĥ(22))………..(1)………..(1) Parsamaan Schrodinger sistem 2 partikel:

Parsamaan Schrodinger sistem 2 partikel: Ĥ

Ĥ (1,2)(1,2)

ψ

(1,2)= (E(1,2)= (E11+ E+ E22))

ψ

(1,2)………(2)(1,2)………(2)

ψ

(1,2) adalah fungsi diri sistem 2 partikel identik.(1,2) adalah fungsi diri sistem 2 partikel identik. Ada 4 macam bentuk

Ada 4 macam bentuk

ψ

(1,2) yang memenuhi persamaan (2):(1,2) yang memenuhi persamaan (2): 1). 1).

ψ

(1,2) =(1,2) =

ψ

αα(1)(1)

ψ

ββ (2)(2) 2). 2).

ψ

(1,2) =(1,2) =

ψ

αα(2)(2)

ψ

ββ (1)(1) 3). 3).

ψ

(1,2)=(1,2)= 2 2 1 1 [[

ψ

αα (1)(1)

ψ

ββ (2) +(2) +

ψ

αα(2)(2)

ψ

ββ (1)](1)] 4). 4).

ψ

(1,2)=(1,2)= 2 2 1 1 [[

ψ

αα(1)(1)

ψ

ββ (2) -(2) -

ψ

αα(2)(2)

ψ

ββ (1)](1)]

Cek! Ke-4 nya memenuhi

(2)

ψ

(1,2) =(1,2) =

ψ

αα(1)(1)

ψ

ββ (2)(2) Ĥ Ĥ (1,2)(1,2)

ψ

(1,2) = [((1,2) = [(ĤĤ₁₁++ ĤĤ ₂₂)])]

ψ

αα(1)(1)

ψ

ββ (2)(2) =Ĥ =Ĥ (1)(1)

ψ

αα (1)(1)

ψ

ββ (2) +(2) + ĤĤ (2)(2)

ψ

αα(1)(1)

ψ

ββ (2)(2) = (E = (E11+ E+ E22))

ψ

αα(1)(1)

ψ

αα(2)(2) =(E

=(E11+ E+ E22))

ψ

(1,2)(1,2)

→

memenuhi pers.(2)memenuhi pers.(2) Diant

Diantara ara 4 4 kemunkemungkingkinanan

ψ

(1,2)(1,2)

→

manakah yang merupakan fungsi diri 2manakah yang merupakan fungsi diri 2 partikel identik?

partikel identik?

⇓⇓

cek dengan operator cek dengan operator

ˆ

1212 (penukar partikel 1 dengan 2) (penukar partikel 1 dengan 2)

(i) (i)

ˆ

1212 Ĥ (1,2)Ĥ(1,2)

ψ

(1,2)=(1,2)=

ˆ

1212(E(E11+ E+ E22))

ψ

(1,2)(1,2) = (E = (E11+ E+ E22))

ˆ

1212

ψ

(1,2)………(*)(1,2)………(*) (ii) (ii) ĤĤ (1,2)(1,2)

ˆ

1212

ψ

(1,2) =(1,2) = ĤĤ (1,2)(1,2)

λλ ψ

ψ

(1,2)(1,2) = =

λλ

ĤĤ (1,2)(1,2)

ψ

(1,2)(1,2) = =

λλ

(E(E11+ E+ E22))

ψ

(1,2)(1,2) =(E =(E11+ E+ E22))

λλ ψ

ψ

(1,2)(1,2) =(E =(E11+ E+ E22))

ˆ

1212

ψ

(1,2)………(**)(1,2)………(**) Dari (*) dan (**): Dari (*) dan (**):

ˆ

1212 Ĥ (1,2) =Ĥ(1,2) = ĤĤ (1,2)(1,2)

ˆ

1212 [[

_ˆ

1212,, ĤĤ (1,2)] = 0(1,2)] = 0 KOMUT KOMUT

Harus di pilih fungsi diri bersama bagi operator

_ˆ

1212dandan ĤĤ (1,2)(1,2) Misal

Misal

ψ

(1,2) adalah fungsi diri(1,2) adalah fungsi diri

ˆ

1212dengan nilai diridengan nilai diri

λλ

::

ˆ

1212

ψ

(1,2) =(1,2) =

λλ ψ

ψ

(1,2)(1,2)

ˆ

121222==

ˆ

1212 ..

ˆ

1212

ˆ

1212

ψ

(1,2) =(1,2) =

ˆ

1212

ˆ

1212

ψ

(1,2)(1,2) = =

ˆ

1212

λλ ψ

ψ

(1,2)(1,2) = =

λλ ˆˆ

1212

ψ

(1,2)(1,2) = =

λλ ψ

ψ

(1,2)(1,2)

Karena setiap permutasi dua kali harus kembali ke keadaan semula, maka nilai Karena setiap permutasi dua kali harus kembali ke keadaan semula, maka nilai

λλ

22 harus sama dengan 1.

harus sama dengan 1.

2 2 =1 =1

→

= +1 dan= +1 dan = -1= -1 ↓ ↓ ↓↓

ψ

ss (1,2)(1,2)

ψ

aa(1,2)(1,2) ((ssiimmeettrrii)) ((aannttiissiimmeettrrii))

(3)

Untuk sistem 2 partikel identik, 1 partikel dalam keadaan

ψ

αα, lainnya dalam, lainnya dalam

keadaan

ψ

ββ ,, makmaka a funfungsi gsi gelgelombombang ang simsimetri etri dan dan antanti i simsimetri etri yanyang g munmungkigkinn adalah: adalah:

ψ

ss (1,2)=(1,2)= 2 2 1 1 { {

ψ

αα(1)(1)

ψ

ββ (2) +(2) +

ψ

αα(2)(2)

ψ

ββ (1)}(1)}

ψ

aa(1,2)=(1,2)= 2 2 1 1 { {

ψ

αα(1)(1)

ψ

ββ (2) -(2) -

ψ

αα (2)(2)

ψ

ββ (1)}(1)}

FERMION, PRINSIP EKLUSI PAULI, ENERGI FERMI FERMION, PRINSIP EKLUSI PAULI, ENERGI FERMI FERMION

FERMION

∼∼

memenuhi statistika Fermi – Diracmemenuhi statistika Fermi – Dirac untuk sistem 2 fermion identik, bentuk f

untuk sistem 2 fermion identik, bentuk fungsi gelombang adalah:ungsi gelombang adalah:

ψ

aa(1,2)=(1,2)= !! 2 2 1 1

ψ

11(1)(1)

ψ

11(2)(2)

ψ

22(1)(1)

ψ

22(2)(2)

••

Bila 2 fermion ( Bila 2 fermion ( elektrelektron ) on ) berada dalam keadaaberada dalam keadaan yang sama dan n yang sama dan energi yangenergi yang sama

sama

→

maka determinan = 0.maka determinan = 0.

••

Jadi suatu keadaan yang energinya tertentu, dengan momentum sudut samaJadi suatu keadaan yang energinya tertentu, dengan momentum sudut sama dan spinnya berbeda, hanya dapat di isi oleh 2 elektron.

dan spinnya berbeda, hanya dapat di isi oleh 2 elektron. Di kenal dengan prinsip eklusi pauli Di kenal dengan prinsip eklusi pauli

1.

1. “Ti“Tidak dak terdterdapaapat t 2 2 elekelektrotron n daldalam am sebsebuah atom uah atom yanyang g dapdapat at berberada ada daldalamam

keadaan kuantum yang sama. Masing – masing elektron dalam sebuah atom keadaan kuantum yang sama. Masing – masing elektron dalam sebuah atom harus memiliki kumpulan bilangan kuantum n, l, m

harus memiliki kumpulan bilangan kuantum n, l, ml l dan mdan m s syang berbeda”.yang berbeda”.

2.

2. “ “ ElElekektrtron on papada da atatom om HH

→

p padada a kekeadadaaaan n nonormrmal al beberadrada a papada da kekeadadaaaann

kuantum terendah”. kuantum terendah”. Apakah 92 e

Apakah 92 e-- _{pada uranium juga berada dalam keadaan kuantum yang sama?}_{pada uranium juga berada dalam keadaan kuantum yang sama?} Tidak Mungkin! Mereka akan berdesakan dalam 1 orbit mengelilingi inti. Tidak Mungkin! Mereka akan berdesakan dalam 1 orbit mengelilingi inti.

••

Ada Ada perperbedbedaan aan yanyang g sansangat gat besbesar ar terterhadhadap ap sifsifat at kimkimia ia unsunsur ur yanyang g hanhanyaya memiliki struktur atomik yang berbeda 1 e

memiliki struktur atomik yang berbeda 1 e-- _saja._saja. Contoh:

Contoh: 9

9F,F, 1010 Ne, Ne, 1111 Na Na

↓

↓ ↓ ↓ ↓↓

h

haallooggeenn ggaas s mmuulliiaa llooggaamm

••

Jika seluruh eJika seluruh e-- _{berada dalam keadaan kuantum yang sama maka akan sulit}_{berada dalam keadaan kuantum yang sama maka akan sulit} bagi kita untuk menjelaskan mengapa ada perbedaan sifat ketika jumlah e bagi kita untuk menjelaskan mengapa ada perbedaan sifat ketika jumlah e -- berbeda.

berbeda.

••

Prinsip eklusi pauli memiliki Prinsip eklusi pauli memiliki konsekuensi bahwa:konsekuensi bahwa:

∼∼

keadaan dasar bagi N elektron dalam suatu medan potensial sangat berbedakeadaan dasar bagi N elektron dalam suatu medan potensial sangat berbeda di bandingkan keadaan dasar untuk N

(4)

Untuk lebih jelasnya tinjau N buah partikel identik dalam sumur potensial tak Untuk lebih jelasnya tinjau N buah partikel identik dalam sumur potensial tak berhingga: berhingga: V(x) V(x) 0 0 11 V(x)= V(x)=

∞

; x<0; x<0 0; 0<x<b 0; 0<x<b --

∞

; x>b; x>b

Solusi persamaan Schrodinger pada x = 0 dan x = b adalah: Solusi persamaan Schrodinger pada x = 0 dan x = b adalah:

U Unn= sin (= sin ( b b n nπχ πχ )) n = 1,2,3,………. n = 1,2,3,………. Dengan nilai diri energinya: Dengan nilai diri energinya:

E Enn== ₂₂ 22 2 2 2 2 2 2mbmb nn π π n = 1,2,3,………. n = 1,2,3,……….

••

Jika N partikel identik tersebut adalah BOSON, maka dalam keadaan dasar Jika N partikel identik tersebut adalah BOSON, maka dalam keadaan dasar (n= 1), energinya adalah: (n= 1), energinya adalah: E = E = N N m mbb n n 2 2 2 2 2 2 2 2

Energi per partikel (BOSON): Energi per partikel (BOSON):

N N E E = = ₂₂ 2 2 2 2 2 2mmbb π π

••

JikJika a N N parpartiktikel el ideidentintik k tertersebsebut ut adaadalah lah FERFERMIOMION, N, makmaka a tottotal al eneenergirginyanya adalah: adalah: E = E = ₂₂ 22 2 2 2 2 2 2 // 1 1 22 2 2 nn mb mb N N n n π π

∑

= = = =

∑

= = 2 2 // 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 N N n n n n mb mb π π

Setiap state di isi oleh 2 elektron sehingga state tertinggi

→

n =n =

2 2 N N

(5)

E E nn ddnn m mbb N N n n

∫ ∫

==

≅

2 2 // 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 π π

≈≈

//22 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 N N n n mb mb π π

≈≈

3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 mb mb π π [( [( 2 2 N N ))33_-1_-122_]]

≈≈

4 4 .. 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 N N m mbb π π

Energi per partikel ( fermion ): Energi per partikel ( fermion ):

N N E E = = 4 4 .. 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 N N m mbb π π Fermion 1 dimensi

Fermion 1 dimensi

→

kerapatan fermionkerapatan fermion

ρρ

==

b b N N

••

Energi Fermi ( EEnergi Fermi ( Ef f ))



 _{Energi pada saat n =}_{Energi pada saat n =} 2 2 N N   _E_E_f_f_{= E}_{= E}_n_n_{( pada n =}_{( pada n =} 2 2 N N )) E Ef f ==

((

))

22 22 22 2 2 2 2 N N m m bb π π = = ₂₂ 2 2 2 2 2 2 8 8 bb N N m m π π = = m m 8 8 2 2 2 2 π π

_ρρ

₂₂ Tambahan: Tambahan: Perbedaan

Perbedaan

ψ

ssdandan

ψ

a :a :

••

ψ

ss : kedua partikel 1 dan 2 : kedua partikel 1 dan 2 dapat berada dalam keadaan kuantudapat berada dalam keadaan kuantum yang m yang samasama secara serentak (

secara serentak (

α

==

ββ

))

••

ψ

aa: jika: jika

α

==

ββ

→

berarti berarti

ψ

aa= 0, artinya kedua partikel tidak dapat berada= 0, artinya kedua partikel tidak dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama,

dalam keadaan kuantum yang sama, sehinggasehingga

α

α ≠≠ ββ

sehinggasehingga

ψ

aa

≠≠

0.0.

Sehingga jika kita bandingkan dengan prinsip eklusi pauli maka berarti sistem Sehingga jika kita bandingkan dengan prinsip eklusi pauli maka berarti sistem elektron ( fermion ) harus di berikan oleh fungsi gelombang antisimetri ( tandanya elektron ( fermion ) harus di berikan oleh fungsi gelombang antisimetri ( tandanya berlawanan ) jika terjadi pertukaran tiap pasang elektron.

berlawanan ) jika terjadi pertukaran tiap pasang elektron.

MOMENTUM SUDUT MOMENTUM SUDUT

••

Operator Momentum SudutOperator Momentum Sudut

(6)

••

Nilai diri dan fungsi diri Nilai diri dan fungsi diri

*. Persoalan elektron dalam medan potensial sferik *. Persoalan elektron dalam medan potensial sferik *. Atom Hidrogen

*. Atom Hidrogen *. Rotasi Molekul *. Rotasi Molekul Operator Momentum Sudut Operator Momentum Sudut

••

Momentum sudut secara klasik:Momentum sudut secara klasik:

L L == r r x x p p

( (

_Z

Z P

Z

_y y

P

))

j j

Z P

Z

( (

_x x

P

X P

X

_z z

P

))

k k

( (

X

X P

_y y

P

Y Y P

_x x

P

))

y

y P

P

ii

L L

==

−−

++

_ˆ_ˆ

−−

++

ˆˆ

−−

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ………(1)………(1) linier linier momentum momentum p p posisi posisi vektor vektor r r

⋅⋅

:: ::

Komponen – komponen Operator

Komponen – komponen Operator L L dalam koordinat kartesian:dalam koordinat kartesian:

y y z z X X Y Y P P Z Z P P L Lˆˆ

=

ˆˆ

−

ˆˆ = =

























∂∂

−







 



∂∂

−

y y z z ii Z Z ii Y Y 

⇒

z z X X Y Y Z Z P P X X P P L Lˆˆ

=

ˆˆ

−

ˆˆ = =

























∂∂

−−













∂∂

−−

z z x x ii X X ii Z Z 

⇒

x x Y Y Z Z X X P P Y Y P P L Lˆˆ

=

ˆˆ

−

ˆˆ = =



















 



∂∂

−













∂∂

−

x x y y ii Y Y ii X X 

⇒

Operator Momentum Sudut

⇒

koordinat bolakoordinat bola Tinjau:

Tinjau:

Hubungan koordinat kartesian dengan koordinat bola Hubungan koordinat kartesian dengan koordinat bola

2 2 2 2 2 2 2 2 c cooss s siinn s sinin c cooss s siinn z z y y x x r r r r z z r r y y r r x x + + + + = = = = = = = = θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ

⇒

(*)(*)

Pernyataan komponen L dalam koordinat bola Pernyataan komponen L dalam koordinat bola













∂

−

∂

−

=

y y z z X X ii Y Y Z Z L Lˆˆ













∂∂

−

∂∂

−

=

z z x x Y Y ii Z Z X X L Lˆˆ













∂

−

∂

−

=

x x Y Y Z Z ii X X Y Y L Lˆˆ

(7)

Dari persamaan(*) di peroleh: Dari persamaan(*) di peroleh:

d dz z z z d dyy y y d dxx x x d d d dz z z z d dyy y y d dxx x x d d d dz z z z r r d dyy y y r r d dxx x x r r d dr r d d r r d dr r d dz z d d c c r r d d r r d dr r d dyy d d r r d d r r d dr r d dxx

∂

+

∂

+

∂

=

∂

+

∂

+

∂

=

∂

+

∂

+

∂

=

−

=

+

=

−

+

=

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ s siinn c cooss c cooss s siinn s sinin c cooss s siinn s sinin s sinin s siinn c cooss c cooss c cooss s siinn (**) (**) )) (( 0 0 s sinin c cooss )) (( s sinin c cooss s siinn c cooss 1 1 s sinin s sinin )) ((.. s sinin s sinin c cooss c cooss 1 1 c cooss s sinin iiiiii r r r r z z z z r r z z r r z z iiii r r r r r r y y y y r r y y r r y y ii r r r r r r x x r r x x r r x x

+

∂

−

∂

=

∂

+

∂

+

∂

=

∂

+

∂

+

∂

=

∂

+

∂

+

∂

=

∂

−

∂

+

∂

=

∂

+

∂

+

∂

=

∂

θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ (i

(i), ), (i(ii)i), , ddan an (i(iiiii))

⇒

susubsbstititutusi si ke ke pepersrsamamaan aan kokompmpononen en momomementntum um susududutt

z z y y x x L L LL L

Lˆˆ ,, ˆˆ ,, ˆˆ sehingga di peroleh:sehingga di peroleh:













∂∂

+













∂∂

−

=

+

=

∂∂

−

=













∂∂

−

∂∂

−

=













∂∂

+

∂∂

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s sinin 1 1 s sinin s sinin 1 1 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ si sinn c coott c cooss ˆˆ c cooss c coott s sinin ˆˆ ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ       L L L L L L L L L L ii L L g g ii L L g g ii L L z z y y x x z z y y x x

⇓⇓

Operator Momentum Sudut Operator Momentum Sudut

Dalam Dalam Koordinat Bola Koordinat Bola

Bagaimana fungsi diri dan nilai diri Operator Bagaimana fungsi diri dan nilai diri Operator L Lˆˆ Z Z ??

(8)

••

Fungsi Diri dan Nilai Diri Operator Fungsi Diri dan Nilai Diri Operator L Lˆˆ Z Z ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ − − = = _ii L Lˆˆ_z_z

Misal Fungsi diri

Misal Fungsi diri L Lˆˆ Z Z adalahadalah uu( ( ))ϕ ϕ ::

⇓⇓

Persamaan Nilai Diri Persamaan Nilai Diri

(

( )

)

(

( ))

(

( )

)

(

( ))

( ( ))

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ     z z L L ii m m z z z z z z z z z z e e N N u u solusi solusi u u iL iL d d d duu u u iiLL u u u u L L u u ii u u L L u u L L

=

⇓

=

∂

=

∂

−

=

ˆˆ u(

u(

ϕϕ

)harus fungsi berharga tunggal)harus fungsi berharga tunggal

(

)

) (

( ))

( ( )) ( ( ϕ ϕ π π )) ϕ ϕ π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π ϕ ϕ       z z z z z z z z L L ii L L ii L L ii m m L L ii m m ee ee ee N N ee N N u u u u

==

++

++ ++ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 .. ..

=

π π z z L L ii e e

⇓⇓

Nilai diri operator

Nilai diri operator L Lˆˆ_z_z

⇐

L L_z_z

=

mm

⇒

mm

=

00,,

±

11,...,...

( ( ))

ϕ

im im m m

e

N

u

₌

⇓⇓

Berapa? Berapa? Syarat Normalisasi: Syarat Normalisasi:

(9)

(

)

(

)

(

)

(

)

π

ϕ

π

ϕ

π

ϕ

π

2 2 1 1 1 1 1 1 . . 1 1 * * 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0

=

∫

−

m m m m i i m m i imm m m N N d d N N d d e e e e N N d d u u u u

⇓⇓

Fungsi Diri Operator Fungsi Diri Operator L Lˆˆ z z

Fungsi Diri dan Nilai Diri Operator Fungsi Diri dan Nilai Diri Operator L Lˆˆ_z_z::













∂

+













∂

−

=

22 ₂₂ 22₂₂ si sinn 1 1 si sinn s sinin 1 1 ˆˆ ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ z z L L

Misal Fungsi Diri Operator

Misal Fungsi Diri Operator L Lˆˆ_z_z

⇒

YYββ ((

θθ

,,

ϕϕ

))

Persamaan Nilai Diri: Persamaan Nilai Diri:

2 2 ˆ ˆ L L YYββ ((

θθ

,,

ϕϕ

)=)=β β 22 YYββ ((

θθ

,,

ϕϕ

))

⇓⇓

Nilai Diri Nilai Diri













∂∂

+













∂∂

−

₂₂ 2 2 2 2 2 2 sin sin 1 1 sin sin sin sin 1 1 ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ YYββ ((

θθ

,,

ϕϕ

)=)= 2 2 β β YYββ ((

θθ

,,

ϕϕ

))

[ [

ˆˆ ,, ˆˆ

]]

00 ;; ˆˆ 22

=

∂

−

=

z z z z ii L L LL L L ϕ ϕ z z L L L

Lˆˆ22,, ˆˆ saling komutsaling komut berarti berarti

Y

Yββ ((

θθ

,,

ϕϕ

))

⇒

Fungsi Diri bersama bagiFungsi Diri bersama bagi L Lˆˆ L Lˆˆ z z 2 2

+

Kita Pilih: Kita Pilih: Y Yββ ((

θθ

,,

ϕϕ

)=)=

( ( ))

ϕ ϕ β β θ θ π π im im m m ee P P 2 2 1 1

(

( )

)

(

( ))

(

( )

)

(

( ))

( (

))

( (

11

))

00(( )) 1 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 s sinin ,, c cooss :: )) ...( ...( s sinin 1 1 s sinin s sinin 1 1 )) ...( ...( ,, ,, ˆˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 iiiiii P P m m d d d dP P d d P P d d P P m m d d d dP P d d d d d d d d k kaann Didefinisi Didefinisi iiii P P P P ii Y Y m m Y Y L L m m m m m m m m Z Z

=













−

+

−

=







 



−

+







 −−

−

=

−

=













∂

+













∂

=

ω ω ω ω β β ω ω ω ω ω ω ω ω β β ω ω ω ω ω ω θ θ θ θ ω ω θ θ ω ω θ θ β β θ θ ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ β β β β β β β β

Fungsi P memiliki singularitas di titik

ω

==

±±

11 Penyelesaian di dekat Penyelesaian di dekat

ω→

+1,+1,

ββ

<<<<

( ( ))

ϕ ϕ π π ϕ ϕ imim e e u u 2 2 1 1

=

(10)

(

( )

)

(

( ))

(

11

)

) (

( )

11

)

[ [

( )

(

11

) (

( ))

11 ...

]]

...(...( )) )) ...( ...( 0 0 1 1 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 iiiii iiiii a a a a a a P P iiii iiii P P m m d d dP dP d d P P d d

++

−−

++

−−

++

−−

==

→

==

−−

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω α α

Substitusi (iiiii) ke (iiii) kemudian menyesuaikan koef.suku

( (

))

α α

ω ω

−

1 1 diperoleh:diperoleh:

( (

))

2 2 ...(*) ...(*) 0 0 4 4 1 1 2 2 0 0 m m m m a a

±

=













₋

₊

₋

α α α α α α α α

••

Untuk Untuk ( ( ))

(

11

)

[ [

(

11

))

...

]]

2 2 00 11 2 2 1 1 0 0

==

−−

++

−−

++

→

==

ω ω ω ω α α P P aa aa m m mm

••

Untuk Untuk ( ( ))

(

11

)

[ [

'' ''

(

11

))

...

]]

2 2 00 11 2 2 1 1 + + − − + + − − = = → → − − = = _∞_∞

ω

−−

ω

α

mm P P aa aa m m

Bantuan matematis memperoleh pers(*): Bantuan matematis memperoleh pers(*):

( (

))

( (

))

(

)

[ [

(

)

(

))

]]

(

)

[ [

(

)

(

))

]]

(

)

[ [

(

))

]]

(

))(

(

)

[ [

(

)

(

)

(

)

[[

(

))

]]

(

11

)

[ [

22

(

11

))

...

]] (

(

11

)

[ [

22 33..22

(

11

))

...

]]

1 1 2 2 1 1 .... .... 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 2 2 1 1 .... .... 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 4 4 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

+

−

=

+

−

+

−

+

−

=

−

− − − − − − − − ω ω ω ω ω ω ω ω α α ω ω ω ω α α ω ω ω ω ω ω α α α α ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω α α ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω α α α α α α α α α α α α α α a a a a a a a a a a a a a a a a a a d d P P d d a a a a a a a a a a d d dP dP a a a a a a P P P P m m d d dP dP d d P P d d

( (

))

22 1 1

−

ω ω α α −−

( (

11

−

ω ω

))

α α −−11 2 2 2 2 ω ω d d P P d d

+

α α

( (

α α

−

11 a

))

a00 α α

( (

α α

−−

11

))

aa₁₁

++

α α aa₁₁

−−

( (

ω ω d

))

d ω ω d dP P

−

1 1 1 1 α α aa_o_o 1 1 1 1 aa a aα α

+

( (

))

P P m m 2 2 2 2 1 1 4 4

−

ω ω 00 2 2 4 4 aa m m

−

11 2 2 4 4 aa m m

+

−

(11)

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

(

11 )

) (

( )

11 )

[ [

(

( ))

11 ...

...

]]

...(

))

....(

00

11

44

11

11 ,,

11 ..

..

22

44

00

44

00

44

11

00

44

11

11 00 22 22 22 22 22 22 22 22 22 00 00 22 00 00

viii

bb

P

vv iiii

P

m

d

dd P

P

d

P

d

d e k a t

dd ii

aa nn

Penyelesai

m

aa

m

aa

++

−−

++

==

−−

→

==

++

−−

++

〈 〈

−−

→

±±

==

−−

++

−−

==













−−

++

−−

==

−−

++

−−

⇒

ω

β

ω

α

α α Su

Subsbstititutussi i (v(viiiii) i) kke e (v(viiii) ) & & lalakukukakan n pepennyayamamaan an kokoefefisisieien n bbagagi i susukkuu

( (

11

−

ω ω

))

α α −−22diperolehdiperoleh :: 2 2 m m

±

=

α α

••

Untuk Untuk ( ( ))

(

11

)

[ [

(

11

))

...

]]

2 2 00 11 2 2 1 1 0 0

==

++

⇒

++

==

−− ω ω ω ω α α P P bb bb m m mm

••

Untuk Untuk ( ( ))

(

11

)

[ [

'' ''

(

11

))

...

]]

2 2 00 11 2 2 1 1 + + + + + + + + = = ⇒ ⇒ − − = = _∞_∞−−

ω

−−

ω

α

P P bb bb m m mm ( ( ) ) ( ( )) ( ( ))

_{( ( ))}

( ( ))

_{( ( ))}

diterima diterima P P P P an an penyelesai penyelesai sbg sbg diterima diterima t t divergen divergen P P P P

⇒

−− −− −− ∞ ∞ ∞ ∞ ω ω ω ω 11 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 & & )) .. .. (( & & Penyelesaian pers(iii): Penyelesaian pers(iii): P Pββ mm((

ω

)=)=

(

( )

ω ω

) (

( ))

ω ω 1 1 0 0 1 1 −− P P P P _o_o = =

₍

_{( )}

_ω

_{) (}

_{( )}

_ω

₎

₍

_{( ))}

_ω

β β mm m m m m Z Z 2 2 2 2 ₁₁ 1 1₋₋ ₊₊ = =

( (

₁

22

))

22

_Z

_{( ( ))}

_...(

_ix

₎₎

m m m m

ω

_β_β

−−

Substitusi (ix) ke (iii) diperoleh: Substitusi (ix) ke (iii) diperoleh:

( (

11

))

₂₂ 22

[ [

11

]]

[ [

( (

11

))

]]

00....(....( )) 2 2 2 2 x x z z m m m m d d dz dz m m d d z z d d

=

+

−

+

−

β β ω ω ω ω ω ω ω ω

(12)

Penyelesaian dalam bentuk deret: Penyelesaian dalam bentuk deret:

( ( ))

...(...( )) 0 0

xi

a

z

k k k k k k ω ω ω ω

∑

∞ ∞ = =

=

Substitusi (xi) ke (x): Substitusi (xi) ke (x):

(

k k

+

22

))(

( ))

k k

+

11 aa_k_k₊₊₂₂

=

[ [

(

k k

+

mm

))(

(

k k

+

mm

+

11

))

−

β β

]]

aa_k_k...(...( xiiiix )) Fungsi z(

Fungsi z(

ω

) harus terbatas pada domain:) harus terbatas pada domain: -1

-1

≤≤ ω

ω ≤≤

+1 atau 0+1 atau 0

≤≤ θθ ≤≤ ππ

Deret akan berhenti bila nilai

ββ

pers(xii) di pilih bernilai:pers(xii) di pilih bernilai:

(

))

l l m m m m k k m m k k l l l l l l ≤ ≤ = = = = + + = = + + = = 2 2 ,, 1 1 ,, 0 0 ,... ,... 2 2 ,, 1 1 ,, 0 0 1 1 β β

*Nilai diri operator *Nilai diri operator ˆˆ22

L

L adalahadalah l(l+l(l+11 ) ) 22

Fungsi diri operator Fungsi diri operator _ˆ_ˆ22

L L ::

(

)

(

))

( ( ))

( (

))

( ( ))

( (

))

(

( )

θ θ ϕ ϕ

) ( )

( )

(

( ))

θ θ ϕ ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω θ θ π π ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ ,, 1 1 ,, ˆˆ :: .. .. .. 1 1 .. 2 2 1 1 .. .. 1 1 2 2 1 1 ,, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m m l l m m l l l l l l l l l l l l l l m m m m m m m m l l im im m m l l lm lm m m l l Y Y l l l l Y Y L L Diri Diri Nilai Nilai Persamaan Persamaan Legendre Legendre Polinom Polinom d d d d l l P P sekawan sekawan Legendre Legendre Polinom Polinom P P d d d d P P ee P P N N Y Y

+

=

→

−

=

→

−

=

*Normalisasi Fungsi Diri

*Normalisasi Fungsi Diri Y Y _l_lmm

( (

θ θ ,,ϕ ϕ

))

.. Syarat Normalisasi:

(13)

( ( ))

[ [

]]

( (

))

[ [

]]

( (

))

[ [

]]

( (

))

( ( ))

[ [

]]

(

( )

) (

( ))

( (

))

( (

))

(

( )

) (

( ))

( (

))

( (

))

( (

))

(

( )

) (

( ))

( (

))

( (

))

( (

))

( ( ))

** 2 2 1 1 '' 4 4 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 1 1 !! !! .. 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ,, !! !! 2 2 1 1 2 2 '' :: 0 0 ,, '' :: !! !! 1 1 2 2 2 2 )) ...( ...( 1 1 1 1 co coss co coss 1 1 2 2 .. sin sin co coss 2 2 1 1 sin sin 2 2 m m l l m m m m l l im im m m l l m m m m l l lm lm m m l l m m l l m m l l lm lm m m l l lm lm m m l l lm lm m m l l lm lm Y Y Y Y ee P P m m l l m m l l l l Y Y m m l l m m l l l l N N l l l l l l l l m m l l m m l l l l d d P P P P xiii xiii d d P P N N d d P P N N d d P P N N d d d d P P N N

−

=

+

−

+

−

=













+

−

+

=

≠

=

−

+













+

=

−

=

− − − − = = = = = = = = = = = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

ϕ ϕ π π θ θ π π θ θ π π θ θ θ θ π π ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ π π ϕ ϕ θ θ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω θ θ θ θ π π θ θ θ θ θ θ π π ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ π π

Contoh Fungsi Diri

Contoh Fungsi Diri Y Y _l_lmm

( (

θ θ ,,ϕ ϕ

))

::

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y e e Y Y Y Y e e Y Y k keeaaddaaaann Y Y i i i i s siinn 3 3 9 966 5 5 , , s siinn 3 3 2 244 5 5 , , c cooss 2 2 3 3 4 4 5 5 , , s siinn 3 3 2 244 5 5 , , s siinn 3 3 9 966 5 5 , , s siinn 8 8 3 3 , , c cooss 4 4 3 3 , , s siinn 8 8 3 3 , , 4 4 1 1 , , 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

+

=







=

−

=

−

=

−

ϕ

θ

ϕ

θ

π

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

π

ϕ

θ

ϕ

θ

π

ϕ

θ

*Pemilihan sumbu z adalah sembarang dengan nilai diri komponen momentum *Pemilihan sumbu z adalah sembarang dengan nilai diri komponen momentum sudut terhadap arah z yang sembarang tersebut adalah

(14)

*Ni

*Nilai lai dirdirii L Lˆˆ_x_x && L Lˆˆ_y_y

≠

mm _kar_karena_{ena mas}_masing_{ing –}_{– mas}_masing_{ing ope}_operato_rator_r L Lˆˆ x x,, L Lˆˆ y y && LLˆˆ z z tidak tidak

saling komut. saling komut. BUKTI BUKTI

(

))(

(

))

[

z z z z

] [

]

[

Y Y z z

] [

]

[

z z z z

] [

]

[

y y x x

]]

z z x x y y z z y y x x P P Z Z P P Z Z P P X X P P Y Y P P X X P P Z Z P P X X P P Y Y P P X X P P Z Z P P Z Z P P Y Y L L L L ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ .. ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ − − − − + + = = − − − − = =

⇓⇓

( 1)( 1)

⇓⇓

(2)(2) ..

[ [

]]

[ [

]]

[

[ ]

] [ ]

[ ]

0 0 ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ )).. 1 1 (( 0 0 0 0 0 0 0 0 = = + + + + + + = = + + = = z z z z z z z z z z z z Z Z z z z z z z z z z z z z P P P P Y Y X X P P P P X XY Y P P P P X X Y Y X X P P Y Y P P P P Y Y X X P P X X P P Y Y P P X X P P Y Y                  

[ [

]]

[ [

]]

[

[ ]

] [ ]

[ ]

[

[ ]

] [

[

]

] [

[

]]

[

[ ]

] [

[

]

] [

[

]]

[

[ ]

] [

[

]

] [

[

]

[

]]

[ [ ]]

[ [

]]

[

[ ]

] [

[ ]

]

[

[ ]]

[ [

]]

[

[ ]

] [ ]

[ ]

[ [

]]

[ [

L L L L

]]

ii L L tidak tidak komut komut L L ii P P Y Y P P X X ii P P Y Yii P P X Xii P P P P Z Z X X P P P P X XZ Z P P P P X X Z Z P P P P Z Z P P P P Y Y Z Z P P P P Z ZY Y P P P P Z Z Y Y P P P P Y Y P P P P Z Z X X P P X X P P Z Z P P P P Y Y Z Z P P Z Z P P Y Y P P X X P P Z Z P P Z Z P P Y Y L L L L P P X X P P Z Z P P Z Z P P Y Y L L L L P P P P Z Z Z Z P P P P Z ZZ Z P P P P Z Z Z Z P P Z Z P P Z Z P P P P Z Z Z Z P P Z Z P P Z Z P P Z Z P P Z Z z z y y x x z z x x y y x x y y y y ii z z z z y y z z y y z z x x y y z z x x x x z z x x z z x x ii z z z z z z y y z z y y x x z z x x z z z z y y x x z z y y x x z z y y x x z z y y x x y y x x x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y .. ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ 0 0 ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ )).. 2 2 (( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,, ,, ,, ,, 0 0 0 0 0 0 0 0 ,, ,,

⇒

=

•

• =

=

−

=

−

=

+

=

+

=

+

=

+

=

∗

=

+

=

+

=

− −                                                                            

Dengan cara serupa: Dengan cara serupa:

[ [

]]

(

( )

) ( )

( )

(

( ))

(

( )

θ θ ϕ ϕ

)

(

( ))

θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ,, ,, ˆˆ ,, 1 1 ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ 2 2 2 2 m m l l m m l l z z m m l l m m l l y y x x z z x x z z y y Y Y m m Y Y L L Y Y l l l l Y Y L L L L ii L L L L L L ii L L L L      

=

+

=

••

Besar momentum sudut partikel di batasi oleh bilangan diskritBesar momentum sudut partikel di batasi oleh bilangan diskrit l l

( (

l l ++11

))

..

••

Sebuah partikel dalam salah satu keadaan memiliki komponen momentumSebuah partikel dalam salah satu keadaan memiliki komponen momentum sudut arah sumbu z sebesar

(15)

-l, -l+ -l, -l+1,……,0,1,2,………1,……,0,1,2,………l l Contoh: untuk Contoh: untuk l=2l=2 Maka m= -2, -1, 0, 1, 2 Maka m= -2, -1, 0, 1, 2

( (

l l ++11

))

.. l l ₌₌ 66 Momentum sudut Momentum sudut Untuk Untuk l=2l=2

••

Nilai Nilai l l maks = 2≈≈maks = 2

Nilai L= Nilai L= 66

••

Berlaku:Berlaku:

k k ee

s e

s e l l u u r r

u

u n

n t t u

u k k

L L

l l

z z

⇒⇒〈〈

.. .. Nilai

Nilai l l z z tidak mungkin menyamai L artinya momentum sudut L tidak pernah dapattidak mungkin menyamai L artinya momentum sudut L tidak pernah dapat di sejajarkan dengan sumbu z

di sejajarkan dengan sumbu z dan selalu membentuk sudutdan selalu membentuk sudut

θθ

..

( (

11

))

co coss cos cos 1 1 1 1

+

=

− − − − l l l l m m L L l l _z_z θ θ Nilai sudut

Nilai sudut

θθ

akan minimum apabila m terbesar yaitu =akan minimum apabila m terbesar yaitu = l l .. Misal: Misal: l l =2=2

⇒

minmin 11 3355,,3300 )) 1 1 2 2 (( 2 2 2 2 c cooss

=

+

=

−− θ θ

(16)

OPERATOR PENAIK & PENURUN OPERATOR PENAIK & PENURUN

( (

L Lˆˆ₊₊ &&LLˆˆ₋₋

))

Didefinisikan Didefinisikan:: y y x x y y x x L L ii L L L L L L ii L L L L ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ − − = = + + = = − − + +

( (

((

(

))(

(

))

[ [

]]

[ [

]]

[

( (

))

]

] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ [

]]

+ + + + + + + + − − − − + + + + − − − − + +

−

=

+

−

=

+

=

+

=

+

=

→

+

−

=

+

=

−

+

=

+

−

=

+

=

−

+

=

L L L L ii L L L L L L ii L L L L L L L L ii L L L L L L L L L L L L Tinjau Tinjau L L L L L L L L atau atau L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ii L L L L ii L L L L L L L L L L L L L L ii L L L L ii L L L L L L y y x x z z y y z z x x z z y y x x z z Z Z z z z z z z z z z z z z y y x x z z y y x x y y x x y y x x z z y y x x y y x x y y x x ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ 2 2 ˆˆ ,, ˆˆ !! ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2            

(17)

[ [

]]

[ [

( (

))

]]

[

[ ]

] [

[

]]

[ [

]]

[ [

( (

))

]]

[

]

] [

[

]

] [

[

]]

[

]

] [

[

]

[

[ ]

] [

[ ]]

[ [

]]

[ [

]]

[ [

]]

( (

))

[ [

]]

( (

))

mm l l m m l l m m l l z z z z y y x x z z y y z z y y y y z z y y z z z z y y z z x x z z x x z z z z y y x x y y x x y y y y x x z z x x y y x x x x x x z z y y x x x x y y x x y y x x z z Y Y l l l l L L Y Y L L L L Y Y L L L L berlaku berlaku maka maka diatas diatas komutasi komutasi sifat sifat sifat sifat n n Berdasarka Berdasarka C CEEK K L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L sama sama yang yang cara cara dengan dengan L L L L ii L L L L ii L L L L ii L L L L ii L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ii L L L L L L ii L L L L L L L L L L L L L L 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (**) (**) 2 2 (* (*)) 2 2 2 2 2 2 1 1 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ :: .. ,, .. .. .. !! 0 0 ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ 0 0 ? ? ˆˆ ,, ˆˆ 0 0 ˆˆ ,, ˆˆ 0 0 ˆˆ ,, ˆˆ ((**)) :: .. .. .. 0 0 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ                      

+

=

−

→

=

+

=

∴

=

+

−

=

+

=

+

=

+

=

±

=

±

=

± ± ± ± ± ± ± ± ± ± − − − −

[ [

]]

m m l l m m l l m m l l m m l l z z m m l l z z m m l l z z Y Y L L Y Y L L m m Y Y L L Y Y L L L L Y Y L L L L L L Y Y L L L L + + + + + + + + + + + + + + + + = = + + = = + + = = ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ )) 2 2 ((      

⇓⇓

m m l l Y Y L

Lˆˆ++ adalah fungsi diri bagi operator adalah fungsi diri bagi operator L Lˆˆ_z_z dengan nilai diri m di naikkan dengandengan nilai diri m di naikkan dengan

1. 1.

( (

))

mm l l m m l l l l l l L L Y Y Y Y L L L Lˆˆ22 ˆˆ_±_±

=

+

11 22 ˆˆ_±_±

( (

))

mm l l m m l l z

z L L Y Y mm L L Y Y

L

(18)

[ [

]]

m m l l m m l l m m l l m m l l z z m m l l z z m m l l z z Y Y L L Y Y L L m m Y Y L L Y Y L L L L Y Y L L L L L L Y Y L L L L − − − − − − − − − − − − − − − − = = − − = = − − = = ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ )) 3 3 ((      

⇓⇓

m m l l Y Y L

Lˆˆ−− adalah fungsi diri bagi operator adalah fungsi diri bagi operator L Lˆˆ_z_zdengan nilai diri m di turunkan dengandengan nilai diri m di turunkan dengan

1. 1.

Bagaimana dengan

Bagaimana dengan L Lˆˆ±±Y Y _l_lmm ??

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) ( ( )) mm l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l z z m m l l m m l l z z m m l l m m l l m m l l m m l l z z z z m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l m m l l Y Y m m m m l l l l Y Y L L Y Y m m m m l l l l Y Y L L m m m m l l l l m m l l C C m m m m l l l l Y Y Y Y m m Y Y Y Y m m Y Y Y Y l l l l Y Y L L Y Y Y Y L L Y Y Y Y L L Y Y Y Y L L L L L L Y Y C C C C Y Y L L L L Y Y Y Y Y Y C C Y Y L L Y Y L L Y Y m m l l C C Y Y L L Y Y m m l l C C Y Y L L dicari dicari akan akan kompleks kompleks ta ta kons kons Y Y C C Y Y m m l l C C Y Y L L 1 1 1 1 ˆˆ 1 1 1 1 ˆˆ 1 1 1 1 ,, 1 1 1 1 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ,, ˆˆ ,, ˆˆ !! .. .. ta tann :: ,, ˆˆ _ _ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

−

+

=

+

−

+

=

±

−

+

=

−

+

=

−

+

=

−

=

−

=

⇓

±

=

+ + ± ± ± ± ± ± − − + + ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±                            

PARTIKEL dalam MEDAN POTENSIAL SIMETRIS SFERIS dan ATOM PARTIKEL dalam MEDAN POTENSIAL SIMETRIS SFERIS dan ATOM

HIDROGEN HIDROGEN Pembahasan:

Pembahasan:

1.

1. Gerak partikel karena pengaruh medan potensial sferisGerak partikel karena pengaruh medan potensial sferis

⇒

potensial potensial V V

( ( ))

r r _yang_yang

kuat medannya pada suatu titik hanya bergantung pada r dari titik pusat. kuat medannya pada suatu titik hanya bergantung pada r dari titik pusat.

( (

))

mm l l m m l l z

z L L Y Y mm L L Y Y

L