REGULARISASI SISTEM SINGULAR DENGAN OUTPUT UMPAN BALIK u = Fy + v

(1)

REGULARISASI SISTEM SINGULAR DENGAN OUTPUT UMPAN BALIK u = Fy + v

(Regularization of a Singular System by Feedback Output u = Fy + v )

ELVINUS RICHARD PERSULESSY

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Pattimura Ambon Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti Ambon

ABSTRACT

(E,A,B,C,D) as a singular system is given. E, A, B and C are real constant matrices if E=I, I is a identify matrix, then (E,A,B,C) is a normal system. A unique solution of a singular system exists if (E,A) is regular. A singular system which is regular and the index is not more than one can be simplified to a normal system.

The regularization of a singular system by feedback output u = Fy + v is investigated in this paper. Furthermore a sufficient and necessary condition of the existence of F such that (E, A+BFC) is regular and the index is not more than one is represented.

Keywords : singular system, regular system, normal system

PENDAHULUAN

Diberikan sistem linier singular time invariant

( )

t

C

x

( )

t

y

t

u

B

t

x

A

t

x

E

=

+

=



dengan variabel state

x

( )

t

∈

R

n , variabel input

( )

m

R

t

u

∈

, variabel output

y

( )

t

∈

R

p,

E

,

A

∈

R

nxn, nxm

R

B

∈

,

C

∈

R

pxn dan

m

≤

n

,

p

≤

n

. Sistem (1) dapat ditulis sebagai

(

E

,

A

,

B

,

C

)

.

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari sistem (1) terjamin jika matriks pencil

(

E

,

A

)

regular, yaitu terdapat skalar

α

∈

C

sehingga

α

E

−

A

≠

0

. Menurut Dai (1989:7), kondisi yang diperlukan agar matriks

(

E

,

A

)

regular adalah dapat ditemukannya dua matriks tak singular

Q

dan

P

yang memenuhi

(

)

(

1 ₂

)

,

1 n n

I

A

diag

QAP

N

I

diag

QEP

=

dengan 1 1 1 2 1

,

xn n

R

A

n

+

=

∈

dan

_N

∈

_R

n2xn2 adalah matriks nilpoten berindeks

h

yaitu

0 ,

0

1

≠

=

h− h

N

. Indeks sistem (1), dilambangkan dengan ind

(

E

,

A

)

, didefinisikan sebagai indeks matriks

N

.

Diberikan umpan balik berbentuk v

Fy

u = + ...(3) Jika (3) disubsitusikan ke (1) diperoleh sistem

(

A BFC

)

x Bv x

E= + + ...(4) dengan matriks pencil

(

E,A+BFC

)

.

Sistem (1) yang regular dan berindeks tidak lebih dari 1, mempunyai penyelesaian

( )

      = t x t x P t x 2 1 _dengan

( )

_{( )}

( )

t

B

u

x

d

u

B

e

x

e

t

x

t t A t A 2 2 0 1 0 1

,

1 1

−

=

∫

+

=

−τ

_τ

dan syarat awal

x

₁

( )

0 =

x

₀.

Selanjutnya akan ditinjau suatu kondisi yang menjamin eksistensi matriks

F

sehingga

(

E

,

A

+

BFC

)

regular dan ind

(

E

,

A

+

BFC

)

≤

1

.

LANDASAN TEORI

Jika

A

adalah matriks berukuran

mxn

dengan rank

r

_a maka terdapat

S

_A yaitu matriks yang kolom-kolomnya membangun ruang null

A

dan

S

_A merupakan matriks dengan rank kolom penuh. Untuk matriks

A

terdapat

R

dan

S

sedemikian sehingga













=

0

a r

I

RAS

. Dapat dipilih













=

− − a r n A

I

S

1

0

. Defenisi 2.1 (Goldberg, 1991: 391)

Misalkan

A

matriks real berukuran

m n

×

.

Bilangan real taknegatif

σ

disebut nilai singular dari matriks

A

jika ada vektor taknol

u

∈

R

mdan

v

∈

R

n

sehingga

Av

=

σ

u

dan

A u

T

=

σ

v

.

Teorema 2.2 (Goldberg, 1991: 395)

Jika

A

matriks real berukuran

m n

×

maka terdapat matriks orthogonal

U

∈

R

m m× dan

V

∈

R

n n×

sedemikian hingga T

A USV

=

dengan

S

∈

R

m n× berbentuk

(

, 0

)

(

1, 2, 3, , r, 0, , 0

)

S=diag ∑ =diag σ σ σ σ 

dimana

σ σ

1

,

2

,



,

σ

radalah nilai-nilai singular dari

A

. Lemma 2.3 (Chu et.al, 1998)

………..……….(1)

(2)

Matriks pencil

(

E A regular

,

)

dan

ind E A

(

,

)

≤

1

jika dan hanya jika

[

E

]

rank E AS

=

n

.

Lemma 2.4 (Chu et.al, 1998)

Jika

E

∈

R

n n× dan

B

∈

R

n m× dan

rank B

( )

= ≤

r

_b

n

maka terdapat matriks-matriks orthogonal

Q

,

U

dan

V

sedemikian hingga 1 21 22 0 0 0 0 0 0 UEV ∑     = ∑_ ∑ _     , 0 0 0 0 0 B UBQ     = ∑_ _     dengan

_E

₂₂

∈

_R

r x rb (e+ −rb reb)

mempunyai rank kolom penuh dan 1 ( ) ( ) eb b eb b r r x r r

R

− −

∑ ∈

, r xrb b B

R

∑ ∈

adalah matriks diagonal definit positif.

Regularisasi Sistem Singular dengan Output Umpan Balik u=Fy+v. Jika

[

]

eb

r

=

rank E B

, ec E r rank C   = _{ }   , rb=rank B

( )

dan 0 ebc E B r rank C   = _ _  

maka generalisasi dari Lemma 2.4 adalah

Teorema 3.1

Diberikan

E

∈

R

n n× ,

B

∈

R

n m× ,

C

∈

R

p n× .

Terdapat matriks-matriks orthogonal

U

,

V

,

Q

dan

W

sedemikian hingga 1 21 2 23 31 33 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 UEV ∑   _∑ _{∑ ∑}      = ∑ ∑ _∑        , 1 2 3

0

0 B

UBQ

B

















=

















11 21

0

C

WCV

C

∑





= 







Dengan

∑ ∑ ∑

1

,

2

,

C matriks yang masing-masing berukuran

(

r

eb

−

r x r

b

) (

eb

−

r

b

)

,

(

r

b

+ −

r

ec

r

ebc

) (

x r

b

+ −

r

ec

r

ebc

)

dan

(

r

ebc

−

r

eb

) (

x r

ebc

−

r

eb

)

,

E

33 matriks dengan rank baris

penuh berukuran

(

r

_e

+

r

_ebc

−

r

_eb

−

r

_ec

) (

x r

_ebc

−

r

_eb

)

,

1 2 3

T T T

B









adalah matriks taksingular berukuran

b b

r x r

, dan



_

C

₁₁T

C

₂₁T



_

adalah matriks berukuran

(

eb b

)

.

p x r

−

r

Bukti :

Diberikan

E

∈

R

n n× ,

B

∈

R

n m× .

Menurut Lemma 2.4, terdapat matriks-matriks orthogonal

ˆ

_,

ˆ

U V

dan

Q

yang masing-masing berukuran

n x n

,

n x n

dan

m x m

sehingga 1 21 22

0

0 ˆ ˆ

₀

0

0 UEV

∑









= ∑

_

∑

_









,

0

0 ˆ

₀

0

B

UBQ









= ∑

_

_









dengan

ˆ

₂₂ r x rb (e rb reb)

E

∈

R

+ − matriks dengan rank kolom penuh,

∑ ∈

₁

_R

(reb−r x rb) (eb−rb) dan r xrb b B

R

∑ ∈

. Misalkan

V

ˆ

= 



V

ˆ

₁

V

ˆ

₂

_



dengan

_V

ˆ

₁

∈

n x r(eb−rb) , ( ) 2

ˆ

n x n reb rb

V

∈

− + ,

E

ˆ

= 



E

ˆ

₂₂

0 

_

dan

B

ˆ

=

CV

ˆ

₂ dengan ( )

ˆ

r x n rb eb rb

E

∈

− + dan

_B

ˆ

∈

p x n r( − +eb rb) .

Menurut Lemma 2.4, terdapat matriks orthogonal

U

*

berukuran

r x r

_b _b,

V

* matriks

(

n r− _eb+r x n r_b

) (

− _eb+r_b

)

dan

W

matriks

pxp

sehingga

( )

2 * * 23 33 0 0 ˆ ₀ 0 0 0 T T T T T T V E U ∑    = ∑_ ∑ _     atau 2 23 * * 33 0 ˆ ₀ ₀ 0 0 0 U EV ∑ ∑     =_ ∑ _    

( )

*

( )

* 0 0 ˆ ₀ 0 0 T T T T C V E U     = ∑_ _     atau _ˆ * 0 0 0 0 0 C WBV =  ∑ _   dengan matriks 33 T

E

mempunyai rank kolom penuh dan berukuran

(

)

ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ E rankB x rankE rankB rank

B

  

 + −  

 _{ }_{ }

 

matriks

∑

_C berukuran

rankB x rankB

ˆ

ˆ.

Jika diambil

( )

1 2 1 ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ C E y rank rank B B z rank B y rank E y   =  −     = = −

(3)

maka 1 1 2 y x y

∑ ∈

, z x zC C C

∑ ∈

adalah matriks-matriks diagonal definit positif dan 2

33 C

z x y T

E

∈

matriks dengan rank kolom penuh.

Jadi, jika diambil

U

=

diag I U I U

(

,

*

,

)

ˆ

dan

(

*

)

ˆ

_,

V

=

V diag I V

maka * * 0 0 0 ˆ ˆ 0 0 0 0 0 I I UEV U UEV V I       =_ _ _ _       1 1 ₂₁ ₂ ₂₃ * * * 21 31 33 41 0 0 0 0 ₀ ˆ ˆ ₀ ₀ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U E U EV ∑     ∑   _∑ ∑ ∑ _     =_ _= ∑ ∑     _∑         * * * 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B B I UBQ U UBQ I I U I U     =               =_ _{ }∑ _             =_ ∑ _    

Karena

U

* orthogonal dan

∑

_B taksingular maka

1 * 2 3 B B U B B     ∑ =      

taksingular dan berukuran

r x r

_b _b.

Selanjutnya 11 * 21

0

0 ˆ

0

C

I

WCV

C

V

∑









=

_

_

_{= }

_



 



dengan ₁ 11 21

ˆ

C

WCV

C





=  





matriks berukuran

(

eb b

)

p x r

−

r

. Karena 0 ˆ ₀ ˆ ₀ 0 0 0 ebc E B r rank C E B U V rank C I Q   = _ _       = _ __ __ _       1 21 2 1 1 1 0 0 0 ˆ ₀ 0 0 0 0 ˆ ˆ ₀ ₀ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ 0 0 0 ˆ B B B E E rank CV B rank B

rank rank rankB

∑     ∑   = _ _       ∑    _∑    = _ _       = ∑ + ∑ +

maka

z

_c

=

rank B

ˆ

=

r

_ebc

−

(

r

_eb

−

r

_b

)

− =

r

_b

r

_ebc

−

r

_eb

.

Karena 1 21

0 ˆ

ˆ

0

0 UEV

E

∑









= 











berakibat 1

ˆ

e

r

=

rank

∑ +

rank E

.

Selanjutnya

rank E

ˆ

= −

r

e

rank

∑ = −

₁

r

e

r

eb

+

r

b

.

Diperoleh, 1 21 1 1 ˆ ₀ ˆ 0 0 ˆ ˆ 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ec E U E r rank rank V C I C E E rank CV B E rank rank B       = _{ }= _ __{ }      ∑       = _ _         = ∑ +       Akibatnya, ₁

ˆ

.

ˆ

ec ec eb b

E

rank

r

rank

r

B

 

=

−

∑ =

−

+

 

 

Jadi diperoleh

( )

1

ˆ

.

ec eb b ebc eb ec b ebc

E

y

rank

rank B

B

r

 

=

 

−

 

 

=

−

+ −

+

=

+ −

( )

2

ˆ

1 e eb b ec eb ebc eb ec ebc

y

rank E

y

r

=

−

= −

+ −

−

+

=

−

Karakterisasi rank matriks

E

+

BGC

diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 3.2

Jika

E

∈

R

n n× ,

B

∈

R

n m× ,

C

∈

R

p n× , maka untuk sebarang bilangan bulat

r

yang memenuhi

(4)

{

}

min

,

eb ec ebc eb ec

r

−

r

−

r

≤ ≤

r

ada

G

₀

∈

R

m x p sehingga

(

0

)

rank E

+

BG C

=

r

Atau, ekuivalen dengan

(

)

{

rank E

+

BGC

\

G

∈

R

m x p

}

=

S

ebc

dimana

S

ebc

=

{

r r Z r

|

∈

,

eb

− −

r

ec

r

ebc

≤ ≤

r

min

(

r r

eb

,

ec

)

}

.

Bukti :

Menurut teorema 3.1, untuk

E

∈

R

n x n ,

B

∈

R

n m× , p n

C

∈

R

× terdapat matriks orthogonal

U

,

V

,

Q

dan

W

sehingga 1 21 2 23 31 33 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 UEV ∑   _∑ _∑ _∑      = ∑ ∑ _∑        ; 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 B UBQ B B         =         11 21 0 0 0 0 0 C C WCV C ∑   =    

Untuk sebarang

G

∈

R

m x p , misalkan

1 2 3 4

ˆ

T T

G

Q GW

G





=

= 











maka

(

)

[

]

[

]

0 0 0 0 T T I I rank E BGC rank E B G C I I

rank UEV UBQ

Q GW WCV     + = _ _{  }         = _ _{ } _     1 21 1 1 11 1 2 21 2 23 1 1 31 2 1 11 2 2 21 33 2 1 41 3 1 11 3 2 21 3 1 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ₀ ˆ ˆ ₀ ˆ ₀ ˆ ˆ ₀ ˆ ₀ 0 0 0 0 C C C B G C B G C B G C rank B G C B G C B G C B G C B G C B G C ∑   _{∑ +} ₊ _∑ _{∑ +}      = _∑ + + ∑ + _ _{∑ +} ₊       

Karena

∑

1 dan

∑

2 tak singular maka diperoleh

(

)

1 2 33 2 1 3 1

0

0 ˆ

0

0 ˆ

0

C C

rank E BGC

rank

B G C

∑







_∑











+

=

∑ +





















Menurut teorema 3.1,

rank

∑ =

₁

r

_eb

+

r

_b dan

2 b ec ebc

.

rank

∑ = +

r

−

r

Akibatnya,

(

)

33 2 1 1 2 3 1 33 2 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ C C C eb ec ebc C B G C

rank E BGC rank rank rank

B G C B G C r r r rank B G C ∑ +  + = ∑ + ∑ +       _{∑ +}  = + − +       Selanjutnya, 33 2 1 2 ₁ 3 3 1

ˆ

C C C

B G C

B

A

G

B

B G C



_{∑ +}



_{ }

= +

∑





_{ }

 









dengan

ˆ

33

0 E

A

=  









berukuran

(

r

ebc

−

r

ec

) (

x r

ebc

−

r

eb

)

.

Karena

_



B

₁T

B

₂T

B

₃T

 =

_

T

U

*

∑

_B dan

∑

_C taksingular maka dipilih

(

)

( )

1 * 1 1 1 * 1 0 0 ˆ ˆ 0 0 ˆ B C T C G U X A U X A − ₋ − −     = ∑ _ − _∑           = ∑ _ − _∑      

Dengan (rebc rec) (x rebc reb)

X

∈

R

− − adalah suatu matriks yang memenuhi

(

)

0 ≤ =

i rank X

≤

min

r

_ebc

−

r r

_ec

,

_ebc

−

r

_eb

Akibatnya, dari (6), (7) dan 1

2

X





=  





diperoleh

( )

33 2 1 3 1 2 1 * 1 3 1 1 1 2 2 1 33 3 3 2 1 33 2 ˆ ˆ 0 0 ˆ ˆ 0 0 0 ˆ 0 0 ˆ C C T B C C B G C rank B G C B rank A U B X A B B I rank A B B X E I B B X X E rank A X − − − ∑ +                  = _ + ∑ _ − _∑ ∑ _           _{    } _   _{     } _ =  + _{     } − _    _{    } _         −   = _{+ } _   rank X i       = =

Akibatnya dari (8) dan (9) diperoleh

(

)

33 2 1 3 1 ˆ 0 ˆ min , C C ebc ec ebc eb B G C rank B G C r r r r _{∑ +}  ≤       ≤ − −

Dari (5), (10) dan misal

r

=

rank E

(

+

BGC

)

diperoleh

(

)

0 ≤ − − +

r r

_eb

r

_ec

r

_ebc

≤

min

r

_ebc

−

r r

_ec

,

_ebc

−

r

_eb

Dengan kata lain,

(

)

min

,

eb ec ebc ebc ec ebc eb

r

+ −

r

≤ ≤

r

−

r r

−

r

Diberikan 1 11 0 0 0 0 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 C I I V V C I I −       = − ∑      maka diperoleh : …(5) ..(6) ………(7) ………(8) ………..………(9) ………(10)

(5)

1. 1 11 0 0 0 0 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 C I I UEV UEV C I I −       = − ∑      1 21 2 23 31 33 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∑   _∑ _∑ _∑      = ∑ ∑ _∑        dengan

E

ˆ

₂₁

=

E

₂₁

−

E

₂₃

∑

_C−1

C

₁₁ dan 1 31 31 33 11

ˆ

C

E

=

E

−

E

∑

−

C

2. 1 11 0 0 0 0 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 C I I WCV WCV C I I −       = − ∑      11 21 0 0 0 0 0 C C C ∑   =     Selanjutnya 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 51 52 53 54 ˆ A A A A A A A A UAV A A A A A A A A A A A A         =         Teorema 3.3 Jika

[

]

0 EC EC E AS rank E AS B rank n C   = _ _=  

dengan

S

EC matriks yang kolomnya membangun ruang

null dari

E

C

 

 

 

maka

A

54 dan 1 14 31 34 41 44 54 21 ˆ 0 0 A E A E A A C ∑                

masing-masing matriks dengan baris penuh dan rank kolom penuh.

Bukti

Diketahui

rank E

[

AS

_EC

B

]

=

n

, maka

1 1 1 1 14 21 2 23 24 1 31 33 34 2 41 44 3 54 ˆ ˆ ˆ ₀ ₀ ˆ ˆ ₀ ₀ 0 0 ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 0 ˆ ₀ ₀ ˆ ₀ ₀ ₀ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . EC EC EC rank E AVV S B V rank U E AVV S B I Q rank UEV AVV S UBQ

A E E A B rank E E A B E A B A n − − −           = _ __ _       = _ _ ∑    _∑      =         =

Karena

R

= 



B

₁T

B

₂T

B

₃T



_

dan

∑

₁ taksingular dengan rank r_b dan rank r_eb+r_b, maka diperoleh

1 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rank R n A ∑    _{ =}       atau 1 54

rank

∑ +

rank A

+

rank R

=

n

.

Akibatnya,

rank A

54

= −

n r

eb atau

A

54 matriks dengan

rank baris penuh, dengan

A

54 matriks berukuran

(

n r

−

eb

) (

x n r

−

eb

)

. Karena diketahui

0

EC

E

AS

rank

n

C





=









maka 1 1 1 1 14 21 2 23 24 31 33 34 41 44 54 21

ˆ ˆ

0 ˆ ˆ

ˆ

0

0 ˆ

ˆ ˆ

ˆ

₀

0

0 ˆ

₀

ˆ

₀

0

EC EC EC C

E

AVV S

rank

C

U

E

AVV S

V

rank

W

C

I

UEV

UAVV S

rank

WCV

A

E

A

E

A

rank E

A

C

− − −





















 





=



_

_

_

_

_{ }

_



_



 



















=

_





_













∑









∑







=

_



_∑







.

n



=

(6)

Karena

∑

₂ dan

∑

_C tak singular maka 1 14 21 2 23 24 31 33 34 41 44 54 21 0 0 0 ˆ ₀ ˆ ₀ ₀ . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C A E E A E E A rank _E _A n A C ∑     ∑       =        ∑        Akibatnya, 1 14 31 34 2 41 44 54 21 ˆ 0 0 C b ec eb A E A

rank E A n rank rank A C n r r r ∑        _{ = −} ∑ − ∑         = − − − Karena matriks 1 14 31 34 41 44 54 21 ˆ 0 0 A E A E A A C ∑                 berukuran

(

n

+ +

p

r

eb

− −

r

b

r

ec

) (

x n r

− −

b

r

ec

−

r

eb

)

maka

matriks tersebut merupakan matriks dengan rank kolom penuh.

Selanjutnya, kondisi yang menjamin eksistensi umpan balik

u

=

Fy

+

v

diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 3.4

Diberikan

E

,

A

∈

R

n n× ,

B

∈

R

n m× ,

C

∈

R

p n× ,

m

≤

n

,

p

≤

n

maka terdapat

F

∈

R

n p× sedemikian sehingga

(

E A

,

+

BFC regular

)

dan

(

,

_

)

1 ind E A

+

BFC

≤

jika dan hanya jika

[

]

.

0

E E E

E

AS

rank E

AS

B

rank

n

CS





=

_

_

=





Bukti Menurut Lemma 2.3 :

(

E A BFC

,

+

)

regular dan ind

(

E A

,

+

_

BFC

)

≤

1 (

)

(

)

[

]

[

]

(

0 )

E E E E E

rank E

A BFC S

n

rank E

AS

BFCS

n

rank

E

AS

BF

CS

n





⇔

_

+

_

=





⇔

_

+

_

=

⇔

+

=

Menurut teorema 3.2, terdapat

F

sedemikian hingga memenuhi

rank

(

[

E

AS

_E

]

+

BF

[

0 CS

_E

]

)

=

n

ekuivalen dengan

[

]

min , 0 E EC E E AS n rank E AS B rank CS    ≤        ...(11) dan

[

]

0 0 0 . EC E E E E rank E AS B E AS rank CS E AS B rank CS n +   −           ≤

Dari (10) menyatakan bahwa n≤rank E

[

AS_EC B

]

dan 0 E E E AS n rank CS   ≤ _ _  .

Karena

E

berukuran

nxn

maka

[

EC

]

rank E AS B ≤n dan _. 0 E E E AS rank n CS   ≤     Terbukti bahwa

[

]

. 0 E E E E AS rank E AS B rank n CS   = _ _=   KESIMPULAN

Dari pembahasan di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

Untuk sistem singular

( )

ˆ

Ex t

Ax t

Bu t

y t

Cx t

=

+

=

dengan

E A

,

∈

R

n n× ,

B

∈

R

n m× ,

C

∈

R

p n× ,

m

≤

n

,

p

≤

n

dan

r

_ec

≤

r

_eb, berlaku :

terdapat matriks

F

∈

R

mxp sedemikian sehingga

(

E A BFC regular, +

)

, ind E A

(

, +_BFC

)

≤1 jika dan

hanya jika

[

]

.

0

E EC E

E

AS

rank E

AS

B

rank

n

CS





=

_

_

=





DAFTAR PUSTAKA

Chu, D. L., Chan, H. C., Ho, D. W. C. Regularization of Singular Systems by Derivative and Proportional Output Feedback SIAM J. Matrix Anal. Appl., 19 (1998), pp. 21-38.

Cullen, C. G. 1996. Matrices and Linear Transformations. London : Addison-Wesley Publishing Company. Dai, L. 1989. Singular Control Systems, Lecture Notes in

Control and Information Sciences 118. Berlin : Springer-Verlag.

Goldberg, J. L. 1991. Matrix Theory with Application. United States of America: McGraw-Hill Inc. Olsder, G. J. 1944. Mathematical System Theory.