BAB II LANDASAN TEORI

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Prinsip Dasar Gravitasi Hukum Newton

Landasan dari aplikasi metoda gayaberat adalah Hukum Newton tentang gravitasi bumi yaitu jika dua buah benda dengan massa tertentu (m) dipisahkan oleh jarak tertentu, maka terdapat gaya tarik menarik (F) antara kedua benda tersebut. Besar gaya tarik menarik suatu benda terhadap bumi dengan jarak tertentu (R) dapat dituliskan sbb:

2 R GMm

F = (2.1-1)

dimana : M adalah massa bumi (kg)

G adalah konstanta gravitasi universal yaitu 6.67 x 10-11 m-3kg-1s-2.

Percepatan Gravitasi

Hukum Newton menyatakan bahwa sebuah gaya (F) adalah hasil massa dikalikan dengan percepatan. Bila percepatan tersebut dalam arah vertikal akibat gravitasi maka percepatan gravitasinya dapat dihitung sbb :

2 2 R GM g mg R GMm F = = = (2.1-2)

dimana : g adalah percepatan gravitasi (mGal atau 1cm/s2) R adalah jari-jari bumi.

Potensial Gravitasi

Suatu massa dalam sistem ruang akan menimbulkan medan potensial di sekitarnya. Medan potensial untuk gaya berat bersifat konservatif, artinya usaha yang dilakukan dalam suatu medan gaya berat tidak tergantung pada lintasan yang ditempuhnya tetapi hanya tergantung pada posisi awal dan akhir. Persamaannya diberikan sbb:

) ( ) ( ) ( 2 r g m r F r U = = ∇ (2.1-3)

Potensial gaya berat U di permukaan, dengan asumsi bumi bersifat homogen dan berbentuk bola dengan jari-jari R diberikan oleh :

R M G r dr GM dr g r U R R = − = =

∫

∫

∞ ∞ 2 . ) ( (2.1-4)

2.2. Koreksi dalam Metoda Gayaberat

Anomali gayaberat merupakan perbedaan antara nilai gayaberat hasil observasi terhadap suatu titik base atau referensi. Hasil pengukuran gayaberat pada suatu stasiun dipengaruhi oleh beberapa faktor sedangkan yang dibutuhkan adalah variasi densitas. Bumi pada kenyataannya lebih mendekati bentuk spheroid, relief permukaannya tidak rata, berotasi, ber-evolusi dalam sistem matahari serta tidak homogen, sehingga variasi gayaberat disetiap titik dipermukaan bumi dipengaruhi oleh berbagai faktor :

1. Lintang 2. Ketinggian 3. Topografi 4. Pasang surut

5. Variasi densitas bawah permukaan Berbagai koreksi yang perlu dilakukan yaitu : a. Koreksi Spheroid dan Geoid

Bentuk bumi lebih mendekati bentuk spheroid, sehingga digunakan spheroid referensi sebagai pendekatan untuk muka laut rata-rata dengan mengabaikan efek benda diatasnya. Formula yang digunakan untuk menghitung nilai gayaberat teoritis pada lintang (φ) tertentu yaitu

g(φ) = 9,78031846 ( 1+ 0.005278895 sin 2_{φ + 0.000023462 sin}4_{φ ) m/s}2 _(2.2-1)

Dimana : φ = sudut lintang dalam radian

Geoid adalah suatu permukaan equipotensial yang dianggap sebagai muka air laut rata-rata dimana adanya efek elevasi di daratan, depresi dibagian lautan dan efek variasi rapat massa lainnya dimasukkan dalam perhitungannya. Sehingga kedudukan permukaan geoid ini diatas spheroid referensi pada daratan (sebagai efek elevasi) dan dibawah spheroid referensi pada lautan (sebagai efek depresi lautan)

b. Koreksi Pasang Surut (Tidal)

Adanya benda-benda angkasa akan mempengaruhi pembacaan anomali gayaberat di permukaan sehingga perlu dikoreksi untuk menghilangkan efek–efek benda langit seperti bulan dan matahari.

3

2 2 2 2

1 1

( ) 3 sin sin sin 2 sin cos cos cos cos 2

3 3 c Um G r t t R δ φ φ δ φ δ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟ ⎢ ⎜} − _⎟⎜ − _⎟− + _⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎦ (2.2-2) Dimana : Φ : lintang δ : deklinasi

t : ‘ moon hour angle’ c : jarak rata-rata ke bulan

c. Koreksi Apungan (Drift)

Koreksi ini sebagai akibat adanya perbedaan pembacaan gravity dari stasiun yang sama pada waktu yang berbeda, yang disebabkan karena adanya guncangan pegas alat gravimeter selama proses transportasi dari satu stasiun ke stasiun lainnya. Sehingga koreksi drift untuk pembacaan pada waktu tn dengan n = 1,…N, dirumuskan

Drift = (t t ) t t g g t n t N t N ₋ − − (2.2-3) Titik 1 dan N merupakan titik awal dan akhir yang sama dan biasa juga disebut sebagai titik base station.

d. Koreksi Udara Bebas (Free-Air Correction)

Bentuk topografi bumi yang tidak datar memungkinkan stasiun pengukuran gayaberat berada pada posisi atas atau bawah dari spheroid referensi. Untuk itu perlu dilakukan koreksi agak posisi stasiun seakan-akan sama dengan spheroid referensi yang dikenal dengan Koreksi Udara Bebas. Koreksi ini mengukur elevasi stasiun dengan asumsi tidak ada batuan atau suatu massa diantaranya. Besar faktor koreksi (FAC) untuk

daerah equator hingga lintang 450 atau -450 adalah -0,3085 mGal/m. Sehingga Free Air Anomaly (FAA) yaitu

FAA(R+h) = gobs – g(R) + 0,3085h (2.2-4)

e. Koreksi Bouguer (Bouguer Correction/BC)

Koreksi ini dilakukan dengan menggunakan pendekatan benda derupa slab tak berhingga yang besarnya diberikan oleh persamaan :

BC = 0,04188hρ (2.2-5)

Dimana : h adalah elevasi dan ρ adalah massa jenis.

Setelah BC diberikan, anomaly gravity menjadi Simple Bouguer Anomaly yaitu

SBA = FAA – BC (2.2-6)

f. Koreksi Medan (Terrain Correction/TC)

Koreksi ini sebagai akibat adanya pendekatan bouguer. Bumi tidaklah bulat tapi berundulasi sesuai topografinya. Hal ini yang bersifat mengurangi SBA sehingga efek gayaberat blok-blok topografi yang tidak rata harus ditambahkan terhadap SBA menjadi Complete Bouguer Anomaly (CBA) yaitu

CBA = SBA + TC (2.2-7)

TC adalah Terrain Correction dengan persamaan

TC = 0,04191

n

ρ

₍

r2-r1 + r₁2 +z2 - r₂2 +z2

)

(mGal) (2.2-8) Dimana : n adalah jumlah partisi kompartemen yang digunakan

r1 dan r2 adalah radius inner dan outernya (meter)

z adalah modulus dari perbedaan elevasi antara stasiun dengan elevasi rata-rata segmen

2.3. Anomali Bouguer

Perhitungan koreksi diatas akan menghasilkan koreksi akhir yaitu Complete Bouguer Correction (CBA) yang persamaannya secara umum yaitu :

2.4. Estimasi Rapat Massa

Salah satu metoda yang dapat digunakan dalam estimasi rapat massa yaitu Metoda Nettleton. Metoda ini didasarkan pada Koreksi Bouguer dan Koreksi Medan. Secara kualitatif, nilai densitas yang dipilih adalah yang paling sedikit menunjukkan korelasi dengan topografi. Untuk contoh pada gambar 2.1, nilai densitas terbaik yaitu 1,9 gr/cm3.

Gambar 2.1 Contoh metoda nettleton secara kualitatif (Telford, 1990).

Secara kuantitatif, estimasi rapat massa permukaan dapat ditentukan dengan menerapkan korelasi silang antara perubahan elevasi terhadap suatu referensi tertentu dengan anomali gayaberatnya yang sesuai dengan persamaan :

∑

∑

= = = _N i i N i i i h h g k 1 2 1 ) (δ δ δ (2.4-1)

dimana N adalah jumlah stasiun pada penampang tersebut.

2.5. Analisa Spektrum

Analisa spektrum perlu dilakukan untuk estimasi kedalaman sumber anomali dan mengetahui lebar jendela jika kita melakukan filtering. Hal itu dilakukan dengan melakukan transformasi fourier terhadap anomali gaya berat pada lintasan yang kita pilih dimana transformasi Fouriernya adalah sbb :

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = r F U F( ) γ μ 1 dan ( ) k e r F z z k 0 ' 2 1 ₌ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _π (2.5.1) dimana, U = potensial gaya berat γ = konstanta gaya berat

μ = anomali rapat massa r = jarak sehingga persamaannya menjadi :

( ) k e U F z z k 0 ' 2 ) ( − = πγ μ (2.5.2)

Sehingga transformasi Fourier anomali gaya berat pada lintasan yang kita pilih adalah :

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = r F z r z F g F z 1 1 ) ( μ γ μ γ ( ' 0 2 ) ( k z z z e g F = πγ μ − ) (2.5.3)

dimana gz = anomali gaya berat k = bilangan gelombang z 0 = ketinggian titik amat z = kedalaman benda anomali

Bila distribusi rapat massa bersifat random dan tidak ada korelasi antara masing-masing nilai gaya berat, maka : μ=1, sehingga hasil transformasi Fourier anomali gaya berat menjadi : ( ') 0 z z k e C A = − (2.5.4)

dimana A = amplitudo dan C = konstanta.

Dengan me-logaritma-kan spektrum amplitudo pada persamaan (2.5.4) maka akan dihasilkan persamaan garis lurus. Komponen k menjadi berbanding lurus dengan spektrum amplitudo. k z z LnC LnA= +( ₀ − ') (2.5.5)

Melalui regresi linier terhadap persamaan garis lurus diatas, diperoleh batas antara orde satu (regional) dengan orde dua (residual). Dari hasil regresi ini akan didapatkan nilai kedalaman untuk tiap-tiap anomali.

Gambar 2.2 Kurva Ln A dengan K K

Zona regional

Zona noise

Zona residual

Batas zona regional-residual

Ln A

2.6.Second Horizontal Derivative (SHD)

Analisa Second Horizontal Derivative dapat menggambarkan sumber-sumber anomali yang bersifat dangkal/lokal. Analisa ini juga dapat digunakan untuk menentukan jenis struktur bawah permukaan seperti patahan naik atau turun, intrusi atau cekungan. Analisa ini sesuai dengan persamaan Laplace’s untuk anomali gayaberat di permukaan yang diberikan sebagai berikut :

0 2_{Δ =} ∇ g 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ Δ ∂ + ∂ Δ ∂ + ∂ Δ ∂ z g y g x g (2.6.1) Sehingga bila kita asumsikan turunan kedua arah y mempunyai nilai konstan maka persamaannya menjadi : 2 2 2 2 x g z g ∂ Δ ∂ − = ∂ Δ ∂ (2.6.2) Sehingga Second Horizontal Derivative dari suatu anomali gayaberat permukaan adalah sama dengan negatif dari derivative orde dua vertikalnya.

Berikut merupakan contoh perhitungan sederhana dari metoda second horizontal derivative pada suatu lintasan :

Kriteria diatas dapat kita buktikan dengan membuat model sintetis lalu dilakukan analisa SHD pada model itu. Pembuatan model sintetis dengan menggunakan Grav2D. Berikut merupakan contoh model sintetis beserta hasil analisa SHD nya untuk kasus patahan naik dan patahan turun.

Dari analisa Second Horizontal Derivative (SHD) didapatkan kriteria SHD untuk patahan naik dan turun yaitu :

2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 x g g g x g x x g g x g g x g x g g x g i i i i i i i i i Δ − + = ∂ Δ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ Δ − − Δ − Δ ∂ Δ − = ∂ Δ − + − + + ∂ Δ ⎠ ⎝ = ∂ ∂

Nilai g1 hingga gn merupakan nilai anomali bouguer untuk setiap stasiun pengukuran yang memiliki jarak tertentu (x1-xn) dengan spasi pengukuran (∆x) tertentu pula. Maka second horizontal derivativenya dapat kita tuliskan sbb :

2. Untuk patahan naik : 1. Untuk patahan turun :

(2.6.3) min 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ Δ ∂ 〈 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ Δ ∂ x g x g maks min 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ Δ ∂ 〉 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ Δ ∂ x g x g maks ` (2.6.5) (2.6.4)

Second Horisontal Derivative -8.E-07 -6.E-07 -4.E-07 -2.E-07 0.E+00 2.E-07 4.E-07 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 meter m G a l/m 2

Second Horisontal Derivative

-4.E-07 -2.E-07 0.E+00 2.E-07 4.E-07 6.E-07 8.E-07 0 2000 4000 6000 8000 10000 meter m G a l/m 2 Bouguer Anomaly -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 meter mG a l Bouguer Anomaly -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 meter mG a l

• Untuk kasus patahan turun

Gambar 2.3 Model sintetis, Bouguer anomaly serta hasil analisa SHD nya.

Dari gambar 2.3 maka dapat kita lihat bahwa hasil SHD nya sesuai dengan kriteria SHD pada persamaan 2.6.4 • Untuk kasus patahan naik

Gambar 2.4 Model sintetis, bouguer anomaly serta hasil analisa SHD nya.

2.7. Pemodelan Kedepan

Pemodelan adalah suatu proses untuk mendapatkan model bawah permukaan yang diturunkan dari anomali gaya berat permukaan. Model yang dihasilkan akan menggambarkan distribusi rapat massa dan geometri bendanya dalam kedalaman yang bervariasi. Dalam hal ini penulis menggunakan pemodelan kedepan (forward modelling). Contoh pemodelan kedepan dengan benda sederhana dapat dilihat pada gambar 2.4. Efek gayaberat pada titik P yang berarah r adalah gr = γM/r2. Sehingga nilai efek gayaberat pada titik P yang berarah vertical yaitu

(

)

2 3 2 2 3 3 ₃ 4 cos z x z a r Mz g g r + Δ = = = Δ θ γ πγ ρ (2.7.1)

Dimana : a adalah jari-jari bola dan ∆ρ adalah kontras densitas.

Gambar 2.5 Efek gayaberat dari bola (Telford, 1990).

Model yang banyak digunakan adalah model dengan pendekatan bentuk poligon. Dengan menggunakan jumlah sisi poligon (n) tertentu untuk memperkirakan garis besar dari bagian vertikal dari benda 2-D, maka dapat dihitung efek gayaberatnya.

Gambar 2.6 Pemodelan benda 2-D dengan pendekatan bentuk poligon (Telford, 1990). Untuk benda diatas, efek gayaberatnya adalah sama dengan integral garis disikitarnya yaitu

∫

Δ =

Δg 2γ ρ zdθ (2.7.2)

Dari geometri pada gambar diatas terdapat beberapa hubungan yaitu

(

)

(

φ θ

)

φ θ φ θ tan tan tan tan tan ) ( tan − = − = = i i i i i a z a x x z (2.7.3) Integral garis untuk sisi BC adalah

i C B i i i BC d Z a zd = − =

∫

∫

θ θ φ φ θ θ tan tan tan tan (2.7.4) Sehingga gayaberat komponen vertikal untuk seluruh benda adalah

(2.7.5)

∑

= Δ = n i i Z V 1 2γ ρ

Jika masing-masing koordinat A, B,...dan R diketahui, misalnya : B=B(xi,zi); C=C(xi+1,yi+1);... dan.R=R(x,z)

Maka komponen gayaberat vertikalnya menjadi ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + − = + + + ) tan (tan cos ) tan (tan cos log . tan ) ( cos sin 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i a Z φ θ θ φ θ θ φ θ θ φ φ (2.7.6) Dimana : ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − i i i x z 1 tan θ , _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = + + − i i i i i x x z z 1 1 1 tan φ , _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + = + + + + 1 1 1 1 i i i i i i i z z x x z x a