MAJALAH ILMIAH
Matematika dan Statistika
DITERBITKAN OLEH:
FMIPA – UNIVERSITAS JEMBER
ESTIMASI PARAMETER PADA STANDAR CAPM
DENGAN METODE GMM
(Parameter Estimation in The CAPM Standard With GMM Method) May Rauli Simamora, I Made Tirta, Dian Anggraeni
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
Abstact: The main purpose of the regression analysis is to estimate the unknown parameters in model. Method of moments, least squares, and maximum likelihood are the methods frequently used to predict the parameters. However, the violation assumptions of a linear model such as heteroscedasticity and autocorrelation in the data encourage the development of that three methods. GMM (Generalized Method of Moments) is one of the popular estimation method in finance. This method only depends on the use of the moment conditions. GMM is defined as the estimation method which minimize the integrated quadratic form of moment conditions using weight matrix. This research aims to estimate the parameters using GMM method and applied in modern finance theory, CAPM (Capital Assets Pricing Model) standard. Application of GMM method performed at 8 companies in the mining sector in Indonesia. The estimator result is the systematic risk of each company that is on the SML (Security Market Line) in order to obtain the companies that can implement the CAPM standard.
Keywords: Generalized Method of Moments, Capital Assets Pricing Model.
I. PENDAHULUAN
Setiap investor pada umumnya menginginkan keuntungan dalam investasi yang dilakukan. Model penetapan harga aset modal (Capital Assets Pricing Model-CAPM) merupakan teori keuangan modern yang dapat mengukur hubungan resiko yang akan diperoleh berdasarkan keuntungan yang diharapkan. Sektor industri pertambangan merupakan sektor yang menarik untuk dikaji karena melonjaknya harga saham pertambangan yang dipengaruhi kenaikan harga minyak mentah dunia. Dalam setiap investasi terdapat ketidakpastian yang sering disebut juga resiko. Resiko yang menjadi acuan para investor adalah resiko sistematis. Semakin tinggi resiko sistematis maka semakin tinggi keuntungan yang diharapkan. Resiko sistematis inilah yang akan diduga dengan metode pendugaan parameter.
Metode alternatif yang saat ini populer pada bidang keuangan adalah metode GMM (Generalized Method of Moments). Metode ini dapat mengatasi berbagai pelanggaran asumsi yang sering terjadi pada data dan hanya bergantung pada kondisi momen yang digunakan. Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah
pendugaan parameter dengan metode GMM dan penerapannya pada standard CAPM sehingga diperoleh perusahaan yang cukup wajar untuk investasi. Tujuan yang ingin dicapai dari tulisan ini adalah menduga parameter dengan metode GMM dan menerapkan metode GMM pada standard CAPM. Manfaat dari tulisan ini adalah memberikan pengetahuan baru tentang metode alternatif GMM dan dapat dijadikan pertimbangan para investor saat akan melakukan investasi di perusahaan-perusahaan pertambangan yang terdaftar di Bursa Efek Indonesia
II. HASIL DAN PEMBAHASAN 2.1 Kajian Pustaka
Data deret berkala (time series) adalah sebuah kumpulan pengamatan terhadap nilai-nilai sebuah variabel dari beberapa periode waktu yang berbeda. Dalam berbagai studi empiris asumsi dasar yang digunakan pada data deret berkala adalah kestasioneran. Secara sederhana, stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data.
Autokorelasi dan Heteroskedastisitas
Salah satu pelanggaran pada data deret berkala yang dapat mengakibatkan estimator yang dihasilkan tidak lagi efisien adalah autokorelasi. Autokorelasi adalah kondisi dimana galat pada periode waktu sekarang berkorelasi dengan galat pada periode waktu sebelumnya. Pendeteksian autokorelasi pada data dilakukan dengan uji Durbin
Watson dengan formula = =2( 1)2 2 =1
, dimana = nilai Durbin-Watson, = residual
pada periode ke- (waktu sekarang), 1= residual periode ke- 1 (satu periode sebelumnya), adalah banyaknya data.
Heteroskedastisitas adalah suatu kondisi dimana data mempunyai varians galat yang tidak konstan atau tidak seragam. Varians disekitar garis regresi secara sederhana tidak sama. Secara simbolis ditulis sebagai ( 2) = 2, yang berarti varians kondisional dari tidak lagi konstan. Uji Breusch-Pagan sering digunakan untuk pendeteksian
heteroskedastisitas dengan formula = 1 =1( )2
( )2 =1
dimana adalah
banyaknya pengamatan, adalah mean, dan adalah nilai yang diestimasi dengan
Teori CAPM (Capital Assets Pricing Model)
Teori CAPM didasarkan pada teori portofolio Markowitz yang diukur sebagai gambaran bahwa premi resiko yang tepat terhadap suatu aset yang mengasumsikan bahwa pasar sekuritas adalah ideal. Tolak ukur yang dijadikan dalam memberikan evaluasi atas kinerja investasi adalah garis SML yang menggambarkan semakin tinggi resiko sistematis ( 1) maka semakin tinggi keuntungan yang diharapkan oleh investor. Aset yang diberi harga “wajar” adalah aset yang tingkat resiko sistematisnya berada pada garis SML, tidak terlalu murah atau terlalu mahal.
Gambar 1. Garis Pasar Sekuritas (Security market line-SML)
Salah satu teori CAPM yang mengindikasikan tidak adanya keuntungan lain yang diharapkan selain keuntungan yang diakibatkan dari perubahan pasar adalah standard CAPM. Resiko lain ini disimbolkan dengan 0. Pada standard CAPM 0 dianggap nol,
persamaan yang digunakan adalah = 0+ 1 + , dimana
adalah return suatu saham individu pada periode waktu ke- , adalah return portofolio pasar, adalah tingkat suku bunga bebas resiko jangka pendek pemerintah dan adalah vektor komponen kesalahan.
Estimasi GMM (Generalized Method of Moments)
Dalam analisis regresi, estimasi parameter merupakan tujuan penting untuk mendapatkan estimator yang dalam CAPM merupakan resiko sistematis. Metode GMM merupakan salah satu metode yang dapat mengatasi kondisi data dengan keberadaan autokorelasi dan heteroskedastisitas. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Hansen pada tahun 1982 yang didefinisikan sebagai metode estimasi parameter yang meminimalkan bentuk kuadrat dari kondisi momen sampel yang terboboti matriks , secara simbolis dapat dituliskan sebagai:
= arg min ( )
dimana ( ) = ( ) ( ) dan = 1 =1 ( adalah vektor variabel
instrumen). Untuk mendapatkan estimator yang optimal (tidak bias, konsisten dan efisien) maka yang perlu dilakukan adalah mengestimasi matriks pembobot dengan memperhatikan sifat-sifat pada data. Apabila data secara kondisional mengalami heteroskedastik maka diperlukan matriks HC (Heteroscedasticity Consistent) yang nilainya minimum. Apabila data independen dan secara kondisional heteroskedastik maka diperlukan matriks HAC (Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent) juga yang minimum. Dalam menghitung matriks HAC kernel yang digunakan adalah kernel
Bartlett. Fungsi kernel yang cukup sederhana adalah Bartlett Kernel, dimana:
= =
1 , untuk > 0
0, untuk 0
Estimasi GMM pada CAPM
Pada CAPM Chausse (2009) mengimplikasikan kondisi momen yang digunakan
adalah ( ) = 1 . Jika standard CAPM berlaku, maka hanya terdapat
satu parameter yang diestimasi untuk setiap persamaan sehingga disebut model teridentifikasi berlebih (Overidentified). Untuk mengetahui kevalidan model terhadap data, perlu dilakukan uji identifikasi yaitu uji Jacobian yang telah dijelaskan oleh Nielsen (2006). Uji Jacobian atau sering disebut uji J-Statistik ini mengacu pada nilai fungsi tujuan estimasi GMM yang dievaluasi menggunakan estimator GMM efisien yaitu:
= = ( ).
Artinya, (jumlah pengamatan) dikali dengan bentuk kuadrat dari fungsi momen sampel, dimana adalah estimator efisien GMM dari dan adalah estimasi konsisten dari . Jika = maka = 0, dan jika > maka > 0, dimana adalah jumlah kondisi momen (dimensi vektor ( )) dan adalah jumlah parameter yang diestimasi (dimensi vektor ). Dalam kondisi keteraturan dan jika kondisi momen ( ) = adalah valid, maka untuk
2( ).
Jika [ ] 0 maka J-Statistik akan relatif besar untuk suatu variabel acak
Chi-Square dengan derajat bebas dan hipotesis sebagai berikut. 0 : [ ] = 0 (kondisi momen yang digunakan valid) 1 : [ ] 0 (kondisi momen yang digunakan tidak valid).
Daerah penerimaan: Jika < 2 , dan nilai P pada uji Jacobian tidak signifikan dengan = maka terima 0. Hal ini berarti kondisi momen yang digunakan valid, sehingga model dengan variabel instrumen dan kondisi momen yang digunakan sesuai dengan data.
2.2 Analisis Data dan Hasil Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam analisis data dengan menggunakan metode GMM dan bantuan program R 2.12.2 adalah sebagai berikut:
1. terlebih dahulu data diplot untuk melihat kestasioneran data deret waktu 2. pengujian data:
a. uji Autokorelasi dengan uji Durbin-Watson;
Pada penelitian ini akan diuji delapan kali sesuai jumlah perusahaan. b. uji Heteroskedastik dengan uji Breush-Pagan.
3. penghitungan matriks varians HC dan HAC dengan kernel Bartlett. 4. pendugaan parameter:
a. pendugaan parameter dengan menggunakan matriks identitas sebagai pembobot; b. pendugaan parameter dengan menggunakan matriks optimal yang telah dihitung
sebelumnya sampai parameter optimal.
5. pengujian standard CAPM terhadap data dilakukan dengan dua langkah, yaitu: a. pengujian data untuk mendapatkan nilai intersepnya;
b. jika 0 = 0, maka digunakan model tanpa intersep.
Data yang digunakan dalam tulisan ini adalah data sekunder return saham 8 perusahaan manufaktur yang bergerak di sektor Pertambangan di Indonesia dari tanggal 28 April 2009 sampai 11 Mei 2011 sebanyak 500 data dan return pasar yang diambil dari
http://finance.yahoo.com/dan data tingkat resiko bebas diambil dari http://www.bi.go.id/ . Ringkasan data dengan menggunakan program R 2.12.2 dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 Ringkasan data CAPM
No. Variabel Min. Median Max Mean 1. ADRO -0,0800 0,0012 0,1282 0,0028 2. ANTM -0,1155 0,0000 0,1994 0,0015 3. ELSA -0,0895 0,0000 0,1911 0,0005 4. INCO -0,1172 0,0000 0,2013 0,0013 5. ITMG -0,0891 0,0000 0,1327 0,0019 6. MEDC -0,0833 0,0000 0,1496 0,0005 7. 8. 9. 10. PTBA TINS Rm Rf -0,0711 -0,0913 -0,0421 0,0650 0,0000 0,0000 0,0021 0,0650 0,1466 0,1440 0,0726 0,0750 0,0021 0,0019 0,0018 0,0661
Identifikasi pertama yang dilakukan adalah melihat stasioneritas dari data dengan memeriksa pola data time series. Hasil plot time series dari data dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Plot data CAPM
Dari plot time series pada Gambar 2 dijelaskan bahwa secara keseluruhan data cenderung konstan yang berarti data bersifat stasioner. Namun, perlu adanya pemeriksaan terhadap galat pada data yang dilakukan dengan uji dua arah Durbin-Watson, yaitu:
Tabel 2. Nilai uji Durbin-Watson dan nilai P No.
Kode Saham
Nilai DW
(Durbin-Watson) Nilai P Keterangan
1. ADRO 1,9170 0,1584 Tidak ada autokorelasi 2. ANTM 1,8864 0,1014 Tidak ada autokorelasi 3. ELSA 1,2731 <0,0022e-14 Autokorelasi positif 4. INCO 1,6369 0,2373e-4 Autokorelasi positif 5. ITMG 0,1546 <0,0022e-14 Autokorelasi positif 6. MEDC 0,8860 <0,0022e-14 Autokorelasi positif 7. PTBA 1,3040 0,3149e-14 Autokorelasi positif 8. TINS 0,0449 <0,0022e-14 Autokorelasi positif
Selanjutnya, Uji Breuch-Pagan dengan langkah awal yaitu mengestimasi model dengan LS (least square) sehingga diperoleh nilai regresinya diperoleh hasil pada Tabel 3.
Tabel 3 Hasil pendeteksian heteroskedastisitas dengan uji Breuch-Pagan No. Kode
Saham
F-Statistik P-Value Keterangan
1. ADRO 1,1440 0,3195 Terima 0
2. ANTM 5,4710 0,0045 Tolak 0
3. ELSA 4,9630 0,0073 Tolak 0
4. INCO 7,0200 0,0009 Tolak 0
5. ITMG 23,3200 0,2080e-09 Tolak 0
6. MEDC 1,3090 0,2710 Terima 0
7. PTBA 4,2030 0,0155 Tolak 0
8. TINS 8,8190 0,0002 Tolak 0
Berdasarkan pada diatas, dengan taraf signifikansi 5% terhadap 8 kode saham terdapat 2 perusahaan yaitu ADRO dan MEDC dengan nilai P lebih dari 5% yang berarti bahwa 0 diterima. Varians disekitar garis regresi secara sederhana adalah sama antar nilai variabel bebasnya ( ) atau return portofolio.
Saham yang berdistribusi independen dan identik dimiliki ADRO sehingga matriks pembobot yang digunakan adalah matriks identitas. Untuk data yang hanya terdapat kondisi heteroskedastisitas dimiliki oleh saham ANTM sehingga matriks pembobot yang digunakan adalah matriks HC (Heteroskedasticity Consistent). Hasil estimasi matriks HC untuk perusahaan ANTM dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4. Hasil penghitungan varians HC (Heteroskedasticity Consistent ) Kode Saham Varians
ANTM 2,5199e-04
Varians HC pada Tabel 4 sebesar 2,5199e-04 yang mendekati nilai nol atau kecil sehingga estimator yang akan diperoleh sudah konsisten. Selanjutnya, kondisi dimana data tidak independen dan heteroskedastik dimiliki oleh perusahaan ELSA, INCO, ITMG, MEDC, PTBA dan TINS, matriks pembobot yang dipakai adalah matriks HAC (Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent). Maka langkah yang diperlukan adalah mengestimasi matriks pembobot dengan kernel Bartlett. Hasil yang diperoleh dalam Tabel 5.
Tabel 5 Hasil perhitungan kernel dan varians HAC Kode Saham Kernel Bartlett Bandwith chosen Varians HAC
ELSA INCO ITMG MEDC PTBA TINS 0,0010 0,0004 0,0666 0,0014 0,0004 0,7111 1,8745 0,7819 3,0234 2,8855 2,2868 0,3957 0,0013 0,0004 0,0536 0,0022 0,0005 0,6938
Dari Tabel 5 diperoleh bahwa varians HAC dan nilai kernel mendekati nol, yang artinya varians minimum.
Dalam standard CAPM, intersep 0 diharapkan sama dengan nol. Hasil estimasi parameter 0dapat dilihat pada Tabel 6.
Tabel 6. Hasil estimasi parameter No. Kode
Saham
Kesalahan
Baku Nilai t Nilai P
1. ADRO 0,0167 5,5876e-03 2,9880 2,8050e-03 2. ANTM 0,0361 6,1644e-03 5,9072 3,4806e-09 3. ELSA 0,0037 7,8317e-03 4,6955 6,3868e-01# 4. INCO 0,0293 6,4747e-03 4,5266 5,9949e-06 5. ITMG -0,0704 6,3530e-03 -1,1093 1,3530e-28 6. MEDC 0,0031 5,9426e-03 5,1776 6,0463e-01# 7. PTBA 0,0101 4,9075e-03 2,0527 4,0102e-02 8. TINS 0,0341 5,3035e-03 6,4257 1,3127e-10
Dari Tabel 6 dapat dilihat yang ditandai (#) memiliki nilai P lebih besar dari tingkat signifikansi = 0,05 yaitu pada saham ELSA sebesar 6,3868e-01 dan MEDC sebesar 6,0463e-01, sehingga terima 0 bahwa intersep 0 tidak signifikan (dianggap
MEDC. Untuk itu perlu dilakukan estimasi terhadap kedua saham tersebut dengan model tanpa intersep sehingga diperoleh nilai 1. Hasil pendugaan parameter terhadap model tanpa intersep dapat dilihat pada Tabel 7.
Tabel 7. Hasil estimasi parameter dengan model tanpa intersep No. Kode Saham Koefisien
( ) Kesalahan Baku Nilai t Nilai P
1. ELSA 1,0217 0,0173 58,9847 0,0000 2. MEDC 1,0221 0,0158 64,5953 0,0000
1. untuk uji kesesuaian model, hasil yang diperoleh dengan menggunakan program R dengan nilai uji-J sebesar 0,3323 dan nilai P sebesar 0,8469 (dapat dilihat pada lampiran E)
2. angka sudah merupakan pembulatan sampai empat tempat desimal.
Nilai P untuk uji Jacobian tidak signifikan yang berarti terima 0 dimana dapat disimpulkan bahwa kondisi momen yang digunakan valid dan model sudah sesuai dengan data. Model untuk perusahaan dengan ELSA dan MEDC adalah ( ) =
1,0217 + dan ( ) = 1,0221 + . Resiko
sistematis yang dimiliki kedua perusahaan tersebut dapat digambarkan berada pada garis pasar sekuritasnya pada Gambar 3.
Gambar 3. Garis pasar sekuritas (SML) dengan 0 = 0
Berdasarkan Gambar 3, diperoleh bahwa perusahaan ELSA dan MEDC memiliki keuntungan yang diharapkan hampir sama. Dengan demikian, sesuai implikasi dari
standard CAPM dimana saham ELSA dan MEDC berada disekitar garis pasar sekuritas
(SML) sehingga harga saham tersebut dapat dikatakan tidak terlalu mahal atau terlalu murah
III. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang diperoleh maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. berdasarkan hasil identifikasi terhadap data, secara keseluruhan menunjukkan bahwa
metode GMM dapat dipergunakan terhadap data dengan kondisi ada autokorelasi maupun heteroskedastisitas;
2. dari hasil estimasi dengan metode GMM diperoleh intersep 0 tidak signifikan (dianggap nol) untuk perusahaan ELSA dan MEDC. Dengan demikian, standard
CAPM dapat diterapkan pada perusahaan ELSA dan MEDC untuk sampel perusahaan
pertambangan yang diambil. Model kedua perusahaan adalah sebagai berikut.
( ) = 1,0217 +
( ) = 1,0221 +
DAFTAR PUSTAKA
[1] Chausse, P. 2010. Computing Generalized Method of Moments and Generalized Empirical Likelihood with R. Journal of Statistical Software, 34:1-35.
[2] Gujarati, D. N & Porter, D. C. Dasar-dasar Ekonometrika. Terjemahan oleh Eugenia Mardanugraha,dkk. 2010. Jakarta: Salemba Empat.
[3] Husnan, S. & Pudjiastuti, E. 1998. Dasar-dasar Teori Portofolio dan Analisis
Sekuritas. Yogyakarta: Unit Penerbit dan Percetakan (UPP) AMP YKPN.
[4] Marcus, A. J., Bodie, Z., & Kane, A. 2008. Investasi. Jakarta: Salemba Empat.
[5] Nielsen, H.B. 2006. Generalized Method of Moments Estimation. Slovakia: Matej Bel University.
[6] Tirta, I. M. 2009. Analisis Regresi dengan R. Jember: UPT Penerbitan Universitas Jember.
[7] Zivot, E. 2008. Generalized Method of Moments.Washington: University of Washington.
