Geometri : ___________________________________________________________ vii
KATA PENGANGAR
Buku ini merupakan penyempurnaan materi kuliah Geometri Bidang selama 3 tahun terakhir. Karena adanya perubahan kurikulum di tingkat sekolah menengah, maka materi yang ada di dalam buku ini juga memuat sebahagian dari materi geometri yang ada di tingkat sekolah menengah akan tetapi dengan pola yang berbeda.
Isi secara umum
Secara umum isi dari buku ini memuat beberapa pendekatan yang berbeda dengan geometri analitik, karena penekanan dalam buku ini bukanlah bersifat analitik. Pada awal buku diberikan satu bab tentang motivasi, dengan tujuan ingin menunjukkan bahwa sebenarnya sangat menarik bagi kita untuk mempelajari geometri dan juga menunjukkan bahwa banyak persoalan lain yang sebenarnya mudah kita selesaikan dengan menggunakan pendekatan geometri. Selain dari itu dalam banyak pendekatan diberikan bahwa kita dapat dengan mudah membuktikan suatu teorema yang mungkin hanya kita cukup menggunakan konsep luas dan teorema Pythagoras yang sudah dikenal mulai dari sekolah menengah pertama.
Dalam banyak teorema diberikan berbagai alternatif pembuktian, mulai dari konsep yang sederhana dan juga sampai ke tinggal analisis dengan pemikiran yang mendalam. Hal ini diberikan dengan tujuan ingin menunjukkan bahwa untuk mencapai sesuatu itu jalannya tidak selalu tunggal tapi kita dapat menggunakan konsep yang lebih sederhana. Jadi secara umum isi buku ini adalah mencoba memberikan pendekatan pembuktian suatu konsep dengan menggunakan konsep yang lebih sederhana.
Pada bab 5 dan 6 adalah berupa lingkaran I dan Lingkaran II, akan tetapi isi dari bab tersebut bukanlah tentanng persamaan lingkaran. Karena persamaan lingkaran sudah dibahas denagn sangat lengkap di tingkat sekolah menengah, maka pada bab 5 dan 6 ini isinya lebih kepada hubungan antara lingkaran dan segitiga yang sebahagian kecil juga
Geometri : ___________________________________________________________ viii
termasuk pembahasan hubungan lingkaran dengan segiempat, misalnya pembahasan tentang segiempat siklik (segiempat talibusur).
Untuk Mahasiswa
Materi pada bab 1 pada dasarnya hanyalah ingin memotivasi pembaca dan menunjukkan bagaimana mudahnya kita bekerja dengan menggunakan geometri dan yang paling penting adalah mengingatkan bahwa janganlah dalam menyelesaikan persoalan geometri kita selalu mengingat rumusnya dan bagaimana cara menghitungnya, pada bab ini juga diberikan contoh sederhana bagaimana menyelesaikan suatu persoalan tanpa harus menggunakan rumus-lrumus yang sulit.
Materi pada bab 2, 3 dan 4 bukanlah menjadi tujuan dari buku ini, akan tetapi materi yang ada pada bab tersebut hanya sebagai mengingatkan kepada mahasiswa bahwa untuk memperajari bagian selanjutnya anda harus memahami konsep yang ada pada bab-bab tersebut, terutama bab 2 dan bab 3, sedangkan bab 4 tentang irisan kerucut hanya bersifat parsial dari materi lain, akan tetapi ada juga baiknya dipahami karena di bagian akhir juga dibahas tentang teorema Butterfly pada parabola dan elips, serta penerapan teorema Pappus pada elips.
Untuk mahasiswa strata 1, konten utama untuk mahasiswa adalah pada bab 5, 6 dan 7 dengan pengembangan pada bab 8 dan 9. Sedangkan untuk mahasiswa strata 2 bidang minat pengajaran matematika, bab 2, 3, 4 dan 5 wajib sudah dipahami dan dengan pengulangan pemahaman pada bab 6 dan 7, maka materi pada bab 8, 9 ,10, 11 dan 12 menjadi materi utama bagi anda dengan pengembangan pada bab 11.
Untuk Dosen
Perlu dipahami bahwa terdapat beberapa konsep yang muncul pada beberapa bab, akan tetapi hal itu sengaja disusun sedemikian rupa agar, materi dapat menyambung dengan materi selanjutnya. Akan tetapi dalam proses pengajaran diperolehkan memberikan konsep yang ada pada suatu bab tapi disambungkan dengan materi yang sama pada bab lain. Mialnya konsep centroid ada di bab 6, 7 dan 9, kalau Bapak/Ibu dalam proses
Geometri : ___________________________________________________________ ix
pembelajaran menginginkan dalam satu pertemuan konsep centroid selesai untuk ke tiga teorema yang ada, maka pembelajarannya dapat dilakukan mengambil materi yang ada pada masing-masing bab tersebut dan untuk selanjutnya diteruskan sesuai dengan tujuan pembelajaran yang anda susun.
Juga perlu diperhatikan bagi dosen untuk memberikan soal latihan kepada mahasiswa/i, karena ternyata setelah draf buku ini disusun tetapi baru disadari bahwa ada soal yang lebih mudah dikerjakan dengan konsep lain akan tetapi soal tersebut muncul pada soal latihan yang lain pula. Akan tetapi hal ini tidak akan merusak konten dari isi buku ini. Sedangkan untuk pengajaran dengan 3 sks dilevel S1 Matematika dilakukan sebagai berikut
Bab 1 pada pertemuan pertama ditambah kontrak kuliah dll
Bab 2,3 dan 4 dalam bentuk remedial maksimal dalam 5 pertemuan
Bab 5 dan 6 dalam 5 pertemuan
Bab 7, 8 dan 9 maksimal dalam 5 pertemuan
Perlu diperhatikan bahwa konsep dan penerapan dengan tingkat kesulitan tinggi pada bab 8 dan 9 untuk level S1 tidak perlu dibahas semua, akan tetapi di level S2 mesti diajarkan dengan sesempurna mungkin.
Teladan dan soal latihan
Seperti dalam banyak buku matematika (termasuk geometry) kebanyakan isi dari buku tersebut adalah soal latihan, sehingga pada kebanyakan buku soal latihan dibuat disetiap akhir sub bab. Akan tetapi dalam buku ini soal latihan tidak dibuat dalam setiap sub bab (kecuali pada bab 4), akan tetapi dibuat setelah 2 atau 3 sub bab. Hal ini sengaja dilakukan karena beberapa soal memang diperlukan konsep yang dibahas dalam 2 atau 3 sub bab tersebut, namun demikian sedikitnya jumlah soal latihan tidak akan mengurangi bahan bagi mahasiswa untuk mencari soal latihan. Karena soal yang ada pada umumnya cukup bervariasi dengan tingkat analisis yang berbeda.
Soal latihan dibagi dalam 3 bagian, bagian pertama yang tanpa tanda bintang, soal yang tanpa tanda bintang adalah soal dalam tingkat analisis mudah, sedang dan agak
Geometri : ___________________________________________________________ x
sulit, sehingga diharapkan kepada para mahasiswa untuk dapat minimal mengerjakan soal yang tanpa tanda bintang. Bagian kedua soal dengan tanda (*). Ini sudah merupakan soal dengan tingkat kesulitan agak tinggi, sehingga mungkin hanya mahasiswa yang sangat berminat di bidang geometry yang dapat menyelesaikannya. Bagian ketiga adalah soal dengan tanda (**), ini merupakan soal dengan tingkat kesulitan sangat tinggi. Bagi mahasiswa yang mampu menyelesaikan soal dengan tanda (**) berarti anda punyai kemampuan geometri dan analisis yang cukup/sangat baik. Dalam buku ini contoh soal diistilahkan dengan teladan.
Geometri : ___________________________________________________________ xi
DAFTAR ISI
Kata Pengantar Daftar Isi BAB I. PENDAHULUAN 1.1. Motivasi I 1.2. Motivasi II 1.3. Motivasi III 1.4. Motivasi IV Soal Latihan 1BAB II. PERSAMAAN GARIS LURUS 2.1. Persamaan Garis Lurus 2.2. Kolinearitas Tiga Buah Titik 2.3. Sudut Antara Dua Garis Lurus 2.4. Jarak Titik ke Garis
2.5. Berkas/Keluarga Garis Soal Latihan 2.
2.6. Garis Kuasa dan Titik Kuasa Soal Latihan 3
BAB III. KESEBANGUNAN BANUNG DATAR 3.1. Garis dan Sudut
3.2. Segitiga
3.3. Kongruensi Antara Dua Segitiga Soal Latihan 4
3.4. Kesebantunan Antara Dua Segitiga Soal Latihan 5 vii xi 2 4 6 10 17 19 27 31 33 36 41 44 52 55 58 64 69 73 82
Geometri : ___________________________________________________________ xii
BAB IV. IRISAN KERUCUT
4.1. Pengantar Irisan Kerucut Soal Latihan 6
4.2. Parabola
4.2.1. Parabola berpuncak di 0(0,0) 4.2.2. Parabola Berpuncak di A(α,β)
4.2.3. Persamaan Garis Singgung Pada Parabola Soal Latihan 7
4.3. Elips
4.3.1. Persamaan elips yang berpusat di P(0,0) 4.3.2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) Soal Latihan 8
4.4. Hiperbola
4.4.1. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(0,0 ) 4.4.2. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(α,β) Soal Latihan 9
BAB V. LINGKARAN I 5.1. Sifat-Sifat Dasar
5.2. Lingkaran Luar Segitiga Soal Latihan 10
5.3. Lingkaran Dalam Segitiga
5.4. Lingkaran Singgung Suatu Segitiga Soal Latihan 11
BAB VI. LINGKARAN II 6.1. Teorema Carno’s
6.2. Teorema Centroid dan Teorema Euler
86 92 94 94 99 104 114 118 118 123 126 130 130 136 138 143 159 168 171 175 180 186 191
Geometri : ___________________________________________________________ xiii
Soal Latihan 12 6.3. Segi-Empat Siklik 6.4. Teorema Ptolemy Soal Latihan 13
BAB VII. GARIS-GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA 7.1. Sisi dan Sudut
7.2. Beberapa Teorema Khusus 7.3. Konjugate Harmonik Soal Latihan 14
BAB VIII. KONGKURENSI 8.1 Teoema Ceva 8.2. Teoema Brianchon Soal Latihan 15 8.3. Teorema Menelaus
8.4. Konsekuensi Dari Teorema Ceva dan Menelaus Soal Latihan 16
8.5. Teorema Pappus 8.6. Teorema Pascal 8.7. Teorema Desargues’s Soal lalihan 17
BAB IX. TEOREMA BUTTERFLY 10.1. Teorema Butterfly
10.2. Teorema Butterfly Untuk Segi-Empat 10.3. Teorema Butterfly Pada Hiperbola dan Elips Soal Latihan 18 294 197 220 243 247 250 258 259 266 276 278 283 286 291 294 297 301 305 312 326 332 339
Geometri : ___________________________________________________________ xiv
BAB X. KETAKSAMAAN ERDOS-MORDELL’S 10.1. Ketaksamaan Erdos-Mordell’s
10.2. Ketaksamaan Bertanda Erdos-Mordell’s 10.3. Ketaksamaan Barrow’s
10.4. Ketaksamaan Erdos-Mordell’s Untuk Segi-Empat Soal Latihan 19
BAB XI. PENGEMBANGAN SEGITIGA
11.1. Titik Geogonne Pada Suatu Segitiga 11.2. Titik Nagel dan Segitiga Nagel Latihan 20
11.3. Luas Segitiga Gergonne
11.4. Kontruksi Titik Nagel Melalui Incircle 11.5. Semi titik Nagel
Latihan 21
BAB XII. Beberapa Pengembangan Lainnya
12.1. Perbandingan Luas Antara Segitiga External Dengan Segitiga Asal
12.2. Perbandingan Jari-Jari Latihan 22
12.3. Luas Segitiga Titik Diagonal Pada Segiempat Siklik 12.4. Luas Segitiga Titik Diagonal Pada Trapesium dan Layang-layang
12.5. Beberapa Alternatif Bukti Teorema Simson’s Latihan 23 341 352 363 369 371 386 403 417 419 428 434 438 442 451 454 456 465 472 485
Geometri : ___________________________________________________________ xv Daftar Pustaka Daftar Istilah Daftar Simbol 479 483 487
