Indeks Harary Graf Hamilton, Semi-Hamilton dan Hamilton-Kuat

(1)

ISSN 2301-9115

INDEKS HARARY GRAF HAMILTON, SEMI-HAMILTON DAN HAMILTON-KUAT

Fatimatus Zahro

(S1 Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya) e-mail: [email protected]

I Ketut Budayasa

(Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya) e-mail: [email protected]

Abstrak

Misalkan ) sebuah graf terhubung dengan 8:); dan QáR Ð8:);. Jarak titik Q dan titik R di ), dilambangkan dengan @:QáR;, merupakan suatu lintasan terpendek yang menghubungkan titik Q dan titik R di ). Indeks Harary dari graf

), dilambangkan dengan *:);, didefinisikan sebagai berikut: *:);LÃ 5 ×:èáé;

èáéÐÏ:À; . Pada skripsi ini, indeks Harary suatu graf dijadikan syarat cukup bagi suatu graf agar graf tersebut merupakan graf Hamilton, graf Semi-Hamilton, maupun graf Hamilton-Kuat. Dalam tulisan ini, ditunjukkan bahwa suatu graf merupakan graf Hamilton jika ) memenuhi salah satu dari kondisi-kondisi berikut: 1). ) graf terhubung dengan JRu titik, dan *:);Rá.?6á>6

6 ; 2). ) graf bipartisi dengan

JRt titik, dan *:);R=á.?7á?8

: ; 3). ) graf terhubung-k dengan n titik, dan *:);R

6á:á?5;?:Þ>5;:á?Þ?5;>5

8 . Ditunjukkan juga bahwa, jika ) merupakan graf terhubung dengan JRv titik, dan *:);R5

6J 6F7

6JE 9

6, maka ) graf semi-Hamilton. Akhirnya, dibuktikan bahwa jika ) merupakan sebuah graf terhubung dengan n titik, dan *:);Rá

._?6á>7

6 , maka ) graf Hamilton-kuat.

Kata Kunci: Indeks Harary, Graf Hamilton, Semi-Hamilton, dan Hamilton-Kuat.

Abstract

Let ) be a connected graph with vertex set 8:); and QáR Ð8:);. The distance between vertices Q and R in ), denoted by @:QáR;, is the shortest path connecting Q and R in ). The Harary index of graph ), denoted by *:);, is defined as follows: *:);LÃ 5

×:èáé;

èáéÐÏ:À; . In this thesis, the Harary index of a graph to present sufficient conditions for a graph to be Hamilton, semi-Hamilton, and strong-Hamilton. A graph ) is Hamilton graph if it is satisfied one of the following conditions: 1). ) is a connected graph of order JRu, and *:);Rá

._?6á>6

6 ; 2). ) is a connected bipartite graph of order

JRt, and *:);R=á.?7á?8

: ; 3). ) is a k-connected graph of order n, and *:);R

6á:á?5;?:Þ>5;:á?Þ?5;>5

8 . It is also shown that, if ) is a connected graph of order JRv, and *:);R5

6J 6F7

6JE 9

6, then ) is semi-Hamilton. Finally, proved that if

) is a connected graph of order n, and *:);Rá

._?6á>7

6 , then ) is strong-Hamilton. Keyword: Harary Index, Hamilton, Semi-Hamilton, and Strong-Hamilton Graph.

PENDAHULUAN

Teori graf adalah suatu bidang matematika yang menarik perhatian, dikarenakan modelnya banyak digunakan pada aplikasi yang luas. Salah satu contohnya adalah TSP(Travelling Salesman Problem). TSP ini memanfaatkan sikel Hamilton untuk menyelesaikan problem. Sebuah sikel disebut sikel Hamilton, jika sikel tersebut memuat semua titik pada suatu graf, dan graf Hamilton merupakan graf yang memuat sikel Hamilton. Jika suatu graf hanya memuat lintasan Hamilton maka graf tersebut merupakan graf Semi-Hamilton.

Dan jika lintasan setiap titik QáR di graf G merupakan lintasan Hamilton maka G merupakan

graf Hamilton-Kuat. Indeks Harary dari suatu graf merupakan sebuah syarat cukup agar suatu graf merupakan graf Hamilton, Semi-Hamilton dan Hamilton-Kuat. Pada tahun 1993 Ivanciuc et al (Ovidiu, Teodor and Alexandru, 1993) dan Plavsic et al (Plav, Nikoli and Trinajsti, 1993) memperkenalkan indeks Harary sebagai karakterisasi dari graf molekuler (Zhou, 2008). Indeks Harary didefinisikan sebagai jumlah dari satu dibagi jarak antara 2 titik Q dan titik R pada graf

(2)

(Rao Li, 2015). Pada skripsi ini ditunjukkan bahwa untuk menentukan sebuah graf merupakan graf Hamilton, Semi-Hamilton dan Hamilton-Kuat diperlukan indeks Harary, dimana indeks Harary memiliki syarat tertentu yang harus dipenuhi. LANDASAN TEORI

A. %HEHUDSD .RQVHS GDODP *UDI

1.*UDI Definsi 2.1

Sebuah graf ) merupakan pasangan terurut yang memuat himpunan titik ) dan himpunan sisi ). Dimana himpunan titik ) dilambangkan dengan

8:); yang berarti himpunan berhingga (tidak kosong) dari obyek-obyek yang disebut titik, dan himpunan sisi ) dilambangkan dengan ':); yang merupakan himpunan berhingga (boleh kosong) yang elemen-elemenya disebut sisi, sehingga setiap elemen pada ':); adalah pasangan yang tak berurutan dari obyek-obyek di 8:); (Budayasa, 2007).

2.*UDI 1RQWULYLDO Definisi 2.2

Jika ) sebuah graf dan ) merupakan graf trivial, maka graf tersebut hanya memiliki satu titik. Semua graf selain graf trivial maka graf tersebut merupakan graf nontrivial (Bondy and Murty, 1976).

3.*UDI .RPSOLW

Definisi 2.3

Suatu graf ) disebut graf komplit jika graf tersebut merupakan graf sederhana yang semua titiknya berhubungan langsung (Budayasa, 2007). 4.*UDI %LSDUWLVL

Definisi 2.4

Graf ) adalah graf bipartisi, merupakan graf yang himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian A dan B, dimana setiap sisi )

menghubungkan titik di A dan titik di B. (Budayasa, 2007).

B. 'HUDMDW 7LWLN SDGD *UDI

1.3HQJHUWLDQ 'HUDMDW 7LWLN 'HILQLVL

6XDWX WLWLN SDGD JUDI)GLODPEDQJNDQ GHQJDQR

'HUDMDW WLWLN R PHUXSDNDQ EDQ\DNQ\D VLVL \DQJ EHUKXEXQJDQ ODQJVXQJ GHQJDQ WLWLN LWX VHQGLUL GDQ MLND WHUGDSDW JHOXQJ PDND GLKLWXQJ GXD NDOL 'HUDMDW VXDWX WLWLNRGLODPEDQJNDQ GHQJDQ@À:R;DWDX@:R;

%XGD\DVD 2.6LNHO

'HILQLVL

0LVDONDQ %L:R4áA5áR5áA6áR6á å áAÞ?5áRÞ?5á

å áAÞáRÞ; DGDODK VHEXDK MHMDN WXWXS VLUNLW GL ) PDND % GLVHEXW VLNHO MLND WLWLN DZDO WLWLN SHUWDPD \DQJ DNDQ GLOHZDWL GDQ VHPXD WLWLN LQWHUQDOQ\D WLWLN WDQJ EHUDGD GLDQWDUD WLWLN SHUWDPD GDQ WLWLN WHUDNKLU EHUEHGD %XGD\DVD

3.7HRUHPD -DEDW 7DQJDQ

7HRUHPD

-LND ) VHEXDK JUDI PDND Ãé"Ï:À;@:R;L

t':); %XGD\DVD

C. 'LDPHWHU 6HEXDK *UDI

1.-DUDN 'XD 7LWLN SDGD *UDI

'HILQLVL

) PHUXSDNDQ JUDI GHQJDQQ QáRÐ8:);

/LQWDVDQ WHUSHQGHN PHUXSDNDQ SDQMDQJ PLQLPXP GDUL WLWLNQNH WLWLNR -DUDN DQWDUD WLWLNQGDQRGL

) GLODPEDQJNDQ GHQJDQ @À:QáR; DWDX @:QáR;

PHUXSDNDQ OLQWDVDQ WHUSHQGHN GDUL VXDWX WLWLNQNH WLWLNRGL) +XD DQG :DQJ

2.(NVHQWULVLWDV 6HEXDK 7LWLN SDGD *UDI

'HILQLVL

(NVHQWULVLWDV GDUL VHEXDKQÐ8:); DGDODK PDNVLPXP GDUL MDUDN WLWLNQNH VHPXD WLWLN \DQJ ODLQ SDGD JUDI ) GLODPEDQJNDQ GHQJDQ AÀ:Q; GLGHILQLVLNDQ VHEDJDL EHULNXW AÀ:Q;L

•ƒš<_@À:_QáR; RÐ8:);` +XD DQG :DQJ

3.'LDPHWHU *UDI

'HILQLVL

'LDPHWHU GDUL JUDI ) DGDODK PDNVLPXP HNVHQWULVLWDV GDUL VHPXD WLWLN SDGD JUDI )

GLODPEDQJNDQ GHQJDQ &:); GLGHILQLVLNDQ VHEDJDL EHULNXW &:);L•ƒš<AÀ:Q; QÐ8:);= +XD DQG :DQJ

D. *UDI +DPLOWRQ *UDI 6HPL +DPLOWRQ GDQ *UDI

+DPLOWRQ .XDW

1.*UDI +DPLOWRQ

'HILQLVL

0LVDONDQ ) VHEXDK JUDI ) GLVHEXW JUDI +DPLOWRQ MLND ) PHPLOLNL VLNHO \DQJ PHOHZDWL VHPXD WLWLN SDGD JUDI WHSDW VDWX NDOL NHFXDOL WLWLN DZDO GDQ WLWLN DNKLU GLOHZDWL GXD NDOL GDQ VLNHO WHUVHEXW PHUXSDNDQ VLNHO +DPLOWRQ %XGD\DVD

2.*UDI 6HPL +DPLOWRQ

'HILQLVL

0LVDONDQ) VHEXDK JUDI \DQJ PHPXDW OLQWDVDQ +DPLOWRQ PDND) PHUXSDNDQ JUDI VHPL +DPLOWRQ 'LPDQD OLQWDVDQ +DPLOWRQ PHUXSDNDQ 6HEXDK OLQWDVDQ \DQJ PHOHZDWL VHWLDS WLWLN SDGD VXDWX JUDI WHSDW VDWX NDOL %XGD\DVD

(3)

3.*UDI +DPLOWRQ .XDW 'HILQLVL

0LVDONDQ) VHEXDK JUDI VHEXDK OLQWDVDQ \DQJ PHPXDW VHPXD WLWLN SDGD ) GLVHEXW OLQWDVDQ +DPLOWRQ -LND OLQWDVDQ VHWLDS WLWLN QáR GL JUDI )

PHUXSDNDQ OLQWDVDQ +DPLOWRQ PDND ) PHUXSDNDQ *UDI +DPLOWRQ .XDW %XGD\DVD

E. *UDI -RLQ

'HILQLVL

0LVDO)GDQ*DGDODK EXDK JUDI -RLQJUDI)

GDQ * GLODPEDQJNDQ GHQJDQ )é* DGDODK JUDI \DQJ KLPSXQDQ WLWLNQ\D 8:);ë8:*; GDQ KLPSXQDQ VLVLQ\D ':);ë':*;ë<QR QÐ 8:);†ƒ•_RÐ₈:_*;= _{+XD DQG :DQJ} F. ,VRPRUILVPH *UDI 'HILQLVL 'XD JUDI ) GDQ* GLNDWDNDQ LVRPRUILVPH MLND WHUGDSDW IXQJVL ELMHNWLI NRUHVSRQGHQVL VDWX VDWX

Bã8:);\8:*; VHGHPLNLDQ KLQJJD SUDSHWD GXD WLWLN GL GRPDLQ VDPD GHQJDQ SHWD GXD WLWLN GL NRGRPDLQ ,VRPRUILVPH SDGD JUDI GLODPEDQJNDQ GHQJDQ) * %XGD\DVD

G. %HEHUDSD /HPPD 3HQGXNXQJ 3HPEDKDVDQ

/HPPD

0LVDO ) DGDODK JUDI GHQJDQ J WLWLN JRu GHQJDQ EDULVDQ GHUDMDW @5Q@6Q®Q@á -LND @Þ QGO á 6:@á?ÞRJFG PDND ) JUDI +DPLOWRQ /HPPD

0LVDO ) JUDI ELSDUWLVL GHQJDQ J WLWLN GHQJDQ ELSDUWLVL :L<T5áT6á å áTá= ;L<U5áU6á å áUá= GHQJDQ JRt GDQ @:T5;Q@:T6;Q®Q@:Tá; @:U5;Q@:U6;Q®Q@:Uá; MLND @:TÞ;OGO

J:@:Uá?Þ;RJFGEs PDND)JUDI +DPLOWRQ /HPPD

0LVDONDQ)JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQJWLWLN GDQ

IVLVL GHQJDQJRst -LNDIR@JFt

t AEvPDND

)+DPLOWRQ DWDX) L-6ék:t-5;ë-á?8o /HPPD

0LVDO)PHUXSDNDQ JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQJ

WLWLN GDQIVLVL GHQJDQJRsz -LNDIR@JFu

t AE {PDND)+DPLOWRQ DWDX)L-7ék:u-5;ë-á?:o /HPPD

0LVDO)JUDI WHUKXEXQJ N GHQJDQJWLWLN GDQI

VLVL GHQJDQIR@J tAF@ :Þ>5;:á?Þ?5; 6 AEs PDND) JUDI +DPLOWRQ /HPPD

0LVDO ) PHUXSDNDQ JUDI QRQWULYLDO GHQJDQ J

WLWLN JRv GHQJDQ EDULVDQ GHUDMDW :@5á@6á å á@á; GLPDQD@5Q@6Q®@á 0LVDO WLGDN DGD ELODQJDQ EXODW GOá>5 6 VHGHPLNLDQ KLQJJD @ÞQGFs GDQ @á?Þ>5QJFGFs 0DND)JUDI 6HPL +DPLOWRQ /HPPD

0LVDO ) DGDODK JUDI GHQJDQ J WLWLN JRu GHQJDQ EDULVDQ GHUDMDW @5Q@6Q®@á -LND tQ GQá 6á@Þ?5QG:@á?ÞRJFGEs PDND ) JUDI +DPLOWRQ .XDW &DWDWDQ 3HPEXNWLDQ /HPPD /HPPD GLDWDV GDSDW GLOLKDW SDGD UHIHUHQVL UHIHUHQVL EHULNXW /HPPD GDQ /HPPD %HUJH /HPPD /HPPD

GDQ /HPPD %\HU HW DO /HPPD %RQG\ DQG 0XUW\ /HPPD %HUJH

3(0%$+$6$1

3DGD EDE LQL DNDQ GLDZDOL NRQVHS LQGHNV +DUDU\ VHEXDK JUDI WHUKXEXQJ QRQWULYLDO GDQ EHEHUDSD KDVLO HOHPHQWHU WHUNDLW GHQJDQ LQGHNV +DUDU\ VHEXDK JUDI

A. ,QGHNV +DUDU\ 6HEXDK *UDI

'HILQLVL

0LVDO) JUDI WHUKXEXQJ GDQ QRQWULYLDO ,QGHNV +DUDU\ GDUL ) GLODPEDQJNDQ GHQJDQ

*:);áGLGHILQLVLNDQ VHEDJDL EHULNXW

*:);L Í s

@:QáR;

èáéÐÏ:À;

6HODQMXWQ\D LQGHNV WLWLNRGL JUDI) GLODPEDQJNDQ GHQJDQ&áÀ:R;GDQ GLGHILQLVLNDQ VHEDJDL EHULNXW

&áÀ:R;L Í s

@:QáR;

èÐÏ:À; +XD DQG :DQJ

7HRUHPD

-LND) VHEXDK JUDI WHUKXEXQJ QRQWULYLDO GDQ R

PHUXSDNDQ VHEXDK WLWLN GL) PDND *:);Ls t Í &áÀ:R; éÐÏ:À; ä %XNWL

0LVDO ) VHEXDK JUDI WHUKXEXQJ QRQWULYLDO GDQ

RÐ₈:₎; %HUGDVDUNDQ 'HILQLVL &áÀ:R;L Í s @:QáR; èÐÏ:À; 6HKLQJJD Í &áÀ:R; éÐÏ:À; L Í Í _@_:_Qs_á_R_; èÐÏ:À; éÐÏ:À; Lt Í s @:QáR; èáéÐÏ:À; Lt*:);ä

(4)

-DGL

*:);Ls

t Í &áÀ:R; éÐÏ:À;

'HQJDQ GHPLNLDQ 7HRUHPD WHUEXNWL Ö

%HULNXW DNDQ GLEHULNDQ EHEHUDSD KDVLO HOHPHQWHU WHUNDLW GHQJDQ LQGHNV WLWLN GDQ LQGHNV +DUDU\ VHEXDK JUDI

/HPPD

0LVDO ) JUDI WHUKXEXQJ VHGHUKDQD GHQJDQ J WLWLN GLPDQD 8:);L<R5áR6á å áRá= GDQ @:RÜ;L@Ü XQWXN VHWLDS E sQEQJ -LND :@5á@6á å á@á; GHQJDQ @5Q@6Q®Q@á DGDODK EDULVDQ GHUDMDW GDUL JUDI) PDND &áÀ:RÜ;Q@ÜE s t:JFsF@Ü;ä /HELK MDXK EDWDV DWDV GLFDSDL MLND0À:RÜ;L8:);F <RÜ=GHQJDQ NDWD ODLQ GLDPHWHU)PDNVLPXP %XNWL 0LVDONDQ 0À:RÜ;DGDODK KLPSXQDQ WLWLN WLWLN SHUVHNLWDUDQRÜGL) .DUHQD)JUDI VHGHUKDQD PDND @:RÜ;L 0À:RÜ; L@Ü 3HUKDWLNDQ EDKZD XQWXN VHWLDSQÐ0À:RÜ; @:RÜáQ;Ls 6HKLQJJD &áÀ:RÜ;LÃ 5 ×:é_Ôáè; èÐÏ:À; LÃ 5 ×:éÔáè; èÐÇ¸:éÔ; E Ã 5 ×:éÔáè; èÐÏ:À;?Ç¸:éÔ;?<éÔ= LÃ 5 5 èÐÇ¸:éÔ; E Ã 5 ×:éÔáè; èÐÏ:À;?Ç¸:éÔ;?<éÔ= L 0À:RÜ; E Ã 5 ×:éÔáè; èÐÏ:À;?Ç¸:éÔ;?<éÔ= L@ÜE Ã 5 ×:é_Ôáè; èÐÏ:À;?Ç¸:éÔ;?<éÔ= .DUHQD ) WHUKXEXQJ PDND XQWXN VHWLDS QÐ 8:);F0À:RÜ;F<RÜ= @:RÜáQ;Rtä 6HKLQJJD 5 ×:éÔáè;Q 5 6 GDQ Ã 5 ×:éÔáè; èÐÏ:À;?Ç¸:éÔ;?<éÔ= QÃ 5 6 èÐÏ:À;?Ç¸:éÔ;?<éÔ= L5 6 8:);F0À:RÜ; F<RÜ= L5 6:JF@ÜFs; 'DUL GDQ GLSHUROHK &áÀ:RÜ;Q@ÜE s t:JF@ÜFs;ä 6HODQMXWQ\D MLND 0À:RÜ;L8:);F<RÜ=PDND 8:);F0À:RÜ;F<RÜ=LÎ 6HKLQJJD&áÀ:RÜ;L@Ü 'HQJDQ GHPLNLDQ /HPPD WHUEXNWL Ö

+DVLO EHULNXW PHQXQMXNNDQ KXEXQJDQ DQWDUD LQGHNV +DUDU\ EDQ\DN WLWLN GDQ EDQ\DN VLVL VXDWX JUDI 'DQ KDO LQL EDQ\DN GLSDNDL GDODP SHPEXNWLDQ 7HRUHPD WHRUHPD VHODQMXWQ\D

7HRUHPD

-LND)PHUXSDNDQ JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQJWLWLN GDQ

IVLVL PDND *:);QJ:JFs; v E s tIä %XNWL 0LVDONDQ 8:);L<R5áR6á å áRÜ= %HUGDVDUNDQ /HPPD GLSHUROHK &áÀ:RÜ;Q@:RÜ;Es tkJFsF@:RÜ;oä %HUGDVDUNDQ 7HRUHPD *:); L5 6Ã &áÀ:RÜ; á Ü@5 .

Dengan demikian, diperoleh

*:);Q5 6Ã l@ÜE 5 6kJFsF@:RÜ;op á Ü@5 L5₆ÃáÜ@5@:RÜ;E 5 8Ã :JFsF@:RÜ; á Ü@5 ; L5 6Ã @:RÜ; á Ü@5 E 5 8J:JFs;F 5 8Ã @:RÜ; á Ü@5 L5 8J:JFs;E 5 8Ã @:RÜ; á Ü@5 %HUGDVDUNDQ 7HRUHPD -DEDW 7DQJDQ

Í@:RÜ; á Ü@5 LtIä 6HKLQJJD 5 8J:JFs;E 5 8Ã @:RÜ; á Ü@5 L5 8J:JFs;E 5 8:tI; L5 8J:JFs;E 5 6I 'HQJDQ GHPLNLDQ GDSDW GLVLPSXONDQ EDKZD*:);R á:á?5; 8 E 5 6IGDQ 7HRUHPD WHUEXNWL

Ö

B. 6\DUDW &XNXS %DJL 6HEXDK *UDI 0HUXSDNDQ

*UDI +DPLOWRQ

%HULNXW DNDQ GLWXQMXNNDQ EDKZD DSDNDK LQGHNV +DUDU\ VXDWX JUDI UHODWLI OHELK EHVDU GDUL EDQ\DN WLWLN PDND JUDI WHUVHEXW PHUXSDNDQ JUDI +DPLOWRQ

7HRUHPD

0LVDO) DGDODK JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN GDQ

JRu -LND *:);Rá.?6á>6

(5)

+DPLOWRQ NHFXDOL )L-5é:-5ë-á?6; DWDX

-6é:-6Öë-5; %XNWL

0LVDONDQ )JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ 8:);L

<R5áR6áR7á å áRá= GDQ @:RÜ;L@ÜáÊEásQEQJ GLPDQD*:);Rá.?6á>6 6 1. -LND*:);Pá ._?6á>6 6 PDND)JUDI +DPLOWRQ $QGDLNDQ ) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ GHQJDQ EDULVDQ GHUDMDW :@5á@6á å á@á; VHGHPLNLDQ KLQJJD@5Q@6Q®Q@áGDQJRu

%HUGDVDUNDQ /HPPD DGD VHEXDK ELODQJDQ EXODW GOá 6 VHGHPLNLDQ KLQJJD @ÞQG GDQ @á?ÞQJFGFs 7HQWXQ\DGRs %HUGDVDUNDQ /HPPD XQWXN VHWLDS L sQ EQJ &áÀ:RÜ;Q@ÜE s t:JF@ÜFs;ä 6HKLQJJD Í&áÀ:RÜ; á Ü@5 Q ÍF@ÜE s t:JF@ÜFs;G á Ü@5 ä 'DUL 7HRUHPD *:);L5 6Ã &áÀ:RÜ; á Ü@5 Q5 6Ã l@ÜE 5 6:JF@ÜFs;p á Ü@5 Lá:á?5;₈ E5 8Ã @Ü á Ü@5 Qá:á?5; 8 E 5 8>G 6E: JFtG; :JFGFs;EG:JFs;? Lá:á?5; 8 E 5 6E :á?5;:á?6; 8 F:Þ?5;:6á?7Þ?8; 8 Qá.?6á>6 6 F :Þ?5;:Þ?6; 8 F:Þ?5;:á?6Þ?5;₆ Lá.?6á>6 6 6HKLQJJD GDSDW GLVLPSXONDQ EDKZD *:);Q á.?6á>6 6 SDGDKDO GLNHWDKXL EDKZD *:);P á.?6á>6 6 -LND*:);Qá ._?6á>6 6 PDND KDO LQL NRQWUDGLNVL GHQJDQ SUHPLV SDGD 7HRUHPD GDQ EXNWL OHQJNDS Ö 2. -LND*:);Lá ._?6á>6 6 PDND SDGD NHVDPDDQ GDQ EHUODNX UHODVL ³VDPD GHQJDQ´ 6HODQMXW\D NDUHQDGRsGDQJPtG PDNDGL sDWDXGLtGDQJLtGEs .HVDPDDQ DNDQ GLSHQXKL MLND @5L®L @Þ LG @Þ>5 L®L@á?ÞLJFGFs GDQ @á?Þ>5L®L@áLJFs x -LND GLs PDND @5Ls @6L@7L®L @á?5LJFt GDQ @áLJFs %HUDNLEDW )LL-5é:-5 ë -á?6; GLPDQD ) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ x -LND GLt GDQ JLtGEs PDND JLw VHKLQJJD @5Lt @6Lt @7Lt @8Lv @9Lv %HUDNLEDW )L-6é:-6Öë-5; GLPDQD)EXNDQ JUDI +DPLOWRQ

6HODQMXWQ\D DNDQ GLEDKDV V\DUDW LQGHNV +DUDU\ GDUL JUDI ELSDUWLVL DJDU JUDI ELSDUWLVL WHUVHEXW PHUXSDNDQ JUDI +DPLOWRQ

7HRUHPD

0LVDO )L::á;; DGDODK JUDI ELSDUWLVL WHUKXEXQJ GHQJDQ ELSDUWLVL :L<T5áT6á å áTá= GDQ ;L <U5áU6á å áUá= GHQJDQ JRt -LND *:);R =á.?7á?8

: PDND ) JUDI +DPLOWRQ NHFXDOL ) L28 VHEXDK OLQWDVDQ GHQJDQ WLWLN %XNWL 'LNHWDKXL *:);R=á ._?7á?8 : GHQJDQ ) JUDI \DQJ PHPHQXKL SUHPLV SDGD 7HRUHPD 1. -LND*:);P=á ._?7á?8 : PDND)JUDI +DPLOWRQ $QGDLNDQ ) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ PDND EHUGDVDUNDQ /HPPD WHUGDSDW GOJ

VHGHPLNLDQ KLQJJD @:TÞ;QG GDQ@:Uá?Þ;Q

JFG 6HODQMXWQ\D DNDQ GLFDUL VHEXDK EDWDV DWDV&áÀ:TÜ; 0LVDONDQ @:T5;LO GDQ 0À:T5;L <V5áV6á å áVæ= PDND @À:T5áVÜ;LsáÊEásQ EQOGDQ@À:T5áTÜ;RtXQWXNtQEQJ GDQ @À:TÜáUÝ;Ru UÝ Ð;F0À:T5;PDND &áÀ:T5; LÃ 5 ×:ë-áé; éÐÏ:À;?<ë-= LÃ 5 ×:ë-áé;E éÐÇ¸:ë-; Ã 5 ×:ë-áëÔ;E ë_ÔÐÑ?<ë-= Ã 5 ×:ë-áìÕ; ì_ÕÐÒ?Ç¸:ë-; Q 0À:T5; E5 6:: Fs;E 5 7 :; F 0À:T5; ; LOE5 6:JFs;E 5 7:JFO; L6 7@:T5;E 9 :JF 5 6 6HKLQJJD &áÀ:T5;Q6 7@:T5;E 9 :JF 5 6 'HQJDQ FDUD \DQJ VDPD GLSHUROHKÊEátQEQ J &áÀ:TÜ;Q6 7@:TÜ;E 9 :JF 5 6 %HJLWX MXJDÊFásQFQJ GLSHUROHK &áÀkUÝo Q 6 7@kUÝo E 9 :JF 5 6 $NLEDWQ\D *:);L5 6ÃéÐÏ:À;&áÀ:R; Q5 6B 6 7kÃ k@:TÜ;E@:UÜ;o á Ü@5 o E 9 7J 6F_JC

(6)

Q5 6: 6 7:G 6E: JFG;JE:JFG;6 EGJ;E9 7J 6F_J; ₍₂₎ Q5 6@ 6 7:tJ 6_F t;E9 7J 6_F JA (3) Ls x:{J 6F_u_JF_v;

'DUL GDQ GLVLPSXONDQ EDKZD

*:);Q=á ._?7á?8 : SDGDKDO GLNHWDKXL EDKZD *:);P=á ._?7á?8 : -LND *:);Q=á ._?7á?8 : PDND KDO LQL

NRQWUDGLNVL GHQJDQ SUHPLV SDGD 7HRUHPD GDQ EXNWL OHQJNDS Ö 2. -LND *:);L=á ._?7á?8 : PDND UHODVL ³VDPD GHQJDQ´ GLSHQXKL SDGD GDQ 5HODVL ³VDPD GHQJDQ´ SDGD GLSHQXKL MLND N GDQ Q N GDQ MLND UHODVL ³VDPD GHQJDQ´ SDGD GLSHQXKL PDND @:T5;Lsá @:T6;Ltá@:U5;Lt GDQ @:U6;Ls

$NLEDWQ\D ) L28GDQ MHODV)EXNDQ JUDI +DPLOWRQ

%HEHUDSD 7HRUHPD EHULNXWQ\D VHODLQ LQGHNV +DUDU\ VXDWX JUDI MXJD NHWHUKXEXQJDQ GDUL JUDI WHUVHEXW GLMDGLNDQ V\DUDW XQWXN PHQHQWXNDQ +DPLOWRQLDQ VXDWX JUDI

7HRUHPD

0LVDONDQ) PHUXSDNDQ JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN GDQ JRst -LND *:);Rá

._?7á>;

6 PDND )

+DPLOWRQ DWDX) L-6ék:t-5;ë-á?8o %XNWL

0LVDONDQ ) JUDI \DQJ PHPHQXKL SUHPLV SDGD 7HRUHPD GHQJDQ*:);Rá ._?7á>; 6 1. -LND*:);Pá ._?7á>; 6 PDND)JUDI +DPLOWRQ $QGDLNDQ) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ GDQ)EXNDQ

) L-6é::t-5;ë-á?8; %HUGDVDUNDQ /HPPD PDND IQ@JFt t AEu GLPDQD IL ':); I Q@JFt t AEu L:á?6;:á?7; 6 Eu Lá ._?9á>56 6

%HUGDVDUNDQ 7HRUHPD GLSHUROHK 5 8J:JFs;E 5 6I Q5 8J:JFs;E 5 6@ á.?9á>56 6 A Lá.?7á>: 6 -LND*:);Qá ._?7á>: 6 PDND KDO LQL NRQWUDGLNVL GHQJDQ SUHPLV SDGD 7HRUHPD GDQ EXNWL OHQJNDS Ö 2. -LND *:);Lá.?7á>; 6 PDND GLSHUROHK )L -6ék:t-5;ë-á?8o GDQ ) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ 7HRUHPD

0LVDONDQ) DGDODK JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN GDQ JRsz -LND *:);Rá.?8á>59

6 PDND )

+DPLOWRQ DWDX) L-7ék:u-5;ë-á?:o %XNWL

0LVDONDQ) JUDI \DQJ PHPHQXKL SUHPLV SDGD 7HRUHPD GHQJDQ*:);Rá.?8á>59

6 1. -LND*:);Pá

._?8á>59

6 PDND)JUDI +DPLOWRQ $QGDLNDQ)EXNDQ JUDI +DPLOWRQ GDQ) EXNDQ

)L-7é::u-5;ë-á?:; %HUGDVDUNDQ /HPPD PDND IQ@JFu t AEz GLPDQD IL ':); I Q@JFu t AEz L:á?7;:á?8;₆ Ez Lá.?;á>6< 6

%HUGDVDUNDQ 7HRUHPD GLSHUROHK 5 8J:JFs;E 5 6I Qs vJ:JFs;E s tF J6F_y_JE_tz t G Lá.?8á>58 6 -LND*:);Qá ._?8á>58 6 PDND KDO LQL NRQWUDGLNVL GHQJDQ SUHPLV SDGD 7HRUHPD GDQ EXNWL OHQJNDS Ö 2. -LND *:);Lá ._?8á>59 6 PDND GLSHUROHK )L -7ék:u-5;ë-á?:o GDQ ) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ 7HRUHPD

0LVDONDQ ) JUDI WHUKXEXQJ N GHQJDQ Q WLWLN -LND

*:);R6á:á?5;?:Þ>5;:á?Þ?5;>5

8 PDND ) JUDI

+DPLOWRQ %XNWL

0LVDONDQ) JUDI \DQJ PHPHQXKL SUHPLV SDGD 7HRUHPD GHQJDQ*:);R6á:á?5;?:Þ>5;:á?Þ?5;>5 8 1. -LND *:);P6á:á?5;?:Þ>5;:á?Þ?5;>5 8 PDND ) JUDI +DPLOWRQ $QGDLNDQ ) WLGDN +DPLOWRQ %HUGDVDUNDQ /HPPD PDND IQ@J tAF :Þ>5;:á?Þ?5; 6 GLPDQDIL ':); I Q@J tAF :Þ>5;:á?Þ?5; 6

(7)

L:á;:á?5; 6 F :Þ>5;:á?Þ?5; 6 Lá.>Þ.?Þá>6Þ?6á>5 6

%HUGDVDUNDQ 7HRUHPD GLSHUROHK 5 8J:JFs;E 5 6I Q5 8J:JFs;E 5 6 @á ._>Þ._{?Þá>6Þ?6á>5} 6 A L6á:á?5;?:Þ>5;:á?Þ?5; 8 -LND*:);Q6á:á?5;?:Þ>5₈ ;:á?Þ?5; PDND KDO LQL NRQWUDGLNVL GHQJDQ SUHPLV SDGD 7HRUHPD GDQ EXNWL OHQJNDS Ö

C. 6\DUDW &XNXS %DJL 6HEXDK *UDI 0HUXSDNDQ

*UDI 6HPL +DPLOWRQ

%HULNXW DNDQ GLEDKDV V\DUDW LQGHNV +DUDU\ GDUL VXDWX JUDI WHUKXEXQJ QRQWULYLDO GHQJDQ Q WLWLN GDQ

JRv DJDU JUDI WHUVHEXW PHUXSDNDQ JUDI VHPL +DPLOWRQ

7HRUHPD

0LVDO)DGDODK JUDI WHUKXEXQJ \DQJ PHPLOLNL Q WLWLN GDQJRv -LND*:);R5 6J 6F7 6JE 9 6PDND)JUDI VHPL +DPLOWRQ NHFXDOL ) L-5é:-á?7ët-5; DWDX-6é:u-5ë-6; DWDX-8éx-5 %XNWL

0LVDONDQ ) JUDI WHUKXEXQJ \DQJ PHPHQXKL SUHPLV SDGD 7HRUHPD GHQJDQ*:);R5 6J 6F7 6JE 9 6 1. -LND*:);P5 6J 6F7 6JE 9 6 PDND)JUDI VHPL +DPLOWRQ

$QGDLNDQ) EXNDQ JUDI VHPL +DPLOWRQ GHQJDQ EDULVDQ GHUDMDW :@5á@6á å á@á; VHGHPLNLDQ KLQJJD@5Q@6Q®Q@áGDQJRv

%HUGDVDUNDQ /HPPD DGD VHEXDK ELODQJDQ EXODW GOá>5 6 VHGHPLNLDQ KLQJJD @Þ QGFs GDQ@á?Þ>5QJFGFs .DUHQD ) WHUKXEXQJ GDQ@Þ QGFs PDNDGRt %HUGDVDUNDQ /HPPD XQWXN VHWLDS L sQ EQJ &áÀ:RÜ;Q@ÜE s t:JF@ÜFs;ä 6HKLQJJD Í&áÀ:RÜ; á Ü@5 Q ÍF@ÜE s t:JF@ÜFs;G ä á Ü@5 Dari Teorema 3.1.2, *:); L5 6Ã &áÀ:RÜ; á Ü@5 Q5 6Ã l@ÜE 5 6:JF@ÜFs;p á Ü@5 (1) Lá:á?5; 8 E 5 8Ã @Ü á Ü@5 Qá:á?5;₈ E5 8>G:GFs; E:JFtGEs;:JFGFs; E:JFs;:GFs;? (2) Lá:á?5; 8 EsE :á?6;:á?7; 8 F :Þ?6;:6á?7Þ?9₈ ; Qá:á?5; 8 EsE :á?6;:á?7; 8 (3) L5 6J 6F7 6JE 9 6

Sehingga, dapat disimpulkan bahwa *:);Q

5 6J

6F7 6JE

9

6, padahal diketahui bahwa

*:);P5 6J 6F7 6JE 9 6. Jika *:);Q5 6J 6F7 6JE 9

6, maka hal ini kontradiksi dengan premis pada Teorema, dan bukti lengkap. Ö 2. -LND*:);L5₆J6F7₆JE9₆ PDND UHODVL ³VDPD GHQJDQ´ GLSHQXKL SDGD NHVDPDDQ GDQ 6HODQMXWQ\D %HUGDVDUNDQ /HPPD NHVDPDDQ GLSHQXKL MLND GLDPHWHU JUDI )R t .HVDPDDQ DNDQ GLSHQXKL MLND @5L@6L®L@ÞLGFs, @Þ>5L@Þ>6L ®L@á?Þ>5LJFGFs, dan @á?Þ>6L @á?Þ>7L®L@áLJFs. (**) .HVDPDDQ GLSHQXKL MLND N Q N HNLYDOHQ GHQJDQ N DWDX Q N x -LND N PDND)JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ@5L @6Ls @7L@8L®L@á?5LJFu GDQ @áLJFs %HUDNLEDW JUDI ) L-5é :-á?7ë t-5; x -LND Q N PDND JQsr NDUHQD GO :á>5; 6 PDND Q N DWDX Q N

'DUL GDSDW GLNHWDKXL EDKZD ) DGDODK JUDI WHUKXEXQJ \DQJ EHURUGHU GHQJDQ@5L

@6L@7Lt @8L@9Lu @:L@;Lx

$WDX)DGDODK JUDI WHUKXEXQJ \DQJ EHURUGHU GHQJDQ @5L®L@:Lv @;L®L

@54L{ %HUDNLEDW JUDI ) L-6é :u-5ë

-6;DWDX)L-8éx-5

D. 6\DUDW &XNXS %DJL 6HEXDK *UDI 0HUXSDNDQ

*UDI +DPLOWRQ .XDW

7HRUHPD EHULNXW PHUXSDNDQ V\DUDW LQGHNV +DUDU\ VXDWX JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN DJDU JUDI WHUVHEXW PHUXSDNDQ JUDI +DPLOWRQ NXDW

7HRUHPD

0LVDONDQ ) PHUXSDNDQ JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN -LND*:);Rá.?6á>7

6 PDND) JUDI +DPLOWRQ NXDW NHFXDOL )L-6é:-5ë-á?7; DWDX -7é :u-5;

%XNWL

0LVDONDQ ) JUDI WHUKXEXQJ \DQJ PHPHQXKL SUHPLV SDGD 7HRUHPD GHQJDQ*:);Rá

._?6á>7 6

(8)

1. -LND *:);Pá.?6á>7

6 PDND ) JUDI +DPLOWRQ NXDW

$QGDLNDQ ) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ NXDW GHQJDQ EDULVDQ GHUDMDW :@5á@6á å á@á; VHGHPLNLDQ KLQJJD@5Q@6Q®Q@áGDQJRu

%HUGDVDUNDQ /HPPD DGD VHEXDK ELODQJDQ EXODW N GHQJDQ tQGOá 6 VHGHPLNLDQ KLQJJD @Þ?5QGGDQ@á?ÞQJFG %HUGDVDUNDQ /HPPD XQWXN VHWLDS L sQ EQJ &áÀ:RÜ;Q@ÜE s t:JF@ÜFs;ä 6HKLQJJD Í&áÀ:RÜ; á Ü@5 Q ÍF@ÜE s t:JF@ÜFs;G á Ü@5 ä Dari Teorema 3.1.2, *:);L5₆ÃáÜ@5&áÀ:RÜ; Q5 6Ã l@ÜE 5 6:JF@ÜFs;p á Ü@5 Lá:á?5; 8 E 5 8Ã @Ü á Ü@5 Qá:á?5₈ ;E5₈>G:GFs;E:JFtGE s;:JFG;EG:JFs;? (2) Lá:á?5; 8 EsE :á?5;:á?6; 8 F :Þ?6;:6á?7Þ?7; 8 Qá ._?6á>7 6 F :Þ?6;:Þ?7; 8 F :Þ?6;:₆á?6Þ; (3) Lá.?6á>7 6 6HKLQJJD GDSDW GLVLPSXONDQ EDKZD *:);Q á.?6á>7 6 SDGDKDO GLNHWDKXL EDKZD *:);P á.?6á>7 6 -LND*:);Qá.?6á>7 6 PDND KDO LQL NRQWUDGLNVL GHQJDQ SUHPLD SDGD 7HRUHPD GDQ EXNWL OHQJNDS Ö 2. -LND *:);Lá ._?6á>7 6 PDND UHODVL ³VDPD GHQJDQ´ EHUODNX SDGD NHVDPDDQ GDQ 6HODQMXWQ\D NDUHQD GRt GDQ JRtG PDND N DWDX N GDQ Q N

Kesamaan (6) akan dipenuhi jika @5L®L

@Þ?5LGá @ÞL®L@á?ÞLJFG, dan

@á?Þ>5L®L@áLJFs .

x -LND N PDND @5Lt @6L@7L®L

@á?6LJFtá GDQ @á?5L@áLJFs

%HUDNLEDW) L-6é:-5 ë -á?7; GLPDQD) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ NXDW

x -LND N GDQ Q N PDND Q VHKLQJJD@5L u @6Lu @7Lu @8Lw @9LwGDQ@:L w %HUDNLEDW ) L-7é:u-5; GLPDQD ) EXNDQ JUDI +DPLOWRQ NXDW

3(18783

6LPSXODQ

%HUGDVDUNDQ SHPEDKDVDQ SDGD VNULSVL \DQJ EHUMXGXO LQGHNV +DUDU\ JUDI +DPLOWRQ VHPL +DPLOWRQ GDQ +DPLOWRQ NXDW GDSDW GLVLPSXONDQ KDO KDO EHULNXW 1. 6HEXDK JUDI GLNDWDNDQ VHEDJDL JUDI +DPLOWRQ MLND

PHPHQXKL V\DUDW LQGHNV +DUDU\ VHEDJDL EHULNXW

9 -LND *:);Rá ._?6á>6 6 GDQ ) JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN GDQ JRu 0DND ) JUDI +DPLOWRQ NHFXDOL)L-5é:-5ë-á?6; DWDX -6é:-6Öë-5; 9 -LND *:);R=á.?7á?8 : GDQ )L::á;; DGDODK JUDI ELSDUWLVL WHUKXEXQJ GHQJDQ ELSDUWLVL :L

<T5áT6á å áTá= GDQ;L<U5áU6á å áUá= GHQJDQ

JRt 0DND) JUDI +DPLOWRQ NHFXDOL)L28 VHEXDK OLQWDVDQ GHQJDQ WLWLN 9 -LND *:);Rá.?7á>; 6 GDQ ) JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN GDQJRst 0DND) +DPLOWRQ DWDX)L-6ék:t-5;ë-á?8o 9 -LND*:);Rá ._?8á>59 6 GDQ) JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN GDQJRsz 0DND) +DPLOWRQ DWDX)L-7ék:u-5;ë-á?:o 9 -LND*:);R6á:á?5;?:Þ>5₈;:á?Þ?5;>5GDQ)JUDI WHUKXEXQJ N GHQJDQ Q WLWLN 0DND ) JUDI +DPLOWRQ

2. 6HEXDK JUDI GLNDWDNDQ VHEDJDL JUDI VHPL +DPLOWRQ MLND PHPHQXKL V\DUDW LQGHNV +DUDU\ VHEDJDL EHULNXW

9 -LND *:);R5 6J 6F7 6JE 9 6 GDQ ) JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN GDQ JRv 0DND )

JUDI VHPL +DPLOWRQ NHFXDOL) -5é:-á?7ë t-5; DWDX-6é:u-5ë-6; DWDX-8éx-5 3. 6HEXDK JUDI GLNDWDNDQ VHEDJDL JUDI +DPLOWRQ NXDW

MLND PHPHQXKL V\DUDW LQGHNV +DUDU\ VHEDJDL EHULNXW

9 -LND *:);Rá.?6á>7 6 GDQ ) PHUXSDNDQ JUDI WHUKXEXQJ GHQJDQ Q WLWLN 0DND ) JUDI KDPLOWRQ NXDW NHFXDOL )L-6é:-5ë-á?7; DWDX-7é:u-5; 6DUDQ

3HQXOLV PHQ\DUDQNDQ XQWXN SHQHOLWLDQ VHODQMXWQ\D GDSDW PHPEDKDV V\DUDW SHUOX GDQ V\DUDW FXNXS EDJL VHEXDK JUDI DJDU JUDI WHUVHEXW PHUXSDNDQ JUDI +DPLOWRQ JUDI VHPL +DPLOWRQ PDXSXQ JUDI +DPLOWRQ NXDW PHQJJXQDNDQ LQGHNV +DUDU\ GDUL VXDWX JUDI

'$)7$5 3867$.$

%XGD\DVD , .HWXW 7HRUL *UDI GDQ $SOLNDVLQ\D 6XUDED\D 8QLSUHVV

%\HU 2ZQ ' DQG 'HLUGUH / 6PHOW]HU ³(GJH %RXQGV LQ 1RQKDPLOWRQLDQ . &RQQHFWHG *UDIV´

KWWSV GRL RUJ M GLVF

& %HUJH *UDSKV DQG +\SHUJUDSKV $PHULFDQ (OVHYHLU 3XEOLVKLQJ &RPSDQ\

(9)

+XD +RQJER DQG 0DROLQ :DQJ ³2Q +DUDU\ ,QGH[ DQG 7UDFHDEOH *UDIV +DUDU\ ,QGH[ &RQGLWLRQ IRU *UDIV WR %H 7UDFHDEOH´

,QIR $UWLFOH ³'LVWDQFH %DVHG 7RSRORJLFDO ,QGLFHV DQG 'RXEOH *UDI´

KWWSV GRL RUJ LMPF

J.A. Bondy, 8 6 5 0XUW\ ³*UDSK 7KHRU\ :LWK $SOLFDWLRQV´ 0DFPLOODQ /RQGRQ DQG (OVHYHLU 1HZ York.

/L 5DR ³+DUDU\ ,QGH[ DQG 6RPH +DPLOWRQLDQ 3URSHUWLHV RI *UDIV ´ AKCE International Journal of Grafs and Combinatorics 12 (1). Elseveir B.V.:64-69. https://doi.org/10.1016/j.akcej.2015.06.010.

/LX 5XLIDQJ ;XH 'X DQG +XLFDL -LD ³6RPH Observations on Harary Index and Traceable *UDIV ´77 (1521315002): 195-208.

Plav, Dejan, Sonja Nikoli, and Nenaj Trinajsti. 1993. ³2Q 7KH +DUDU\ ,QGH[ IRU WKH &KDUDFWHUL]DWLRQ RI &KHPLFDO *UDIV ´ -36.

Petersen, Graf, D. A. N. Beberapa, Sifat-sifat Yang Berkaitan, Petersen Graf, and Some related Properties.

³1R WLWOH ´

7HNQLN 6HNRODK ³3HQHUapan Sirkuit Hamilton 'DODP 3HUHQFDQDDQ /LQWDVDQ WUHP 'L ,7% ´

=KRX %R ³2Q +DUDU\ ,QGH[ ´ Q 6HSWHPEHU 2015. https://doi.org/10.1007/s10910-007-9339-2.

(10)