PROFIL BERPIKIR SISWA DALAM
MENGKONSTRUK BUKTI GEOMETRI SEBAGAI
PROSEP BERDASARKAN TEORI GRAY-TALL
SKRIPSI
Oleh:
MUHAMMAD MAHRUS ALI NIM. D04212020
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
JURUSAN PMIPA
PROFIL BERPIKIR SISWA DALAM
MENGKONSTRUK BUKTI GEOMETRI SEBAGAI
PROSEP BERDASARKAN TEORI GRAY-TALL
SKRIPSI
Diajukan kepada Universitas Islam Negeri Sunan Ampel Surabaya untuk memenuhi salah satu persyaratan
dalam menyelesaikan Program Sarjana Pendidikan (S.Pd.)
Oleh:
MUHAMMAD MAHRUS ALI NIM. D04212020
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
JURUSAN PMIPA
PROFIL BERPIKIR SISWA DALAM
MENGKONSTRUK BUKTI GEOMETRI SEBAGAI
PROSEP BERDASARKAN TEORI GRAY-TALL
Oleh: Muhammad Mahrus Ali ABSTRAK
Pembuktian di matematika dan dalam pendidikan matematika merupakan hal yang penting. Pentingngya pembuktian bahkan dianggap sebagai inti dari berpikir matematis. Bukti geometri merupakan salah satu dari pembuktian matematika. Pada pembelajaran matematika di SMP, pembuktian geometri sangat penting. Pembuktian geometri pada anak SMP akan meningkatkan berpikir matematis dan lebih memahami konsep dan proses (prosep). Pada anak SMP kadang hanya paham pada proses penyelesaian masalah tetapi kurang paham terhadap konsepnya. Oleh karena itu, prosep (proses dan konsep) itu bisa ditingkatkan lewat bukti geometri. Tahapan prosep (proses dan konsep) itu di bahas oleh teori Gray-Tall.
Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dengan data kualitatif. Subjek penelitian adalah dua siswa kelas delapan SMP Negeri 1 Gedeg. Subjek penelitian diambil berdasarkan petimbangan guru matematika di sekolah tersebut. Pengumpulan data dilakukan denga cara pemberian tes matematika dan wawancara. Untuk menguji kredibilitas data, peneliti melakukan triangulasi sumber. Data yang telah diperoleh kemudian dianalisis berdasarkan indikator mengkonstruk bukti geometri dan tahap mengkonstruk bukti dari teori Gray-Tall.
Setelah dilakukan analisis data penelitian, didapatkan hasil sebagai berikut: proses berpikir siswa dalam mengkonstruk bukti geometri berdasarkan teori Gray-Tall terdiri dari lima indikator yang terdapat pada tiga tahapan mengkonstruk bukti geometri sebagai prosep yaitu tahap prosedur, proses, dan prosep (proses dan konsep). Indikator mengkonstruk bukti geometri sebagai prosep yaitu mengidentifikasi apa yang menjadi fakta dalam pembuktian geometri, membuat konjektur sebagai hipotesis dalam pembuktian, menunjukkan aturan/warrant sebagai hal yang menjembatani pernyataan dan kesimpulan, mengidentifikasi apa yang menjadi kesimpulan dalam pembuktian geometri, dan mengetahui aturan-aturan penarikan kesimpulan dari proses pembuktian geometri yang logis.
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
ABSTRAK ... vi
KATA PENGANTAR ... vii
DAFTAR ISI ... viii
DAFTAR GAMBAR ... x
DAFTAR TABEL ... xii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 6
C. Tujuan Penelitian ... 6
D. Manfaat Penelitian ... 6
E. Batasan Penelitian ... 6
F. Definisi Operasional... 7
G. Sistematika Pembahasan ... 7
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Berpikir ... 9
B. Bukti Geometri ... 10
C. Kemampuan Mengkonstruk Bukti Geometri ... 12
D. Prosep ... 14
E. Teori Gray-Tall ... 21
F. Sudut dan Segitiga ... 23
BAB III METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian ... 31
B. Waktu dan Tempat Penelitian ... 31
C. Subjek Penelitian ... 31
D. Teknik Pengumpulan Data ... 32
E. Instrumen Penelitian... 33
ix
A. Deskripsi data ... 39 B. Analisis data ... 45 BAB V PEMBAHASAN ... 81 BAB VI PENUTUP
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Proses Penjumlahan dengan Cara Hitung
Berkelanjutan dalam Prosep Jumlah ... 17
Gambar 2.2 Proses Penjumlahan dengan Cara Pengelompokkan Lima-Lima dalam Prosep Jumlah ... 18
Gambar 2.3 Proses Dinamis atas Prosep Nilai Tempa... 18
Gambar 2.4 Skema penampilan dalam proses Matematika ... 23
Gambar 2.5 Aktivitas sehari-hari yang membentuk Sudut ... 23
Gambar 2.6 Sudut yang terbentuk oleh Dua Sinar Garis .... 24
Gambar 2.7 Penamaan Sudut ABC atau Sudut CBA ... 24
Gambar 2.8 Busur Derajat ... 25
Gambar 2.9 Sudut lancip, tumpul, siku-siku, dan sudut lurus ... 25
Gambar 2.10 Hubungan antar Dua Sudut ... 26
Gambar 2.11 Sudut Berpenyiku ... 26
Gambar 2.12 Sudut Berpelurus ... 27
Gambar 2.13 Dua Garis yang saling Bertolak Belakang ... 27
Gambar 2.14 Garis k dan l dipotong Garis m ... 28
Gambar 2.15 Berbagai bentuk segitiga ... 29
Gambar 2.16 Jenis-jenis Segitiga Berdasarkan Sifat-Sifatnya ... 29
Gambar 2.17 Segitiga ABC ... 30
Gambar 2.18 Segitiga XYZ ... 30
Gambar 3.1 Alur Pemilihan Subjek Penelitian ... 32
Gambar 4.1 Jawaban tertulis subjek S1 ... 40
Gambar 4.2 Jawaban tertulis Subjek S2 ... 43
Gambar 4.3 Potongan jawaban tertulis subjek S1 terkait identifikasi fakta dalam pembuktian ... 47
Gambar 4.4 Potongan jawaban tertulis subjek S1 terkait konjektur dalam pembuktian ... 49
xi
Gambar 4.6 Potongan jawaban tertulis subjek S1 terkait kesimpulan pada pembuktian geometri ... 55 Gambar 4.7 Potongan jawaban tertulis subjek S1 terkait
cara lain dalam pembuktian ... 61 Gambar 4.8 Potongan jawaban tertulis subjek S2 terkait
identifikasi fakta dalam pembuktian ... 63 Gambar 4.9 Potongan jawaban tertulis subjek S2 terkait
konjektur dalam Pembuktian ... 65 Gambar 4.10 Potongan jawaban tertulis subjek S2 terkait
aturan/warrant ... 67 Gambar 4.11 Potongan jawaban tertulis subjek S2 terkait
kesimpulan pada pembuktian geometri ... 70
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Kemampuan mengonstruk bukti
matematika (dari Sumarmo) ... 13
Tabel 2.2 Nilai fungsi f(x) ... 20
Tabel 2.3 Nama sudut yang dibentuk oleh dua garis yang sejajar dan dipotong satu garis lurus ... 28
Tabel 3.1 Daftar nama subjek penelitian ... 32
Tabel 3.2 Daftar nama validator ... 35
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Jawaban tertulis subjek S1
Lampiran 2 Jawaban tertulis subjek S2
Lampiran 3 Soal tes matematika
Lampiran 4 Lembar validasi I tes matematika Lampiran 5 Lembar validasi II tes matematika Lampiran 6 Pedoman wawancara
Lampiran 7 Lembar validasi I pedoman wawancara Lampiran 8 Lembar validasi II pedoman wawancara Lampiran 9 Hasil transkrip wawancara subjek S1
Lampiran 10 Hasil transkrip wawancara subjek S2
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar belakang
Matematika memiliki peran yang sangat penting dalam membangun kemampuan berpikir dan berlogika peserta didik. Disamping itu, matematika merupakan alat bantu dan pelayan ilmu, tidak hanya untuk matematika itu sendiri tetapi juga untuk ilmu-ilmu yang lain, baik untuk kepentingan teoritis maupun kepentingan praktis dalam pemecahan sehari-hari sebagai aplikasi dari matematika. Matematika merupakan ilmu yang sangat penting. Hal ini dibuktikan dengan adanya mata pelajaran matematika yang diberikan dari jenjang dasar sampai jenjang tinggi. Matematika diberikan kepada siswa sebagai bekal untuk dapat berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif serta kemampuan bekerja sama agar dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif.1 Oleh karena itu pemerintah menyusun standar kompetensi dan kompetensi dasar matematika yang tercantum dalam peraturan menteri pendidikan nasional No. 22 Tahun 2006 sebagai landasan dalam pembelajaran matematika agar siswa mempunyai beberapa kemampuan tersebut.
Cakupan ruang lingkup pembelajaran matematika di Sekolah Dasar (SD) berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) meliputi: (1) bilangan, (2) geometri dan pengukuran, (3) pengolahan data.2 Adapun tujuan pembelajaran matematika di sekolah dasar menurut Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) adalah agar siswa memiliki kemampuan sebagai berikut:3 (1) memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep, dan mengaplikasikan konsep atau alogaritma secara luwes, akurat, dan efisien, serta tepat dalam pemecahan masalah, (2) menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat
1 BSNP. Standar isi standar kompetensi dan Kompetensi Dasar Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan Jenjang Pendidikan Sekolah Dasar. 2006, Jakarta : BSNP, hal 416. 2Ibid, halaman 417.
3
2
generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika, (3) memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan dan menafsirkan solusi yang diperoleh, (4) mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah, (5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.
Dalam memecahkan permasalahan siswa membutuhkan proses berpikir. Berpikir merupakan aktivitas mental untuk mengolah pengetahuan atau menyusun ulang informasi dari lingkungan. Berpikir juga merupakan proses kognitif yang digunakan seseorang untuk menyelesaikan permasalahan. Berpikir dalam memecahkan masalah matematika merupakan proses yang harus dihadapi ketika siswa mendapatkan permasalahan matematika. Berpikir yang demikian bisa disebut dengan berpikir matematis.
Menurut Tall, berpikir matematis dapat dikelompokkan menjadi tiga, yaitu (a) dunia wujud yang bermula dari interaksi dengan objek dunia nyata dan berkembang berdasarkan pengalaman-pengalaman inderawi melalui deskripsi dan definisi verbal, (b) dunia simbolik yang berkembang dari aksi (seperti menghitung) menuju kalkulasi dan manipulasi berbentuk simbol yang berfungsi secara dual sebagai proses dan konsep (prosep), dan (c) dunia formal yang berdasarkan aksioma untuk membangun sistem, berdasarkan definisi untuk membuat konsep baru, dan berdasarkan bukti formal untuk membangun teori-teori yang koheren.4
Di dalam matematika, pembahasan mengenai bukti sangatlah diperlukan. Teorema-teorema matematik harus melalui sebuah prosedur pembuktian yang jelas. Griffiths menyatakan bahwa bukti matematik adalah suatu cara berpikir formal dan logis yang dimulai dengan aksioma dan bergerak maju melalui
3
langkah logis sampai pada suatu kesimpulan.5 Melalui proses pembuktian tersebut didapatkan perkembangkan kemampuan berpikir matematik. Dengan demikian pembuktian matematika merupakan salah satu aspek yang harus diperhatikan dalam pembelajaran matematika.
Bukti merupakan serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Logis maksudnya setiap langkah dalam argumentasi dibenarkan oleh langkah-langkah sebelumnya.6 Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal.
Bukti dan argumentasi dikembangkan dalam pembuktian dengan tujuan untuk meyakinkan diri sendiri atau orang lain tentang kebenaran suatu pernyataan.7 Webber menyatakan bahwa salah satu tujuan dari pembuktian merupakan penjelasan
(explanation).8 Seorang pembaca dapat memahami kebenaran
suatu pernyataan bila ia mempunyai penjelasan. Hal ini diperlukan oleh siswa sebagai latihan membuat penjelasan dalam menyampaikan gagasannya.
Bukti mempunyai peran yang sangat penting dalam matematika dan dalam pendidikan matematika. Bukti diakui sebagai inti berpikir matematis dan bernalar deduktif. Seseorang tidak dapat mempelajari matematika tanpa belajar bukti matematis dan bagaimana membuatnya. Bahkan, bukti dianggap sebagai komponen penting untuk bekerja, berkomunikasi, mengetahui, dan memahami matematika.
Bukti dalam pembelajaran geometri SMP sangat penting. Pembuktian pada geometri di sekolah tidak hanya dapat meningkatkan pemahaman konsep-konsep matematika, juga dapat melatih berpikir untuk meningkatkan kemampuan bernalar dan
5Dadang Juandi..“Pembuktian, penalaran dan komunikasi matematika,” (FMIPA-UPI, 2008), 3
6Ibid, halaman 2.
7Artikel dalam internet :Pedemonte,B.. How can the relationship between argumentation and proof beanalysed?, (Jurnal Springer Science + Business Media B.V, 2007) dapat diakses dihttp://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10649-006-9057-x diakses pada10 April 2016.
8
4
membangun karakter peserta didik.9 Walaupun mayoritas siswa SMP hanya mampu menyusun bukti informal dalam pembelajaran, tetapi kegiatan mengonstruksi bukti akan mengoptimalkan hasil belajar dan mengembangkan kemampuan mereka mengonstruksi bukti formal matematika lebih lanjut. Karena itu sangat penting memahami proses berpikir siswa SMP mengonstruksi bukti informal dalam kegiatan belajar geometri.10
Aspek proses penalaran maupun aspek konsep bukti merupakan dua hal penting yang tidak dapat dipisahkan untuk memahami teorema yang dibuktikan secara optimal. Secara empirik, ada siswa yang tidak mampu menyusun bukti suatu teorema geometri dan ternyata tidak memahami makna teorema tersebut secara geometri, walaupun mampu menggunakan teorema tersebut dalam memecahkan masalah. Siswa tersebut hanya memahami makna teorema secara aritmatik. Tetapi siswa lain yang menyusun bukti dan memahami maknanya, mampu memahami makna teorema yang dibuktikan tersebut secara geometri maupun secara aritmatika. Dengan demikian bukti lebih tepat dipandang sebagai dualitas proses dan konsep, disingkat prosep.
Gray dan Tall mengembangkan teori prosep berdasarkan teori Piaget. Prosep merupakan campuran proses, konsep, dan simbol yang menyatakan proses dan konsep tersebut.11 Gray dan Tall menjelaskan bahwa
“An elementary procept is the amalgam of three
components: a process which produces a mathematical object, and a symbol which is used to represent either process or object. ….. A procept consists of a collection of elementary procepts which have the same object”.12
9Fuys, D., Geddes, D., and Tischer, R. “The van Hiele Model of Thinking in Geometry Among Adolescens.”no. 3.1998,.
10Sunardi, “Tingkat Perkembangan Konsep Geometri Siswa Kelas III SLTP Negeri di Jember.”6(5), 2000, halaman 635-639.
11Davis.G. Gray,E.Simpson, A., Tall,D., Thomas, M. 2000. “What is the Object of the Encapsulation of a Process?”
http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2000a-objec-encap-jmb.pdf,diakses pada tanggal 10 April 2016
12Eddie Gray, dan David Tall,.”Duality, Ambiguity and Flexibility : A Proceptual View of
5
Sebuah prosep dasar adalah campuran dari tiga komponen. Sebuah proses yang menghasilkan objek matematika dan sebuah simbol yang digunakan untuk merepresantisakan sebuah proses atau objek. Prosep memuat suatu koleksi dari prosep dasar yang mempunyai objek sama. Sebagai prosep, bukti juga memiliki proses, konsep dan simbol. Berdasarkan pendapat Gray dan Tall, disimpulkan bahwa dengan memandang bukti sebagai prosep terdapat simbol didalamnya. Simbol prosep adalah redaksi teorema yang menyatakan proses dan konsep bukti. Proses bukti adalah prosedur-prosedur yang dinyatakan secara gamblang dan sederhana yang dapat dilakukan dan sukses dalam menyusun bukti, dan konsep bukti adalah makna yang terkandung dalam rangkaian bukti.13
Gray dan Tall menjelaskan lebih lanjut bahwa ada tiga tahap aktivitas pengonstruksian prosep dalam pikiran yaitu tahap prosedur, proses dan prosep.
“….. the meaning of symbols developed through a
sequence of activities: (a) procedure, where a finite succession of decisions and action is built up into a coherent sequence, (b) process, where increasingly efficient ways become available to achieve the same result, now seen as a whole, (c) procept, where the symbols are conceived flexibly as processes to do and concepts to think about” .14
Arti dari simbol berkembang melalui sebuah rangkaian aktivitas : a) prosedur, dimana suksesi berhingga dari keputusan dan aksi dibangun kedalam rangkaian yang terkait, b) proses, dimana langkah efisisen berkembang menjadi bisa mencapai hasil yang sama, sekarang dilihat sebagai sebuah kesluruhan, c) prosep, dimana simbol dipahami secara fleksibel sebagai proses untuk melakukan dan konsep untuk memikirkan. Dari latar belakang yang dijabarkan di atas maka, peneliti ingin melakukan penelitian dengan judul Profil Berpikir Siswa Dalam Mengonstruk Bukti Geometri sebagai Prosep berdasarkan Teori Gray-Tall.
13Erh-Tsung Chin.2003: “Mathematical Proof as Formal Procept in Advanced Mathematical Thinking”.http://online.terc.edu/PME2003/PDF/RR_chin.pdf,diakses pada tanggal 10 April 2016
6
B. Rumusan masalah
Bertolak dari latar belakang masalah yang telah diuraikan di atas, maka rumusan masalah penelitian tersebut dapat dirinci ke dalam pertanyaan penelitian sebagai berikut “Bagaimana profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall?”
C. Tujuan penelitian
Tujuan penelitian ini dimaksud untuk mendeskripsikan profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall.
D. Manfaat penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut:
1.
Bagi guru, hasil penelitian ini diharapkan dapat menambah khasanah ilmu, khususnya dalam bidang pendidikan mengenai profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall.2.
Bagi sekolah, hasil dari penelitian ini dapat memberikan pengetahuan kepada pihak sekolah mengenai profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall sehingga dapat memberikan pembinaan lebih lanjut untuk meningkatkan pola pikir siswa yang lebih baik.3.
Bagi penulis dan pembaca diharapkan dari hasil penelitian ini mampu memberikan pengetahuan mengenai profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall.E. Batasan penelitian
7
F. Definisi operasional
Agar tidak terjadi salah pengertian terhadap maksud penelitian ini, maka berikut ini diberikan definisi yang terdapat dalam penyusunan penelitian ini :
1. Profil adalah gambaran alami proses dan hasil tentang sesuatu yang diungkapkan dengan kata-kata atau gambar.
2. Berpikir adalah aktivitas kognitif siswa dalam mengolah, memproses informasi, dan menghubungkan ide-ide dengan menggunakan operasi mental yaitu bernalar, berimajinasi, dan abstraksi.
3. Mengkonstruk adalah kemampuan menyusun dan membuat gagasan atau pernyataan dalam mengerjakan kegiatan.
4. Mengkonstruk bukti geometri adalah kemampuan menyusun suatu bukti pernyataan matematik berdasarkan definisi, prinsip, dan teorema serta menuliskannya dalam bentuk pembuktian lengkap (pembuktian langsung atau tak langsung).
5. Teori Gray-Tall menjelaskan lebih lanjut bahwa ada tiga tahap aktivitas pengonstruksian prosep dalam pikiran yaitu tahap prosedur, proses dan prosep.
6. Prosedur merupakan serangkaian langkah untuk mendapatkan/menemukan hasil.
7. Proses adalah tahap berpikir siswa dalam mengerjakan masalah matematika dengan aturan yang digunakan.
8. Prosep merupakan tahap berpikir siswa yang paham akan proses dan konsep yang digunakan pada penyelesaian masalah matematika.
G. Sistematika Pembahasan
Sistematika pembahasan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
Bab 1: Pendahuluan berisi tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, batasan penelitian, definisi operasional, dan sistematika pembahasan.
8
Bab 3: Metode penelitian berisi tentang jenis penelitian, tempat dan waktu penelitian, subjek penelitian beserta alur pemilihannya, teknik dan instrumen pengumpulan data, teknik analisis data, dan prosedur penelitian.
Bab 4: Hasil penelitian yang meliputi, deskripsi dan analisis data tentang profil berpikir siswa dalam mengkonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall.
Bab 5: Pembahasan berisi hasil tentang penelitian me n g ko n s t r u k b u k t i ge o me t r i s e b a ga i p r o s e p b e r d a s a r k a n t e o r i G r a y -T a l l .
9
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. BerpikirBerpikir merupakan aktivitas mental untuk mengolah pengetahuan atau menyusun ulang informasi dari lingkungan. Berpikir juga merupakan proses kognitif yang digunakan seseorang untuk menyelesaikan permasalahan. Santrock mendefinisikan berpikir sebagai manipulasi atau mengolah dan mentransformasi informasi dalam memori.1 Sedangkan menurut Arends mendefinisikan berfikir sebagai proses yang melibatkan operasi mental, seperti induksi, deduksi, klasifikasi, dan penalaran.2 Solso juga menjelaskan tentang definisi berpikir sebagai berikut:
Thinking is a process by which a new mental representation is formed through the transformation of information by complex interaction of the mental attributes of judging, abstracting, reasoning, imagining and problem solving.3
Solso mendefinisikan berpikir merupakan proses yang menghasilkan representasi mental baru melalui transformasi informasi yang melibatkan interaksi secara kompleks antara atribut-atribut mental seperti penilaian, abtraksi, penalaran, imajinasi, dan pemecahan masalah. Dapat dikatakan, bahwa berpikir merupakan proses mengolah informasi yang melibatkan aktivitas mental seperti penilaian, abstraksi, penalaran, imajinasi, dan pemecahan masalah. Berdasarkan beberapa definisi tentang berpikir, dapat disimpulkan bahwa berpikir dalam penelitian ini adalah aktivitas kognitif siswa dalam mengolah, memproses informasi, dan menghubungkan ide-ide dengan menggunakan operasi mental yaitu bernalar, berimajinasi, dan abstraksi.
1Santrock,A Topical Approach to Life-Span Development Edition., (New York: Mc Graw Hill Companies)
2Arends. Learning to Teach Fifth Edition. Singapure: Mc Graw hill Higher Education 3
10
B. Bukti Geometri
Bukti adalah sesuatu yang menyatakan kebenaran suatu peristiwa.4 Bukti di dalam matematika berbeda dengan bukti yang dikenal di dalam disiplin ilmu yang lain. Bukti, secara etimologis, mengandung beragam makna yang bersifat kontekstual bergantung pada bidang ilmu di mana bukti tersebut dibicarakan. Bukti bagi hakim dapat berimplikasi pada sesuatu yang tidak diragukan lagi. Bukti bagi statistikawan berarti terjadi dengan probabilitas tertentu, dan bagi ilmuwan bukti adalah hasil dari suatu eksperimen empiris.5 Namun, di kalangan matematikawan, bukti memiliki peran penting yakni sebagai suatu metode meyakinkan yang digunakan untuk menguji pengetahuan dan sangat berbeda dengan cara induksi di dalam kegiatan-kegiatan empiris.6 Karakteristik bukti yang demikian menjadi salah satu alasan mengapa matematika secara tradisional dipandang sangat berbeda dengan ilmu pengetahuan alam (sains) yang berlandaskan metode induktif. Tetapi pada dasarnya, bukti atau membuktikan berarti mereproduksi suatu urutan deduksi untuk mengembangkan suatu hasil yang penting.7
Konsep tentang bukti sesungguhnya sangat mendasar di dalam matematika.8 Bukti dianggap sebagai bagian fundamental kegiatan matematika bahkan sejak zaman matematika kuno.9 Bukti juga menjadi pembeda matematika dari semua bidang kegiatan lain umat manusia.10 Keunikan sifat bukti matematika melekatkan status yang unik pula kepada matematika itu sendiri.11 Untuk itu, diperlukan suatu perhatian yang memadai terhadap cara mengkondisikan mahasiswa di dalam budaya membuktikan dan pada saat yang sama, gagasan dan pandangan mereka tentang bukti sebaiknya diperhatikan.
4
http://kbbi.web.id/bukti diakses pada tanggal 10 April 2016.
5D.O.Tall, “The Nature of Mathematical Proof. Mathematics Teaching,” 127, 1989, halaman 28-32.
6C.Hoyles,”The Curricular Shaping of Students' Approaches to Proof. For the Learning of Mathematics,” 17(1),1997, 7-16.
7Ibid, halaman 29. 8Ibid, halaman 10.
9J.K. Lee, “Philosophical Perspective on Proof in Mathematics Education.”,2002 16. 10D.Reid,.“Proof, Proofs, Proving and Probing: Research Related to Proof.”2001 11G Hanna,. “Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in
11
Reid mengklasifikasikan beberapa istilah teknis yang berkenaan dengan gagasan bukti yang banyak digunakan dalam penelitian pendidikan matematika. Ada empat istilah yang diajukannya yaitu: konsep bukti, bukti, membuktikan dan pemeriksaan. Konsep bukti mengacu pada keyakinan bahwa bukti mengarahkan kita kepada ketentuan yang pasti. Sebuah bukti memberi atribut kesahihan universal yang bersifat a priori kepada pernyataan matematis yang dibuktikan. Bukti pada dasarnya adalah rangkaian tulisan yang dipublikasikan sesuai dengan harapan para matematikawan. Sementara itu, membuktikan berarti bernalar secara deduktif dan pemeriksaan mengacu pada kegiatan penyelidikan di dalam matematika yang bersifat empiris semu.
Istilah bukti mengacu pada suatu argumen deduktif yang menunjukkan mengapa suatu pernyataan benar dengan menerapkan hasil matematis yang lainnya dan/atau pemahaman yang lain ke dalam struktur matematis yang terbentuk di dalam pernyataan itu.12 Lebih lanjut, Reid memperkenalkan tiga jenis bukti berdasarkan tingkat formalitasnya, yaitu: bukti informal, bukti kurang formal dan bukti formal.13 Ketiga jenis ini diajukan untuk dapat membedakan bukti sebagai suatu konsep yang digunakan dalam ranah matematika dengan bukti yang dikenal di dalam kehidupan sehari-hari. Bukti formal adalah suatu bukti yang mengikuti bentuk tertentu dan/atau menggunakan bahasa yang khusus dengan gaya yang bersifat ritual. Meskipun belum ada pembakuan dari bentuk yang dianggap memenuhi syarat sebagai bukti formal, tetapi suatu bukti formal memenuhi kaidah keketatan, ketelitian dan ketepatan yang sangat kuat.
Bukti yang kurang formal adalah bukti yang tidak terstruktur secara ketat, juga cenderung kurang ketat ditinjau dari sudut pandang matematika. Jenis bukti ini digunakan lebih untuk menunjukkan kebenaran premis-premis yang dikembangkan untuk kasus-kasus yang relevan, sedangkan bukti informal adalah istilah yang digunakan untuk argumen yang sama sekali tidak memenuhi kriteria sebuah bukti. Berdasarkan perspektif perkembangan kognitif, Tall menjelaskan representasi bukti yang berkembang dari
12 E. J. Knuth, a. “Secondary School Mathematics Teachers’ Conceptions of Proof.”33(5),2002, 389.
13
12
bukti tindakan, bukti visual, bukti simbolis dan bukti formal. Bukti tindakan adalah istilah yang dikenakan pada bukti yang berada pada level paling bawah (primitif) yang melibatkan penampilan sebuah kegiatan fisik untuk menunjukkan suatu kebenaran. Bukti visual adalah bukti yang melibatkan grafik atau gambar, sedangkan bukti simbolis adalah bukti yang menggunakan manipulasi simbol-simbol aljabar.
Sejalan dengan definisi bukti formal menurut klasifikasi yang dikemukakan oleh Knuth, Tall mendefinisikan bukti formal sebagai bukti yang melibatkan logika deduktif aksiomatis.14 Para matematikawan profesional mengklasifikasi lain yang dikemukakan oleh Reid membedakan tiga jenis bukti, yaitu: bukti pra-formal, bukti formal dan bukti post formal.15 Bukti pra-formal adalah bukti yang biasanya ditampilkan di dalam catatan harian dan percakapan sehari-hari yang melibatkan asumsi-asumsi tersembunyi, analogi dan bahasa dan notasi informal. Bukti formal adalah bukti yang biasanya dipresentasikan dalam publikasi ilmiah (misalnya: jurnal), meskipun terkadang bukti-bukti dalam artikel yang dipublikasikan pada dasarnya belumlah betul-betul formal karena keterbatasan ruang yang tersedia. Bagaimanapun, kita harus sadari bahwa formalisasi penuh atau bukti formal yang lengkap jarang dipraktekkan.16 Sementara itu, bukti post formal adalah bukti yang merepresentasikan analisis meta-matematika tentang sifat-sifat bukti formal.
Proses berpikir siswa SMP mengonstruksi bukti visual/simbolik tersebut sebagai prosep dilakukan dalam tujuh tahap, yaitu: identifikasi, mobilisasi dan organisasi data, pembuatan rencana, aplikasi rencana, pembentukan makna, evaluasi, dan tahap prosep.17
C. Kemampuan Mengonstruk Bukti Geometri
Kemampuan mengkonstruksi bukti adalah kemampuan menyusun suatu bukti pernyataan matematik berdasarkan definisi,
14D.O.Tall, “Cognitive Development, Representations, and Proof.” 1995. 15D.Reid, “Proof, Proofs, Proving and Probing: Research Related to Proof.”2001. 16R Hersh,.“Proving is Convincing and Explaining. Educational Studies in
Mathematics,”1993. 24,389-399.
17Faaso Ndraha. “Proses berpikir siswa smp mengonstruksi bukti informal geometri
13
prinsip, dan teorema serta menuliskannya dalam bentuk pembuktian lengkap (pembuktian langsung atau tak langsung). Pembuktian pada dasarnya adalah membuat serangkaian deduksi dari asumsi (premis atau aksioma) dan hasil-hasil matematika yang sudah ada (lemma atau teorema) untuk memperoleh hasil-hasil penting dari suatu persoalan matematika.18
Adapun kemampuan mengkontruksi bukti matematika oleh Sumarmo disajikan pada Tabel 2.1 berikut.
Tabel 2.1
Kemampuan mengonstruk bukti matematika (dari Sumarmo)
Variabel Indikator Jenis
Ukur Kode Kemampuan mengonstru k bukti matematika
1. Mengidentifikasi apa yang menjadi data dari pernyataan
Lisan / Tulis
M1
2. Mengidentifikasi apa yang menjadi conclusion dari pernyataan
Tulis M2
3. Menyatakan keterkaitan diantara data dengan konklusi dengan
menunjukkan suatu warrant (aturan)
Lisan / Tulis
M3
4. Membuat dugaan mengenai konsep kunci yang
menjembatani antara data dan konklusi (konjektur)
Lisan M4
5. Mengetahui aturan-aturan penarikan kesimpulan dari fakta-fakta yang diberikan atau diperoleh secara kritis (kaidah inferensi)
Lisan / Tulis
M5
14
Dalam penelitian ini, indikator kemampuan mengkonstruk bukti geometri disusun dengan modifikasi indikator kemampuan mengkonstruk bukti matematika oleh Sumarmo pada Tabel 2.1 di atas. Ada beberapa indikator yang mendukung kemampuan mengkontruksi bukti. Pertama, yaitu mampu mengidentifikasi apa yang menjadi fakta dalam pembuktian geometri. Artinya adalah siswa mengetahui apa saja yang menjadi modal awal untuk membuktikan dengan kaidah pembuktian yang logis matematis.
Kedua, mampu membuat konjektur sebagai hipotesis dalam
pembuktian. Konjektur juga diartikan sebagai membuat dugaan mengenai gagasan utama dalam pembuktian. Ketiga, mampu menunjukkan aturan/warrant sebagai hal yang menjembatani pernyatan dan kesimpulan. Aturan dalam hal ini yaitu aksioma dan teorema matematika yang sah. Keempat, mampu mengidentifikasi apa yang menjadi kesimpulan dalam pembuktian geometri tersebut. Kesimpulan/conclusion ini sebagai langkah terakhir dalam pembuktian yang merupakan hasil dari proses pembuktian. Kelima, mampu mengetahui aturan-aturan penarikan kesimpulan dari proses pembuktian geometri yang logis. Dengan kata lain, susunan pembuktian geometri dan aturan harus sesuai dan jelas.
D. Prosep (Proses dan Konsep)
Prosep merupakan campuran proses, konsep, dan simbol yang menyatakan proses dan konsep tersebut. Gray dan Tall menjelaskan bahwa
“An elementary procept is the amalgam of three
components: a process which produces a mathematical object, and a symbol which is used to represent either process or object.….. A procept consists of a collection of elementary procepts which have the same object”.19
Sebuah prosep dasar adalah campuran dari tiga komponen. Sebuah proses yang menghasilkan objek matematika dan sebuah simbol yang digunakan untuk merepresentasikan sebuah proses atau objek. Prosep memuat suatu koleksi dari prosep dasar
15
yang mempunyai objek sama. Sebagai prosep, bukti juga memiliki proses, konsep dan simbol. Berdasarkan pendapat Gray dan Tall, disimpulkan bahwa dengan memandang bukti sebagai prosep terdapat simbol didalamnya. Simbol prosep adalah redaksi teorema yang menyatakan proses dan konsep bukti.20 Proses bukti adalah prosedur-prosedur yang dinyatakan secara gamblang dan sederhana yang dapat dilakukan dan sukses dalam menyusun bukti, dan konsep bukti adalah makna yang terkandung dalam rangkaian bukti. Secara eksplisit, Gray dan Tall mendefinisikan
“... a procept to be a combined mental object consisting of
both process and concept in which the same symbolization is used to denote both the process and the object which is produced by the process”.21
Sebuah prosep menjadi sebuah objek mental yang terkombinasi memuat kedua proses dan konsep dalam penyimbolan sama digunakan untuk menotasikan kedua proses dan objek yang dihasilkan oleh proses. Terdapat empat istilah kunci dalam definisi prosep diatas, yaitu simbol, proses, produk, dan objek. Objek yang dimaksud berupa konsep serupa atau konsep baru. Sebagai contoh penjumlahan enam suku pertama pada deret aritmetika dapat disimbulkan dengan notasi sigma . Dalam notasi tersebut memuat konsep variabel dan konsep penjumlahan dari suku-suku yang berpola, yakni untuk diperoleh suku pertama , untuk diperoleh suku kedua ,
hingga untuk diperoleh suku keenam .
Selanjutnya dengan melakukan proses mensubtitusi variabel dan menjumlahkan didapatkan hasil:
20Erh-Tsung.Chin,“Mathematical Proof as Formal Procept in Advanced Mathematical Thinking.”2003.
16
= =
Dengan demikian notasi sigma dipandang sebagai sebuah prosep sebab notasi ini merepresentasikan konsep dan sekaligus proses. Konsep yang termuat adalah konsep jumlah suku-suku perpola dan konsep variabel sedangkan proses yang termuat adalah proses subtitusi dan proses menjumlahkan.
1. Prosep matematika dalam sekolah
Prosep matematik dapat ditemui di semua level sekolah, baik itu sekolah dasar, sekolah menengah pertama, maupun sekolah menengah atas. Gray dan Tall memberikan contoh-contoh prosep yang diajarkan di sekolah dasar, misalnya: prosep bilangan bulat (whole number), prosep penjumlahan (addition), prosep pengurangan (subtraction), prosep perkalian (multiplication), prosep pembagian (division), dan prosep nilai tempat (place value). Sebagai ilustrasi, berikut ini diuraikan secara singkat berkenaan dengan prosep jumlah dan prosep nilai tempat.
Notasi jumlah adalah “+” dan notasi ini merupakan suatu prosep karena notasi tersebut sekaligus merepresentasikan proses jumlah dan konsep jumlah. Proses penjumlahan melibatkan konsep dua bilangan yang hendak dijumlahkan. Sebagai contoh proses penjumlahan 7 + 6 dapat dilakukan dengan berbagai cara seperti berikut.
[image:30.420.69.363.67.499.2]
17
Gambar 2.1
Proses Penjumlahan dengan Cara Hitung Berkelanjutan dalam Prosep Jumlah
b.
Siswa melakukan aktivitas enaktif denganmenggunakan jari-jari tangan miliknya dan milik temannya. Ia melakukan penggabungan dua telapak tangan sehingga jumlahnya 5 + 5 = 10 dan sisanya yang berjumlah 2 + 1 = 3. Dengan demikian didapatkan bahwa 7 + 6 = 10 + 3, penjumlahan setelah tanda sama dengan ini lebih familiar bagi siswa. Perhatikan proses yang dikerjakan siswa pada Gambar 2.2. Secara matematik yang dilakukan siswa adalah 7 + 6 = (5 + 2) + (5 + 1) = 5 + 2 + 5 + 1 = 5 + 5 + 2 + 1 = (5 + 5) + (2 + 1) = 10 + 3 = 13. Siswa tersebut secara tidak sadar telah menggunakan sifat komutatif dan asosiatif dari operasi penjumlahan.
c.
Kedua proses enaktif pada prosep jumlah di atasbisa juga dengan menggunakan aktivitas ikonik dengan menggunakan gambar piktorial atau goresan batang lidi, misalnya dan
.
18
Gambar 2.2 Proses Penjumlahan dengan Cara Pengelompokkan Lima-Lima dalam Prosep
Jumlah
Nilai tempat menggunakan notasi yang sangat kuat
(powerful). Dalam bilangan 727 memuat dua angka tujuh yang
benar-benar berbeda maknanya, angka tujuh yang pertama menyatakan 7 ratusan sedangkan angka tujuh kedua menyatakan 7 satuan. Dengan menggunakan nilai tempat bilangan 727 dapat dijabarkan menjadi 700 + 20 + 7. Peluruhan dua angka nol pada 700 dan satu angka nol pada 20, serta struktur penulisannya menjadi 727 merupakan hal yang rumit. Beberapa guru memandang peluruhan angka nol tersebut sebagai suatu kesepakatan belaka sehingga menjadi kurang bermakna bagi siswa. Proses peluruhan tiga angka nol dalam penulisan bilangan 727 dapat diperjelas dengan menggunakan media kartu yang digunakan secara dinamis sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 2.3 berikut.
Gambar 2.3. Proses Dinamis atas Prosep Nilai Tempat 70
20
7
70 20
7
19
Berdasarkan Gambar 2.3 di atas terdiri dari tiga bagian. Bagian paling kiri menggambarkan tiga kartu bilangan yang berturut-turut bertuliskan lambang bilangan 700, 20, dan 7. Gambar bagian tengah adalah gambar tumpukan ketiga kartu tersebut manakala kartu diurutkan dari paling bawah dengan urutan kartu 700, 20 dan 2. Gambar paling kanan diperoleh setelah ketiga kartu ditumpuk sehingga diperoleh bilangan 7 27. Proses pembentukan prosep seperti ini dilakukan melalui aktivitivas hand-on yakni dengan memakai kartu-kartu secara dinamis dan aktivitas mind-on dengan memaknai penggabungan ketiga kartu yang menandai 700 + 20 + 7.
Gray dan Tall menguraikan contoh-contoh prosep pada materi pelajaran matematika di sekolah dasar. Prosep-prosep yang dimaksud di atas diantaranya adalah:
1.
Simbol +3 merupakan representasi dari proses “menambah tiga” atau geser kearah kanan sejauh “tiga langkah” pada garis bilangan dan konsep bilangan bulat positif +3.2.
Simbol –4 merupakan representasi dari suatu proses“mengurangi empat” atau geser kearah kiri sejauh “empat
langkah” pada garis bilangan dan konsep bilangan bulat negatif –4.
Selain pada level sekolah dasar, Gray dan Tall juga memberikan contoh-contoh prosep yang terkait dengan materi matematika di sekolah menengah. Prosep-prosep tersebut antara lain:
1. Gagasan pecahan, misalkan yang merepresentasikan
proses pembagian 10 oleh 3 dan hasil dari proses pembagiannya yang berupa konsep pecahan campuran .
2. Simbol aljabar dengan memakai variabel, seperti yang menyatakan proses “menambahkan dua kali x dan
satu” dan sekaligus menyatakan hasil dari proses tersebut
20
3. Limit fungsi yang dinotasikan dengan juga merupakan suatu prosep. Dalam prosep ini ada proses nilai x mendekati 2 yang menghasilkan nilai yang menuju suatu nilai tertentu. Jadi dalam dalam prosep limit terdapat proses “mendekati” dan konsep nilai dari limit itu sendiri. Misalkan bila dengan d e n g a n
, maka proses pencarian nilai dapat
[image:33.420.73.349.57.524.2]dilakukan dengan beberapa cara, misalnya cara pola intuitif, cara grafik, cara subtitusi, dan yang paling sulit adalah dengan memakai definisi limit secara formal. Cara pola intuitif disajikan pada Tabel 2.2 berikut.
Tabel 2.2 Nilai fungsi f(x)
X 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1
1,8 1,98 1,998 2 2,002 2,02 2,2
Pada Tabel 2.2 di atas, tampak adanya hubungan bila nilai
x menuju 1 maka nilai menuju 2.
21
Dengan demikian dalam prosep memuat proses pencarian limit dan konsep nilai limit yang diperolehnya. 2. Prosep geometri dalam sekolah
Prosep (proses dan konsep) tidak hanya ada dalam matematika saja. Salah satu contohnya bisa ditemui dalam geometri, misalnya: Perbandingan trigonometri, misalnya sinus = , merepresentasikan baik proses kalkulasi
sinus suatu besar sudut tertentu dan hasil dari perhitungan tersebut. Misalkan pada segitiga ABC yang siku-siku di C dengan BC = 3 cm dan BA = 6 cm, diperoleh sin A = 3 : 6 = .
Dalam hal ini siswa melakukan proses perbandingan sinus dan mendapatkan konsep nilai dari sinus itu sendiri.
E. Teori Gray-Tall
Gray dan Tall mengembangkan teori prosep berdasarkan teori Piaget.22 Prosep merupakan campuran proses, konsep, dan simbol yang menyatakan proses dan konsep tersebut. Gray dan Tall menjelaskan bahwa
“An elementary procept is the amalgam of three
components: a process which produces a mathematical object, and a symbol which is used to represent either process or object.….. A procept consists of a collection of elementary procepts which have the same object”.23
Sebuah prosep dasar adalah campuran dari tiga komponen. Sebuah proses yang menghasilkan objek matematika dan sebuah
22Davis.G., Gray,E.,Simpson,A.,Tall,D., Thomas,M.2000. “What isthe Object of the
Encapsulation of a Process?”
http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2000a-objec-encap-jmb.pdf, diakses 10 April 2016.
22
simbol yang digunakan untuk merepresantisakan sebuah proses atau objek. Prosep memuat suatu koleksi dari prosep dasar yang mempunyai objek sama. Sebagai prosep, bukti juga memiliki proses, konsep dan simbol.
Berdasarkan pendapat Gray dan Tall dan Erh-Tsung, disimpulkan bahwa dengan memandang bukti sebagai prosep,
simbol prosep adalah redaksi teorema, yang menyatakan proses dan
konsep bukti.24 Proses bukti adalah prosedur-prosedur yang
dinyatakan secara gamblang dan sederhana yang dapat dilakukan dan sukses dalam menyusun bukti, dan konsep bukti adalah makna yang terkandung dalam rangkaian bukti.
Gray dan Tall menjelaskan lebih lanjut bahwa ada tiga tahap aktivitas pengonstruksian prosep dalam pikiran yaitu tahap prosedur, proses dan prosep.
“…..the meaning of symbols developed through a sequence of activities: (a) procedure, where a finite succession of decisions and actions is built up into a coherent sequence, (b) process, where increasingly efficient ways become available to achieve the same result, now seen as a whole, (c) procept, where the symbols are conceived flexibly as processes to do and concepts to think about.25
Arti dari simbol berkembang melalui sebuah rangkaian aktivitas : a) prosedur, dimana suksesi berhingga dari keputusan dan aksi dibangun kedalam rangkaian yang terkait, b) proses, dimana langkah efisisen berkembang menjadi bisa mencapai hasil yang sama, sekarang dilihat sebagai sebuah keseluruhan, c) prosep, dimana simbol dipahami secara fleksibel sebagai proses untuk melakukan dan konsep untuk memikirkan. Tahap aktivitas proses matematika tersebut bisa dilihat pada Gambar 2.4 berikut ini.
24Ibid, halaman 117.
[image:36.420.70.364.61.501.2]
23
Gambar 2.4
Skema penampilan dalam proses matematika
F. Sudut dan Segitiga
Pada penelitian ini materi yang digunakan adalah materi geometri. Pada materi geometri mencakup pokok bahasan yang sangat banyak. Namun pada penelitian ini lebih di khususkan pada pokok bahasan sudut dan segitiga.
1. Sudut
a. Menemukan Konsep Sudut Perhatikan Gambar 2.5 berikut ini.
Gambar 2.5 Aktivitas sehari-hari yang membentuk Sudut
24
dengan badan pemanah. Untuk gambar pemancing, garis bantu sengaja ditambah untuk menunjukkan lebih jelas sudut yang terbentuk antara pancingan dengan bidang datar.
[image:37.420.69.352.118.471.2]Sudut terbentuk karena dua sinar bertemu pada titik pangkalnya.Secara matematis, hubungan sinar garis dan titik sudut diilustrasikan pada Gambar 2.6 berikut ini.
Gambar 2.6 Sudut yang terbentuk oleh Dua Sinar Garis
Satuan sudut dinyatakan dalam dua jenis, yaitu derajat (º) dan radian (rad). ∠APB bisa juga disebut ∠P. Besar sudut P dilambangkan dengan m∠P. Besar sudut satu putaran penuh yaitu 360 derajat (360o)
b. Penamaan sudut
Secara matematis, penamaan sudut diperlukan untuk mempermudah penamaan sudut untuk kajian selanjutnya. Mari kita perhatikan Gambar 2.7 berikut ini.
Gambar 2.7 Penamaan Sudut ABC atau Sudut CBA
25
penulisannya selalu menggunakan huruf kapital, b) Sudut yang terbentuk pada gambar diatas dapat juga notasikan dengan ∠ABC, ∠CBA, atau ∠B.
[image:38.420.70.365.110.499.2]Pada setiap sudut yang terbentuk, harus kita tahu berapa besarnya. Secara manual, kita dapat menggunakan alat ukur sudut yaitu busur derajat. Alat ini dapat membantu kita mengukur suatu sudut yang sudah terbentuk dan membentuk besar sudut yang akan digambar. Adapun alat bantu tersebut dinamakan busur derajat dan disajikan pada Gambar 2.8 berikut ini.
Gambar 2.8 Busur Derajat
Busur derajat dapat membantu kita mengukur suatu sudut yang sudah terbentuk dan membentuk besar sudut yang akan digambar. Pusat busur, garis horizontal, dan garis vertikal sangat berperan dalam mengukur besar sudut dan membentuk ukuran sudut.
[image:38.420.202.311.405.482.2]Perlu kita kenalkan bahwa, terdapat ukuran sudut standar yang perlu kita ketahui, seperti yang disajikan pada Gambar 2.9 di bawah ini.
26
Dari Gambar 2.9 di atas ada beberapa macam sudut yakni sudut lancip, tumpul, siku-siku dan lurus. Adapun jenis-jenis sudut yaitu: 1) sudut siku-siku, besar sudut siku-siku adalah 90o, 2) sudut lancip, ukuran sudutnya antara 0o dan 90o, 3) sudut tumpul, ukuran sudutnya antara 90o dan 180o, 4) sudut lurus, ukuran sudutnya 180o, dan 5) sudut reflek, ukuran sudutnya antara 180o dan 360o.
c. Memahami hubungan antar sudut
[image:39.420.69.351.160.484.2]Mari kita perhatikan Gambar 2.10 berikut ini.
Gambar 2.10 Hubungan antar Dua Sudut Pada Gambar 2.10 terdapat sudut berpelurus, sudut berpenyiku dan sudut bertolak belakang. Adapun paparan pada masing-masing hubungan antar dua sudut sebagai berikut:
a) Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku Perhatikan Gambar 2.11 di bawah ini.
27
m∠BOC dan m∠AOB disebut sudut berpenyiku.
[image:40.420.70.365.101.466.2]Perhatikan Gambar 2.12 di bawah ini.
Gambar 2.12 Sudut Berpelurus Berdasarkan Gambar 2.12 di atas
menunjukkan bahwa,
. Jika sudut-sudut itu dijumlahkan maka t + u = 180º. Sehingga t = 180º − u dan u = 180º − t. Sudut AOB dengan sudut BOC disebut sudut berpelurus. Hubungan antar sudut pada Gambar 2.11 dan 2.12 yaitu: 1) sudut berpenyiku, dua sudut dikatakan berpenyiku jika jumlah besar kedua sudut tepat 90o, 2) sudut berpelurus, dua sudut dikatakan berpelurus, jika jumlah besar kedua sudut tepat 180o.
b) Sudut saling bertolak belakang Perhatikan Gambar 2.13 berikut ini.
Gambar 2.13 Dua Garis yang saling Bertolak Belakang
28
[image:41.420.70.350.60.457.2]c) Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar Perhatikan Gambar 2.14 di bawah ini
Gambar 2.14 Garis k dan l dipotong Garis
m
Garis k dan garis l, dipotong oleh garis-garis m pada Gambar 2.14 sehingga membentuk delapan sudut. Sudut-sudut ini mempunyai nama khusus sesuai dengan posisinya. Delapan sudut tersebut dapat dilihat pada Tabel 2.3 di bawah ini.
Tabel 2.3
Nama sudut yang dibentuk oleh dua garis yang sejajar dan dipotong satu garis lurus
Nama Sudut
Sudut-sudut luar
Sudut-sudut dalam Sudut dalam berseberangan Sudut luar bersebrangan Sudut dalam sepihak Sudut-sudut sehadap
2. Segitiga
a. Jenis-jenis segitiga
[image:42.420.70.366.70.414.2]
29
Gambar 2.15 Berbagai bentuk segitiga Dari Gambar 2.15 di atas terdapat berbagai macam jenis segitiga yakni 1) segitiga yang panjang sisi-sisinya tidak sama panjang disebut segitiga sebarang, 2) segitiga yang salah satu besar sudutnya 90° disebut segitiga siku-siku, 3) segitiga yang ketiga sisinya sama panjang disebut segitiga samasisi, 4) segitiga yang dua sisinya sama panjang disebut segitiga samakaki, 5) segitiga yang salah satu sudutnya tumpul disebut segitiga tumpul, dan 6) segitiga yang ketiga sudutnya lancip disebut segitiga lancip. b. Sifat-sifat segitiga
Perhatikan Gambar 2.16 berikut ini.
Gambar 2.16 Jenis-jenis Segitiga Berdasarkan Sifat-Sifatnya
30
memiliki dua sisi yang sama panjang disebut segitiga lancip samakaki.
c. Luas segitiga
C
[image:43.420.69.359.83.504.2]A B Gambar 2.17 Segitiga ABC
Berdasarkan Gambar 2.17 di atas, Jika ABC sebuah segitiga yang panjang alas a dan tinggi t, maka luas daerah segitiga dapat
dinyatakan dengan .
Selanjutnya, luas daerah segitiga biasa dikatakan dengan luas segitiga.
d. Keliling segitiga
Jika ΔABC memiliki panjang sisi-sisi a, b dan c, maka keliling segitiga adalah K = a + b + c.
e. Sudut luar dan sudut dalam segitiga
Gambar 2.18 Segitiga XYZ
31
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dengan menggunakan pendekatan kualitatif. Penelitian deskriptif kualitatif yaitu dengan cara mendeskripsikan dan menganalisis data yang diperoleh. Penelitian ini berusaha untuk mendeskripsikan profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall. Data yang dideskripsikan adalah data yang didapat dari hasil wawancara dan dokumentasi saat subjek menyelesaikan masalah dalam penelitian. Penelitian ini lebih menekankan pada makna dan proses daripada hasil suatu aktivitas.
B. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini telah dilaksanakan pada tanggal 2 Juni 2016, semester genap tahun ajaran 2015/2016 dan bertempat di SMP Negeri 1 Gedeg Mojokerto kelas VIII.
C. Subjek Penelitian
Penelitian ini dilakukan di SMP Negeri 1 Gedeg Mojokerto. Pemilihan subjek penelitian ini menggunakan teknik purposive sampling atau memilih subjek sesuai tujuan penelitian. Pertama, yang dilakukan peneliti adalah dengan meminta pertimbangan saran dari guru matematika yang ada di sekolah tersebut, terkait kemampuan matematika siswa. Kedua, semua siswa yang termasuk dalam daftar pertimbangan guru matematika, diberikan tes.
32
Gambar 3.1
Alur Pemilihan Subjek Penelitian
Berdasarkan hasil pengamatan dan rekomendasi dari guru mata pelajaran matematika di sekolah, peneliti mengambil dua subjek karena dua subjek bisa dijadikan pembanding. Dua subjek yang direkomendasikan dan terpilih tersebut berbeda jenis kelamin akan tetapi masih satu jenjang dan di kelas yang sama. Sehingga diperoleh subjek penelitian berikut ini:
Tabel 3.1
Daftar nama subjek penelitian
No Nama siswa Kode
1 Narita S1
2 Varis S2
D. Teknik Pengumpulan data 1. Tes tulis
Tes tulis dalam penelitian ini berbentuk tes matematika yang digunakan untuk mengetahui gambaran atau profil berpikir siswa SMP kelas VIII dalam mengkonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall.
Subjek Penelitian
Wawancara dengan guru
Daftar siswa yang akan diberikan tes
Pemberian tes
Analisis hasil tes
: kegiatan
: hasil
: pertanyaan
[image:45.420.72.349.80.464.2]33
Tes ini diberikan kepada 2 siswa yang telah dipilih sebagai subjek penelitian.
2. Wawancara
Wawancara dilakukan kepada siswa yang dijadikan subjek penelitian setelah mengerjakan tes matematika untuk mengetahui lebih dalam tentang gambaran atau profil berpikir siswa SMP kelas VIII dalam mengkonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall. Teknik wawancara yang digunakan adalah teknik semi-struktur yaitu gabungan dari teknik wawancara struktur dan bebas sehingga wawancara dilakukan secara serius tetapi santai agar memperoleh informasi semaksimal mungkin.
Adapun langkah-langkah untuk melakukan wawancara adalah (1) Peneliti memberikan pertanyaan kepada subjek berdasarkan lembar pedoman wawancara yang telah dibuat dan divalidasi (2) siswa menjawab pertanyaan yang diberikan peneliti sesuai dengan apa yang dikerjakan dan dipikirkan dalam mengerjakan soal, (3) peneliti mencatat hal-hal penting untuk data tentang proses berpikir siswa dalam mengkonstruk bukti geometri sebagai prosep, (4) peneliti merekam proses wawancara menggunakanrecorder.
Untuk menguji kredibilitas dan keabsahan data, maka diperlukan triangulasi data. Menurut Sugiono, triangulasi data dibedakan menjadi tiga yaitu sumber, metode, dan waktu.1 Sedangkan dalam penelitian ini, menggunakan triangulasi sumber artinya pengecekkan derajat kepercayaan data penelitian berdasarkan beberapa subjek penelitian.2 Artinya peneliti melakukan wawancara pada kedua subjek penelitian guna untuk membandingkan data yang diperoleh. Apabila data tersebut menunjukkan kekonsistensian, kesamaan pandangan dan pendapat, maka dapat dikatakan data tersebut valid.
E. Instrumen Penelitian
Instrumen-instrumen yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 Sugiyono, Metode Penelitian Pendidikan, (Bandung: Alfabeta. 2010), 272 2
34
1. Tes tulis
Tes tulis yang diberikan kepada siswa untuk mengetahui profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep (proses dan konsep) adalah tes matematika. Tes matematika tersebut disusun oleh peneliti sendiri berupa satu soal uraian. Soal uraian dirancang dengan tujuan untuk memudahkan peneliti untuk mengetahui ide-ide dan langkah-langkah yang ditempuh oleh siswa dalam menyelesaikan soal secara mendalam.
Langkah-langkah yang dilakukan oleh peneliti dalam menyusun tes matematika terdiri dari dua langkah. Langkah pertama yang dilakukan peneliti adalah menyusun dan menetapkan indikator. Dalam penelitian ini, indikator yang digunakan dengan memodifikasi dari Sumarmo tentang proses berpikir mengkonstruk bukti geometri. Indikator-indikator yang akan diamati pada penelitian ini yaitu: 1) mengidentifikasi apa yang menjadi fakta dalam pembuktian geometri, 2) membuat konjektur sebagai hipotesis dalam pembuktian, 3) menunjukkan aturan/warrant sebagai hal yang menjembatani pernyatan dan kesimpulan, 4) mengidentifikasi apa yang menjadi kesimpulan dalam pembuktian geometri, 5) mengetahui aturan-aturan penarikan kesimpulan dari proses pembuktian geometri yang logis.
Langkah kedua yaitu menentukan materi yang sesuai dengan indikator yang digunakan dalam tes matematika. Selain itu diperhatikan juga tahap pengkontruksian bukti geometri pada teori Gray-Tall. Tahap-tahap yang akan digunakan yaitu 1) tahap prosedur, 2) tahap proses, 3) tahap prosep (proses dan konsep).
Sebelum tes matematika digunakan untuk mengumpulkan data, terlebih dahulu digunakan validasi. Karena instrumen yang valid berarti alat ukur yang digunakan untuk mendapatkan data (mengukur) itu valid.3 Valid berarti instrumen dapat digunakan untuk mengukur apa yang seharusnya diukur.4 Setelah di validasi, dilakukan perbaikan
3 Sugiyono, Metode Penelitian Kuantitatif Kualitataif dan R & D (Bandung: Alfabeta, 2012), 121
4
35
[image:48.420.71.369.124.492.2]berdasarkan saran dan pendapat validator agar masalah yang akan diberikan layak, valid, dan dapat digunakan untuk mengetahui profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep. Adapun nama-nama validator dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
Tabel 3.2 Daftar nama validator
No Nama Validator Jabatan
1 Ahmad Lubab, M.Si Dosen pendidikan matematika UIN Sunan Ampel Surabaya
2 Ahmad Hanif Asyhar, M.Si
Dosen pendidikan matematika UIN Sunan Ampel Surabaya
2. Pedoman Wawancara
Pedoman wawancara digunakan sebagai arahan dalam wawancara. Pedoman wawancara disusun sendiri oleh peneliti untuk dapat mengidentifikasi ide-ide dan langkah-langkah penyelesaian yang ditempuh siswa dalam menyelesaikan tes matematika. Penyususan pedoman wawancara berdasarkan indikator-indikator proses berpikir mengkostruk bukti geometri. Penyusunan pedoman wawancara untuk memperoleh data yang mendeskripikan langkah penyelesaian masalah dan mengidentifikasi berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep.
Wawancara yang dilakukan peneliti bersifat terbuka dan semi terstruktur. Terbuka artinya siswa bebas mengutarakan pendapatnya dan semi terstruktur bertujuan agar wawancara tidak terlalu melebar dan tetap berkembang sesuai dengan pedoman wawancara.
F. Teknik Analisis Data 1. Tes tulis
Tes yang diberikan kepada siswa berupa data kualitatif. Tidak ada penskoran disini. Analisis tes ini juga akan diperkuat dengan hasil wawancara.
36
aktifitas reduksi data (data reduction), penyajian data (data
display), dan penarikan kesimpulan (conclusion
drawing/verificaton).5 Berikut penjelasan tahapan analisis dalam penelitian ini.
a. Reduksi data
Dalam penelitian ini, reduksi data diartikan sebagai rangkaian kegiatan merangkum, memilih hal-hal pokok, memfokuskan pada hal-hal yang penting dan membuang yang tidak perlu. Selain itu, reduksi juga merupakan aktifitas penyederhanaan data mentah di lapangan tentang kriteria kemampuan abstraksi. Hasil reduksi ini nantinya dapat memberikan gambaran yang lebih tajam tentang data yang akan disajikan. Reduksi data dilakukan setelah membaca, mempelajari, dan menelaah hasil tes dan wawancara. Hasil wawancara dituangkan secara tertulis dengan cara sebagai berikut: 1) Mentranskrip hasil wawancara dengan subjek
penelitian yang telah diberi kode yang berbeda tiap subjeknya. Adapun pengkodean dalam tes hasil wawancara penelitian ini sebagai berikut:
P : Peneliti
Sa.b : Subjek penelitian ke-a dan jawaban ke-b
Ilustrasi
P : Pertanyaan Peneliti
S.1.2 : Subjek S1, jawaban dari pertanyaan
ke-2
2) Memeriksa kembali hasil transkrip tersebut, untuk mengurangi kesalahan pada transkrip.
b. Penyajian data
Penyajian data merupakan tahap setelah didapatkan hasil reduksi data. Data yang disajikan adalah profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall. c. Penarikan kesimpulan
Pada penelitian ini, setelah peneliti mengambil dua orang subjek yang telah diwawancara. Selanjutnya peneliti melakukan proses penarikan kesimpulan.
5
37
Penarikan kesimpulan adalah memberikan makna dan penjelasan terhadap hasil penyajian data. Penarikan kesimpulan pada penelitian ini ditujukan untuk mendeskripsikan profil berpikir siswa dalam mengonstruk bukti geometri sebagai prosep berdasarkan teori Gray-Tall. Dalam penelitian ini pengambilan kesimpulan berdasarkan irisan kegiatan yang dilakukan subjek penelitian dengan menyesuaikan indikator mengkonstruk bukti geometri dan tahap pada teori Gray-Tall. Kegiatan yang tidak dilakukan kedua subjek penelitian tidak diambil menjadi kesimpulan.
G. Prosedur Penelitian
Prosedur penelitian yang digunakan dalam penelitian ini terdiri dari empat tahap, yaitu:
1. Tahap Persiapan
Kegiatan dalam tahap persiapan meliputi:
a.Meminta izin kepada guru mata pelajaran matematika untuk melakukan penelitian dikelas tersebut. b.Membuat kesepakatan dengan guru mata pelajaran
matematika meliputi:
1) Kelas yang digunakan untuk penelitian 2) Waktu yang digunakan untuk penelitian 3) Materi yang akan digunakan dalam penelitian c.Menyusun instrumen penelitian meliputi:
1) Soal tes
2) Pedoman wawancara
3) Uji validasi soal tes dan setelah itu diberikan kepada guru mata pelajaran matematika 2. Tahap pelaksanaan
Kegiatan dalam tahap pelaksanaan meliputi: a.Pemberian tes
Pemberian tes dilakukan sesuai dengan waktu yang telah disepakati. Selama proses pengerjaan tes oleh subjek, peneliti bertindak sebagai pengawas.
b.Melakukan wawancara
38
masalah matematika. Peneliti menggunakan alat perekam untuk menyimpan data hasil wawancara.
3. Tahap analisis data
Pada tahap ini, peneliti menganalisis data setelah data terkumpul dengan menggunakan analisis deskriptif secara kualitatif. Analisis data meliputi analisis hasil tes matematika dan analisis data wawancara.
4. Tahap penyusunan laporan penelitian
39
BAB IV
HASIL PENELITIAN
A. Deskripsi dataPada bagian ini akan dijelaskan atau dideskripsikan hasil-hasil yang diperoleh dalam penelitian yang berjudul profil berpikir siswa dalam mengkonstruk bukti geometri sebagai prosep (proses dan konsep) berdasarkan teori Gray-Tall. Penelitian ini menggunakan dua instrumen yaitu lembar tes matematika dan lembar pedoman wawancara. Tes matematika bertujuan untuk mendapatkan jawaban tertulis subjek penelitian. Pedoman wawancara digunakan untuk mengungkap langkah-langkah atau ide-ide dari subjek penelitian dalam menyelesaikan tes matematika. Berikut ini akan dideskripsikan jawaban tertulis dari subjek penelitian.
1. Deskripsi data S1
Berdasarkan Gambar 4.1 di bawah subjek S1 telah
menuliskan dan menjawab langkah-langkah penyelesaian masalah dari tes matematika dengan menulis apa yang diketahui dan yang ditanyakan dalam masalah. Subjek S1
menuliskan apa yang diketahui yakni segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku ABC dan jumlah sudut satu segitiga adalah 180 derajat. Subjek S1 juga menuliskan apa
yang ditanyakan dalam tes matematika yakni pembuktian bahwa satu segitiga besarnya 180 derajat.
Selanjutnya subjek S1 menggambar segitiga
siku-siku ABC yang ada pada lembar tes matematika pada lembar jawaban yang sudah disediakan. Subjek S1
menggambar segitiga siku-siku ABC tidak sama persis seperti yang tertera dalam tes matematika, akan tetapi subjek S1 sudah memberikan tambahan yakni garis
penolong atau garis bantu. Penambahan garis bantu atau garis penolong digunakan untuk mempermudah subjek S1
menyelesaikan permasalahan di soal. Selanjutnya subjek S1 menggambar garis penolong yang sejajar dengan ruas
40
[image:53.420.71.346.65.430.2]Gambar 4.1 Jawaban tertulis subjek S1
Penambahan garis penolong atau garis bantu tidak hanya diberikan subjek S1 pada garis yang sejajar
dengan ruas garis BC saja, akan tetapi ruas garis pada segitiga siku-siku ABC itu juga diperpanjang. Ruas garis segitiga siku-siku ABC yang diperpanjang yaitu ruas garis AB, ruas garis AC, dan ruas garis BC. Hal itu dimaksudkan agar subjek S1 dapat mengerjakan dan
41
ABC. Subjek S1 memberikan tiga nama sudut pada
segitiga siku ABC. Sudut B merupakan sudut siku-siku dari segitiga ABC, kemudian dua sudut lainnya dinamakan dengan sudut A dan sudut B. Langkah selanjutnya subjek S1 menggambar segitiga berikutnya.
Subjek S1 menggambar segitiga siku-siku ABC
kedua yang sudah diberi nama sudut dan telah diperpanjang ruas garisnya. Pada segitiga siku-siku ABC yang kedua, subjek S2 memberikan nama sudut baru.
Sudut baru yang diberikan oleh subjek S1 yaitu sudut B2
dan sudut C2. Sudut C2 dan sudut B2 diberikan oleh subjek
S1 di samping sudut A.
Pada gambar kedua, subjek S1 memberikan
konsep matematika yang digunakan dalam menyelesaikan soal. Konsep yang digunakan subjek S1 adalah tentang
sudut, tepatnya tentang hubungan antar sudut. Hubungan antar sudut yang digunakan adalah sudut dalam berseberangan dan sudut berpelurus. Besar sudut B dinyatakan sama besarnya dengan sudut B2 oleh subjek S1
karena ada hubungan antar sudut di kedua sudut tersebut, yakni sudut dalam berseberangan. Begitu pula dengan sudut C, besar sudut C dengan sudut C2 besarnya sama
karena kedua sudut tersebut merupakan sudut dalam berseberangan. Kemudian subjek S1 menuliskan alasan
besar sudut B sama dengan sudut B2 dan sudut C sama
