15. Notasi Penjumlahan
Dalam statistika kita sangat sering menjumlahkan bilangan yang banyak. Misalnya, kita mungkin akan menghitung harga rata-rata pasta gigi merk tertentu yang dijual di sepuluh toko yang berbeda; atau mungkin pula kita ingin mengetahui berapa kali sisi muka muncul bila tiga keping mata uang ditos beberapa kali.
Perhatikan sebuah percobaan yang mengamati turunnya bobot badan selama periode 6 bulan. Data yang tercatat adalah 15, 10, 18, dan 6 kilogram. Jika nilai pertama kita lambangkan dengan x1, yang kedua x2, dan demikian seterusnya, maka kita dapat menuliskan x1 = 15, x2 = 10, x3 = 18, dan x4 = 6.
Dengan menggunakan huruf Yunani (sigma kapital) untuk menyatakan “penjumlahan”, kita dapat menuliskan jumlah empat perubahan bobot tersebut sebagai:
yang kita baca “penjumlahan xi, i dari 1 sampai 4.” Bilangan 1 dan 4 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas penjumlahan. Oleh karena itu
Secara umum, lambang berarti kita menggantikan i— yang berada di belakang lambang penjumlahan—dengan 1 kemudian dengan 2, dan demikian seterusnya sampai dengan n, dan kemudian menjumlahkan semua suku-suku tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan
Untuk subskrip dapat digunakan huruf sembarang, walaupun tampaknya i, j, dan k lebih disukai para statistikawan. Jelaslah bahwa
Tiga dalil berikut memberikan aturan dasar yang berhubungan dengan notasi penjumlahan.
Dalil 1: Penjumlahan jumlah dua atau lebih peubah sama dengan jumlah masing-masing penjumlahannya. Jadi:
Bukti: Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian mengelompokkan kembali, kita memperoleh
Dalil 2: Jika c adalah suatu kinstanta, maka
Bukti: Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian memfaktorkannya, kita memperoleh
Dalil 3: Jika c adalah suatu konstanta, maka
Jika diketahui , , , dan , maka hitunglah nilai
Contoh 4: sederhanakan
Tidak jarang kita menghadapi data yang diklasifikasikan menurut dua kriteria. Misalnya, xij
melambangkan banyaknya gas yang dihasilkan jika suatu percobaan kimia tertentu dilakukan pada
taraf suhu ke-i dan taraf tekanan ke-j. Untuk menjumlahkan data yang demikian, sangat memudahkan
bila kita menggunakan notasi penjumlahan ganda. Lambang
berarti pertama-tama kita menjumlahkan menurut subskrip j, dengan mengikuti aturan penjumlahan
tunggal, dan kemudian melakukan penjumlahan kedua dengan i mengambil nilai dari 1 sampai m.
Dengan demikian, untuk data dalam tabel berikut,
tekanan
melambangkan penjualan total buku-buku dari tiga penerbit tertentu di dua universitas tertentu.
Referensi:
Referensi:
