TINJAUAN TEORI GALAT SECARA STATISTI

(1)

TINJAUA

Dia

PROGRAM S F

i

AN TEORI GALAT SECARA STATI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Wuri Johana Fransiska NIM: 053114005

STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2012

TISTIS

(2)

STATISTI

Presente

MATHEMATICS ST FACU

ii

STICAL ANALYSIS OF ERROR THEOR

THESIS

nted As a Partial Fulfillment of The Requirement to Obtain The Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By :

Wuri Johana Fransiska Student Number: 053114005

STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MA CULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

2012

THEORY

ents

(3)

(4)

(5)

v

I do not like to repeat successes, I like to go on to other things. -Walt

Disney-Dia yang bisa menaklukkan orang lain adalah manusia kuat, dia yang bisa menaklukkan dirinya adalah manusia super.

-Lao

Tze-Guard your heart with all vigilance, for from it are the sources of life. -Psalm

(6)

(7)

(8)

viii

ABSTRAK

Setiap pengukuran yang dilakukan pasti akan menghasilkan galat. Galat menunjukkan simpangan antara nilai pengukuran dan nilai sebenarnya serta ketidakpastian dalam suatu percobaan. Galat sendiri dapat diklasifikasikan menjadi: galat acak, galat sistematis, dan galat tidak sah.

Teori galat bertujuan untuk mengetahui pendugaan galat sehingga suatu pengukuran dapat dilaporkan dengan lengkap dan benar. Analisis galat adalah studi dan evaluasi ketidakpastian dalam pengukuran. Dengan adanya pemahaman yang benar tentang teori galat, maka kemampuan untuk mengevaluasi ketidakpastian dan menjaganya untuk minimum dapat tercapai. Dari ketiga klasifikasi galat, hanya galat acaklah yang dapat dianalisis secara statistis. Analisis ini meliputi analisis standar deviasi

 

_x dan standar deviasi nilai rata-rata



 x x n



sebagai galat pada pengukuran tunggal. Keunggulan dari standar deviasi nilai rata-rata adalah faktor n pada penyebutnya, sehingga galat perlahan-lahan akan berkurang selama n meningkat. Jika x₁,...,x_n adalah hasil n pengukuran besaran x yang sama, maka pendugaan terbaik untuk besaran x adalah x dan galat yang berhubungan dengan pengukuran besaran tersebut adalah

x

x 

(9)

ix

ABSTRACT

Every measurement will produce error. Error indicates the deviation between the measurement and the true value and also a measure of uncertainty in an experiment. Error can be classified into: random error, systematic error, and illegitimate error.

The error theory aims to find the error estimation so that a measurement can be reported completely and correctly. Error analysis is a study and an evaluation of measurement uncertainty. A better understanding of the error theory, the better ability of evaluating the uncertainty and keep the uncertainty minimum as possible. Of the three classification of error, only random error that can be analyzed statistically. This analysis includes the analysis of standard deviation

 

x and standard deviation of the mean



 x x n



as an error in a single

(10)

x

KATA PENGANTAR

Puji syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis mendapat bantuan, bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada :

a. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

b. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

c. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selau dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu dan membantu serta sabar membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

d. Prof. Dr. Frans Susilo, S.J. selaku dosen pembimbing akademik.

e. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna kepada penulis.

(11)

(12)

xii

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... vii

ABSTRAK... viii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR TABEL ... xvi

DAFTAR GAMBAR... xvii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Perumusan Masalah ... 2

C. Pembatasan Masalah ... 3

D. Tujuan Penulisan... 3

E. Metode Penulisan... 3

F. Manfaat Penulisan... 4

G. Sistematika Penulisan ... 4

BAB II TEORI GALAT ... 6

(13)

xiii

1. Galat sebagai Ketidakpastian ... 9

2. Sifat yang tidak dapat Dihindarkan dari Galat ... 9

3. Pentingnya Mengetahui Galat ... 11

4. Menduga Galat dalam Pembacaan Skala ... 15

5. Menduga Galat dalam Pengulangan Pengukuran... 17

C. Cara Memperoleh Galat... 19

D. Klasifikasi Galat ... 21

1. Galat Acak ... 22

2. Galat Sistematis ... 24

3. Galat tidak Sah ... 27

E. Melaporkan dan Menggunakan Galat... 28

1. Pendugaan Terbaik dan Galat... 28

2. Angka Penting ... 29

3. Penyimpangan ... 31

4. Membandingkan Nilai Terukur dengan Nilai Sebenarnya 33 5. Perbandingan Dua Bilangan Hasil Pengukuran ... 36

6. Memeriksa dengan Grafik ... 39

7. Galat Fraksional... 48

8. Angka Penting dan Galat Fraksional ... 52

9. Mengalikan Dua Bilangan Terukur ... 54

F. Nilai Harapan... 59

G. Variansi dan Kovariansi ... 62

H. Korelasi... 63

(14)

xiv

B. Metode Akar Kuadrat untuk Percobaan Membilang... 69

C. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian... 73

1. Penjumlahan dan Pengurangan... 73

2. Perkalian dan Pembagian ... 75

D. Besaran yang Diukur kali Nilai Eksak ... 81

E. Pangkat ... 83

F. Kovariansi pada Perambatan Galat... 86

G. Galat Independen dalam Penjumlahan ... 96

H. Lebih Jauh tentang Galat Independen ... 103

I. Fungsi Sebarang Satu Variabel ... 108

J. Rumus Umum Rambat Galat... 115

BAB IV ANALISIS STATISTIS GALAT ACAK ... 121

A. Nilai Rata-rata dan Standar Deviasi ... 121

B. Standar Deviasi sebagai Galat pada Pengukuran Tunggal ... 128

C. Standar Deviasi Nilai Rata-rata ... 135

D. Galat Sistematis ... 139

E. Pertimbangan dalam Galat Penjumlahan Kuadrat... 146

1. Besaran Hasil Pengukuran Ditambah Nilai tertentu... 146

2. Besaran Hasil Pengukuran Dikalikan Nilai tertentu... 148

3. Penjumlahan Dua Besaran Hasil Pengukuran... 149

4. Kasus Umum... .... 153

BAB V PENUTUP... .... 155

A. Kesimpulan... 155

(15)

(16)

xvi

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.2.5.1... 18

Tabel 2.5.5.1... 37

Tabel 2.5.5.2... 38

Tabel 2.5.6.1... 41

Tabel 2.5.6.2... 43

Tabel 2.5.8.1... 54

Tabel 3.6.1... 89

Tabel 3.6.2... 92

Tabel 3.6.3... 93

Tabel 4.1.1... 123

Tabel 4.1.2... 124

Tabel 4.2.1... 131

Tabel 4.2.2... 134

Tabel 4.3.1... 138

(17)

xvii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Ganbar 2.1 ... 7

Gambar 2.2.3.1... 12

Gambar 2.2.4.1... 16

Gambar 2.2.4.2... 17

Gambar 2.4.2.1... 25

Gambar 2.5.3.1... 32

Gambar 2.5.3.2... 33

Gambar 2.5.5.1... 36

Gambar 2.5.5.2... 39

Gambar 2.5.6.1... 41

Gambar 2.5.6.2... 42

Gambar 2.5.6.3... 44

Gambar 2.5.6.4... 45

Gambar 2.5.6.5... 46

Gambar 2.5.6.6... 47

Gambar 2.5.6.7... 47

Gambar 2.5.6.8... 48

Gambar 3.1.1... 67

Gambar 3.7.1... 98

Gambar 3.7.2... 98

(18)

xviii

Gambar 3.9.2... 111

Gambar 4.2.1... 129

Gambar 4.2.2... 131

Gambar 4.6.1.1... 146

Gambar 4.6.1.2... 147

Gambar 4.6.3.1... 149

Gambar 4.6.3.2... 149

(19)

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Semua pengukuran, meskipun dilakukan secara hati-hati dan ilmiah, tidak terlepas dari ketidakpastian. Analisis galat adalah studi dan evaluasi dari ketidakpastian ini. Dua fungsi utamanya adalah untuk memungkinkan ilmuwan menduga seberapa besar ketidakpastian tersebut dan untuk membantunya mengurangi ketidakpastian tersebut jika diperlukan. Analisis ketidakpastian atau analisis galat adalah bagian penting dari setiap percobaan ilmiah, oleh karena itu analisis galat adalah bagian penting dari setiap materi di bidang ilmu pengetahuan yang bersifat percobaan. Tantangan pendugaan ketidakpastian dan pengurangannya ke tingkat yang memungkinkan diambilnya suatu kesimpulan tepat dapat mengubah suatu pengukuran yang biasa dan membosankan ke suatu penggunaan yang benar-benar menarik.

(20)

baris perhitungan sampai akhir setiap laporan laboratorium, bukan karena dia memahami mengapa, tetapi hanya karena instruktur telah mengatakan untuk melakukannya. Harus diakui bahwa tanpa memahami dasar teori, mustahil suatu praktikum di laboratorium dapat dikerjakan dengan baik. Tugas praktikum dan pelaporannya tidak jarang dianggap sesuatu yang terpaksa dilakukan karena tercantum dalam kurikulum. Karena itu kerja praktikum dilakukan dengan semangat ingin tahu yang minimum. Percobaan dilakukan dengan tidak banyak pengertian yang cukup tentang maksud dan tujuannya, karena kurang dipersiapkan. Pengukuran dilakukan dengan cara otomatis tanpa ada kesadaran tentang apa yang sebenarnya terjadi. Ini semua berakibat timbulnya rasa bosan dan jemu, dan waktu di laboratorium seolah-olah merupakan waktu yang sia-sia. Hal ini bersumber pada kurang diberikannya motivasi pada para praktikan untuk melakukan suatu percobaan.

Dalam skripsi ini, topik yang akan dibahas adalah tentang galat, deskripsi awal analisis galat, cara memperoleh galat, klasifikasi galat, cara melaporkan dan menggunakan galat, rambat galat, dan analisis statistis galat acak yang berkonsentrasi hanya pada pengukuran variabel-variabel fisika.

B. Perumusan Masalah

Berdasarkan atas uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

(21)

3. Bagaimana cara memperoleh galat? 4. Bagaimana klasifikasi galat?

5. Bagaimana cara melaporkan dan menggunakan galat? 6. Apa yang dimaksud dengan rambat galat?

7. Bagaimana analisis statistis galat acak?

C. Pembatasan Masalah

Pembahasan masalah teori galat dalam skripsi ini dibatasi pada aplikasi teori galat dalam pengukuran variabel-variabel fisika.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah: 1. Mengetahui galat.

2. Mengetahui deskripsi awal analisis galat. 3. Mengetahui cara memperoleh galat. 4. Mengetahui klasifikasi galat.

5. Mengetahui cara melaporkan dan menggunakan galat. 6. Mengetahui rambat galat.

7. Mengetahui analisis statistis galat acak.

E. Metode Penulisan

(22)

ilmiah yang telah dipublikasikan. Jadi, dalam skripsi ini tidak ada penemuan baru.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah: 1. Dapat mengetahui galat.

2. Dapat mengetahui deskripsi awal analisis galat. 3. Dapat mengetahui cara memperoleh galat. 4. Dapat mengetahui klasifikasi galat.

5. Dapat mengetahui cara melaporkan dan menggunakan galat. 6. Dapat mengetahui rambat galat.

7. Dapat mengetahui analisis statistis galat acak.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi ini yang meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II TEORI GALAT

(23)

BAB III RAMBAT GALAT

Bab ini membahas tentang galat pada pengukuran langsung, metode akar kuadrat untuk percobaan membilang, penjumlahan; pengurangan; perkalian; dan pembagian, besaran yang diukur kali nilai eksak, pangkat, kovariansi pada perambatan galat, galat independen dalam penjumlahan, lebih jauh tentang galat independen, fungsi sebarang satu variabel, dan rumus umum rambat galat.

BAB IV ANALISIS STATISTIS GALAT ACAK

Bab ini membahas tentang nilai rata-rata dan standar deviasi, standar deviasi sebagai galat pada pengukuran tunggal, standar deviasi nilai rata-rata, galat sistematis, dan pertimbangan dalam galat penjumlahan kuadrat.

BAB V KESIMPULAN

(24)

6

BAB II

TEORI GALAT

Galat akan selalu muncul karena ketidaksempurnaan. Tidak ada manusia yang sempurna, begitu juga dengan semesta ini. Hal-hal yang ada di dalamnya pun serba kekurangan. Tuhan memang memberikan alam dan segala isinya kepada manusia, namun tidak semuanya dapat dipergunakan secara langsung oleh manusia. Manusia dibekali logika dan ilmu pengetahuan untuk memaksimalkan fungsi alam, salah satunya adalah dengan melakukan pengamatan. Setiap pengamatan pasti menghasilkan galat. Galat ini memberikan informasi sejauh mana tingkat kesalahan pengamatan tersebut.

(25)

Gambar 2.1 Atom dalam Ruangan

Pengukuran yang sering dilakukan sebagian besar adalah pengukuran dari jenis kedua yaitu penentuan banyak atom dalam sebuah ruangan. Karena ketidakmampuan mengukur sesuatu dengan presisi tinggi, maka harus diketahui cara untuk mengukur ketidaktepatan hasilnya.

Misalkan dilakukan pengukuran suatu besaran fisika. Pengukuran tersebut tidak pernah dilakukan hanya untuk kepentingan sendiri. Pengukuran biasanya diteruskan ke dunia luar agar orang lain memperoleh manfaatnya, baik untuk keperluan ilmu ataupun keperluan praktis. Misalnya adalah:

 mengukur panjang dan lebar meja untuk mengetahui luasnya agar dapat

memesan jumlah cat yang cukup,

 mengukur modulus kekenyalan besi agar dapat merencanakan pembuatan

jembatan kereta api dengan tepat.

A. Galat

Kata ini mempunyai dua makna yaitu :

(26)

nilai sebenarnya tidak diketahui dan besarnya galat didasarkan pada nilai hipotetik yaitu nilai yang diasumsikan dengan hipotesis.

2. Dalam penulisan bilangan seperti , galat menunjukkan

ketidakpastian dalam suatu percobaan dan dinyatakan dalam beberapa istilah sebagai simpangan baku, simpangan rata-rata, probabilitas galat, atau indeks presisi.

Pengukuran dari besaran fisis tidak akan pernah dibuat dengan ketelitian yang sempurna, akan selalu ada beberapa galat yang muncul. Untuk beberapa pengukuran ada tak hingga bilangan dari faktor yang dapat menyebabkan sebuah nilai yang diperoleh dari percobaan menyimpang dari nilai sebenarnya. Kebanyakan dari faktor ini mempunyai pengaruh yang dapat diabaikan pada hasil percobaan. Bagaimanapun, beberapa pengaruh dapat menyebabkan perubahan yang signifikan atau galat percobaan. Jika sebuah pengukuran bermanfaat, sangatlah penting untuk mempunyai gambaran kuantitatif dari besarnya galat. Oleh karena itu, ketika hasil percobaan dilaporkan, maka hasil percobaan ini disertai dengan pendugaan yang dinamakan galat. Galat menyatakan seberapa besar dapat dipercayanya suatu hasil pengukuran yang dilakukan seorang peneliti.

B. Deskripsi Awal Analisis Galat

Analisis galat adalah studi dan evaluasi ketidakpastian dalam pengukuran. Pengalaman menunjukkan bahwa tidak ada pengukuran, meskipun dilakukan secara hati-hati, yang dapat benar-benar bebas dari ketidakpastian. Karena seluruh

10

10 000008 ,

0 

(27)

struktur dan penerapan ilmu tergantung pada pengukuran, kemampuan untuk mengevaluasi ketidakpastian dan menjaganya untuk minimum sangat penting.

1. Galat sebagai Ketidakpastian

Dalam ilmu pengetahuan, kata galat tidak sama dengan kata kekeliruan. Galat dalam pengukuran ilmiah berarti ketidakpastian yang tak terelakkan yang hadir dalam semua pengukuran. Dengan demikian, galat bukanlah kekeliruan. Galat tidak bisa dihilangkan sekalipun dengan hati-hati. Hal terbaik yang bisa dilakukan adalah memastikan bahwa galat sekecil mungkin dan memiliki perkiraan yang dapat dipercaya tentang seberapa besar galat tersebut. Galat digunakan semata-mata dalam pengertian ketidakpastian, sehingga galat dan ketidakpastian dapat digunakan secara bergantian.

2. Sifat yang tidak dapat Dihindarkan dari Galat

Salah satu cara untuk menggambarkan terjadinya galat yang tidak dapat dihindarkan adalah dengan memeriksa setiap pengukuran sehari-hari dengan hati-hati.

Contoh 2.2.2.1

(28)

menggunakan meteran dan mungkin menemukan tingginya 211,3 cm. Pengukuran ini tentu lebih tepat daripada pendugaan aslinya, tapi hal ini jelas masih menjadi persoalan karena tidak mungkin baginya untuk mengetahui tinggi pintu tepatnya yaitu apakah 211,3000 cm atau 211,3001 cm.

Galat ini didapat dari banyak sumber. Sebagai contoh, salah satu sumber galat adalah bahwa pencahayaan yang buruk menghambat pembacaan meteran. Masalah ini dapat diperbaiki dengan meningkatkan pencahayaan. Di sisi lain, beberapa sumber galat adalah hakiki pada proses pengukuran yang tidak dapat dihapus seluruhnya. Sebagai contoh, andaikan meteran tukang kayu dibagi dalam setengah sentimeter, maka pengukuran pintu akan lebih baik. Dengan membeli meteran yang lebih baik dan tanda skala lebih halus, tukang kayu dapat mengurangi galat, tapi tidak bisa menghilangkan itu sepenuhnya. Jika dia berkeinginan untuk menemukan ketinggian pintu dengan kemungkinan presisi terbaik maka dia bisa membeli sebuah interferometer laser mahal. Tetapi ketepatan interferometer juga terbatas pada jarak dari urutan panjang

gelombang cahaya (sekitar m). Meskipun setelah itu tukang kayu

akan mampu mengukur tinggi dengan presisi yang lebih baik, dia tetap tidak akan tahu ketinggian pintu secara tepat. Selanjutnya, selama tukang kayu berupaya untuk mendapatkan presisi yang lebih baik, ia akan menghadapi masalah penting dari prinsip dasar. Dia pasti akan menemukan bahwa ketinggian akan berbeda di tempat yang berbeda. Bahkan di satu tempat, dia akan menemukan bahwa tinggi bervariasi jika suhu dan kelembaban berbeda.

6

(29)

Apa yang dialami tukang kayu menggambarkan bahwa tidak ada besaran fisis (misalnya: panjang, waktu, dan suhu) dapat diukur dengan pasti. Dengan perhatian yang benar, galat dapat dikurangi, namun tidak mungkin untuk menghilangkan sepenuhnya. Jika dikatakan bahwa jarak antara rumah dan sekolah adalah 3 mil, apakah ini berarti "suatu tempat antara 2,5 mil dan 3,5 mil" atau "suatu tempat antara 2,99 mil dan 3,01 mil" biasanya tidak penting. Ketika tukang kayu menyesuaikan pintu, ia harus tahu tinggi pintu dengan galat yang kurang dari 1 mm atau lebih. Selama galat yang kecil ini, pintu akan menjadi sesuai dengan ambangnya, dan kekhawatirannya terhadap analisis galat pun berakhir.

3. Pentingnya Mengetahui Galat

Contoh tukang kayu mengukur pintu menggambarkan bagaimana galat selalu hadir dalam pengukuran. Sekarang akan diberikan contoh yang menggambarkan lebih jelas tentang pentingmya mengetahui seberapa besar galat ini.

Contoh 2.2.3.1

Misalkan dihadapkan dengan suatu masalah yang telah dipecahkan oleh Archimedes, yaitu diminta untuk mencari tahu apakah sebuah mahkota terbuat dari emas 18 karat atau logam campuran yang lebih murah. Berdasarkan Archimedes, maka diputuskan untuk menguji berat jenis mahkota tersebut yaitu dengan mengetahui bahwa berat jenis emas 18 karat dan logam

(30)

3

Jika berat jenis mahkota dapat diukur, maka berdasarkan saran Archimedes harus mampu untuk memutuskan apakah mahkota tersebut benar-benar emas

dengan membandingkan dengan dan .

Misalkan pengukuran berat jenis ini menggunakan dua orang yang ahli di bidangnya. Ahli pertama, Deni, membuat pengukuran cepat dan melaporkan

bahwa pendugaan terbaik untuk adalah 3 g/cm

15 dan interval nilai

dugaannya terletak antara 3 g/cm

16 . Ahli kedua, Keli,

membutuhkan waktu yang sedikit lebih lama dan kemudian melaporkan

pendugaan terbaiknya yaitu 3 g/cm 9 ,

13 dengan interval nilai dugaannya

3

Gambar 2.2.3.1 Dua Pengukuran Berat Jenis Sebuah Mahkota Emas

3

Gambar 2.2.3.1 Dua Pengukuran Berat Jenis Sebuah Mahkota Emas

 emas campuran

3

(31)

Hasil dari pengukuran ini adalah bahwa meskipun pengukuran Keli jauh lebih tepat, namun pengukuran Deni mungkin juga benar. Masing-masing ahli menyatakan interval yang mereka percayai berada, dan interval tersebut

saling berhimpitan sehingga sangat mungkin bahwa kedua pernyataan adalah benar.

Selanjutnya perhatikan bahwa ketidakpastian dalam pengukuran Deni begitu besar sehingga hasilnya tidak ada gunanya. Berat jenis emas 18 karat

dan berat jenis campuran berada dalam intervalnya, yaitu 3 g/cm

sehingga tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik dari pengukuran Deni. Di sisi lain, pengukuran Keli menunjukkan dengan jelas bahwa mahkota tidak asli,

berat jenis dari campurannya diduga 3 g/cm 8 ,

13 terletak dalam interval

pendugaan Keli yaitu 3

g/cm

(  , tetapi berat jenis emas 18 karat yaitu

3 g/cm 5 ,

15 tidak masuk dalam interval tersebut. Jadi kesimpulannya adalah

mahkota tersebut lebih mungkin terbuat dari logam campuran daripada logam emas. Jelas sekali, jika pengukuran bertujuan untuk mendapatkan kesimpulan, galat dalam suatu penelitian tidak boleh terlalu besar, tetapi tidaklah harus terlalu kecil. Dalam hal ini, contoh tersebut adalah jenis pengukuran ilmiah, yang ketidakpastiannya harus cukup kecil (mungkin beberapa persen dari nilai terukur) tetapi tidaklah perlu menggunakan presisi yang terlalu ekstrim.

Karena keputusan bergantung pada klaim Keli bahwa terletak pada

interval 3

(  , maka dia harus memberikan alasan yang cukup

agar klaimnya dapat dipercaya. Dengan kata lain, dia harus memberikan alasan mengenai pernyataan interval pendugaannya. Hal ini sering diabaikan oleh



(32)

peneliti pemula yang hanya menyatakan hasil galat mereka tetapi mengabaikan pembenaran apapun. Tanpa penjelasan singkat tentang bagaimana galat diduga, kesimpulan yang dihasilkan hampir tidak ada gunanya.

Poin yang terpenting tentang pengukuran yang dilakukan oleh dua ahli tersebut adalah, seperti kebanyakan pengukuran ilmiah, pengukuran mereka tidak akan berguna jika mereka tidak menyertakan pernyataan yang reliabel dari galat mereka. Kenyataannya, jika hanya diketahui dua pendugaan terbaik (

3 g/cm

15 untuk Deni dan 3

g/cm 9 ,

13 untuk Keli), maka selain tidak dapat

menarik kesimpulan yang valid, sebenarnya kedua pendugaan tersebut

menyesatkan karena hasil pendugaan Deni yaitu 3 g/cm

15 memberikan hasil

bahwa mahkota adalah asli atau terbuat dari logam emas.

Contoh lain yang lebih kompleks adalah dalam ilmu terapan, misalnya:

a. para insinyur yang ingin merancang pembangkit listrik harus mengetahui karakteristik bahan baku dan bahan bakar yang digunakan untuk membuatnya,

b. produsen kalkulator saku harus mengetahui komponen-komponen elektronik yang dibutuhkan untuk proses pembuatannya.

(33)

ilmu pengetahuan, yakni pada industrri pembuatan pakaian, analisis galat dalam bentuk pengendalian mutu mempunyai peran yang sangat penting.

Dalam ilmu pengetahuan dasar, analisis galat mempunyai peran yang sangat penting. Ketika teori-teori baru ditemukan, teori-teori tersebut harus dites terlebih dulu dengan teori yang lama dengan cara melakukan satu atau beberapa kali percobaan (yang diduga baik oleh teori baru maupun teori lama) yang menghasilkan hasil yang berbeda. Pada dasarnya, seorang peneliti hanya melakukan percobaan dan baru menyimpulkan setelah hasilnya terlihat. Dalam prakteknya, kondisinya sangatlah rumit karena adanya galat dalam percobaan yang tidak dapat dihindari. Galat ini harus dianalisa secara rinci dan efeknya akan berkurang sampai akhirnya dihasilkan satu teori yang dapat diterima dari percobaan itu. Teori tersebut (hasil dari percobaan yang memuat galat) harus konsisten dengan prediksi dari salah satu teori dan harus tidak konsisten dengan teori-teori yang lainnya. Intinya adalah, keberhasilan dari suatu prosedur bergantung pada pemahaman ilmuwan atau peneliti terhadap analisis galat dan bergantung pada kemampuannya untuk meyakinkan semua orang akan pemahaman ini.

4. Menduga Galat dalam Pembacaan Skala

(34)

dapat dilakukan dengan akal sehat yang sederhana. Berikut ini terdapat beberapa contoh tentang bagaimana menghitung besarnya galat.

Contoh 2.2.4.1

Mengukur panjang pensil menggunakan penggaris

Gambar 2.2.4.1 Mengukur Panjang dengan Penggaris

Panjang yang ditampilkan ternyata lebih dekat ke 36 mm dari pada 35 mm atau 37 mm tetapi tidak bisa dijamin bahwa ukuran itu tepat, sehingga kesimpulannya adalah

pendugaan panjang terbaik =36 mm. kemungkinan jangkauan =35,5-36,5 mm .

Dari pengamatan tersebut, kesimpulan yang bisa dibuat adalah besaran terletak lebih dekat ke nilai yang diberikan yaitu 36 mm daripada nilai yang lainnya. Dengan alasan ini, banyak ilmuwan menyepakati bahwa pernyataan p=36 mm

tanpa pembatasan apapun dianggap berarti bahwa lebih dekat ke 36 mm

daripada 35 mm atau 37 mm, yaitu

p=36 mm

yang artinya adalah

35,5 mm p36,6 mm.

Contoh 2.2.4.1

p=36 mm

yang artinya adalah

35,5 mm p36,6 mm. p

Contoh 2.2.4.1

p=36 mm

yang artinya adalah

(35)

Contoh 2.2.4.2

Mengukur tegangan menggunakan voltmeter

Gambar 2.2.4.2 Membaca Skala pada Voltmeter

Jarak antar satuan hitung pada voltmeter pada gambar lebih lebar daripada jarak antar satuan hitung pada penggaris. Jarum terletak di antara dua angka. Karena jarak antar angkanya lebih lebar daripada jarak angka pada penggaris, maka dari melihat gambar saja bisa diperkirakan letak jarum voltmeter tersebut berada. Dengan demikian, kesimpulan yang mungkin adalah

pendugaan tegangan terbaik =5,3 volt, kemungkinan jangkauan:(5,2-5,4) volt.

Proses menduga posisi antara skala bertanda disebut interpolasi yang keterampilan melakukannya dapat ditingkatkan dengan banyak latihan.

5. Menduga Galat dalam Pengulangan Pengukuran

Banyak pengukuran melibatkan galat yang jauh lebih sulit untuk diduga daripada pengukuran yang berhubungan dengan mencari titik-titik pada skala seperti pada contoh sebelumnya. Sebagai contoh, ketika mengukur interval

Contoh 2.2.4.2

Banyak pengukuran melibatkan galat yang jauh lebih sulit untuk diduga daripada pengukuran yang berhubungan dengan mencari titik-titik pada skala seperti pada contoh sebelumnya. Sebagai contoh, ketika mengukur interval

Contoh 2.2.4.2

(36)

waktu menggunakan stopwatch, sumber utama galat bukanlah kesulitan membaca angka tetapi pada waktu reaksi individu yang tidak diketahui dalam memulai dan menghentikan stopwatch. Kadang-kadang jenis galat dapat diduga dengan tingkat kepercayaan yang tinggi jika pengukuran dapat diulang beberapa kali.

Contoh 2.2.5.1

Sebuah pendulum yang diayunkan dengan waktu periode satu kali mendapatkan hasil sebesar 2,3 detik. Jika hanya dilakukan satu kali pengukuran saja, maka tidak akan bisa disimpulkan tentang galat percobaan. Tetapi jika pengukuran diulangi dan kemudian misalnya didapatkan 2,4 detik, maka dapat dikatakan bahwa ketidakpastiannya mungkin adalah sebesar

detik. Misalnya dilakukan empat kali pengukuran sebagai berikut

Tabel 2.2.5.1

Pengukuran Periode Pendulum

No. Waktu (detik)

1 2,3

2 2,4

3 2,5

4 2,4

maka akan dapat dibuat beberapa pendugaan yang cukup realistis. Pertama, asumsi alaminya adalah bahwa pendugaan terbaik periode tersebut adalah nilai rata-ratanya yaitu detik. Kemudian asumsi selanjutnya adalah bahwa

1 , 0

(37)

periode tersebut benar terletak di antara nilai terendah yaitu detik dan nilai

tertinggi detik. Jadi, bisa disimpulkan bahwa

pendugaan terbaik = rata-rata = detik,

interval kemungkinan: detik.

C. Cara Memperoleh Galat

Cara memperoleh galat adalah dengan pengukuran.

Definisi 2.3.1.1 Pengukuran

Pengukuran adalah tindakan atau proses menentukan kuantitas, kapasitas, atau dimensi dari suatu kejadian berdasarkan suatu aturan.

Pengukuran dapat dibagi menjadi tiga jenis menurut cara melakukannya, yaitu:

a. Pengukuran langsung

Pengukuran ini dilakukan dengan cara membandingkan langsung sesuatu yang akan diukur dengan sebuah standar yang dipakai sebagai alat ukurnya. Misalnya seseorang mengukur panjang seutas tali, ia akan membandingkan panjang tali itu dengan mistar yang dimilikinya.

b. Pengukuran tidak langsung

Pengukuran ini terpaksa dilakukan karena berbagai macam sebab, antara lain keterbatasan panca indra manusia sebagai sensor terhadap gejala alam yang akan diukur. Untuk melihat benda-benda mikroskopis, manusia perlu alat bantu yaitu mikroskop. Untuk mengukur arus listrik manusia perlu mengubah dulu gejala listrik menjadi gejala mekanik suatu jarum amperemeter.

3 , 2

5 , 2

4 , 2

(38)

c. Pengukuran dengan perhitungan

Pengukuran ini dilakukan berdasarkan pada hasil-hasil pengukuran yang dilakukan sebelumnya. Hasil ukurnya didapat melalui suatu perhitungan data pengukuran langsung maupun tidak langsung. Contohnya adalah volume tabung dapat diukur langsung dengan gelas ukur, dan dapat juga dihitung dari hasil ukur diameter dan tingginya. Contoh lain adalah massa jenis suatu zat cair dapat diukur dengan densimeter, dan dapat juga dihitung dengan mengukur lebih dulu massa dan volumenya.

Definisi 2.3.1.2 Percobaan

Definisi percobaan menurut Robert, Steel, dan Torrie (1989) adalah penyelidikan terencana untuk mendapatkan fakta baru.

Percobaan merupakan kegiatan yang tidak terpisahkan dengan istilah penelitian di bidang fisis. Kegiatan ini meliputi tiga hal sekaligus yaitu: pengukuran, pengolahan dan analisa data. Ketiga hal ini terkait satu dengan lainnya demikian erat sehingga pembahasannya pun tidak dapat dipisahkan secara tegas.

Definisi 2.3.1.3 Data

Data adalah informasi dalam bentuk mentah atau tidak terorganisasi (seperti huruf, angka, atau simbol) yang mengacu pada, atau mewakili, kondisi, ide, atau objek.

Definisi 2.3.1.4 Datum

(39)

Data merupakan bentuk jamak dari datum yang berasal dari bahasa Latin yang berarti “sesuatu yang diberikan”. Dalam penggunaan sehari-hari data berarti suatu pernyataan yang diterima secara apa adanya. Pernyataan ini adalah hasil pengukuran atau pengamatan suatu variabel yang bentuknya dapat berupa angka, kata-kata, atau citra. Data harus diolah dahulu supaya dapat ditampilkan secara terintegrasi dan ilmiah. Tampilan hasil pengolahan inilah yang kemudian perlu diinterpretasikan melalui suatu analisa.

Kegiatan pengukuran memerlukan dua perangkat penting yaitu peralatan sebagai perangkat kerasnya dan metode pengukuran sebagai perangkat lunaknya. Keduanya digunakan secara serempak untuk mendapatkan data yang sebaik-baiknya. Sebelum pembahasan tentang pengukuran dilanjutkan, ada baiknya mengetahui karakter-karakter hasil pengukuran (data) yang akan diperoleh. Data hasil pengukuran terhadap suatu besaran fisis tidak akan memberikan suatu nilai yang tepat. Ini berarti bahwa data ini pasti mengandung galat Hal ini disebabkan oleh banyak faktor antara lain keterbatasan jangkauan ukur alat yang digunakan, kelemahan metode pengukurannya, karakteristik alamiah besaran itu sendiri, dan lain-lain. Jadi data yang dapat disajikan nantinya hanyalah merupakan perkiraan terbaik tentang nilai besaran yang diukur.

D. Klasifikasi Galat

Ada tiga jenis galat, yaitu galat acak, sistematis, dan tidak sah.

Definisi 2.4.1. Galat Acak

(40)

dinyatakan dengan mengulang pengukuran.

Definisi 2.4.2 Galat Sistematis

Definisi galat sistematis menurut Taylor (1939) adalah galat percobaan yang tidak dapat dinyatakan dengan mengulang pengukuran.

Menurut Beers (1957) ada tipe galat yang lain yaitu galat tidak sah. Dalam percobaan-percobaan yang sangat teliti sekalipun, kebanyakan atau bahkan semua jenis galat sebelumnya selalu ditemukan, meskipun derajatnya kecil,. Galat-galat tersebut harus dibicarakan dalam suatu laporan tertulis. Bagaimanapun, ada beberapa jenis galat yang dapat dihindarkan yang tidak mempunyai tempat dalam suatu percobaan yaitu galat tidak sah.

Penjelasan dan contoh dari masing-masing jenis galat tersebut adalah sebagai berikut

1. Galat Acak

(41)

a. Galat menaksir. Contohnya adalah kebanyakan alat mengharuskan dilakukannya suatu taksiran terhadap pembagian skala terkecil yang dimilikinya. Taksiran pengamat yang satu mungkin berbeda dengan yang lain dari waktu ke waktu karena berbagai macam sebab. Contoh lain adalah stopwatchyang ditekan terlalu cepat menurut reaksi individu.

b. Kondisi-kondisi yang berfluktuasi (seperti suhu, tekanan, tegangan kawat, kelembaban), yaitu keadaan yang selalu berubah-ubah sedikit demi sedikit.. Contohnya adalah perbedaan hasil sinyal detektor foto yang disebabkan oleh fluktuasi suhu lingkungan, keacakan proses alami seperti kerusakan radioaktif atau emisi foton yang menghasilkan fluktuasi yang tidak disengaja dari angka pendeteksi kejadian selama pengukuran waktu t, pengukuran titik didih air yang selalu berubah-ubah.

c. Gangguan. Contohnya adalah getaran mekanik dapat menyebabkan goyangan jarum miliamperemeter sehingga arus yang terbaca berubah-ubah meskipun arus yang sesungguhnya tidak berubah, pengambilan sinyal palsu dari dekat rotasi mesin listrik atau peralatan lain.

(42)

perhitungan penampang pipa dianggap sebagai lingkaran sempurna, padahal penampangnya tidak mungkin bulat sempurna. Oleh sebab itu nilai ukur diameter yang didapat bergantung ke arah mana diameter ini diukur.

Dalam tiap percobaan, galat acak ini selalu ada. Galat acak dapat diperkecil dengan melakukan pengamatan berulang kali lalu menghitung harga rata-ratanya.

Kesalahan manusia melibatkan banyak hal seperti kesalahan hitung dalam analisis data, atau prasangka pribadi dalam mengasumsikan bahwa bacaan tertentu lebih dapat dipercaya dari pada yang lain. Pada dasarnya, galat acak tidak dapat diukur dengan tepat selama besarnya galat acak dan pengaruhnya pada nilai percobaan berbeda untuk setiap pengulangan percobaan. Jadi, metode statistis biasa digunakan untuk memperoleh estimasi galat acak dalam suatu percobaan.

Galat acak selalu menunjukkan bahwa hasil pengukuran menyimpang dari nilai yang sebenarnya. Jika pengukuran dilakukan secara berulang, maka penyimpangan ke bawah atau ke atas dari nilai sebenarnya akan seimbang satu dengan yang lain.

2. Galat Sistematis

Definisi 2.4.2.1 Kalibrasi

(43)

ukur dengan nilai-nilai yang sudah diketahui tingkat kebenarannya (yang berkaitan dengan besaran yang diukur).

Galat sistematis biasanya muncul dari faktor-faktor yang dapat dihasilkan dalam perubahan sistematis hasil percobaan. Faktor-faktor itu adalah :

a. Galat kalibrasi peralatan . Ini adalah galat yang disebabkan oleh kerusakan peralatan. Contohnya adalah mengukur jarak menggunakan meteran yang tidak rata, menggunakan peralatan yang tidak dikalibrasi, jangka sorong dengan simpangan yang terhambat sehingga susah disesuaikan, timbangan elektronik yang diatur dengan kurang baik. Hal-hal yang tidak menyenangkan tentang galat ini adalah bahwa tidak ada peringatan selama pengukuran.

b. Galat perseorangan. Ini adalah galat yang disebabkan oleh kebiasaan individu pengamat. Misalnya adalah timbulnya kesalahan paralaks. Galat ini timbul apabila pada waktu membaca skala, mata pengamat tidak tegak lurus di atas jarum penunjuk. Banyak alat ukur yang memakai jarum penunjuk yang kemudian dilengkapi dengan suatu cermin yang terpasang di bawah jarum untuk menghindari paralaks.

Gambar 2.4.2.1 Paralaks

(44)

c. Kondisi-kondisi percobaan. Ini adalah galat yang disebabkan oleh peralatan yang digunakan dalam kondisi-kondisi percobaan yang berbeda (seperti tekanan atau suhu) dan tidak adanya koreksi yang dibuat. Contohnya adalah

pengukuran tekanan udara di Makasar pada suhu 25 C dengan barometer

yang dikalibrasi di Italia pada suhu 0 C, hasil pengukurannya akan salah jika tidak diadakan koreksi terhadap ketinggian tempat dan suhu.

d. Teknik yang kurang sempurna. Ini adalah galat yang disebabkan oleh penggunaan teknik pengukuran yang salah. Contohnya adalah mengabaikan pengaruh hambatan udara, gesekan udara, dan kekentalan, misalnya pengukuran kekentalan oleh Hukum Poiseuille memerlukan pengukuran dari jumlah zat cair yang muncul dari peralatan di waktu yang diberikan. Jika sejumlah kecil dari zat cair memercik keluar bejana yang digunakan untuk menangkapnya, maka galat ini dihasilkan. Contoh lainnya adalah dalam percobaan mengukur panas jenis benda padat. Benda ini mula-mula dipanaskan di dalam ruang di atas air yang mendidih, suhu mula-mula dianggap sama dengan suhu titik didih air. Benda ini kemudian diangkat dan dimasukkan kedalam kalorimeter dengan cepat. Meskipun hal ini dilakukan dengan cepat namun selama benda bergerak di udara ada kalor dari benda merambat ke udara, sehingga kalor yang terukur dalam kalorimeter lebih kecil daripada yang sesungguhnya.

Kehadiran galat sistematis sulit diantisipasi pada awal percobaan, kecuali peneliti yang melakukannya adalah orang yang berpengalaman. Biasanya galat sistematis dapat diidentifikasi setelah percobaan selesai dilakukan dan diolah

0

(45)

datanya. Jika dalam suatu percobaan terdapat galat sistematis, hasil olahannya akan menunjukkan kesalahan yang teratur (sistematis). Misalnya hasil yang semestinya konstan akan diperoleh dalam pengolahan data sebagai besaran yang berubah secara sistematis. Meskipun sifat dan besar galat sistematis sulit untuk diprediksi dalam praktek, beberapa usaha seharusnya dibuat untuk mengukur pengaruhnya sewaktu-waktu dimungkinkan. Kesesuaian peralatan akan membantu mengurangi galat sistematis.

Galat sistematis dapat dihilangkan atau diperkecil dengan memelihara peralatan pengujian, menerapkan perbaikan pada pengaruh lingkungan, menggunakan model matematika yang berlaku, dan koreksi-koreksi atau mengulang percobaan setelah menghilangkan sebab-sebab yang menimbulkannya.

Galat sistematis harus ditemukan dan dihapuskan. Bagaimanapun, jika tingkat galat sistematis misalnya sisa pembelokan dari ohmmeter, aliran suhu dari amplifier, atau galat kalibrasi dari termometer diketahui, maka dapat digunakan sebagai catatan pada hasilnya.

3. Galat tidak Sah

Ada tiga tipe galat tidak sah yaitu :

(46)

ayunan. Galat ini sebagian besar dapat dihapuskan dengan ketelitian dan dengan pengulangan dari percobaan dan perhitungan.

b. Galat perhitungan. Alat-alat matematika yang dipilih untuk menghitung hasil dari sebuah percobaan (seperti mistar hitung, tabel logaritma, dan mesin hitung), haruslah mempunyai galat yang cukup kecil agar dapat diabaikan jika dibandingan dengan galat yang bersifat wajar (natural error) dari percobaan. Misalnya mengukur panjang sampai lima angka penting, maka akan timbul galat yang besar jika dihitung volume dengan mistar hitung yang hanya dapat dibaca sampai tiga angka. Untuk itu sebaiknya digunakan daftar logaritma atau alat penghitung lain yang lebih teliti.

c. Galat chaos (chaotic errors). Jika pengaruh gangguan menjadi sangat besar jika dibandingkan dengan galat acak yang bersifar wajar, maka dinamakan galat chaos (chaotic errors). Dalam situasi tersebut percobaan harus dihentikan sampai sumber dari gangguan dihilangkan.

E. Melaporkan dan Menggunakan Galat

1. Pendugaan Terbaik dan Galat

Suatu cara yang benar untuk menyatakan hasil pengukuran adalah dengan memberikan pendugaan terbaik dan interval dimana suatu besaran berada. Sebagai contohnya adalah pendugaan periode pendulum yang dilaporkan sebagai berikut

pendugaan waktu terbaik = detik,

interval kemungkinan: detik.

4 , 2

(47)

Nilai pendugaan terbaiknya adalah detik. Nilai ini terletak pada titik

tengah interval, sehingga pengukuran periode pendulum dinyatakan sebagai berikut

nilai waktu terukur = detik.

Persamaan tunggal ini sama dengan dua kesimpulan sebelumnya. Secara umum, hasil dari setiap pengukuran suatu besaran dinyatakan sebagai

(2.5.1.1).

Artinya, pertama bahwa dugaan terbaik seorang peneliti untuk besaran yang

bersangkutan adalah nilai , dan kedua adalah bahwa peneliti cukup yakin

bahwa besaran tersebut terletak di suatu titik di antara dan

. Nilai disebut ketidakpastian atau galat dalam pengukuran .

Galat didefinisikan selalu positif, sehingga selalu sebagai nilai

kemungkinan tertinggi dan adalah nilai kemungkinan terendah dari

besaran yang diukur.

2. Angka Penting

Cara menulis dan haruslah sesuai, dalam arti sebagai berikut.

Misalkan suatu pengukuran menghasilkan . Berapa angka

desimalkah harus dilaporkan? Hal ini bergantung pada ketepatan yang tercapai dalam pengukuran itu, yakni pada galat . Jika misalnya diketahui atau ditemukan , maka harus dilaporkan juga dengan dua angka desimal,

4 , 2



2,40,1



x x xterbaik x

terbaik

x

x x_terbaik 

x

x_terbaik  x x

x xterbaik 

x x_terbaik 

x x

... 14285 , 3 7 22

  x

x

 x

01 ,

(48)

jadi karena dengan galat diartikan angka desimal

kedua mulai diragukan hingga pada juga angka desimal kedua harus diragukan (yakni angka 4). Semua angka di depan angka yang diragukan, diketahui dengan tepat. Dikatakan besaran diketahui dengan 3 angka penting. Pengertian angka penting mencakup semua angka yang diketahui dengan pasti dan angka pertama yang diragukan. Angka selanjutnya yang diragukan tidak dicantumkan dalam pelaporan.

Jika karena sesuatu hal, misalnya pengulangan yang cukup banyak, diketahui dengan lebih tepat, misalnya , maka dapat dilaporkan

sebagai . Nilai angka penting adalah empat. Kesimpulannya

adalah, semakin tinggi ketepatan pengukuran, semakin banyak nilai angka penting yang boleh diikutsertakan dalam pelaporan.

Perhatikan, dan berbeda artinya dilihat dari sudut

ketepatan. Pengukuran pertama berarti angka 3 diketahui dengan tepat

tetapi angka 1 diragukan sedangkan pada , selain angka 3, angka 1

juga diketahui dengan tepat, sedangkan angka 0 diragukan. Pengukuran dengan hasil 3,10 lebih tepat daripada yang menghasilkan 3,1.

Seringkali ketelitian pengukuran dinyatakan dengan %, misalnya

. Artinya adalah dan .

Dengan berpikir sejenak dapat dimengerti bahwa . Dengan demikian

dilaporkan sebagai yang memang memiliki ketelitian 1 %

(49)

Seandainya ketelitian pengukuran dinyatakan dengan , maka

dan sehingga pelaporannya

, jadi mempunyai empat angka penting. Sebaliknya dengan

ketelitian hanya 10 %, sehingga mempunyai dua angka penting.

3. Penyimpangan

Penyimpangan adalah selisih antara dua nilai yang diukur dari suatu besaran. Misalnya selisih antara dua nilai yang diukur dari suatu besaran yang sama yang diperoleh dua orang siswa, atau selisih antara nilai penelitian yang diperoleh seorang siswa dengan nilai yang terdapat dalam suatu handbookatau buku pelajaran. Banyak kesan keliru yang timbul, yaitu bahwa nilai-nilai yang dijumpai dalam handbook atau buku-buku pelajaran adalah nilai-nilai yang eksak atau benar. Semua nilai itu adalah hasil suatu percobaan dan mengandung galat. Beberapa diantaranya, misalnya dalam percobaan menentukan sifat-sifat dari bahan tertentu, nilai-nilai yang terdapat dalam handbook kurang dapat dipercaya jika dibandingkan dengan nilai-nilai yang didapatkan oleh peneliti karena contoh yang digunakan oleh peneliti itu mungkin berbeda dalam susunannya dibandingkan dengan bahan-bahan yang menjadi dasar dari nilai-nilai yang terdapat dalamhandbook.

Contoh 2.5.3.1

Dua siswa mengukur hambatan yang sama sebagai berikut

00 0

... 14285 , 3



x x0,003142...



3,1420,003





x



3,10,3





(50)

Siswa A: 151 ohm, Siswa B: 252 ohm,

penyimpangannya adalah = 25 -15 =10 ohm. Ilustrasinya adalah sebagai berikut

Gambar 2.5.3.1 Dua Pengukuran Resistansi yang Sama

Setiap pengukuran menunjukkan pendugaan terbaik, ditunjukkan oleh satu noktah, dan berbagai nilai kemungkinan, ditunjukkan dengan garis vertikal. Penyimpangan (selisih antara dua pendugaan terbaik) adalah 10 ohm dan signifikan karena jauh lebih besar dari gabungan galat dua pengukuran. Hampir pasti bahwa setidaknya salah satu peneliti melakukan kesalahan.

Contoh 2.5.3.2

Dua siswa yang lain mengukur hambatan yang sama sebagai berikut Siswa C: 168 ohm,

(51)

penyimpangannya adalah = 26 -16 = 10 ohm. Ilustrasinya adalah sebagai berikut

Gambar 2.5.3.2 Dua Perbedaan Pengukuran dari Resistansi yang Sama

Penyimpangannya sama dengan contoh sebelumnya, yaitu 10 ohm. Namun dalam kasus ini, penyimpangannya tidak signifikan karena seperti ditunjukkan pada gambar, galat keduanya berhimpitan dan kedua pengukuran dapat benar semua. Penyimpangan antara dua pengukuran dari besaran yang sama dapat dinilai tidak hanya dalam ukurannya tetapi yang lebih penting lagi adalah dengan seberapa besar dibandingkan dengan galat dalam pengukuran.

4. Membandingkan Nilai Terukur dengan Nilai Sebenarnya

(52)

kebanyakan penelitian bertujuan untuk menghasilkan kesimpulan yang kuantitatif yaitu untuk menyatakan hasil yang numerik. Pengukuran tunggal tidak akan ada artinya. Pernyataan bahwa berat jenis beberapa logam adalah

3

gr/cm 2 , 0 3 ,

9  atau momentum sebuah gerobak adalah 0,0510,004kgm/s

tidak akan berarti karena hanya terdapat satu pengukuran saja. Kesimpulan yang berarti adalah kesimpulan yang diperoleh dengan membandingkan dua atau lebih bilangan yaitu hasil pengukuran dengan nilai sebenarnya, pengukuran dengan nilai prediksi secara teoritis, atau beberapa pengukuran lain. Hal ini dilakukan untuk menunjukkan bahwa masing-masing pengukuran berhubungan satu sama lain sesuai dengan hukum fisika.

Contoh 2.5.4.1

Dilakukan penelitian untuk mengukur kecepatan suara di udara (suhu dan tekanan standar) oleh seorang siswa yaitu siswa A.

Hasil pengukuran kecepatan siswa A=3295m/s, dibandingkan dengan

Kecepatan sebenarnya =331m/s.

Karena nilai sebenarnya berada dalam interval galatnya, maka pengukuran siswa A benar atau memuaskan.

Arti dari ketidakpastian adalah bahwa nilai sebenarnya dari

kemungkinan berada antara dan . Dimungkinkan juga

jika nilai sebenarnya berada masih disekitar interval ini. Oleh karena itu, pengukuran dapat dianggap memuaskan meskipun nilai sebenarnya berada sedikit diluar interval pendugaan.

x

 x

x

(53)

Contoh 2.5.4.2

Dilakukan penelitian untuk mengukur kecepatan suara di udara (suhu dan tekanan standar) oleh siswa B.

Hasil pengukuran kecepatan siswa B=3255m/s, dibandingkan dengan

Kecepatan sebenarnya = 331m/s.

Nilai sebenarnya tidak tepat berada dalam interval galatnya, meskipun begitu siswa B bisa mengklaim bahwa pengukurannya konsisten dengan nilai sebenarnya karena masih berada disekitar interval ini.

Contoh 2.5.4.3

Dilakukan penelitian untuk mengukur kecepatan suara di udara (suhu dan tekanan standar) oleh siswa C.

Hasil pengukuran kecepatan siswa C=3452m/s, dibandingkan dengan

Kecepatan sebenarnya =331m/s.

Penyimpangannya adalah 14m/s yaitu tujuh kali lebih besar daripada galat yang diberikan. Maka dapat disimpulkan dengan sangat meyakinkan bahwa nilai sebenarnya tidak berada dalam interval galatnya, sehingga ada masalah dengan percobaan pengukuran dari siswa B.

(54)

5. Perbandingan Dua Bilangan Hasil Pengukuran

Contoh 2.5.5.1

Berikut ini adalah pengukuran momentum dua gerobak sebelum dan

sesudah tumbukan.

Gambar 2.5.5.1 Nilai Hasil Pengukuran Momentum Dua Gerobak

Sebelum(p)dan Sesudah(q)Tumbukan

Berdasarkan interval galat awal dan akhir momentum, keduanya saling berhimpitan yaitu (1,46 p1,52)kgm/s dan (1,50q1,62)kgm/s. Jadi,

pengukuran ini konsisten dengan hukum momentum. Jika tidak saling berhimpitan, maka kemungkinan ada kesalahan dalam hal pengukuran, galat sistematis, dan kemungkinan beberapa pengaruh dari luar misalnya gaya gravitasi dan gaya gesek yang menyebabkan momentumnya berubah.

Jika dilakukan pengukuran yang diulang, maka cara terbaik untuk menyajikannya adalah dengan menggunakan tabel. Galat antar pengukuran memang sedikit berbeda, untuk itu perlunya meyakinkan diri sangat penting

 

q

Contoh 2.5.5.1

sesudah tumbukan.

Contoh 2.5.5.1

sesudah tumbukan.

(55)

dalam hal ini, misalnya galat dalam seluruh pengukuran momentum awal adalah p0,03kgm/s dan momentum akhir q0,06kgm/s.

Tabel 2.5.5.1

Momentum Terukur (kgm/s)

Percobaan

Momentum awal

Momentum akhir

1 1,49 1,56

2 3,10 3,12

3 2,16 2,05

Pengukuran menunjukkan bahwa masing-masing interval kemungkinan nilai p berhimpit atau hampir berhimpit dengan interval kemungkinan nilai q, sehingga pengukuran ini konsisten dengan hukum momentum. Jika terdapat banyak percobaan, maka akan membutuhkan waktu yang lama untuk mengeceknya satu persatu. Cara yang paling tepat adalah dengan menambahkan kolom keempat yaitu simpangan, . Kesulitan metode ini

adalah harus dihitung ketidakpastian dari , yaitu

terukur ,

terukur .

Bilangan dan adalah pendugaan terbaik dari dan ,

sehingga pendugaan terbaik untuk simpangan adalah .

Untuk mencari galat harus dicari nilai kemungkinan tertinggi dan

terendah dari . Nilai tertinggi untuk dihasilkan jika adalah

 

p

03 , 0



 

q

06 , 0



q p

p  p_terbaik p

q q_terbaik q

terbaik

p q_terbaik p q

q

p p_terbaik q_terbaik

q p

q

(56)

nilai kemungkinan terbesar, yaitu dan pada waktu yang bersamaan

adalah nilai terkecilnya yaitu seperti berikut ini

Nilai kemungkinan tertinggi untuk pq(p_terbaik q_terbaik)( p q) .

Nilai kemungkinan terendah didapat jika adalah nilai kemungkinan

terkecil, yaitu tetapi adalah nilai terbesarnya yaitu

seperti berikut ini

Nilai kemungkinan terendah untuk pq(pterbaik qterbaik)( p q) .

Jadi, galat dalam simpangan adalah jumlahan dari galat semula.

Sebagai contoh, jika

kgm/s

Momentum Terukur (kgm/m)

(57)

Gambar 2.5.5.2 Simpangan yang Dihasilkan dari Tiga Percobaan dalam

Pengujian Hukum Momentum

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika dua besaran dan diukur dengan galat

dan dan jika nilai terukur dan digunakan untuk menghitung

simpangan yaitu , maka galat dalam adalah jumlahan dari galat

dalam dan dan ditulis sebagai

(2.5.5.1).

6. Memeriksa dengan Grafik

Banyak hukum-hukum fisika menyatakan bahwa satu besaran harus sebanding dengan besaran yang lain. Sebagai contoh, hukum Hooke menyatakan bahwa perpanjangan pegas sebanding dengan gaya peregangannya, dan hukum Newton menyatakan bahwa percepatan benda

x

 y

d

x y

(2.5.5.1).

Banyak hukum-hukum fisika menyatakan bahwa satu besaran harus sebanding dengan besaran yang lain. Sebagai contoh, hukum Hooke menyatakan bahwa perpanjangan pegas sebanding dengan gaya peregangannya, dan hukum Newton menyatakan bahwa percepatan benda

x y

y x

d   d

y x d     

(2.5.5.1).

(58)

adalah sebanding dengan gaya total yang digunakan. Banyak percobaan di laboratorium dirancang untuk memeriksa kesebandingan ini.

Jika suatu besaran sebanding dengan besaran lain yaitu , grafik

terhadap merupakan garis lurus yang melalui titik nol. Jadi, untuk menguji apakah sebanding dengan adalah dengan melakukan plot nilai terukur

dari terhadap nilai-nilai terukur dari dan perhatikan apakah titik yang

dihasilkan terletak pada garis lurus yang melalui titik nol. Karena garis lurus begitu mudah dikenali, maka metode ini merupakan cara yang sederhana dan efektif untuk memeriksa kesebandingan.

Untuk menggambarkan kegunaan grafik ini akan digunakan sebuah percobaan untuk menguji hukum Hooke. Hukum ini biasanya ditulis sebagai , yang menyatakan bahwa perpanjangan pegas (x) adalah sebanding

dengan gaya peregangannya (F), jadi , dimana k adalah konstanta gaya

pegas. Cara sederhana untuk menguji hukum ini adalah dengan menggantung pegas secara vertikal dan menambahkan suatu beban (m) yang digantungkan pada pegas. Di sini, gaya (F) adalah berat beban (m) kali gravitasi (g) beban, maka perpanjangannya menjadi

(2.5.6.1)

Perpanjangan (x) harus sebanding dengan beban (m) dan grafik x terhadap m harus merupakan garis lurus yang melalui titik nol.

Jika x diukur untuk berbagai beban yang berbeda dan nilai-nilai pengukuran x dan m ini kemudian diplot, maka titik yang dihasilkan hampir

y x y

x

y x

kx F 

k F x

m k g k mg

x 

(59)

pasti tidak akan terletak tepat pada garis lurus. Anggaplah misalnya diukur perpanjangan (x) untuk delapan beban yang berbeda dan mendapatkan hasil yang ditunjukkan pada tabel berikut ini

Tabel 2.5.6.1

Beban dan Perpanjangan

Beban (m)

dan digambarkan pada gambar berikut

Gambar 2.5.6.1 Beban dan Perpanjangan

Gambar tersebut menunjukkan kemungkinan garis lurus yang melewati titik nol dan cukup dekat dengan kedelapan titik. Seperti yang seharusnya pasti tidak akan terletak tepat pada garis lurus. Anggaplah misalnya diukur perpanjangan (x) untuk delapan beban yang berbeda dan mendapatkan hasil yang ditunjukkan pada tabel berikut ini

Tabel 2.5.6.1

Beban (m)

Gambar tersebut menunjukkan kemungkinan garis lurus yang melewati titik nol dan cukup dekat dengan kedelapan titik. Seperti yang seharusnya

m

 0,3

pasti tidak akan terletak tepat pada garis lurus. Anggaplah misalnya diukur perpanjangan (x) untuk delapan beban yang berbeda dan mendapatkan hasil yang ditunjukkan pada tabel berikut ini

Tabel 2.5.6.1

Beban (m)

(60)

diharapkan, kedelapan titik tidak terletak tepat pada garis. Pertanyaannya adalah apakah hasil ini berasal dari galat percobaan (seperti yang diharapkan), dari kesalahan yang dibuat, atau karena perpanjangan (x) yang tidak sebanding dengan m. Untuk menjawab pertanyaan ini, maka perlu mempertimbangkan galat yang dihasilkan.

Gambar 2.5.6.2 Beban dan Perpanjangan yang disertai denganError Bar

yang Konsisten dengan Kesebandingan yang Diharapkan darixdanm

Pengukuran besaran yaitu perpanjangan (x) dan massa (m) pastilah mengikutsertakan galat. Untuk mempermudah, anggaplah bahwa massa yang digunakan diketahui dengan tepat, sehingga galatnya diabaikan. Anggaplah di sisi lain bahwa semua pengukuran x mempunyai galat sekitar 0,3 cm. Untuk beban 200 gram, misalnya, perpanjangan mungkin akan berada di sekitar 1,1 ± 0,3 cm. Titik percobaan pertama pada grafik tersebut yang terletak pada garis vertikal m= 200 gram adalah di suatu tempat di antara x= 0,8 cm danx = 1,4 cm. Kisaran ini ditunjukkan pada gambar 2.5.6.2 disebut error bar yang melalui setiap titik untuk menunjukkan rentang di mana kemungkinan letak diharapkan, kedelapan titik tidak terletak tepat pada garis. Pertanyaannya adalah apakah hasil ini berasal dari galat percobaan (seperti yang diharapkan), dari kesalahan yang dibuat, atau karena perpanjangan (x) yang tidak sebanding dengan m. Untuk menjawab pertanyaan ini, maka perlu mempertimbangkan galat yang dihasilkan.

(61)

titik tersebut. Harapannya adalah ditemukan garis lurus yang melewati titik nol dan melalui atau dekat dengan semua error bar. Gambar 2.5.6.2 mempunyai kemungkinan banyak garis, maka dari itu dapat disimpulkan bahwa data berdasarkan pada gambar 2.5.6.2 konsisten dengan kesebandingan yang diharapkan darixdanm.

Persamaan (2.5.6.1) menunjukkan bahwa kemiringan grafik x terhadap

m adalah . Dengan mengukur kemiringan garis pada gambar 2.5.6.2, maka

akan dapat dicari konstanta k pegas. Dengan menggambar kemiringan garis yang sesuai dengan data, maka akan dapat dicari galat dalam nilai ini untukk.

Contoh 2.5.6 1

Jika sebuah batu dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan v, maka

ketinggian batu akan mencapai puncak dihsehingga . Secara khusus,

harus sebanding dengan h. Untuk menguji kesebandingannya ini, maka

akan diukur dan h untuk tujuh pelemparan berbeda dan hasilnya ditunjukkan pada Tabel berikut

Tabel 2.5.6.2

Ketinggian dan Kecepatan sebuah Batu yang Dilempar Vertikal ke Atas

h(m) 2

m/s

0,4 0,8 1,4 2,0 2,6 3,4 3,8 k

g

gh v2 2

2

v

2

v

05 , 0

 2

v 3 7

3 17

3 25

3 38

3 45

3 62

(62)

a. Buatlah plot terhadaphbeserta denganerror barvertikal dan horisontal.

Apakah plot konsisten dengan prediksi bahwa sebanding denganh? b. Kemiringan grafik haruslah 2g. Untuk mencari kemiringan, gambarlah garis

lurus ”terbaik” yang melalui titik-titik dan kemudian ukurlah kemiringannya. Untuk menemukan galat pada kemiringannya, gambarlah garis-garis yang sesuai dengan data. Kemiringan garis-garis ini memberikan nilai kemungkinan terbesar dan terkecil dari kemiringan. Apakah hasilnya

konsisten dengan nilai 2g 19,6m/s2?

Penyelesaian a.

) m/s ( 2

2

v

) m (

h

Gambar 2.5.6.3 Plot terhadaphbeserta denganErrror BarVertikal

dan Horisontal

Berdasarkan gambar di atas, maka dapat disimpulkan bahwa plot

terhadaphkonsisten dengan prediksi bahwa sebanding denganh.

2