FREQUENCY RESPONSE ANALYSIS

FREQUENCY RESPONSE

ANALYSIS

•

Tujuan

: Mhs mampu melakukan analisis respon

proses terhadap perubahan input

sinus

•

Materi

:

1. Karakteristik respon sistem order satu terhadap

perubahan

sinus input

2. Nyquist Plot

3. Bode Diagram

5.1. Karakteristiik Respons Order Satu Terhadap Sinus Input

( )

( )

_{( )}

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

=

1

s

K

s

X

s

Y

s

G

τ

Tinjau FT Sistem Order Satu:

Jika X(t) = A sin(

ωt), dimana A adalah amplitude dan

ω

adalah

frekuensi (radian/waktu). Bentuk Laplace dari fungsi sinus tsb

adalah X(s) = A

ω

/(s

2

+ ω

2

₎

Sinusoidal Response:

(

Pelajari lagi Bab II

)

( )

(

ω

φ

)

ω

τ

ω

τ

ωτ

_τ

₊

+

+

+

=

−

t

KA

e

KA

t

Y

t

sin

1

1

2

2

2

2

( )

(

ω

φ

)

ω

τ

+

+

=

KA

t

t

Y

sin

1

2

2

tÆ

∞

maka e

-t/

τ

_Æ

₀

φ

ωτ

Catatan penting:

1. Respons sistem order satu terhadap input sinus adalah juga

berbentuk gelombang sinus dengan frequency yang sama (

ω

)

2. Rasio output amplitude dan input amplitude adalah:

2

2

1

+

τ

ω

=

=

Amplitude

Ratio

K

AR

3. Output wave tertinggal di belakang (phase lag) input wave

dengan sudut (angle) |φ|

Tiga catatan di atas tidak hanya berlaku untuk sistem order satu tapi

juga untuk sistem linear yang lain.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 5 10 15 20 25

Ultimate Response of first order system to a sinusoidal input

Input wave

Output wave

A

B = A x (AR)

Tinjau Bilangan kompleks berikut:

_{c = a + i b}

dimana:

_a

₌

bagian real

dan

b

=

bagian imaginer

Modulus atau absolute value atau magnitude

( )

[

]

2

[

( )

]

2

2

2

Im

Re

c

c

a

b

c

r

=

=

+

=

+

( )

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

−

−

a

b

a

b

c

c

arctan

tan

Re

Im

tan

1

1

θ

θ

cos

r

a

=

_b

=

_r

_sin

θ

Phase angle atau argument

dan

dimana:

Complex Plane and Complex Number

Real Axis

Imagiray Axis

I

R

a

b

r

(a,b)

Notasi Polar

r

≡

magnitude

θ ≡

argument

θ

c = a + i b

θ

cos

r

a

=

θ

sin

r

b

=

(

a

i

b

)

d

=

−

Jika d adalah conjugate dari c:

( )

[

]

2

[

( )

]

2

2

2

Im

Re

c

c

a

b

d

c

=

=

+

=

+

Magnitude

Argument

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

=

−

=

−

a

b

c

d

arg

tan

1

arg

Substitusi s =

i

ω

ke fungsi tansfer

G(s)

( )

1

1

2

2

2

2

+

−

+

=

ω

τ

ωτ

ω

τ

ω

K

i

K

i

G

( )

[

]

1

2

2

+

=

ω

τ

ω

K

i

G

Modulus

( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

−

+

=

+

=

1

1

1

1

ωτ

ωτ

ωτ

ωτ

ω

i

i

i

K

i

K

i

G

Bilangan kompleks

( )

[

ω

]

=

−

1

(

−

ωτ

)

tan

i

G

ument

rg

a

Amplitude Ratio

Phase Angle

Buktikan

Contoh 5.1: Tentukan amplitude ratio (AR) dan phase angle (

φ)

untuk beberapa fungsi transfer berikut:

a) Pure Capacitive Process

( )

s

K

s

G

=

b) N Non-Interacting

Capacities in Series

( )

1

2

1

1

2

1

1

+

+

+

=

s

K

s

K

s

K

s

G

N

N

τ

τ

τ

L

c) Second Order Process

( )

1

2

2

2

+

+

=

s

s

K

s

G

ζτ

τ

a) Pure Capacitive Process

( )

ω

ω

ω

ω

ω

i

K

i

i

i

K

i

G

⎟

=

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

0

Penyelesaian:

Amplitude Ratio (AR)

( )

ω

ω

K

i

G

=

Phase angle (φ)

( )

o

90

tan

1

−

∞

=

−

=

−

φ

b) N Non-Interacting Capacities in Series

( )

i

ω

G

( ) ( )

i

ω

G

i

ω

G

( )

i

ω

G

=

₁

₂

L

_N

φ

i

e

r

c

Ingat

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

i

N

N

N

i

i

e

i

G

i

G

e

i

G

i

G

e

i

G

i

G

ω

=

ω

φ

1

ω

=

ω

φ

2

L

ω

=

ω

φ

2

2

1

1

;

( )

[

( )

( )

( )

]

i

(

N

)

N

i

e

G

i

G

i

G

i

G

ω

=

ω

ω

L

ω

φ

1

+

φ

2

+

L

+

φ

2

1

Maka:

Amplitude Ratio (AR)

( )

i

ω

G

( )

i

ω

G

( )

i

ω

G

( )

i

ω

G

AR

=

=

₁

₂

L

_N

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

τ

ω

τ

ω

τ

_N

ω

N

K

K

K

AR

+

+

+

=

L

L

Phase Angle

N

φ

φ

φ

φ

=

₁

+

₂

+

_L

+

(

ωτ

)

(

ωτ

)

(

ωτ

_N

)

φ

=

−

−

+

−

−

+

+

−

1

−

2

1

1

1

tan

tan

tan

L

c) Second Order Process

( )

₍

₎

₍

₎

(

₍

)

₎

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

−

−

+

−

+

+

−

=

+

+

−

=

ω

ζτ

ω

τ

ω

ζτ

ω

τ

ω

ζτ

ω

τ

ω

ζτ

ω

τ

ω

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

i

i

i

K

i

K

i

G

atau

( )

(

)

(

₂

₂

)

2

(

)

2

(

₂

₂

)

2

(

)

2

2

2

2

1

2

2

1

1

ω

ζτ

ω

τ

ω

ζτ

ω

ζτ

ω

τ

ω

τ

ω

+

−

−

+

−

−

=

K

i

K

i

G

Amplitude Ratio (AR)

( )

(

2

2

)

2

(

)

2

2

1

τ

ω

ζτω

ω

+

−

=

=

G

i

K

AR

Phase Angle (φ)

[

( )

]

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

=

=

−

2

2

1

1

2

tan

arg

ω

τ

ζτω

ω

φ

G

i

5.2. NYQUIST PLOT

• Plot bilangan Real versus Imaginer untuk G(

i

ω

)

( )

φ

Re

cos

( )

φ

cos

=

×

×

=

r

atau

AR

a

( )

(

)

[

]

2

[

(

( )

)

]

2

Im

Re

G

i

ω

G

i

ω

r

AR

=

=

+

( )

[

]

( )

[

]

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

ω

ω

φ

i

G

i

G

an

t

a

Re

Im

Re

Im

φ

a

b

r

(a,b)

( )

φ

Im

sin

( )

φ

sin

=

×

×

=

r

atau

AR

b

NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER SATU

( )

( )

( )

=

⎢

_⎣

⎡

+

⎥

_⎦

⎤

=

1

s

K

s

X

s

Y

s

G

τ

K

_c

=1

K

_c

=5

K

_c

=10

NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER DUA

( )

( )

( )

⎢

_⎣

⎡

⎟⎟

⎥

_⎦

⎤

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

=

1

1

₂

2

1

1

s

K

s

K

s

X

s

Y

s

G

τ

τ

K1=1

K2=1

Merah:

τ

₁

= 1 &

τ

₂

= 1

ζ

= 1

Biru:

τ

₁

= 0.25 &

τ

₂

= 1

ζ

= 1.25

ζ

= 1.25

ζ

= 1

NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER DUA

( )

( )

( )

⎢

_⎣

⎡

⎟⎟

⎥

_⎦

⎤

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

=

1

1

₂

2

1

1

s

K

s

K

s

X

s

Y

s

G

τ

τ

ω

: from –

∞

to 0

ω

: from 0 to

∞

( )

1

2

2

2

+

+

=

s

s

K

s

G

ζτ

τ

NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER DUA

K=1

τ

= 1

ω

: from –

∞

to 0

ζ

= 0.5

KRITERIA KESTABILAN NYQUIST

Jika Nyquist Plot mengelilingi titik (–1,0) dalam bidang

kompleks untuk

ω

= 0 s.d.

ω → ∞

, dan searah

putaran jarum jam, maka sistem TIDAK STABIL.

(–1,0)

Re

NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER TIGA

( )

( )

( ) (

=

⎢

_⎣

⎡

+

)(

+

)(

+

)

⎥

_⎦

⎤

=

1

4

1

2

1

s

s

s

K

s

X

s

Y

s

G

c

ω

: from –

∞

to 0

K

_c

=50

K

_c

=15

Sistem

menghasilkan

Respons yang

tidak stabil

jika K

_c

>15

K

_c

=5

5.3. Bode Diagram

• Penghargaan terhadap H.W. Bode

• Plot 2 kurva: MR vs

ω

dan

φ

vs

ω

• Untuk fungsi transfer yang kompleks

• MR dan

ω

diplot dalam skala logaritma (range sangat lebar)

Sistem Order Satu:

2

2

1

+

τ

ω

=

K

AR

(

ωτ

)

φ

=

−

1

−

tan

( )

(

2

2

)

1

log

2

log

AR

=

−

K

+

τ

ω

Anggap

τ

konstan; jadi

τω

merupakan

variabel bebas pengganti

ω

BODE DIAGRAM SISTEM ORDER SATU

log (

τω

)

log (AR)

log (

τω

) = 0

τω

= 1

ω

=1/

τ

low frequency

high f

_requen

cy

corner frequency

BODE DIAGRAM

SISTEM ORDER SATU

DENGAN BERBAGAI

NILAI GAIN (K)

ω=1/τ

K=1

K=10

K=100

log (

τω

)

log (AR)

( )

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

1

5

1

1

2

1

s

s

s

G

log (

τω

)

log (AR)

angle

BODE DIAGRAM

BODE DIAGRAM SISTEM ORDER DUA

( )

1

2

2

2

+

+

=

s

s

K

s

G

ζτ

τ

ζ

= 0.1

ζ

= 1

ζ

= 10

log (

τω

)

log (AR)

angle

KRITERIA KESTABILAN BODE

Sistem TIDAK STABIL, jika AR lebih besar

dari 1 (satu) pada crossover frequency (

ω

_CO

)

Crossover frequency: Frequency ketika phase

lag (

φ

) sama dengan 180

o

_→

ω

BODE DIAGRAM

SISTEM ORDER TIGA

( )

( )

( ) (

=

⎢

_⎣

⎡

+

)(

+

)(

+

)

⎥

_⎦

⎤

=

1

4

1

2

1

s

s

s

K

s

X

s

Y

s

G

c

log (

τω

)

log (AR)

angle

K

_c

=50

K

_c

=1

log

(AR)=0

→

AR = 1

Sistem dengan

Kc = 50

menghasilkan

respon yang

TIDAK STABIL,

karena AR > 1

pada

ω

_CO

ω

_CO