Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas
Pengendalian Kualitas Statistika
Ayundyah Kesumawati
Prodi Statistika FMIPA-UII
Tujuan
Mahasiswa dapat memahami pentingnya ilmu statistik dalam kualitas Mahasiswa mampu memahami berbagai distribusi probabilitas
(normal, hipergeometrik, eksponensial, weibull, poisson, dan binomial) mahasiswa dapat memahami konsep dasar probabilitas
Statistik sebagai alat dalam kualitas
Sejak awal perkembangan kualitas, para praktisi telah memperdebatkan pentingnya metode-metode statistik dalam mencapai kualitas yang memuaskan.
Tanpa statistik, maka penggambaran penyelesaian mengenai data akan menjadi sumber malapetaka dalam penerapannya pada berbagai kasus.
Distribusi Probabilitas
Fungsi distribusi probabilitas merupakan rumusan matematika yang berhubungan dengan nilai-nilai karakteristik dengan probabilitas kejadian pada populasi
ada dua macam jenis distribusi
1 Continous (untuk data variabel)
apabila karakteristik yang diukur dapat membicarakan berbagai nilai (ketepatan pengukuran proses), distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas kontinu. Ada berbagai bentuk distribusi probabilitas yang biasa digunakan, misalnya distribusi probbailitas normal, distribusi probabilitas exponensial, dan distribusi probabilitas Weibull.
2 Diskret (untuk data atribut)
Distribusi Probabilitas Normal
Rumus umum untuk Distribusi Probabilitas Normal:
y = 1
µ = rata-rata populasi
Contoh
Distribusi Probabilitas Eksponensial
Fungsi distribui probabilitas eksponensial adalah
y = 1
Contoh
Sebagai contoh, waktu antara kegagalan yang berurutan dari suatu alat diukur dan menghasilkan histogram yang menyerupai distribusi
Distribusi Probabilitas Weibull
Fungsi Distribusi Weibull adalah:
f(x;θ, β) = β
α = parameter skala
Kurva distribusi Weibull ini akan bervariasi tergantung pada nilai-nilai numerik parameternya.
yang terpenting adalah parameter bentuk β yang menunjukkan model
kurva.
apabila β = 1,0, maka fungsi Weibull turun sampai dengan
eksponensial dan apabilaβ = 3,5 (danα= 1 danγ = 0), Weibull
Distribusi Probabilitas Poisson
Apabila probabilitas terjadinya p dari suatu peristiwa adalah konstan untuk setiap n percobaan yang tidak tergantung, probabilitas terjadinya c pada n percobaan adalah
f(c,np) = (np) ce−np
c!
dimana:
Distribusi Probabilitas Poisson
distribusi probabilitas poisson juga dapat membuat perkiraan atau prediksi
distribui poisson digunakan dalam menghitung probabilitas yang berkaitan dengan prosedur pengambilan sampel.
Latihan
1 The length of life X, in hours, of an item in a machine shop has a
Weibull distribution withα = 0.01 and β = 2. What is the
probability that it fails before eight hours of usage?
2 During a laboratory experiment, the average number of radioactive
Jawaban
1 The cumulative distribution function for the Weibull distribution is
given by
F(x) = 1−e−αxβ
for α, β >0,danx ≥0 sehingga
P(X <8) =F(8) = 1−e−(0,01)82 = 1−0,527 = 0,473
2 Using the Poisson distribution with x = 6 andλt = 4 we have,
Distribusi Probabilitas Binomial
Dalam praktek, asumsi bahwa probabilitas terjadinya bersifat konstan beralasan apabila ukuran banyaknya populasi sekurang-kurangnya 10 kali ukuran banyaknya sampel. Distribusi binomial juga dapat digunakan untuk membuat perkiraan atau prediksi.
Distribusi Probabilitas Hipergeometrik
Distribusi yang bersifat diskret lainnya adalah distribusi hipergeometrik yang digunakan apabila asumsi pada distribusi poisson dan binomial tidak dapat ditemukan, diskret uniform atau semua nilai memiliki probabilitas yang sama dan multinomial atau apabila dua atau lebih parameter diobservasi dalam sampel tersebut.
Rumusan hipergeometrik disusun dengan tiga kombinasi, yaitu kombinasi total, kombinasi ketidaksesuaian, dan kombinasi kesesuaian, dan
diformulasikan dengan
P(d) = Probabilitas dari d unit yang tidak sesuai pada ukuran sampel n
CN
n = Kombinasi semua unit
CDd = kombinasi unit-unit ketidaksesuaian
CN−Dn−d = Kombinasi unit-unit yang sesuai
N = Banyaknya unit yang dihasilkan (populasi) n = banyaknya unit dalam sampel
Rumusan tersebut dicapai dari penerapan definisi probabilitas, perkalian sederhana, dan kombinasi - kombinasinya.
Pembilang adalah cara atau hasil pencapaian unit-unit yangtidak sesuai atau hasil pencapaian unit-unit yang sesuai, dan penyebut adalah cara atau hasil yang mungkin secara kesuluruhan.
Contoh
Contoh, 9 unit produk yang dihasilkan terdapat 3 unti yang mengalami ketidaksesuaian. Berapak probabilitas satu unit yang tidak sesuai pada 4 unit sampel yang diambil secara acak ?
Dari contoh tersebut tampat bahwa N = 9, D = 3, n = 4, dan d = 1.
Latihan
1 Lots of 40 components each are deemed unacceptable if they contain
3 or more defectives. The procedure for sampling a lot is to select 5 components at random and to reject the lot if a defective is found. What is the probability that exactly 1 defective is found in the sample if there are 3 defectives in the entire lot?
Jawaban
1 Using the hypergeometric distribution with n = 5, N = 40, k = 3,
and x = 1, we find the probability of obtaining 1 defective to be
Konsep Dasar Probabilitas
Probabilitas mempunyai sejumlah persamaan, seperti kemungkinan, kesempatan, kecenderungan, dan sebagainya.
Probabilitas memang menunjukkan kemungkinan terjadinya sutau peristiwa. Apabila peristiwa A dapat terjadi pada Na hasil dari N kemungkinan dengan kesempatan yang sama, maka probabilitas peristiwa tersebut adalah:
P(A) = Na
N
dimana:
7 teorema probabilitas
Teorema 2
Teorema 2
Teorema 3
Apabila A dan B adalah dua peristiwa yang bersifat mutually exclusive, sehingga probabilitas bahwa peristiwa A atau peristiwa B akan terjadi merupakan jumlah probabilitas masing-masing.
P(A atau B) = P(A)+P(B)
Mutually exclusive berarti terjadinya satu peristiwa membuat peristiwa lain tidak akan terjadi.
Dari 261 unit produk, probabilitas produk yang ditawarkan oleh pemasok X atau Z adalah:
P(X atau Z)= P(X) + P(Z) = 26153 + 26177 = 0,498 Probbailitas produk
yang salah dari pemasok X atau produk yang sesuai dari pemasok Z adalah P(ks. X atau k.Z) = 2613 +26175 = 0,299
Teorema 4
Apabila peristiwa A dan B tidak bersifat mutually exclusive sehingga probabilitas peristiwa A atau B atau keduanya ditentukan dengan : P(A atau B keduanya)= P(A)+P(B)-P(keduanya)
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7
Apabila A dan B merupakan dua peristiwa yang saling tergantung (dependen), probabilitas keduanya A dan B terjadi adalah:
