Contoh Soal 1.1
Sebuah bola kasti bergerak pada bidang xy. Koordinat x dan y bola tersebut dinyatakan oleh persamaan x = 18t dan y = 4t — 5t2 dengan xdan y dalam meter serta t dalam sekon. Tuliskan persamaan vektor posisi r dengan menggunakan vektor satuan i dan j.
PENYELESAIAN:
Vektor posisi r dalam ungkapan vektor satuan i dan j dapat dituliskan sebagai r = xi + yj
karena x = 18t dan y = 4t —5t2, maka r = (18t)i + (4t — 5t2)j meter
contoh soal 1.2
Posisi partikel sebagai fungsi waktu dinyatakan oleh persamaan vektor posisi r(t) = (at2 + bt)i + (ct + d)j dengan a, b, c, dan d adalah konstanta yang memiliki dimensi yang sesuai. Tentukanlah vektor perpindahan partikel tersebut antara t = 1 sekon dan t = 2 sekon serta tentukan pula besar perpindahannya.
PENYELESAIAN: vektor posisi partikel: r(t) = (at2 + bt)i + (ct + d)j
Pada saat t = 1 s, vektor posisi partikel adalah r1 = [a( 1)2 + b(1)]i + [c(1) + d]j
= (a + b)i + (c + d)j
Pada saat t = 2 s, vektor posisi partikel adalah r2 = [a(2)2 + b(2)]i + [c(2) + d]j
Jarum panjang sebuah jam mempunyai panjang 6 cm. Tentukan vektor kecepatan rata-rata ujung jarum tersebut dalam interval waktu 20 menit dari angka 12 ke angka 4. Nyatakan dalam sistem koordinat, di mana sumbu x ke arah angka 3 dan sumbu y ke arah angka 12.
∆t 20 menit
= (0,15 √3 i – 0,15 j) cm/menit Contoh soal 1.4
Tentukan posisi partikel sebagai fungsi waktu jika persamaan kecepatan partikel adalah sebagai berikut.
v = 4ti + 3j v = 2t + 6t2
c. vx = 311/2 + 5 3/2 dan vy = sin 5t
Diketahui bahwa pada awal gerakan, partikel berada di pusat koordinat. PENYELESAIAN:
Persamaan kecepatan sebuah partikel adalah v = (vXi+ vyj) m/s dengan vx = 2t m/s dan vy = (1+ 3t2) m/s. Pada saat awal, partikel berada di titik pusat koordinat (0,0).
Tentukan percepatan rata-rata dalam selang waktu t = 0 sampai t = 2 sekon. Nyatakan persamaan umum vektor percepatan sebagai fungsi waktu. Tentukan posisi partikel pada saat t = 2 sekon.
Tentukan besar dan arah percepatan dan kecepatan pada saat t = 2 sekon. PENYELESAIAN:
v = |v| = = = 13,6 m/s tan α = = = 3,25 α = 72,90° contoh soal 1.6
Meisya berlari sejauh 60 m ke arah selatan, kemudian berbelok ke timur sejauh 25 m, dan akhirnya ke tenggara sejauh 10 m. Hitung besar dan arah perpindahan Meisya.
PENYELESAIAN:
Besar perpindahan dapat kita hitung dengan rumus phytagoras S = =
S = 74,34m
Arah perpindahan dapat kita hitung dengan rumus trigonometri α = arc tan = arc tan = arc tan (-2,09)
α = -64,43° contoh soal 1.7
Seorang tentara berenang menyeberangi sungai yang lebarnya 500 m dengan kecepatan 3 km/jam tegak lurus terhadap arah arus air. Kecepatan arus air sungai sama dengan 4 km/jam. (a) Tentukan resultan kecepatan tentara tersebut.
(b) Berapa jauh tentara tersebut menyimpang dari tujuan semula? PFNYELESAIAN:
Resultan kecepatan tentara akibat pengaruh arus sungai dihitung berdasarkan rumus Pythagoras, karena arahnya saling tegak lurus.
v = = = 5 km/jam
Menurut rumus geometri untuk perpindahan dan kecepatan, diperoleh: Arah perpindahan, tan α =
x = =
x = 666,67m
(Tentara tersebut menyimpang 666,67 m dari titik tepat di depannya di seberang sungai saat is mulai berenang.)
Contoh soal 1.8
Kompas pesawat terbang menunjukkan bahwa pesawat bergerak ke utara dar indikator kelajuan menunjukkan bahwa pesawat sedang bergerak dengan kelajuan 240 km/jam. Jika ada angin berhembus dengan kelajuan 100 km/jam dari barat ke timur, berapakah kecepatan pesawat terbang relatif terhadap Bumi?
PENYELESAIAN:
Kecepatan pesawat relative terhadap arah angin vpa = 240 km/jam ke utara
kecepatan angin relative terhadap bumi vab = 100 km/jam ke timur
kecepatan pesawat relative terhadap bumi vpb = vpa + vab
(Arah kecepatan pesawat relatif terhadap Bumi adalah 22,6° search jarum jam dari utara.) Contoh soal 1.9
Dalam suatu perlombaan, seorang pemanah melepas anak panah dari busurnya dengan kecepatan 30 m/s.
a) Berapakah jarak jangkauan maksimum?
b) Tentukan dua sudut elevasi di mana anak panah mencapai target yang jaraknya 70 m. PENYELESAIAN:
Jarak jangkauan dapat dihitung dengan persamaan (1-35) R =
Untuk jarak jangkauan maksimum, berarti sin 2α = 1, maka: Rmaks = = = 91,84 m
Contoh soal 1.10
Sebuah bola dilempar dengan kelajuan 20 m/s pada sudut elevasi 60°. Bola lepas dari tangan pelempar pada ketinggian 1,8 m. Pada ketinggian berapa bola akan mengenai dinding yang jarak mendatarnya
10 m?
PENYELESAIAN:
Kita awali dengan menyelidiki gerak 60° horizontal. Komponen horizontal dari kecepatan awal bola, yaitu: V0x = v0 cos α = (20m/s) (cos60°)
=10m/s
Jarak horizontal, x = 10m X= V0xt (gerak lurus beraturan) t = = = 1 s
selanjutnya, kita tinjau gerak vertical :
komponen vertical dari kecepatan awal bola yaitu: V0y = v0 sin α = (20m/s)(sin60°) = 17,32 m/s Ketinggian dimana bola menyentuh dinding y = y0 + v0yt – gt2
= 1,8m + (17,32 m/s)(1 s) – (9,8 m/s2)(1s)2 = 14,22 m
Contoh soal 1.11
Seorang pemain akrobat akan meloncat ke bawah dengan menggunakan motornya dari atas gedung bertingkat yang tingginya 35 m. Sejauh 80 m dari gedung tersebut, terdapat sebuah danau. Pemain akrobat tersebut harus mendarat di danau jika tidak ingin terluka parch. Berapakah kecepatan minimum sepeda motor pemain akrobat tersebut agar is mendarat di danau?
PENYELESAIAN:
Pada gerak vertical, komponen kecepatan awal sama dengan nol (v0y = 0) y = v0yt – gt2
y = – gt2
kita masukkan angka-angka yang diketahui -35m = – (9,8m/s2) t2
Sebuah bola ditendang ke udara sehingga lintasannya berbentuk parabola. Bila kecepatan awal bola 30 m/s dan sudut elevasinya 30°, tentukan:
b) jarak jangkauan dan waktu yang diperlukan untuk mencapai jarak tersebut. c) kecepatan setelah bola bergerak 3/4 bagian dari waktu terbangnya. (g = 10 m/s2) PENYELESAIAN:
a) Ketinggian maksimum, H = =
= 11,25 m
Waktu yang diperlukan untuk mencapai H tH = =
Jarak jangkauan R = =
= 77,94m
Waktu yang diperlukan untuk mencapai R tR = 2tH = 2 (1,5 s)
= 3 s
Waktu terbang dalam hal ini sama dengan aktu yang digunakan untuk mencapai jarak jangkauan, sehingga: = (30m/s)(sin30°) – (9,8m/s2)(2,25s) = -7,05 m/s
Besar kecepatan v= = = 26,92 m/s
Arah kecepatan α = arc tan = arc tan = – 15,18°
Contoh soal 1.13
Seorang atlet tembak akan menembak sasaran yang berada pada ketinggian yang sama dengan ketinggian senjata di tangannya langsung secara horizontal. Sasaran tersebut berupa lingkaran kecil yang digambar pada sebuah papan. Jarak atlet terhadap sasaran adalah 120 m. Jika kecepatan peluru yang keluar dari senjata 300 m/s, pada jarak berapa di bawah titik sasaran, peluru akan menumbuk papan? (g = 10 m/s2)
Gerak horizontal x = v0x
t = v0t t = = = 0,4 s
nilai t = 0,4 s ini kita masukkan ke persamaan gerak vertical ∆y = v0yt – ½ gt2
∆y = – ½ (10 m/s2)(0,4s)2 ∆y = -0,8 m = -80 cm Contoh soal 1.14
Sebuah roda berputar pada suatu poros yang tetap sehingga suatu titik pada roda memenuhi persamaan e(t) = 3t + 29 dengan 0 dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan posisi sudut titik tersebut untuk (a) t 2 sekon dan (b) t = 5 sekon.
Posisi sudut titik pada rods dinyatakan oleh 0 = (4 + 2t2) rad dengan tdalam sekon. Tentukanlah: posisi sudut titik tersebut pada t = 2 s,
kecepatan sudut rata-rata dalam selang waktu t 0 hingga t 2 s, kecepatan sudut pada saat t = 2 s.
PENYELESAIAN:
Hitunglah posisi sudut suatu titik sebagai fungsi waktu jika persamaan kecepatan sudut titik tersebut adalah co = (2t + 6t2) rad/s dengan tdalam sekon dan pada saat awal posisi sudutnya adalah nol.
dalam 10 putaran. Tentukan: (a) perlambatan roda,
waktu yang diperlukan sebelum roda berhenti. gerak dipercepat
ω1 = α1t1 = (5)(8) = 40 rad/s gerak diperlambat
ω22 = ω12 + 2 α2Ѳ
roda berhenti berarti ω2 = 0 maka 0 = 402 + 2 α2 (62,8)
Jika sebuah pertikel bergerak dengan persamaan posisi r = 5t2 + 1, kecepatan rata-rata antara t 1 =
c. Menghitung perpindahan Δr. Δr = r2 – r1 = 46 – 21 = 25 m
d. Menghitung kecepatan rata-rata vr.
Nomor 2
Sebuah partikel pada t1 = 0 berada pada koordinat (2,4) dan t2 = 2 detik berada pada (8,6) maka vektor kecepatan rata-ratanya adalah...
Pembahasan:
a. Terlebih dahulu tentukan persamaan posisi r1 (2,4). r1 = x i + y j = 2 i + 4 j
Ingat!
(2,4) berarti x = 2 dan y = 4.
b. Persamaan posisi r2 (8,6). r2 = x i + y j = 8 i + 6 j c. Persamaan perpindahan Δr Δr = r2 – r1 = (8 i + 6 j) – (2 i + 4 j) Δr = 8 i + 6 j – 2 i – 4 j = 6 i + 2 j Ingat!
Vektor dapat dijumlahkan jika vektor satuannya sama.
Nomor 3
Sebuah partikel bergerak dengan vektor posisi r = (2t2 – t) i – (t3 + t) j dalam satuan SI. Besar
kecepatan partikel pada t = 1 s adalah... A. 1 m/s
Nomor 4
Kedudukan sebuah benda titik yang bergerak dalam bidang datar dinyatakan dengan persamaan: r = (5 t2 – 2 t) i + 6 t j dengan ketentuan r dalam meter dan t dalam sekon. Nilai percepatan benda
pada saat t = 2 sekon adalah... A. 6 m/s2
B. 10 m/s2 C. 18 m/s2 D. 24 m/s2 E. 28 m/s2
Nomor 5
Benda yang bergerak lurus memiliki persamaan kecepatan: v = (3 – 6t) i + (4 + 8t) j
Perpindahan benda tersebut selama selang waktu sekon kedua sampai sekon ketiga adalah... A. 10 m
Nomor 6
Sebuah benda yang semula berada di titik acuan bergerak dengan kecepatan v = 2 i – 1,5 j m/s. Setelah bergerak 4 sekon benda berpindah sejauh...
Nomor 7
Posisi sudut suatu titik roda yang berputar dapat dinyatakan sebagai fungsi waktu (t): θ = 5 + 10t + 2t2 dengan θ dan t dalam sekon. Kecepatan sudut pada t = 3 s sebesar...
A. 32 rad/s B. 24 rad/s C. 22 rad/s D. 20 rad/s E. 10 rad/s
Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan: θ = 5 + 2t + 3t2, θ dalam radian dan t dalam sekon.
Laju anguler rata-rata roda antara t = 1 s sampai t = 3 s adalah... A. 10 rad/s
B. 14 rad/s C. 16 rad/s D. 18 rad/s E. 20 rad/s Pembahasan:
a. Terlebih dahulu hitung posisi sudut θ1 (t = 1 s).
θ1 = 5 + 2 . 1 + 3 . (1)2 = 10 rad
b. Hitung posisi sudut θ2 (t = 3 s).
θ2 = 5 + 2 . 3 + 3 . (3)2
θ2 = 5 + 6 + 27 = 38 rad
c. Menghitung perpindahan sudut . Δθ = θ2 – θ1 = 38 rad – 10 rad
Δθ = 28 rad
Nomor 9
Kelajuan anguler sebuah benda diketahui sebagai berikut: ω = (3t2 + 6t – 2) rad/s, t dalam sekon.
Pada t = 0,5 sekon, nilai percepatan sudut benda itu adalah... A. 15 rad/s2
B. 12 rad/s2 C. 9 rad/s2 D. 6 rad/s2 E. 3 rad/s2
Nomor 10
Posisi sudut sebuah benda yang bergerak rotasi dinyatakan dengan θ = 8 + 10t + 2t2 rad dengan t
B. 4 rad/s2 C. 6 rad/s2 D. 8 rad/s2 E. 10 rad/s2
Nomor 11
Kelajuan anguler sebuah benda yang bergerak rotasi diketahui sebagai berikut: ω = 3t2 + 6t – 2
rad/s, t dalam sekon. Jika θ0 = 5 rad pada t = 1 s maka posisi sudut benda setiap saat dapat
dinyatakan dengan persamaan... A. θ = t3 + 6t2 – 2t + 5
B. θ = t3 + 3t2 – 2t + 5
C. θ = t3 + 6t2 – 2t + 2
D. θ = t3 + 3t2 – 2t + 3
Contoh 1
Sebuah benda bergetar hingga membentuk suatu gerak harmonis dengan persamaan y = 0,04 sin 20π t
dengan y adalah simpangan dalam satuan meter, t adalah waktu dalam satuan sekon. Tentukan beberapa besaran dari persamaan getaran harmonis tersebut:
a) amplitudo b) frekuensi c) periode
d) simpangan maksimum
e) simpangan saat t = 1/60 sekon f) simpangan saat sudut fasenya 45°
g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter Pembahasan
Pola persamaan simpangan gerak harmonik diatas adalah
T
a) amplitudo atau A y = 0,04 sin 20π t ↓
A = 0,04 meter b) frekuensi atau f y = 0,04 sin 20π t ↓
ω = 20π 2πf = 20π f = 10 Hz
c) periode atau T T = 1/f
T = 1/10 = 0,1 s
d) simpangan maksimum atau ymaks
y = A sin ωt y = ymaks sin ωt
y = 0,04 sin 20π t ↓
y = ymaks sin ωt
ymaks = 0,04 m
(Simpangan maksimum tidak lain adalah amplitudo) e) simpangan saat t = 1/60 sekon
y = 0,04 sin 20π t y = 0,04 sin 20π (1/60) y = 0,04 sin 1/3 π
y = 0,04 sin 60° = 0,04 × 1/2√3 = 0,02 √3 m f) simpangan saat sudut fasenya 45°
y = A sin θ
dimana θ adalah sudut fase, θ = ωt y = 0,04 sin θ
y = 0,04 sin 45° = 0,04 (0,5√2) = 0,02√2 m g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter y = 0,04 sin 20π t
y = 0,04 sin θ 0,02 = 0,04 sin θ sin θ = 1/2 θ = 30° Contoh 2
Diberikan sebuah persamaan simpangan gerak harmonik y = 0,04 sin 100 t
Tentukan:
a) persamaan kecepatan b) kecepatan maksimum c) persamaan percepatan Pembahasan
a) persamaan kecepatan
Berikut berurutan rumus simpangan, kecepatan dan percepatan:
y = A sin ωt ν = ωA cos ω t a = − ω2 A sin ω t
Ket:
y = simpangan (m) ν = kecepatan (m/s) a = percepatan (m/s2)
Dari y = 0,04 sin 100 t ω = 100 rad/s
ν = ωA cos ω t
ν = (100)(0,04) cos 100 t ν = 4 cos 100 t
b) kecepatan maksimum
ν = ωA cos ω t ν = νmaks cos ω t νmaks = ω A
ν = 4 cos 100 t ↓
νmaks = 4 m/s
c) persamaan percepatan a = − ω2 A sin ω t
a = − (100)2 (0,04) sin 100 t
a = − 400 sin 100 t Contoh 3
Sebuah beban bermassa 250 gram digantung dengan sebuah pegas yang memiliki kontanta 100 N/m kemudian disimpangkan hingga terjadi getaran selaras. Tentukan periode getarannya! Pembahasan
Data:
k = 100 N/m
m = 250 g = 0,25 kg T = ...
Dari rumus periode getaran sistem pegas:
Sehingga:
Contoh 4
Pembahasan
Periode ayunan sederhana:
Dari rumus periode getaran ayunan sederhana:
Sehingga:
Catatan:
Massa beban tidak mempengaruhi periode atau frekuensi dari ayunan sederhana (bandul matematis, conis).
Contoh 5
Dua buah pegas identik dengan kostanta masing-masing sebesar 200 N/m disusun seri seperti terlihat pada gambar berikut.
Beban m sebesar 2 kg digantungkan pada ujung bawah pegas. Tentukan periode sistem pegas tersebut!
Pembahasan
Gabungkan konstanta kedua pegas dengan susunan seri:
Contoh 6
paralel seperti terlihat pada gambar berikut.
Tentukan besar periode dan frekuensi susunan tersebut, jika massa beban m adalah 3 kilogram! Pembahasan
Periode susunan pegas paralel, cari konstanta gabungan terlebih dahulu:
Contoh 7
Sebuah benda yang massanya 200 gram bergetar harmonik dengan periode 0,2 sekon dan amplitudo 2 cm. Tentukan :
a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm c) besar energi total
Pembahasan
Data dari soal: m = 200 g = 0,2 kg T = 0,2 s → f = 5 Hz
A = 2 cm = 0,02 m = 2 x 10-2 m
a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm y = 1 cm = 0,01 m = 10-2 m
b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm
c) besar energi total
Contoh 8
Tentukan besarnya sudut fase saat :
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya Pembahasan
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya Ek = Ep
1/2 mν2 = 1/2 ky2
1/2 m (ω A cos ω t)2 = 1/2 mω2 (A sin ω t)2
1/2 m ω2 A2 cos2 ω t = 1/2 mω2 A2 sin2 ω t
cos2 ω t = sin2 ω t
cos ω t = sin ω t tan ω t = 1 ωt = 45°
Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya saat sudut fasenya 45° b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya
Ek = 1/3 Ep
1/2 mν2 =1/3 x 1/2 ky2
1/2 m (ω A cos ω t)2 = 1/3 x 1/2 mω2 (A sin ω t)2
1/2 m ω2 A2 cos2 ω t = 1/3 x 1/2 mω2 A2 sin2 ω t
cos2 ω t = 1/3 sin2 ω t
cos ω t = 1/√3 sin ω t
sin ω t /
cos ω t = √3
Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya saat sudut fasenya 60°
Contoh 9
Sebuah balok bermassa 0,5 kg dihubungkan dengan sebuah pegas ringan dengan konstanta 200 N/m. Kemudian sistem tersebut berosilasi harmonis. Jika diketahui simpangan maksimumnya adalah 3 cm, maka kecepatan maksimum adalah....
A. 0,1 m/s B. 0,6 m/s C. 1 m/s D. 1,5 m/s E. 2 m/s
(Seleksi Astronomi 2012)
Pembahasan
Periode getaran pegas : T = 2π √(m/k)
Pembahasan Data soal:
m = 50 gram = 50 × 10−3 kg
A = 10 cm = 0,1 m = 10−1 m
T = 0,2 s y = 0,5 A F = ...
Gaya pada gerak harmonis F = mω2y
dengan:
ω = 2π/T = 2π / 0,2 = 10π rad/s y = 0,5 A = 0,5(0,1) = 5 × 10−2
Sehingga:
F = (50 × 10−3)(10π)2(5 × 10−2) = 2,5 N
Contoh 11
Sebuah bandul sederhana dengan panjang tali 39,2 cm dan beban 200 gram
Jika percepatan gravitasi 9,8 m/s2 tentukan periode ayunan!
Pembahasan
Periode getaran pada bandul sederhana, ayunan sederhana:
Dimana
T= periode getaran (s) l = panjang tali (m)
Sehingga
Contoh 12
Ayunan sederhana dengan panjang tali L = 0,4 m pada sebuah dinding seperti gambar berikut.
Jika percepatan gravitasi bumi 10 m/s2 perkirakan periode ayunan!
Pembahasan
Periode ayunan adalah setengah dari periode saat panjang tali sebesar L ditambah dengan setengah periode ayunan saat panjang tali sebesar 1/2 L
