codul ini adalah modul dalam mat a kuliah Mat emat ika.

(1)

PENDAHULUAN

M

odul ini adalah modul ke-4 dalam mat a kuliah Mat emat ika. Isi modul ini membahas t ent ang bangun-bangun geomet ri.

Modul ini t erdiri dari 3 kegiat an belaj ar. Pada kegiat an belaj ar 1 akan dibahas mengenai kedudukan t it ik, garis, dan bidang pada ruang. Pada kegiat an belaj ar 2 akan dibahas mengenai luas bangun dat ar. Terakhir, pada kegiat an belaj ar 3 akan dibahas mengenai volume dan luas permukaan bangun ruang.

Set elah mempelaj ari modul ini, Anda diharapkan dapat memahami kedudukan t it ik, garis, dan bidang pada ruang; memahami konsep luas da volume.

Secara khusus set elah mempelaj ari modul ini, Anda diharapkan dapat : 1. menj elaskan pengert ian t it ik, garis, dan bidang

2. menent ukan kedudukan t it ik t erhadap garis 3. menent ukan kedudukan t it ik t erhadap bidang

4. menent ukan dua garis yang berimpit , sej aj ar, berpot ongan, dan bersilangan 5. menent ukan kedudukan garis t erhadap bidang

6. menent ukan bidang yang berimpit , sej aj ar, dan berpot ongan 7. menj elaskan pengert ian luas

8. menent ukan luas daerah bangun dat ar 9. menj elaskan pengert ian luas permukaan 10. menent ukan luas permukaan bangun ruang 11. menj elaskan pengert ian volume

12. menent ukan volume bangun ruang

PETUNJUK BELAJAR

1. Bacalah dengan cermat pendahuluan modul ini sehingga Anda memahami t uj uan dan bagaimana mempelaj ari modul ini.

2. Bacalah uraian mat eri dalam modul ini, t andailah kat a-kat a pent ing yang merupakan kunci. Pahami set iap konsep dalam uraian mat eri dengan mempelaj ari cont oh-cont ohnya.

3. Jika mengalami kesulit an dalam mempelaj ari modul ini, diskusikanlah dengan t eman-t eman Anda at au dengan t ut or.

4. Pelaj ari sumber-sumber lain yang relevan unt uk memperluas wawasan.

5. Kerj akan soal-soal lat ihan dalam modul ini t anpa melihat pet unj uk j awaban lat ihan t erlebih dahulu. Apabila mengalami kesulit an, barulah Anda melihat pet unj uk j awaban lat ihan.

6. Kerj akan soal-soal t es f ormat if dan periksa t ingkat kemampuan Anda dengan mencocokkan j awaban Anda dengan kunci j awaban t es f ormat if . Ulangilah pengerj aan t es f ormat if ini sampai Anda benar-benar dapat mengerj akan semua soal-soal t es f ormat if ini dengan benar.

BANGUN-BANGUN GEOMETRI

P P

4

(2)

KEDUDUKAN TITIK, GARIS,

DAN BIDANG PADA RUANG

A. PENGERTIAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG (1) Titik

S

ecara geomet ri, t it ik adalah unsur geomet ri yang paling sederhana. Namun, “ t it ik” bukan main pent ingnya, sebab semua unsur lainnya t erdiri dari t it ik-t it ik. Tit ik adalah sesuat u yang punya kedudukan, t et api t it ik t idak punya ukuran. Tit ik biasanya direpresent asikan dengan sebuah nokt ah “ . ” , dan diberi nama dengan menggunakan huruf kapit al sepert i A, B, at au C, dan set erusnya.

B

Q

Titik B

Titik Q

Gambar 4. 1 memperlihat kan dua buah t it ik, yait u t it ik B dan t it ik Q.

(2) Garis

Garis adalah himpunan t it ik-t it ik yang anggot anya adalah dua t it ik at au lebih. Tit ik-t it ik t ersebut berderet ke kedua arah yang berlawanan sampai j auh t ak t erhingga. Model at au represent asi suat u garis misalnya seut as benang kecil lurus yang dapat diperpanj ang kedua arah yang berlawanan sampai j auh t ak t erhingga. Garis hanya mempunyai ukuran panj ang. Garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil sepert i g, h, k, dan set erusnya, at au AB, AC, BC, dan set erusnya.

B A

Garis AB

g Garis g

Gambar 4. 2 memperlihat kan dua buah garis, yait u garis AB dan garis g.

(3) Bidang

(3)

α

A B

C D

Gambar 4.3

B. KEDUDUKAN TITIK DAN GARIS (1) Titik Terletak pada Bidang

Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak pada garis, j ika t it ik t ersebut dapat dilalui oleh garis.

B

g

Gambar 4. 4 memperlihat kan t it ik B t erlet ak pada garis g.

(2) Titik Terletak di luar Garis

Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak di luar garis, j ika t it ik t ersebut t idak dapat dilalui garis.

C

h

Gambar 4. 5 memperlihat kan Tit ik C t erlet ak di luar garis h

Agar lebih memahami kedudukan t it ik dan garis, coba Anda perhat ikan cont oh berikut ini.

contoh 1:

Perhat ikan gambar 4. 6, sebut kan t it ik yang t erlet ak pada garis CD dan di luar garis CD.

A B

C D

E

F G H

(4)

Penyelesaian:

Tit ik yang t erlet ak pada garis CD adalah t it ik C dan D, sedangkan t it ik di luar garis CD adalah t it ik A, B, E, F, H dan G.

C. KEDUDUKAN TITIKDAN BIDANG (1) Titik Terletak pada Bidang

Sebuah t it ik dikat akan t er let ak pada bidang, j ika t it ik t ersebut dapat dilalui ol eh bidang. Gambar 4. 7 memper lihat kan t it ik B t erlet ak pada

bidang α.

α

B

Gambar 4. 7

(2) Titik di Luar Bidang

Sebuah t it ik dikat akan t er let ak di luar bi dang, j ika t it ik t ersebut t idak dapat dilalui oleh bi dang. Gambar 4. 8 memper lihat kan t it ik D t erlet ak di luar bidang α.

α

D

Gambar 4. 8

Agar Anda dapat memahami kedudukan t it ik dan bidang, pelaj arilah cont oh berikut .

Contoh 2:

Perhat ikan gambar 4. 9, sebut kan t it ik yang t erl et ak pada bidang ABCD dan di luar bidang ABCD?

A B

C D

E

F G H

Gambar 4. 9

Penyelesaian:

(5)

D. KEDUDUKAN DUA GARIS (1) Dua Garis Sej aj ar

Dua buah garis dikat akan sej aj ar , j ika dua buah garis t ersebut sebidang dan t idak mempunyai t it ik per sekut uan. Gambar 4. 10 memper lihat kan garis k dan l sej aj ar.

α

l

k

Gambar 4. 10

(2) Dua Garis Berpotongan

Dua buah garis dikat akan berpot ongan, j ika dua buah garis t ersebut sebidang dan mempunyai sat u t it ik persekut uan, yang dinamakan t it ik pot ong. Gambar 4. 11

memper liharkan garis k dan l berpot ongan

_α

k

l

O

Gambar 4. 11

(3) Dua Garis Berimpit

Dua buah garis dikat akan berimpit , j ika j arak ant ara kedua garis t ersebut adalah nol. Gambar 4. 12 memperlihat kan garis k dan l berimpit .

α

k

l

Gambar 4. 12

(4) Dua Garis Bersilangan

Dua buah garis dikat akan bersilangan, j ika dua buah garis t ersebut t idak sebidang at au melal ui kedua garis t ersebut t i dak dapat dibuat sebuah bidang dat ar. Gambar 4. 13 memper lihat kan garis g dan h bersilangan

α

h

g

(6)

Agar Anda dapat memahami kedudukan dua garis, pelaj arilah cont oh berikut .

Contoh 3:

Perhat ikan gambar 4. 14.

a. Sebut kan t iga pasang garis yang sej aj ar. b. Sebut kan t iga pasang garis yang

berpot ongan.

c. Sebut kan t iga pasangan garis yang bersilangan.

K L

M N

O

P Q R

Gambar 4. 14

Penyelesaian:.

a. Tiga pasang garis yang sej aj ar adalah KL sej aj ar NM, OP sej aj ar RQ, dan KN sej aj ar LM.

b. Tiga pasang garis yang berpot ongan adalah KM berpot ongan dengan LN, OL berpot ongan dengan KP, dan NQ berpot ongan dengan RM.

c. Tiga pasang garis yang bersilangan adalah RN bersilangan dengan KL, OK bersilangan dengan LM, PL bersilangan dengan KN.

E. KEDUDUKAN GARIS DAN BIDANG (1) Garis Terletak pada Bidang

Sebuah garis dikat akan t er let ak pada bidang, j ika set iap t it ik pada garis t ersebut j uga t erlet ak pada bidang. Gambar 4. 15 memper lihat kan garis g t erlet ak pada bidang

α.

_α

g

A

B

Gambar 4. 15

(2) Garis Sej aj ar Bidang

Sebuah garis dikat akan sej aj ar bidang, j ika garis dan bidang t idak mempunyai sat u pun t it ik persekut uan. Gambar 1. 16 memperlihatkan garis g sejajar bidang α.

α

g

(7)

(3) Garis Memotong (Menembus) Bidang

Sebuah garis dikat akan memot ong (menembus) bidang, j ika garis dan bidang mempunyai sat u t it ik persekut uan yang dinamakan t it ik pot ong at au t it ik t embus. Gambar 4. 17 memperl ihat kan garis g memotong bidang α di titik A.

α

g

A

Gambar 4. 17

Agar Anda dapat memahami kedudukan garis dan bidang, pelaj arilah cont oh berikut .

Contoh 4:

a. Sebut kan empat garis yang t erl et ak pada bidang NMQR.

b. Sebut kan dua garis yang menembus bidang NLPR.

c. Sebut kan empat garis yang sej aj ar dengan bidang KNRO.

K L

M N

O

P Q R

Gambar 4. 18

Penyelesaian:

a. Empat garis yang t erlet ak pada bidang NMQR adalah NM, MQ, QR, dan RN. b. Dua garis yang menembus bidang NLPR adalah KQ dan OM.

c. Empat garis yang sej aj ar dengan bidang KNRO ant ara lain PL, QM, LM, dan PQ.

F. KEDUDUKAN DUA BIDANG (1) Dua Bidang Berimpit

Dua bidang dikat akan berimpit , j ika set iap t it ik t erlet ak pada kedua bi dang. Gambar 4. 19 memperlihat kan bidang

α

dan bidang

β

berimpit .

α β,

(8)

(2) Dua Bidang Sej aj ar

Dua bidang dikat akan sej aj ar, j ika kedua bidang t ersebut t idak mempunyai sat u pun t it ik persekut uan. Gambar 4. 20 memper lihat kan bi dang

α

dan bidang

β

sej aj ar .

α

β

Gambar 4. 20

(3) Dua Bidang Berpotongan

Dua bidang dikat akan

ber pot ongan, j ika kedua bi dang t ersebut mempunyai sebuah garis persekut uan. Gambar 4. 21 memperlihat kan bidang

α

dan bidang

β

ber pot ongan.

Gambar 4. 21

α

β

g

Agar Anda dapat memahami kedudukan dua bidang, pelaj arilah cont oh berikut .

Contoh 5:

a. Sebut kan t iga pasang bidang yang sej aj ar.

b. Sebut kan t iga pasang bidang yang berpot ongan.

R S

T U

V

W X Y

Gambar 4. 22

Penyelesaian:

a. Tiga pasang bidang yang sej aj ar adalah bidang RSTU dengan VWXY, bidang RUYV dengan STXW , dan bidang RSWV dengan UTXY.

(9)

Petunj uk: Jawablah pertanyaan dengan singkat dan tepat!

Unt uk memperdalam pemahaman Anda mengenai mat eri di at as, kerj akanlah lat ihan berikut !

R S

T U

V

W X Y

1. a. Sebut kan t it ik-t it ik yang t erlet ak pada garis UY. b. Sebut kan t it ik- t it ik di luar garis ST.

2. a. Sebut kan t it ik-t it ik yang t erlet ak pada bidang UTXY. b. Sebut kan t it ik-t it ik di luar bidang VWXY.

3. a. Sebut kan dua pasang garis yang sej aj ar. b. Sebut kan dua pasang garis yang berpot ongan. c. Sebut kan dua pasang garis yang bersilangan.

4. a. Sebut kan empat garis yang t erlet ak pada bidang STXW. b. Sebut kan empat garis yang sej aj ar dengan bidang RUYV. c. Sebut kan dua garis yang menembus bidang RTXV. 5. a. Sebut kan dua pasang bidang yang sej aj ar.

b. Sebut kan dua pasang bidang yang berpot ongan.

Petunj uk Jawaban Latihan

Periksa secara seksama j awaban Anda, kemudian cocokkanlah j awaban Anda dengan kunci j awaban berikut :

1. a. Tit ik-t it ik yang t erlet ak pada garis UY adalah t it ik U dan Y. b. Tit ik- t it ik di luar garis ST adalah t it ik R, U, V, W, X, dan Y.

2. a. Tit ik-t it ik yang t erlet ak pada bidang UTXY adalah t it ik U, T, X, dan Y. b. Tit ik-t it ik di luar bidang VWXY adalah t it ik R, S, T, dan U.

3. a. Dua pasang garis yang sej aj ar adalah garis RS sej aj ar UT dan VW sej aj ar YX.

b. Dua pasang garis yang berpot ongan adalah garis UW berpot ongan dengan SY dan RX berpot ongan dengan VT.

c. Dua pasang garis yang bersilangan adalah garis YU bersilangan dengan RS dan VR bersilangan dengan ST.

(10)

b. Empat garis yang sej aj ar dengan bidang RUYV adalah garis ST, TX, XW, dan WS.

c. Dua garis yang menembus bidang RTXV adalah garis SY dan UW.

5. a. Dua pasang bidang yang sej aj ar adalah bidang RSTU sej aj ar VWXY dan RUYV dan STXW.

b. Dua pasang bidang yang berpot ongan adalah bidang RTXV berpot ongan dengan USWY dan VWTU berpot ongan dengan XYRS.

1. Tit ik adalah unsur geomet ri yang paling sederhana. Tit ik adalah sesuat u yang punya kedudukan, t et api t it ik t idak punya ukuran. Tit ik biasanya direpresent asikan dengan sebuah nokt ah “ . ” , dan diberi nama dengan menggunakan huruf kapit al sepert i A, B, at au C, dan set erusnya. 2. Garis adalah himpunan t it ik-t it ik yang anggot anya adalah dua t it ik at au

lebih. Tit ik-t it ik t ersebut berderet ke kedua arah yang berlawanan sampai j auh t ak t erhingga. Garis dapat diperpanj ang kedua arah yang berlawanan sampai j auh t ak t erhingga. Garis hanya mempunyai ukuran panj ang. Garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil sepert i g, h, k, dan set erusnya, at au AB, AC, BC, dan set erusnya.

3. Bidang adalah himpunan t it ik-t it ik, lebih dari dua buah t it ik dan t idak semuanya t erlet ak pada sebuah garis. Pada sebuah bidang, t erdiri dari banyak sekali garis. Bidang dapat diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panj ang dan lebar. Bidang diberi nama dengan menyebut kan t it ik-t it ik sudut dari bidang t ersebut at au memakai huruf

γ

β,

α,

, dan set erusnya. 4. Kedudukan t it ik dan garis:

a. Tit ik t erlet ak pada garis.

Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak pada garis, j ika t it ik t ersebut dapat dilalui oleh garis.

b. Tit ik di luar garis.

Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak di luar garis, j ika t it ik t ersebut t idak dapat dilalui garis.

5. Kedudukan t it ik dan bidang: a. Tit ik t erlet ak pada bidang.

Sebuah t it ik dikat akan t erlet ak pada bidang, j ika t it ik t ersebut dapat dilalui oleh bidang.

b. Tit ik di luar bidang.

(11)

6. Kedudukan dua garis: a. Dua garis sej aj ar.

Dua buah garis dikat akan sej aj ar, j ika dua buah garis t ersebut sebidang dan t idak mempunyai t it ik persekut uan.

b. Dua garis berpot ongan.

Dua buah garis dikat akan berpot ongan, j ika dua buah garis t ersebut sebidang dan mempunyai sat u t it ik persekut uan, yang dinamakan t it ik pot ong.

c. Dua garis berimpit .

Dua garis dikat akan berimpit , j ika j arak ant ara kedua garis t ersebut adalah nol.

d. Dua garis bersilangan.

Dua buah garis dikat akan bersilangan, j ika dua buah garis t ersebut t idak sebidang at au melalui kedua garis t ersebut t idak dapat dibuat sebuah bidang dat ar.

7. Kedudukan garis dan bidang: a. Garis t erlet ak pada bidang.

Sebuah garis dikat akan t erlet ak pada bidang, j ika set iap t it ik pada garis t ersebut j uga t erlet ak pada bidang.

b. Garis sej aj ar bidang.

Sebuah garis dikat akan sej aj ar bidang, j ika garis dan bidang t idak mempunyai sat u pun t it ik persekut uan.

c. Garis memot ong (menembus) bidang.

Sebuah garis dikat akan memot ong (menembus) bidang, j ika garis dan bidang mempunyai sat u t it ik persekut uan yang dinamakan t it ik pot ong at au t it ik t embus.

8. Kedudukan dua bidang: a. Dua bidang berimpit .

Dua bidang dikat akan berimpit , j ika set iap t it ik t erlet ak pada kedua bidang.

b. Dua bidang sej aj ar.

Dua bidang dikat akan sej aj ar, j ika kedua bidang t ersebut t idak mempunyai sat u pun t it ik persekut uan.

c. Dua bidang berpot ongan.

(12)

Petunj uk: Pilihlah salah satu j awaban yang dianggap paling tepat!

2. Pernyat aan-pernyat aan berikut benar, kecuali . . . . A. Tit ik O t erlet ak pada bi dang TIK.

3. Pasangan garis berikut saling bersilangan, kecuali . . . . A. ZV dengan TU.

4. Pernyat aan-pernyat aan berikut benar, kecuali . . . .

(13)

5. Pasangan bidang berikut saling berpot ongan, kecuali . . . . A. ABFE dengan DCHG.

B. BCHE dengan ADGF. C. ABGH dengan CDEF. D. ACGE dengan DBFH.

A B

C D

E

F G H

Cocokkan j awaban Anda dengan menggunakan kunci j awaban Tes Format if 1 yang t erdapat di bagian akhir bahan belaj ar mandiri ini. Hit unglah j awaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini unt uk menget ahui t ingkat penguasaan Anda t erhadap mat eri Kegiat an Belaj ar 1.

Rumus :

Jumlah j awaban Anda yang benar

Tingkat penguasaan = ______________________________ X 100 % 10

Art i t ingkat penguasaan yang Anda capai : 90 % - 100% = Baik sekali

80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup

< 70% = Kurang

(14)

LUAS BANGUN DATAR

A. LUAS DAERAH PERSEGIPANJANG

Persegipanj ang mempunyai sisi -sisi berhadapan yang sej aj ar dan sama panj ang, mempunyai diagonal -diagonal yang sama panj ang dan saling berpot ongan di t engah, dan keempat sudut nya siku-siku.

Luas daerah persegipanj ang adalah: L = p x l.

p

l

Gambar 4. 23

Contoh 1:

Hit unglah luas daerah persegipanj ang yang panj angnya adalah 15 m dan lebarnya adalah 2, 25 m.

Penyelesaian:

Persegi panj ang, p = 15 m, dan l = 2, 25 m. L = 15 x 2, 25 = 33, 75 m2_.

Jadi, luas daerah persegipanj ang t ersebut adalah 33, 75 m2_.

B. LUAS DAERAH PERSEGI

Persegi adalah persegipanj ang ist imewa yang semua sisinya sama panj ang, semua sudut nya dibagi dua sama besar ol eh diagonal -diagonalnya, dan diagonal-diagonalnya saling berpot ongan dengan sudut siku-siku.

Luas daerah persegi adalah: L = s x s.

s

Gambar 4. 24

Contoh 2:

(15)

Penyelesaian: sepasang-sepasang t it ik-t it ik uj ungnya bersekut u.

Prinsip Luas Daerah Persegipanj ang

III IV

Gambar 4. 25 memperlihat kan gambar suat u segit iga dengan panj ang sisi alas a dan t inggi t . Unt uk mencari rumus luas daerah segit iga dengan memakai rumus luas

daerah persegipanj ang, pot onglah daerah I dan daerah II dengan t inggi 2 1

t .

Kemudian pindahkan pot ongan daerah I dan daerah II sedemikian rupa sehingga

t erbent uk daerah persegipanj ang dengan panj ang a dan lebar 2 1

t . Sehingga luas

daerah persegipanj ang t ersebut adalah:

L = a x

Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah segit iga, maka luas daerah segit iga sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah segit iga adalah:

L = 2 1

x a x t .

Kesimpulan:

Luas daerah segit iga adalah: L = 2 1

(16)

Contoh 3:

Hit unglah luas daerah segit iga sama kaki yang panj ang alasnya adalah 5, 8 cm dan t ingginya adalah 2, 2 cm.

Penyelesaian:

Segit iga, a = 5, 8 cm, dan t = 2, 2 cm.

L = 2 1

x 5, 8 x 2, 2 = 6, 38 cm2_.

Jadi, luas daerah segit iga t ersebut adalah 6, 38 cm2_.

D. LUAS DAERAH JAJARGENJANG

Jaj argenj ang adalah segiempat yang set iap pasang sisi yang berhadapannya sej aj ar.

(1) Prinsip Luas Daerah Segitiga

I II

t

a

t

a

I

II

Gambar 4. 26

Gambar 4. 26 memperlihat kan gambar suat u j aj argenj ang dengan panj ang alasnya a dan t ingginya t . Unt uk mencari rumus luas daerah j aj argenj ang dengan memakai rumus luas daerah segit iga, pot onglah daerah j aj argenj ang t ersebut menj adi dua daerah segit iga yang kongruen (sama bent uk dan ukuran), yait u segit iga I dan segit iga II dengan panj ang alasnya a dan t ingginya t . Karena segit iga I kongruen dengan segit iga II, maka luas daerah segit iga I sama dengan luas daerah segit iga II, yait u:

L = 2 1

x a x t .

Karena daerah j aj argenj ang diperoleh dari dua daerah segit iga yang kongruen, maka luas daerah j aj argenj ang sama dengan dua kali luas daerah segit iga. Jadi, luas daerah j aj argenj ang adalah:

L = 2 x ( 2 1

(17)

(2) Prinsip Luas Daerah Persegipanj ang

I II II I

t

a

t

Gambar 4. 27

Gambar 4. 27 memperlihat kan gambar suat u j aj argenj ang dengan panj ang salah sat u sisi-sisinya a dan t ingginya t . Unt uk mencari rumus luas daerah j aj argenj ang dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, pot onglah daerah II dengan t inggi t . Kemudian pindahkan pot ongan daerah II sedemikian rupa sehingga t erbent uk daer ah per segipanj ang dengan panj ang a dan lebar t . Sehingga l uas daerah persegipanj ang t ersebut adalah:

L = a x t .

Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah j aj argenj ang, maka luas daerah j aj argenj ang sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah j aj argenj ang adalah:

L = a x t .

Kesimpulan:

Luas daerah j aj argenj ang adalah: L = a x t .

Contoh 4:

Hit unglah luas daerah j aj argenj ang yang panj ang alasnya adalah 8, 5 cm dan t ingginya adalah 6,25 cm.

Penyelesaian:

Jaj argenj ang, a = 8, 5 cm, dan t = 6, 2 cm. L = 8,5 x 6, 2 = 52,7 cm2_.

(18)

E. LUAS DAERAH BELAHKETUPAT

Belahket upat adalah segiempat yang semua sisinya sama panj ang.

I II

Gambar 4. 28 memperlihat kan gambar suat u belahket upat dengan panj ang diagonal-diagonalnya masing-masing adalah d₁ dan d₂. Unt uk mencari rumus luas daerah belahket upat dengan memakai rumus luas daerah segit iga, pot onglah daerah belahket upat t ersebut menj adi dua daerah segit iga yang kongruen (sama bent uk dan ukuran), yait u segit iga I dan segit iga II dengan panj ang alasnya d₁ dan t ingginya

2 1

d₂. Karena segit iga I kongruen dengan segit iga II, maka luas daerah segit iga I

sama dengan luas daerah segit iga II, yait u:

L =

Karena daerah belahket upat diperoleh dari dua daerah segit iga yang kongruen, maka luas daerah belahket upat sama dengan dua kali luas daerah segit iga. Jadi, luas daerah belahket upat adalah:

L = 2 (

(19)

Gambar 4. 29 memperlihat kan gambar suat u belah ket upat dengan panj ang diagonal-diagonalnya masing-masing adalah d₁ dan d₂. Unt uk mencari rumus luas daerah belahket upat dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, pot onglah

daerah I dan daerah II dengan t inggi 2 1

d_1. Kemudian pindahkan pot ongan daerah I

dan daerah II sedemikian rupa sehingga t erbent uk daerah persegipanj ang dengan

panj ang d₂ dan lebar 2 1

d₁. Sehingga luas daerah persegipanj ang t ersebut adalah:

L = d₂ x 2 1

d₁ = 2 1

x d₁ x d₂.

Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah belahket upat , maka luas daerah belahket upat sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah belahket upat adalah:

L = 2 1

x d₁ x d₂.

Kesimpulan:

Luas daerah belahket upat adalah: L = 2 1

x d₁ x d₂.

Contoh 5:

Hit unglah luas daerah belahket upat yang panj ang diagonal-diagonalnya adalah 11 cm dan 17 cm.

Penyelesaian:

Belahket upat , d₁ = 11 cm, dan d₂ = 17 cm.

L = 2 1

x 11 x 17 = 93, 5 cm2_.

(20)

F. LUAS DAERAH LAYANG-LAYANG

Layang-layang adalah segiempat yang dibent uk oleh dua buah segit iga sama kaki yang alasnya sama panj ang dan berimpit .

I II

Gambar 4. 30 memperlihat kan gambar suat u layang-layang dengan panj ang diagonal-diagonalnya masing-masing adalah d

1 dan d2. Unt uk mencari rumus luas

daerah layang-layang dengan memakai rumus luas daerah segit iga, pot onglah daerah layang-layang t ersebut menj adi dua daerah segit iga yang kongruen (sama bent uk

dan ukuran), yait u segit iga I dan segit iga II dengan panj ang alas d₁ dan t inggi 2 1

d₂.

Karena segit iga I kongruen dengan segit iga II, maka luas daerah segit iga I sama dengan luas daerah segit iga II, yait u:

L =

Karena daerah layang-layang diperoleh dari dua daerah segit iga yang kongruen, maka luas daerah layang-layang sama dengan dua kali luas daerah segit iga. Jadi, luas daerah layang-layang adalah:

L = 2 (

(21)

Gambar 4. 31 memperlihat kan gambar suat u layang-layang dengan panj ang diagonal-diagonalnya masing-masing adalah d₁ dan d₂. Unt uk mencari rumus luas daerah layang-layang dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, pot onglah daerah II dan daerah IV. Kemudian pindahkan pot ongan daerah II dan daerah IV

sedemikian rupa sehingga t erbent uk daerah persegipanj ang dengan panj ang 2 1

d₂

dan lebar d₁. Sehingga luas daerah persegipanj ang t ersebut adalah:

L =

Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah layang-layang, maka luas daerah layang-layang sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah layang-layang adalah:

Luas daerah layang-layang adalah: L = 2 1

x d₁ x d₂.

Contoh 6:

Hit unglah luas daerah layang-layang yang panj ang diagonal-diagonalnya adalah 16 cm dan 19 cm.

Jadi, luas daerah layang-layang t ersebut adalah 152 cm2_.

G. LUAS DAERAH TRAPESIUM

Trapesium adalah segiempat yang memiliki t epat sat u pasang sisi yang sej aj ar.

(22)

Gambar 4. 32 memperlihat kan gambar suat u t rapesium dengan panj ang sisi-sisi sej aj arnya masing-masing adalah a dan b. Unt uk mencari rumus luas daerah layang-layang dengan memakai rumus luas daerah segit iga, pot onglah daerah t rapesium menj adi daerah segit iga I dengan panj ang alasnya b dan t ingginya t sert a segit iga II dengan panj ang alasnya a dan t ingginya t . Sehingga diperoleh, luas daerah segit iga I dan segit iga II masing-masing adalah:

L

_

_I=

Karena daerah t rapesium diperoleh dari daerah segit iga I dan segit iga II, maka luas daerah layang-layang sama dengan luas daerah segit iga I dit ambah luas daerah segit iga II. Jadi, luas daerah belahket upat adalah:

L = (

Gambar 4. 33 memperlihat kan gambar suat u t rapesium dengan panj ang sisi-sisi sej aj arnya masing-masing adalah a dan b. Unt uk mencari rumus luas daerah t rapesium dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, pot onglah daerah IV, daerah V, dan daerah IV dengan t inggi t . Kemudian pindahkan pot ongan daerah IV, daer ah V, dan daer ah IV sedemi ki an r upa sehi ngga t er bent uk daer ah

persegipanj ang dengan panj ang (a + b) dan lebar 2 1

t . Sehingga luas daerah

persegipanj ang t ersebut adalah:

L = (a + b) x

(23)

Kesimpulan:

Luas daerah t rapesium adalah: L = 2 1

x (a + b) x t .

Contoh 7:

Hit unglah luas t rapesium yang panj ang sisi-sisi sej aj arnya adalah 7 cm dan 12 cm sert a t ingginya adalah 5 cm.

Penyelesaian:

Lingkaran adalah t empat kedudukan t it ik-t it ik pada bidang yang berj arak sama dari sebuah t it ik t ert ent u pada bidang it u.

I

Gambar 4. 34 memperlihat kan gambar suat u lingkaran dengan j ari-j ari r dan keliling lingkaran 2

_µ

r. Unt uk mencari rumus luas daerah lingkaran dengan memakai rumus luas daerah segit iga, bagilah daerah lingkaran t ersebut dalam 9 j uring yang sama besar. Kemudian susun pot ongan j uring-j uring t ersebut sedemikian rupa

sehingga t erbent uk daerah segit iga dengan panj ang alasnya 9 3

µ

x 2r dan t ingginya r. Sehingga luas daerah segit iga t ersebut adalah:

(24)

Karena daerah segit iga diperoleh dari daerah lingkaran, maka luas daerah lingkaran sama dengan luas daerah segit iga. Jadi, luas daerah lingkaran adalah:

L =

_µ

r2_.

I

II III IV

V VI VII VIII

2µ x

8 4

r _I VIII_II VII _III VI _IV V

r

Gambar 4. 35

Gambar 4. 35 memperlihat kan gambar suat u lingkaran dengan j ari-j ari r dan keliling lingkaran 2r. Unt uk mencari rumus luas daerah lingkaran dengan memakai rumus luas daerah persegipanj ang, bagilah daerah lingkaran t ersebut dalam 8 j uring yang sama besar. Kemudian susun pot ongan j uring-j uring t ersebut sedemikian rupa

sehingga t erbent uk daerah persegipanj ang dengan panj ang 8 4

µ

x 2r dan lebar r..

Sehingga luas daerah persegipanj ang t ersebut adalah:

L = ( 8 4

x 2

_µ

r) x r =

_µ

r2_.

Agar bangun yang diperoleh dapat menyerupai persegipanj ang, maka kit a harus membagi daerah lingkaran t ersebut menj adi j uring-j uring yang sangat kecil.

Karena daerah persegipanj ang diperoleh dari daerah lingkaran, maka luas daerah lingkaran sama dengan luas daerah persegipanj ang. Jadi, luas daerah lingkaran adalah:

L =

_µ

r2_.

Kesimpulan:

Luas daerah lingkaran adalah: L =

_µ

r2_.

Contoh 7:

Hit unglah luas daerah lingkaran yang j ari-j arinya adalah 10 cm j ika pendekat an unt uk

µ

= 3, 14. Penyelesaian:

Lingkaran, r = 10 cm, dan

_µ

= 3, 14. L = 3, 14 x 102_{= 314 cm}2_.

(25)

1. Perhat ikan gambar di samping.

Gambar berikut menunj ukkan bangun suat u j endela kecil yang t erdir i dari persegi yang panj ang sisinya 24 cm dan set engah lingkaran. Hit unglah luas daerah j endela kecil t ersebut .

24 cm

Gambar berikut menunj ukkan suat u sawah yang t erdiri dari persegipanj ang dan segit iga. Hit unglah luasnya.

15 m

7,5 m 12 m

Gambar berikut menunj ukkan suat u t anah yang dit anami rumput ber bent uk t rapesium yang di t engah-t engahnya

t erdapat bangunan berbent uk

belahket upat . Hit unglah luas t anah yang dit anami r umput t ersebut .

14 m 9 m

10 m

8 m

6 m

Petunj uk Jawaban Latihan

(26)

Luas daerah keseluruhan = 576 + 452, 16 = 1028, 16 cm2_.

Jadi, luas daerah j endela kecil t ersebut adalah 1028, 16 cm2_.

2. Persegipanj ang, p = 15 m, dan l = 12 m. Sehingga, L = 15 x 12 = 180 m2_.

Segit iga, a = 15 m, dan t = 4, 5 m. Sehingga, L = 2 1

x 15 x 4, 5 = 33, 75 m2_.

Luas daerah keseluruhan = 180 + 33, 75 = 213, 75 m2_.

Jadi, luas sawah t ersebut adalah 213, 75 m2_.

3. Trapesium, a = 10 m, b = 14 m, dan t = 9 m.

Sehingga, L = 2 1

(10 + 14) x 9 = 108 m2_.

Belahket upat , d₁ = 6 m, dan d₂ = 8 m. Sehingga, L = 2 1

x 6 x 8 = 24 m2_.

Luas t anah yang dit anami rumput = 108 – 24 = 84 m2_.

Jadi, luas t anah yang dit anami rumput adalah 84 m2_.

1. Luas daerah persegi panj ang = p x l. 2. Luas daerah persegi = s x s.

3. Luas daerah segit iga = 2 1

x a x t .

4. Luas daerah j aj argenj ang = a x t .

5. Luas daerah belahket upat = 2 1

x d₁ x d₂.

6. Luas daerah layang-layang = 2 1

x d₁ x d₂.

7. Luas daerah t rapesium = 2 1

x (a + b) x t .

(27)

1. Suat u layang-layang luas daerahnya adalah 225 cm2_{. Jika panj ang salah sat u}

diagonalnya adalah 18 cm, berapakah panj ang diagonal lainnya?

A. 25 cm. C. 27 cm.

B. 26 cm. D. 28 cm.

2. Suat u j aj argenj ang luas daerahnya sama dengan luas daerah persegi yang panj ang sisinya 12 cm. Jika panj ang alas j aj argenj ang adalah 12, 5 cm, t ent ukan t inggi j aj argenj ang t ersebut .

A. 9, 52 cm. C. 11, 52 cm.

B. 10, 52 cm. D. 12, 52 cm.

3. Perhat ikan gambar berikut :

Jika lingkaran luar mempunyai j ari -j ari 7 cm, sedangkan lingkaran dalam mempunyai j ari-j ari 3 cm, dan π=3, 14 maka luas daerah yang diarsir adalah . . . .

A. 124, 5 cm2. C. 128, 4 cm2. B. 125, 6 cm2. D. 132, 5 cm2.

15 m

10 m 2 m

Sebuah t aman dipasang bat u alam berbent uk belah ket upat , di t engah-t engahnya dibangun kolam ikan. Luas t aman yang dipasang bat u alam adalah . . . .

(28)

13 m

3 m

4 m

10 m

6 m

Gambar t anah mi lik Pak Mulyana t ampak

dalam gambar. Sawah t ersebut akan dij ual dengan harga Rp 150. 000, 00. Berapa rupiahkah uang yang akan dit erima ol eh Pak Mulyana?

A. Rp 13. 000. 000, 00 C. Rp 14. 000. 000, 00 B. Rp 13. 500. 000, 00 D. Rp 14. 500. 000, 00

Rumus :

80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup

< 70% = Kurang

(29)

VOLUME DAN LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG

A. VOLUME BANGUN RUANG (1) volume balok

Balok adalah bangun ruang yang mempunyai enam buah sisi dan masing-masing sisinya merupakan persegipanj ang.

Pada gambar 4. 36 t ampak balok dengan panj ang rusuk p, lebar l, dan t inggi t .

Volume balok adalah: V = p x l x t = L x t

dengan L = p x l = luas alas.

p

l

t

Gambar 4. 36

Contoh 1:

Suat u balok panj angnya 4 cm, lebarnya 5 cm, dan t ingginya 6 cm. Hit unglah volumenya.

Penyelesaian:

Balok, p = 4 cm, l = 5 cm, dan t = 6 cm. Sehingga, V = 4 x 5 x 6 = 120 cm3_.

Jadi, volume balok t ersebut adalah 120 cm3_.

B. VOLUMEKUBUS

Kubus adalah benda ruang yang mempunyai enam buah sisi dan masing-masing sisinya merupakan persegi.

Pada gambar 4. 37 t ampak kubus dengan panj ang sisinya s.

Volume kubus adalah: V = s x s x s = s3.

s

(30)

Contoh 2:

Suat u kubus panj ang rusuknya 8 cm. Hit unglah volumenya.

Penyelesaian:

Kubus dan s = 8 cm.

Sehingga, V = 8 x 8 x 8 = 512 cm3_.

Jadi, volume kubus t ersebut adalah 512 cm3_.

C. VOLUMEPRISMA

Prisma adalah sebuah bangun ruang yang dibat asi oleh bidang alas dan bidang at as yang merupakan segibanyak yang sej aj ar dan kongruen (sama bent uk dan ukuran) sert a dibat asi oleh sisi-sisi t egak yang berupa j aj argenj ang.

Sebuah prisma diberi nama sesuai dengan nama segibanyak pada bidang alasnya, yait u j ika bidang alas prisma merupakan segit iga, maka prisma t ersebut disebut prisma segit iga. Jika bidang alas prisma merupakan segiempat , maka prisma t ersebut disebut prisma segiempat , dan set erusnya.

p

l

t

l

p

t

Gambar 4. 38

Pada gambar 4. 38 t ampak sebuah balok dengan panj ang rusuk p, lebar l, dan t inggi t . Apabila balok t ersebut kit a iris vert ikal sepanj ang bidang diagonal, maka kit a peroleh dua buah prisma segit iga yang kongruen (sama bent uk dan ukuran). Selanj ut nya, apabila kedua prisma digabungkan maka akan menj adi sebuah prisma segit iga yang baru.

Karena prisma segit iga t ersebut diperoleh dari balok, maka rumus volume prisma sama dengan rumus volume balok, V = L x t .

Sehingga, volume prisma adalah: V = L x t , dengan L = luas alas prisma.

Contoh 3:

Suat u prisma t egak alasnya berbent uk persegipanj ang yang berukuran 6 cm x 3, 5 cm. Apabila t inggi prisma adalah 5 cm, hit unglah volumenya.

Penyelesaian:

(31)

D. VOLUMETABUNG

Tabung adalah bangun ruang yang mempunyai t iga buah sisi, yait u sisi alas dan sisi at as yang masing-masing merupakan daerah lingkaran, sert a sisi yang melingkar yang disebut selimut t abung.

t

r

Gambar 4. 39

Perhat ikan gambar 4. 39. Bayangkanlah bahwa kit a dapat t erus-menerus menambah banyaknya sisi pada bidang alas dan at as prisma. Sampai akhirnya kit a peroleh prisma dengan bidang alas dan at asnya adalah lingkaran. Sehingga prisma t adi menj adi sebuah t abung.

Karena t abung dapat dianggap sebagai sebuah prisma yang bidang alasnya adalah lingkaran, maka rumus volume t abung sama dengan rumus volume prisma, V = L x t .

Sehingga, volume t abung adalah: V = L x t =

µ

r2_{x t .}

Contoh 4:

Suat u t abung t ingginya 10 cm dan diamet ernya 5 cm. Hit unglah volumenya.

Penyelesaian:

Tabung, t inggi = 10 cm dan j ari-j ari = 2, 5 cm. Sehingga, V = 3, 14 x (2, 5)2_{x 10 = 196, 25 cm}3_.

Jadi, volume t abung t ersebut adalah 196, 25 cm3_.

E. VOLUMELIMAS

(32)

t mempunyai ukuran yang kongruen. Panj ang sisi kubus s, panj ang sisi alas limas s dan

t ingginya t = 2 1

s.

Volume kubus = s x s x s.

Volume masing-masing limas = 6

Suat u limas alasnya berbent uk persegi dengan ukuran 7 cm x 8 cm. Apabila t inggi limas 9 cm, hit unglah volumenya.

(33)

F. VOLUMEKERUCUT

Kerucut adalah bangun ruang. Sebuah kerucut dapat dibent uk dari sebuah segit iga siku-siku yang diput ar dengan sisi siku-sikunya sebagai pusat put aran.

r

t

Gambar 4. 41

Perhat ikan gambar 4. 41. Bayangkanlah bahwa kit a dapat t erus-menerus menambah banyaknya sisi pada bidang alas limas. Sampai akhirnya kit a peroleh limas dengan bidang alasnya adalah lingkaran. Sehingga limas t adi menj adi sebuah kerucut .

Karena kerucut dapat dianggap sebagai sebuah limas yang bidang alasnya adalah lingkaran, maka rumus volume kerucut sama dengan rumus volume limas,

V = 3 1

L x t inggi.

Sehingga, volume kerucut adalah: V = 3 1

x L x t = x (

µ

r2_{) x t .}

Contoh 6:

Suat u kerucut t ingginya 16 cm dan diamet ernya 8 cm. Hit unglah vomumenya.

Penyelesaian:

Kerucut , t inggi 16 cm, dan j ari-j ari 4 cm.

Sehingga, V = 3 1

x (3, 14 x 42_{) x 16 = 267, 95 cm}3_.

(34)

G. VOLUMEBOLA

Bola adalah bangun ruang. Sebuah bola dapat dibent uk dari bangun set engah lingkaran yang diput ar pada diamet ernya.

r

2r

r

_2r

Gambar 4. 42

Perhat ikan gambar 4. 42. Bola dengan j ari-j ari r dan t abung dengan j ari-j ari r dan t inggi t abung 2r. Melalui percobaan dengan menuangkan pasir dari bola ke dalam

t abung, diperoleh pasir hanya dapat memenuhi 3 2

t abung, sehingga volume bola

adalah 3 2

dari volume t abung. Sedangkan volume t abung =

µ

r2_{x 2r = 2}

_µ

_r3_{, sehingga:}

Volume bola = 3 2

volume t abung

= 3 2

(2

µ

r3₎

= 3 4

µ

r3_.

Sehingga, volume bola adalah: V = 3 4

µ

r3_.

Contoh 7:

Suat u bola diamet ernya adalah 25 cm. Hit unglah volumenya.

Penyelesaian:

Bola dan j ari-j ari 12, 5 cm.

Sehingga, V = 3 4

x 3, 14 x 12, 53_{= 8177, 08 cm}3_.

(35)

B. LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG (1) Luas Permukaan Balok

p

l

t

l

p

I II III IV

V

VI

Gambar 4. 43

Gambar 4. 43 memperlihat kan gambar suat u balok dengan panj ang p, lebar l, dan t inggi t . Apabila sisi-sisi pada balok t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring balok sepert i t ampak pada gambar (silahkan Anda cari aring-j aring-aring-j aring balok lainnya). Sehingga t erlihat bahwa, balok t erdiri dari 6 daerah persegipanj ang, yait u 2 buah daerah persegipanj ang dengan panj ang p dan lebar t , 2 buah daerah persegipanj ang dengan panj ang l lebar t , sert a 2 buah daerah persegipanj ang dengan panj ang p dan lebar l.

Perhat ikan bahwa, L_I = L_III, L_II = L_IV, dan L_V = L_IV, sehingga kit a peroleh: L = L_I + L_III + L_II + L_IV + L_V + L_VI

= 2L_I + 2L_II + 2L_V

= 2(l x t ) + 2(p x t ) + 2(p x l) = 2( lt + pt + pl).

Contoh 8:

Hit unglah luas permukaan balok yang berukuran 3 cm x 4 cm x 5 cm.

Penyelesaian:

Balok, p = 3m, l = 4 cm, dan t = 5cm.

Sehingga, L = 2 [ (4 x 5) + (3 x 5) + (3 x 4)] = 94 cm2_.

Jadi, luas permukaaan balok t ersebut adalah 94 cm2_.

(2) Luas Permukaan Kubus

s s

s

I II III IV

V

(36)

Gambar 4. 44 memperlihat kan gambar suat u kubus dengan panj ang rusuk s. Apabila sisi-sisi pada kubus t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring kubus sepert i t ampak pada gambar (silahkan Anda cari j aring-j aring kubus lainnya). Sehingga t erlihat bahwa, kubus t erdiri dari 6 daerah persegi dengan panj ang sisinya s. Perhat ikan bahwa, L_I = L_II= L_III = L_IV = L_V = L_IV, sehingga kit a peroleh:

L = L

I + LII + LIII + LIV + LV + LIV

= 6L_I = 6(s x s) = 6s2_.

Contoh 9:

Hit unglah luas permukaan kubus yang panj ang rusuknya adalah 12 cm.

Penyelesaian:

Kubus dan s = 12 cm.

Sehingga, L = 6 x 122_{= 864 cm}2_.

Jadi, luas permukaan kubus t ersebut adalah 864 cm2_.

(3) Luas Permukaan Prisma

Unt uk menunj ukkan luas permukaan prisma kit a pilih sat u cont oh prisma saj a, yait u prisma segit iga berat uran.

I

II

III IV V

t

s

s s

t

3 s 2 1

Gambar 4. 45

Gambar 4. 45 memperlihat kan gambar suat u prisma segit iga berat uran dengan panj ang rusuk alasnya s, dan t ingginya t . Apabila sisi-sisi pada prisma segit iga berat uran t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring prisma segit iga berat uran sepert i t ampak pada gambar (silahkan Anda cari j aring-j aring prisma segit iga berat uran lainnya). Sehingga t erlihat bahwa, prisma segit iga berat uran t erdiri dari 2 buah daerah segit iga sama sisi dengan panj ang rusuknya s dan 3 buah daerah persegipanj ang dengan panj angnya s dan lebarnya t .

(37)

L = L_I + L_II + L_III + L_IV + L_V

Rumus luas permukaan prisma di at as dapat berubah bila j enis prismanya berbeda.

Contoh 10:

Hit unglah luas permukaan prisma segit iga berat uran dengan panj ang rusuk alasnya 5 cm dan t ingginya 8 cm.

Penyelesaian:

Prisma, alas segit iga sama sisi dengan panj ang rusuk adalah 4 cm , dan t inggi prisma adalah 5 cm.

Sehingga, L = 3 x 42 2

1

x 5 + 3 x 4 x 5 = 129, 28 cm2_.

Jadi, luas permukaan prisma t ersebut adalah 129, 28 cm2_.

(4) Luas Permukaan Tabung

Gambar 4. 46 memperlihat kan gambar suat u t abung dengan j ari-j arinya r dan t ingginya t . Apabila sisi-sisi pada t abung t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring t abung sepert i t ampak pada gambar. Sehingga t erlihat bahwa, t abung t erdiri dari 2 buah daerah lingkaran dengan j ari-j arinya r sert a sebuah daerah persegipanj ang dengan panj angnya 2r dan lebarnya t .

Perhat ikan bahwa, L_I = L_III =

µ

r2_{dan L}

II = 2

µ

r x t = 2

µ

r t , sehingga kit a peroleh:

(38)

Contoh 11:

Hit unglah luas permukaan t abung dengan yang t ingginya 18 cm dan diamet ernya 14 cm.

Penyelesaian:

Tabung, t inggi = 18 cm, dan j ari-j ari 7 cm.

Sehingga, L = (2 x 3, 14 x 7) x (7 + 14) = 923, 16 cm2_.

Jadi, luas permukaan t abung t ersebut adalah 923, 16 cm2_.

(5) Luas Permukaan Limas

Unt uk menunj ukkan luas permukaan limas kit a pilih sat u cont oh limas saj a, misalnya limas segiempat berat uran.

s

s t

s

t

I II

III

IV V

Gambar 4. 47

Gambar 4. 47 memperlihat kan gambar suat u limas segiempat berat uran dengan panj ang rusuk alasnya s dan t inggi bidang sisi t egaknya t . Apabila sisi-sisi pada limas t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring limas sepert i t ampak pada gambar (silahkan Anda cari j aring-j aring limas lainnya). Sehingga t erlihat bahwa, limas segiempat berat uran t erdiri dari sebuah daerah persegi dengan panj ang rusuknya s dan 4 buah daerah segit iga dengan panj ang alasnya s dan t ingginya t .

Perhat ikan bahwa, L_I = s2_{dan L}

II =LIII = LIV = LV, sehingga kit a peroleh:

L= L₁ + L_II + L_III + L_IV + L_V = L_I + 4L_II

= s2_{+ 4 x (}

2 1

s x t )

= s2_{+ 2st .}

Rumus luas permukaan limas di at as dapat berubah bila j enis limasnya berbeda.

Contoh 12:

(39)

Penyelesaian:

Limas, alasnya persegi dengan panj ang rusuk 9 cm, dan t inggi bidang sisi t egaknya 6 cm.

Sehingga, L = 92_{+ (2 x 9 x 6) = 189 cm}2_.

Jadi, luas permukaan limas t ersebut adalah 189 cm2_.

(6) Luas Permukaan Kerucut

r

r I

II 2µr

P P

A B A B

t s

s

Gambar 4. 48

Gambar 4. 48 memperlihat kan gambar suat u kerucut dengan j ari-j arinya r dan t ingginya t . Apabila sisi-sisi pada kerucut t ersebut direbahkan maka diperoleh j aring-j aring kerucut sepert i t ampak pada gambar. Sehingga t erlihat bahwa, kerucut t erdiri dari sebuah daerah lingkaran dengan j ari-j arinya r dan sebuah daerah j uring lingkaran dengan panj ang busur j uring t ersebut sama dengan panj ang keliling lingkaran alas kerucut , yait u 2

µ

r..

Perhat ikan bahwa, L₁ =

µ

r s, L_II=

µ

r2_{, dan s =} 2 2

r

t  sehingga:

L = L₁ + L₂ =

µ

r s +

µ

r2

=

µ

r 2 2

r

t  +

µ

r2

Contoh 13:

Hit unglah luas permukaan kerucut dengan diamet ernya adalah 10 cm dan t ingginya adalah 12 cm.

Penyelesaian:

Kerucut , j ari-j ari 5 cm, dan t inggi 12 cm.

Sehingga, L = (3, 14 x 5 2 2

5

12  ) + (3, 14 x 52) = 282, 6 cm2.

(40)

(7) Luas Permukaan Bola

r

Gambar 4. 49

Gambar 4. 42 memperlihat kan gambar suat u bola dengan j ari-j arinya r dan t ingginya t . Melalui percobaan, bagi bola t ersebut menj adi dua bagian yang sama besar. Ukur luas daerah lingkaran dengan menggunakan benang yang padat . Kemudian ukur luas permukaan bola dengan melilit kan benang yang sama. Set elah dibandingkan, diperoleh bahwa benang yang dipakai unt uk melilit bola empat kali lebih panj ang dibandingkan dengan benang yang dipakai unt uk mengukur luas daerah lingkaran.

L = 4 x Luas daerah lingkaran = 4

µ

r2_.

Contoh 14:

Hit unglah luas permukaan bola dengan diamet er 18 cm.

Penyelesaian:

Bola dan j ari-j ari 9 cm.

Sehingga, L = 4 x 3, 14 x 92_{= 1017, 36 cm}2_.

Jadi, luas permukaan bola t ersebut adalah 1017, 36 cm2_.

Sebuah benda t erdiri dari kerucut dan set engah bola, dengan t inggi kerucut 20 cm dan panj ang j ari-j ari bol a

9 cm. Hit unglah volume benda t ersebut . 20

(41)

2. Suat u kawat yang panj angnya 1 km mempunyai penampang berupa lingkaran dengan diamet er 4 mm. Jika 1 cm2_{kawat adalah 8 gram, berapakah berat kawat}

t ersebut ?

Sebuah benda t erdiri dari kerucut dan t abung, dengan t inggi kerucut 30 cm dan panj ang j ari -j ari 15 cm dan

1. Kerucut , t = 20 cm, dan r = 9 cm.

2. Bayangkan kawat sebagai t abung kurus, sehingga dapat dianggap t inggi t abung t ersebut adalah 1 km = 100 m = 100. 000 cm, dan j ari-j arinya 2 mm = 0, 2 cm. Sehingga, Volume kawat t ersebut adalah:

V =

µ

r2_t

(42)

1. Volume balok = p x l x t . 2. Volume kubus = s3_.

3. Volume prisma = L x t (L = luas alas). 4. Volume t abung =

µ

r2_{x h.}

5. Volume limas = 3 1

s2_{x t .}

6. Volume kerucut = 3 1

(

µ

r2_{) x t .}

7. Volume bola = 3 4

µ

r3_.

8. Luas permukaan balok = 2( lt + pt + pl). 9. Luas permukaan kubus = 6s2_.

10. Luas permukaan prisma segit iga berat uran = 3s2 2 1

t + 3st .

11. Luas permukaan t abung = 2

µ

r(r + t ).

12. Luas permukaan limas segit iga berat uran = s2_{+ 2st .}

13. Luas permukaan kerucut =

µ

r 2 2

r

t  +

µ

r2.

14. Luas permukaan bola = 4

µ

r2_.

1. Jika suat u prisma mempunyai volume 5625 cm3_{dan luas alas 45 cm}2_{, maka t inggi}

prisma t ersebut adalah . . .

A. 1, 25 m. C. 3, 25 m.

B. 2, 25 m. D. 4, 25 m.

2. Sebuah kolam berbent uk balok dengan ukuran 8 m x 6 m x 4 m. Bila kolam t ersebut berisi air 2, 5 m, berapa lit er air yang t erdapat di kolam t ersebut ?

(43)

3. Perhat ikan gambar berikut ini:

4

8

Luas permukaan limas pada gambar di samping adalah . . .

A. 50 cm2 B. 60 cm2 C. 70 cm2 D. 80 cm2

4. Suat u bola memiliki volume 14. 130 cm3_{. Tent ukan luas permukaan bola t ersebut .}

A. 2824 cm2_. _{C. 2826 cm}2_.

B. 2825 cm2_. _{D. 2827 cm}2_.

5. Berapa luas kart on yang diperlukan unt uk membuat t abung t ert ut up, j ika t inggi t abung t ersebut 30 cm dan diamet ernya 25 cm?

A. 3333, 25 cm2_. _{C. 3335, 25 cm}2_.

B. 3334, 25 cm2_. _{D. 3336, 25 cm}2_.

Rumus :

80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup

< 70% = Kurang

(44)

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

TES FORMATIF 1

1. D 2. B 3. C 4. C 5. A

TES FORMATIF 2

1. A 2. C 3. B 4. D 5. B

TES FORMATIF 3

(45)

DAFTAR PUSTAKA

Brit t on, J. R. and Bello I. (1984). Topi cs i n Cont emporary Mat hemat i cs. New-York: Harper & Row.

Devine, D. F. and Kauf mann J. E. (1983). El ement ar y Mat hemat i cs f or Teacher s. Canada: John Wiley & Sons.

Felker, C. A. (1984). Shop Mat hemat ics. Calif ornia: Glencoe Publishing Company. Kodir, A. , dkk. (1981). Mat emat i ka 2 unt uk SMP. Jakart a: Depart emen Pendidikan

dan Kebudayaan.

Kodir, A. , dkk. (1978). Mat emat i ka 3 unt uk SMP. Jakart a: Depart emen Pendidikan dan Kebudayaan.

Kodir, A. , dkk. (1977). Mat emat ika 5 unt uk SMP. Jakart a: Int ermasa.

Negoro, S. T. dan Harahap, B. (1998). Ensikl opedi a Mat emat i ka. Jakart a: Ghalia Indonesia.

Rusef f endi, E. T. (1991). Pengant ar kepada Mambant u Gur u Mengembangkan Kompet ensi nya dal am Pengaj ar an Mat emat i ka unt uk Meni ngkat kan CBSA. Bandung: Tarsit o.

Rusef f endi, E. T. (1990). Pengaj aran Mat emat ika Modern dan Masa Ki ni unt uk Guru dan PGSD D2, Ser i Keenam. Bandung: Tarsit o.

Wahyudin. (2001). Mat emat i ka SLTP Kel as 1. Bandung: Epsilon Grup. Wahyudin. (2001). Mat emat i ka SLTP Kel as 2. Bandung: Epsilon Grup. Wahyudin. (2001). Mat emat i ka SLTP Kel as 3. Bandung: Epsilon Grup.