DIKTAT MATEMATIKA DASAR DIKTAT MATEMATIKA DASAR

MATEMATIKA DASAR

UNTUK

SAINS & TERAPAN

(VERSI MODUL KULIAH)

Basic Mathematical For Science & Applied (Lecture Module Version)

2

1

2 2

lim

x x

x

a

b dx







DISUSUN OLEH:

Baiq Desy Aniska Prayanti, M.Sc Maxrizal, M.Sc.

FAKULTAS PERTANIAN PERIKANAN DAN BIOLOGI UNIVERSITAS BANGKA BELITUNG

DAFTAR ISI

Daftar Isi ...

Bab 1. Himpunan ...

Bab 2. Sistem Bilangan...

Bab 3. Fungsi ...

Bab 4. Limit ...

Bab 5. Turunan ...

Bab 6. Integral ...

Bab 7. Bank Soal ...

CHAPTER I HIMPUNAN

(SETS)

A. Pengertian Himpuan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai istilah

kelompok atau grup. Misalknya kelompok pemuda desa, grup

tari, grup paduan suara ataupun kumpulan mahasiswa dari suatu

program studi di universitas.

Definisi 1. Himpunan (sets) adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1.

a. Kumpulan mahasiswa jurusan Pertanian se-Indonesia.

b. Kumpulan mahasiswa jurusan Biologi yang berumur

kurang dari 19 tahun.

c. Kumpulan mahasiswa peminat UKM Marching Band

dan UKM Penelitian.

Dalam matematika, tidak semua pengelompokkan benda disebut

dengan himpunan.

Contoh 2.

a. Kumpulan mahasiswa jurusan Pertanian yang ganteng

dan imut-imut.

b. Kumpulan masakan Bangka yang enak.

c. Kumpulan mahasiswa yang berbadan tinggi.

Perhatikan bahwa contoh-contoh diatas melibatkan sisi kualitas

sehingga menimbulkan sifat ambiguitas. Kita tidak bisa

mendefinisikan dengan jelas, kriteria-kriteria ganteng ataupun

kelompok yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas bukanlah

suatu himpunan.

Test 1. (Question and Answer)

Randam Sampel : 5 orang mahasiswa.

1. Berilah dua contoh himpunan!

2. Berilah tiga contoh yang bukan himpunan!

B. Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti

, , ,

A B C dan diikuti oleh tanda kurung kurawal

 

. Anggota

atau elemen dari himpunan berupa huruf, biasanya dinyatakan

dalam huruf kecil.

Contoh 3.

a. A



1, 2,3



b. B



x x3,x



c. C



a b c d, , ,



Berdasarkan Contoh 3, 1 adalah anggota dari himpunan A

dinotasikan 1A dan d adalah anggota himpunan C , dinyatakan sebagai dC. Selanjutnya, a bukan anggota dari

himpunan A dinotasikan aA. Banyaknya anggota himpunan

A ada 3 dan dinotasikan n A

 

3 atau A 3 .

Selanjutnya cara penyajian pada contoh a) dan c) disebut

bentuk pendaftaran (tabular-form) dan cara penyajian pada

contoh b) disebut bentuk perincian (set-builder form).

Contoh 4.

2. B



Andi Canas Toni, ,



Bentuk diatas bisa diubah menjadi bentuk perincian (set-builder

form).

1. A



x x adalah bilangan ganjil



2. B



x x adalah pelajar pemenang lari100m



Perhatikan bahwa pada bentuk pendaftaran (tabular-form),

semua elemen/anggota himpunan dituliskan dalam kurung

kurawal. Sedangkan pada bentuk perincian (set-builder form),

elemen himpunan hanya diwakili dengan sifat/ketentuan yang

sesuai.

Test 2. (Question and Answer)

Randam Sampel : 8 orang mahasiswa.

1. Berilah dua contoh cara penyajian himpunan dengan

pendaftaran (tabular-form)!

2. Berilah dua contoh cara penyajian himpunan dengan

bentuk perincian (set-builder form)!

3. Ubahlah bentuk berikut ke cara penyajian himpunan

dengan pendaftaran (tabular-form)!

a. A



x x adalah mahasiswa berawalan huruf Y



b. B



x x adalah bilangan prima genap



4. Ubahlah bentuk berikut ke cara penyajian himpunan

dengan bentuk perincian (set-builder form)!

a. A



1, 4,9,16, 25,



b. B



becak bemo bajaj, ,



C. Jenis-Jenis Himpunan a. Himpunan kosong (null sets)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki

Contoh 5.

1. A



x x adalah manusia normal berkaki empat



2.



2



4

B x x  dan xganjil

Jelas bahwa A  , karena tidak ada manusia normal yang

berkaki empat. Sedangkan B  , karena tidak ada angka

ganjil yang memenuhi persamaan itu. Nilai x yang mungkin

hanyalah 2 atau 2 .

Test 3. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa.

Berilah dua contoh himpunan kosong!

b. Himpunan semesta (universal sets)

Himpunan yang memuat semua anggota yang sedang

dibicarakan disebut himpunan semesta.

Contoh 6.

1. Misalkan A



1,3,5,



. Himpunan semesta dari A

adalah himpunan bilangan asli

 

, yaitu S  .

2. Misalkan diberikan beberapa himpunan berikut ini.





A x x adalah mahasiswa agribisnis

Himpunan semestaS 



x x adalah mahasiswa FPPB



Test 4. (Question and Answer)

Randam Sampel : 4 orang mahasiswa.

Tentukan himpunan semesta dari himpunan berikut ini!

1. A



1, 2,3



2. K 



mawar melati anggrek, ,



3. S



x x adalah ikan karnivora



c. Himpunan bagian (subsets)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika

setiap anggota A merupakan anggota B , yang dinotasikan

dengan AB.

Jika paling sedikit ada satu anggota dari A bukan merupakan

anggota B maka A bukan himpunan bagian dari B ,

dinotasikan AB.

Contoh 7.

1.  merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

2. Misalkan A

 

2,3 dan B



1, 2,3, 4



maka jelas

AB.

Perhatikan bahwa AB dibaca A subset B atau bisa juga

dinyatakan sebagai B super set dari A .

Jika himpunan A memiliki n anggota maka banyak himpunan

bagian dari A adalah 2n. Misalkan A



1, 2,3



maka himpunan

bagiannya adalah

 

,

 

1 ,

 

2 ,

 

3 ,

 

1, 2 ,

 

1,3 ,

 

2,3 dan



1, 2,3 .



Test 5. (Question and Answer)

Randam Sampel : 5 orang mahasiswa.

Manakah yang merupakan himpunan bagian dari



0 10



A x x adalah bilangan bulat antara dan .

1. C



0,1, 2,3



2. K

 

7,8

3. S



x x adalah bilangan genap antara0 dan10



4. 1 2 3, ,

2 3 4

C  

 

d. Keluarga himpunan (family of sets)

Himpunan A dinamakan keluarga himpunan jika semua

elemennya berupa himpunan.

Contoh 8.

1. A



   

1 , 1, 2



2. B





x x bilangan genap



,



a b c, ,



,



Selanjutnya C



0, 1 ,

   

a b,



bukan merupakan contoh

keluarga himpunan karena ada satu anggota yang bukan

merupakan himpunan yaitu 0 .

Test 6. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa.

1. Berilah satu contoh keluarga himpunan!

2. Berilah satu contoh yang bukan keluarga himpunan!

e. Himpunan kuasa (power sets)

Himpunan kuasa

 

2A adalah keluarga himpunan dari semua himpunan bagian dari himpunan A.

Contoh 9.

1. Diberikan A

 

1, 2 , maka banyak himpunan bagian

dari A adalah 22 4 yaitu , 1 , 2 , 1, 2

     

.

Jadi 2A 



, 1 , 2 , 1, 2

     



.

2. Diberikan B

 

a , maka banyak himpunan bagian

dari B adalah 21 2 yaitu ,

 

a .

Jadi 2B  



,

 

a



.

Randam Sampel : 3 orang mahasiswa.

Tentukan himpunan kuasa dari himpunan berikut!

1. A

 

a b,

2. B



x x adalah bilangan ganjil antara 0 dan 5



3. C



1, 2,3



f. Himpunan terhingga (finite) dan himpunan tak terhingga (infinite)

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya

berhingga.

Contoh 10.

1. Himpunan 

2. Himpunan dengan n anggota.

3. M 



ayam itik bangau, ,



Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang

berkorespondensi satu-satu dengan bilangan asli, yaitu

himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

Contoh 11.

1. Himpunan bilangan asli.

2. Himpunan bilangan bulat.

3. M 



x x adalah bakteri di dunia



Test 8. (Question and Answer)

Randam Sampel : 4 orang mahasiswa.

1. Buatlah dua contoh himpunan terhingga!

2. Apakah himpunan berikut terhingga?

a. A



x x adalah namanama hari



g. Himpunan terhitung (countable) dan tak terhitung (uncountable)

Himpunan terhitung adalah himpunan terhingga (finite) atau tak

terhingga (infinite).

Contoh 12.

1. A



a b c, ,



2. Himpunan bilangan ganjil.

Himpunan tak terhitung adalah himpunan yang tidak terhitung

jumlahnya.

Himpunan bilangan Real

 

adalah contoh himpunan yang tak

terhitung. Hal ini cukup beralasan karena kita tidak bisa

menentukan berapa banyak bilangan Real yang terletak diantara

dua bilangan bulat yang berurutan.

Sifat bilangan Real akan kita bicarakan lebih mendalam pada

bab 2.

Test 9. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa.

Apakah himpunan berikut terhitung?

1. A



x x adalah namanama planet



2. B



y y adalah namanama presiden di bumi



h. Himpunan saling lepas (disjoint sets)

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika himpunan A

dan B tidak memiliki elemen yang sama.

Contoh 13.

Misalkan himpunan A



1, 2,3



dan B

 

a b, maka himpunan

Test 10. (Question and Answer)

Randam Sampel : 3 orang mahasiswa.

Apakah kedua himpunan berikut saling lepas?

1. A



x x adalah namanama planet





,



B Venus Bumi

2. K 



y y adalah bilangan genap







L x x adalah bilangan ganjil

3. C

 

0, 2



14



D x x adalah salah satu faktor dari

D. Kesamaan Himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika setiap

elemen dari A merupakan elemen dari B dan sebaliknya.

Contoh 14.

1. A



1, 2,3



dan B



3, 2,1



maka AB.

2. C



1, 2, 2, 2,1



dan D



2,1, 2



maka CD.

3. E

 

5, 6 ,



2



11 30 0

F x x  x  maka EF . Perhatikan bahwa jika ada elemen yang sama cukup dihitung

sekali dan pada himpunan urutan elemen tidak dipermasalahkan.

Berdasarkan sifat himpunan bagian, himpunan A dikatakan

sama dengan himpunan B jika berlaku AB dan BA .

Test 11. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa.

Apakah kedua himpunan berikut sama?

1. K 



y y adalah bilangan genap



, L



, 2, 0, 2,



2. C

 



2



E. Representasi Himpunan

Ada dua cara untuk menyajikan himpunan yaitu menggunakan

diagram Venn dan diagram garis. Diagram Venn biasanya lebih

umum digunakan karena dapat menyajikan elemen himpunan

dengan jelas.

a. Diagram Venn

Pada diagram Venn, daerah persegi untuk menggambarkan

himpunan semesta dan daerah lingkaran untuk menggambarkan

himpunan di dalamnya.

Contoh 15.

1. Misalkan S 



a b c d e, , , ,



, A

 

a b, dan B

 

c d, .

2. Diberikan diagram Venn sebagai berikut.

Dari diagram diperoleh S 



a b c d e, , , ,



, AS dan

 

,

Pada contoh 1, himpunan A dan B tidak dapat diperbandingkan

(not comparable) sedangkan pada contoh 2, himpunan A dan B

dapat diperbandingkan (comparable).

Test 12. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa.

Buatlah diagram Venn untuk himpunan berikut!

1. Himpunan Semesta S



a b c d e f, , , , ,



,

 

,

A a e , B

 

a d, dan C



a d e, ,



2. Himpunan Semesta S



x x adalah namanama hari





,



A senin rabu dan B



rabu sabtu,



.

b. Diagram garis

Cara kedua untuk menyatakan hubungan antar himpunan dengan

menggunakan diagram garis. Pada diagram garis AB

dinyatakan sebagai

Contoh 16.

1. Misalkan A



1, 2,3



, B

 

3 dan C

 

1, 2 .

Jelas bahwa BA , CA dan BC . Dengan kata

2. Perhatikan diagram garis berikut ini!

Jelas bahwa B A E , B A F , C A E ,

C A F, BCdan EF.

Test 13. (Question and Answer)

Randam Sampel : 4 orang mahasiswa.

1. Buatlah diagram garis untuk himpunan berikut!

a. A

 

a e, , B

 

a d, dan C



a d e, ,



b. A



senin



, B



senin rabu,





, ,



C senin rabu kamis

2. Buatlah diagram garis untuk himpunan berikut!

a. A B C ,D E C .

b. AD ,C E F ,DFH . F. Operasi Pada Himpuan

Jika kita memiliki dua himpunan atau lebih, kita bisa

mengoperasikan himpunan-himpunan tersebut.

Beberapa operasi yang dikenakan pada himpunan:

a. Irisan





A B x xA dan xB

b. Gabungan





A B x xA atau xB

c. Penjumlahan



, ,



A B x xA xB x A B

d. Selisih





e. Komplemen





c

A  x xA dan xS

Contoh 17.

1. Diketahui S 



1, 2, ,10



, A

 

2,3 dan



2, 4, 6,8,10



B maka diperoleh

a. A B

 

2

b. A B



2,3, 4, 6,8,10



c. A B 



3, 4, 6,8,10



d. A B 

 

3

e. B A



4, 6,8,10



f. Ac 



1, 4,5, 6, 7,8,9,10



g. Bc



1,3,5, 7,9



2. Perhatikan diagram Venn berikut ini!

Berdasarkan diagram diperoleh



, , , , , , ,



S a b c d e f g h

a. A



a b f h, , ,



b. B



c d g, ,



c. C



d e f g h, , , ,



d. A  B

Test 14. (Question and Answer)

Randam Sampel : 6 orang mahasiswa.

Diberikan A



x0 x 10,x



, B



x5 x 9,x



, dan semesta S



x 0 x 12,x



Tentukan!

1. AB

2. AB

3. AB

4. AB

5. BA

6.



AB



c

7.



AB



c

G. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Beberapa sifat yang berlaku pada operasi himpunan:

a. Sifat komutatif

A  B B A dan A  B B A.

b. Sifat Asosiatif



AB



  C A



BC



dan



AB



  C A



BC



. c. Sifat Distributif



 

 



A BC  AB  BC dan



 

 



A BC  AB  BC .

d. Sifat Identitas

A  , A S A,A A dan A S S.

e. Sifat Idempoten

A A A dan A A A.

f. Sifat De Morgan





c _{c c}

AB  A B dan





c c c

Contoh 18.

Diberikan himpunan semesta S 



a b, , ,z



, A

 

a b, dan

 

,

B C a e . Tentukan



AB



C !

Perhatikan bahwa



AB



  C A



BC

  

 a .

Test 14. (Question and Answer)

Randam Sampel : 2 orang mahasiswa.

Diberikan A



rabu kamis jumat, ,



, B



jumat sabtu,



, dan

semesta S 



x x adalah namanama hari



Tentukan!

1.



AB



c

2.



AB



c

H. Task and Exercise

1. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari



1, 2, , 20



A . Berikan penjelasanmu !

a. M 



0,3, 6,9



b. N 



x x bilangan bulat antara11dan12



c. O



19, 20, 21



d. A



x x bilangan prima kurang dari 23



2. Diberikan S



1, 2, , 7



 

1, 2

A .



3,5, 7



B

Tentukanlah:

a. AB

b. AB

c. A B

e. AcBc

f.



AB



c

g.



AB



c

h. _{Diagram Venn}

3. Perhatikan diagram Venn di bawah ini!

Tentukan himpunan dari

a. Laut

b. Sungai

c. Danau

d. Laut  Danau e. Laut  Sungai f. Sungai  Danau

g. Laut Danau  Sungai

4. Berikut ini daftar olahraga favorit beberapa mahasiswa

Agribisnis.

A menyukai sepak bola dan futsal. B menyukai

bulutangkis. C tidak menyukai sepak bola, dan

menyukai futsal. D menyukai semua jenis olahraga. E

tidak menyukai semua jenis olahraga yang ada.

a. Buatlah diagram Venn untuk masalah di atas!

5. Diberikan S 



1, 2,3, 4,5



,



AB

  

c  1, 2 dan

 

2

c

A  . Tentukan:

a. Bc

b.



AB



c

c.



AB



CHAPTER II SISTEM BILANGAN

PART 1 (Numbers System)

A. Bilangan Real

Sistem bilangan terdiri atas dua himpunan utama yaitu

himpunan bilangan real

 

dan himpunan bilangan imajiner

 

I . Gabungan antara bilangan real dan imajiner dinamakan

dengan bilangan kompleks

 

.

Himpunan bilangan real terdiri atas bilangan rasional dan

irrasional. Berikut ini diberikan diagram garis untuk himpunan

bagian dari bilangan real.

B. Bilangan Bulat

Bilangan bulat positif berbentuk  



1, 2,3,



atau lebih

dikenal dengan bilangan asli

 

. Bilangan asli digunakan

Selanjutnya bilangan bulat negatif berbentuk



1, 2, 3,



_{   }

. Gabungan antara  , 0 dan 

membentuk bilangan bulat

 

.

Task 1 (Quetion and Answer)

Sebutkan dua contoh penggunaan bilangan bulat negatif dalam

kehidupan nyata!

C. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan berbentuk a

b , dengan a b,  dan b0 .

Bilangan pecahan bisa berbentuk pecahan biasa, pecahan

campuran dan pecahan desimal.

Task 2 (Question and Answer)

1. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan biasa!

a. 0,5

b. 41 3

2. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan campuran!

a. 7

3

b. 2,5

D. Bilangan Rasional

Gabungan antara pecahan dan bilangan bulat dinamakan

bilangan rasional. Secara umum bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dibentuk menjadi a

b dengan ,a b dan

0

Contoh 1. 1. 1, 3

2 4 

merupakan contoh bilangan rasional

2.

4

juga bilangan rasional karena bisa dibentuk dari 8 2

atau 16

4 dan seterusnya.

Task 3 (Question and Answer)

Apakah bilangan berikut bilangan rasional?

a. 100

b. 0,875

c. 11

17

E. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional terlahir dari pengukuran panjang sisi miring

pada suatu segitiga siku-siku. Misalkan c adalah sisi miring dan

,

a b adalah alas dan tinggi segitiga siku-siku maka berlaku

teorema pythagoras, yaitu:

2 2 2

a b c

Jika diketahui a b 1 cm maka diperoleh

c



2

. Nah,

2

termasuk bilangan irrasional karena tidak bisa dibentuk menjadi

a

b . Jika dihitung menggunakan kalkulator 2 1, 4142135

Jelas bahwa, billangan irrasional merupakan bilangan desimal.

Jadi, bilangan irrasional adalah bilangan yang berbentuk akar

dan tidak bisa dibentuk menjadi a

b dengan ,a b dan b0 .

Seperti pada bilangan rasional, bilangan irrasional juga dapat

dinyatakan dalam desimal. Namun, pada bilangan irrasional,

misalnya pada 3 1, 7320508075 . Berikut perbedaaan

bilangan rasional dan irrasional dalam bentuk bilangan desimal.

Contoh 2.

Buktikan 0,333 adalah bilangan rasional!

Jawab:

Misalkan x0,333 . Dengan teknik manipulasi, kita peroleh

Jadi 0,333 bilangan rasional.

Contoh 3.

Buktikan 1,1818 bilangan rasional.

Jawab:

Misalkan x1,1818 Dengan teknik manipulasi, kita peroleh

100 118,1818

Jadi 1,1818 bilangan rasional.

Perhatikan bahwa bilangan desimal yang mempunyai akhir atau

akan berulang dalam daur (siklus) yang tetap selamanya

merupakan bilangan rasional.

Task 4 (Question and Answer)

1. Manakah yang merupakan bilangan irrasional?

b. 1 2 c.

  

3 2 5 2 d. 5 2

e. 3, 75

2. Buktikan bilangan di bawah ini rasional

a. x0,136136136

b. x0, 271717171

c. x0,1999999

d. x2,567567

e. x0,3999999

3. Apakah bilangan 0,12345678910111213 rasional atau

irrasional?

4. Apakah bilangan 0,10100100010000 rasional atau

irrasional?

F. Sifat Urutan Pada Bilangan Real

Karena sifat urutan pada bilangan real maka diantara dua

bilangan real pasti terdapat bilangan real yang lain. Misalkan

,

a b maka pasti terdapat c , karena

2

a b

c  begitu

seterusnya. Dengan demikian, diantara dua bilangan real yang

sangat dekat pasti terdapat bilangan real yang lain. Bilangan ini

bisa berupa bilangan rasional ataupun bilangan irrasional.

Contoh 4.

Carilah suatu bilangan rasional dan irrasional yang terletak

diantara a0,12345678 dan b0,12345700 !

Jawab:

Dipilih r0,123456800000 merupakan bilangan rasional

karena berakhir dengan perulangan nol. Dipilih

0,123456801001000100001

irrasional karena pola penyisipan nol yang semakin banyak. Jadi

terlihat bahwa a  r s b .

Selanjutnya, gabungan antara bilangan rasional dan irrasional

dinamakan bilangan real.

Task 5 (Question and Answer)

1. Carilah sebuah bilangan rasional dan irrasional diantara

0,123456 dan 0,123467 !

2. Carilah dua bilangan irrasional yang jumlahnya bilangan

rasional!

G. Sifat Himpunan Bilangan Real

Himpunan bilangan real dapat dinyatakan pada sebuah garis

bilangan dengan mengambil titik nol sebagai titik awal.

Selanjutnya, kita definisikan titik-titik di sebelah kanan nol

sebagai bilangan real positif dan titik-titik di sebelah kiri nol

sebagai bilangan real negatif. Setiap titik-titik itu hanya

mewakili satu bilangan real.

Perhatikan bahwa pada garis bilangan ini, 12 atau 2 2 . Jelaslah bahwa pada bilangan Real mengenal sifat urutan.

Beberapa sifat urutan yang dikenal pada bilangan Real,yaitu:

a. Trikotomi

Jika ,x y maka berlaku xy atau x y atau xy

b. Transitif

Untuk ,x y , jika x y danyz maka berlaku xz c. Penambahan

Untuk , ,x y z , berlaku xy jika dan hanya jika

d. Perkalian

Untuk x y z, ,  dan z0 , jika x y maka berlaku

xz yz . Jika z0 maka berlaku xzyz.

Misalkan a b,  dan ab maka beberapa himpunan dapat

dinyatakan pada selang atau interval itu, diantaranya:

a.



a b,







x a x b



b.

 

a b, 



x a x b



c.



a b,







x a x b



d.

 

a b, 



x a x b



e.



a, 





x xa



f.



a, 





x xa



g.



,b







x xb



i.



  ,



Task 6 (Question and Answer)

1. Nyatakan apakah urutan berikut benar atau salah!

a.   2 20 b. 3 2

3

 

c. 6 14

715

d. 1 1 e. 4 1

5 2

  

2. Nyatakan himpunan berikut kedalam selang (interval)

dan simbolnya, untuk x bilangan Real.

a. x3 b. 12 x 7 c. 12 x 13

d. x5 dan x 10 e. x 1 dan x4

H. Pertidaksamaan

Misalkan diberikan ,a b maka berdasarkan sifat urutan pada

bilangan real berlaku xy atau xy atau xy. Pernyataan

xy, x y, xy dan xydisebut pertidaksamaan.

a. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang

melibatkan salah satu ruas atau kedua ruasnya bentuk linear

himpunan penyelesaian dari f x

 

0 , f x

 

0,f x

 

0 dan

Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 6 2 4 1 1 2

Task 7 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

a. x 4 5 b. 3x 2 10 c. 52x7

b. Pertidaksamaan Kuadrat dan Polinomial

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang melibatkan

bentuk kuadarat pada salah satu ruas atau kedua ruasnya. Hal

yang sama juga didefiniskan pada pertidaksamaan polinomial

(bentuk pangkat tiga atau lebih)

Contoh 7.

Tentukan himpunan penyelesaian dari x23x 4 0 Jawab:

Diketahuix23x 4 0 . 1. Mencari titik kritis.

Dengan cara faktorisasi, diperoleh







2

3 4 0

4 1 0

4 1

x x

x x

x x

  

  

    2. Uji selang diantara titik kritis.

Jika x0 maka x23x 4 023 0

 

  4 4.

Perhatikan bahwa untuk x0 berlaku nilai negatif

 

4 .

Karena nol berada pada   1 x 4 dan bernilai negatif maka sisi

kiri dan kanan bernilai positif.

Jadi HP



x  1 x 4,x



 



1, 4



.

Contoh 8.

Berdasarkan data pada Contoh 7, diperoleh himpunan

penyelesaian dari x23x 4 0 adalah daerah yang bertanda positif, yaitu x 1 atau x4 .

JadiHP



x x   1 x 4,x



    



, 1

 

, 4



.

Contoh 9.

Tentukan himpunan penyelesaian dari x37x212x0 Jawab:

Diketahuix37x212x0 . 1. Mencari titik kritis.

Dengan cara faktorisasi, diperoleh







3 2

7 12 0

3 4 0

0 3 4

x x x

x x x

x x x

  

  

    

2. Uji selang diantara titik kritis.

Jika x1 maka _x3_7x2₁₂ ₁3 _{7 1}

 

2₁₂_6.

Perhatikan bahwa untuk x1 berlaku nilai positif

 

6 . Karena

1

x berada pada 0 x 3 dan bernilai positif maka sisi kiri

dan kanan bernilai negatif.

Jadi HP



x 0   x 3 x 4,x





  

0,3  4,



.

Contoh 10.

Tentukan himpunan penyelesaian dari



x1



x1

 

2 x 2



0

Jawab:

Diketahui



x1



x1

 

2 x 2



0 .

1. Mencari titik kritis.





 

2



1 1 2 0

1 1 2

x x x

x x x

   

      2. Uji selang diantara titik kritis.

Jika x0 maka



x1



x1

 

2 x2



 2. Perhatikan bahwa untuk x0 berlaku nilai negatif

 

2 . Karena x0 berada pada   1 x 1 dan bernilai negatif maka sisi kiri bernilai positif. Sedangkan sisi kanan tetap bernilai negatif karena 1

merupakan akar kembar.

Jadi HP



x   1 x 2,x



 



1, 2



.

Task 8 (Qustion and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

1. 2

12 0

x  x 

2. 2 9 0

x  

3. 2

5 6 0

x  x 

4. _3x2_11x _{4 0}

Task and Exercise

1. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan biasa!

a. 0,525

b. 311 13

c. 115 2

d. 0,7122222222

2. Nyatakan apakah urutan berikut benar atau salah!

a. 120 b. 11 2

13 3

  

c. 0 14 15

d. 14 31

5 7

  

3. Buktikan bilangan di bawah ini rasional!

a. x0,789789 b. x0,11111 c. x4,1999999 d. x2,5611000

4. Apakah bilangan di bawah ini rasional atau irrasional?

Berikan alasanmu!

a. 0,1009998979695

b. 0, 41401400140001

c. 0,123456789100000

d. 0,123321123321

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

berikut!

a. 6x105x16 b. 2x16 x 25 c. 2

2x 5x 3 0 d. 2

4x 5x 6 0

e.



x2 2



x1 3



x 7



0 f.



2x3 3



x1

 

2 x 5



0

6. Manakah yang merupakan bilangan irrasional?

a. 625

CHAPTER II SISTEM BILANGAN

PART 2 (Numbers System)

a. Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang

melibatkan bentuk pecahan

 

 

f x

g x dengan g x

 

0 pada salah

satu ruas atau kedua ruasnya.

Contoh 1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 1 0 3

x x

 



Jawab:

1. Mencari titik kritis.

Titik kritis diperoleh pada x1 atau x3. (Faktorisasi pada pembilang dan penyebut)

Karena



x3



penyebut maka



x 3



0, yaitu x3 . (Titik x3 bukan himpunan penyelesaian)

2. Uji selang diantara titik kritis.

Jika x0 maka 1 1



tanda +



3 3

x x

 _

 .

Jadi HP



x1 x 3,x







1,3



.

Contoh 2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 1 2 1

x x

 



Jawab:

Ubahlah 4 1 2

Titik kritis diperoleh pada 1 2

x  atau x1. (Faktorisasi pada pembilang dan penyebut)

Karena



x1



penyebut maka



x 1



0, yaitu x1 . (Titik x1 bukan himpunan penyelesaian)

2. Uji selang diantara titik kritis.

Jika x0 maka 2 1 1 tanda





Task 1 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan

b. Pertidaksamaan Irrasional

Pertidaksamaan Irrasional adalah pertidaksamaan yang

melibatkan bentuk tak rasional atau bentuk akar.

Pertidaksamaan irrasional juga bisa berbentuk pecahan, yaitu

 

pertidaksamaan irrasional yaitu:

a. f x

 

0 (syarat)

b. Kuadratkan kedua ruas, untuk menghilangkan akar

c. Iriskan penyelesaian a) dan b)

Contoh 3.

2. Mengkuadratkan kedua ruas





2

3. Menentukan irisan

Perhatikan bahwa x4 dan x0 sehingga



0 4,



HP x  x x 



0, 4



.

Contoh 4.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x 1

x

 _

Jawab:

2 0

(Faktorisasi pembilang dan penyebut)

Dengan rumus ABC diperoleh x 2 atau x1 .

2

x yaitu x0 (akar kembar) Uji selang diantara titik kritis

Untuk x 1 maka





3. Menentukan irisan

Perhatikan bahwa x2 dan



x 2 atau x1



sehingga



2 atau1 2,



HP x x   x x .

Task 2 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irrasional

I. Persamaan Nilai Mutlak

Misalnya diberikan x , nilai mutlak x , dinotasikan dengan

x didefiniskan

, 0

Beberapa sifat nilai mutlak, yaitu:

a. ab  a b

Ingat kembali definisi nilai mutlak





Berdasarkan definisi nilai mutlak

Ada 4 kemungkinan penyelesaian, yaitu:

a. 4x  3 1 x

b. 



4x  3



1 x

c. 4x   3



1 x



d. 



4x   3





1 x



Perhatikan bahwa bentuk a) dan d) sama. Bentuk b) dan c) juga

sama. Dengan kata lain kita cukup menentukan a) dan b) saja

(cukup memutlakkan salah satu ruas). Untuk 4x  3 1 x maka 4

5

x .

Untuk 



4x  3



1 x maka 2 3

x .

Jadi 2 4,

3 5

HPx x  x x 

 

(Cara Lain: Kedua ruas dikuadratkan)

Task 3 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak

berikut!

a. x 3 7

b. 2x 1 6

c. x  1 1 (Konsep penting) d. 10 1

1

x 

J. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang

melibatkan nilai mutlak.

Sifat-sifat persamaan nilai mutlak, diantaranya:

a. x     a a x a

b. x    a x a atau xa

Contoh 7.

Tentukan himpunan penyelesaian 2 1 3

Sulit dikerjakan karena ada dua tanda mutlak, alternatifnya



 



Task 4 (Question and Answer)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai

mutlak berikut!

K. Latihan Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

pecahan berikut.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai

mutlak berikut.

b. 11 2 x 3

c. 1

1 2

x

x 

d. 3x  1 x 5 e. x 1 4 x 0

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

mutlak berikut ini.

a. x 1 4

b. 3 1 4 5

x

 

c. 3x 1 2 x6

d. 3 1 2x3  e. 1 4 3

x

 

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

irrasional berikut ini.

a. 4x 1 2 b. 1 2

2x1 c. 5 3 x 1

d. 4 1 1 1 2

x

x

 _



CHAPTER III FUNGSI (FUNCTION)

PART I

A. Pengertian Fungsi

Diberikan dua buah himpunan tak kosong yaitu himpunan A

dan B. Elemen pada himpunanA dapat dihubungkan dengan

elemen pada himpunan B, hubungan atau aturan ini dinamakan

relasi.

Relasi yang mengaitkan setiap elemen A dengan tepat satu

elemen B disebut dengan fungsi.

Fungsi dari himpunan A ke B ditulis f A: B, dimana A

disebut sebagai daerah asal atau domain

 

D_f dan B disebut sebagai daerah kawan atau kodomain. Selanjutnya aA disebut sebagai pra-bayangan (pre-image) dari b dan

 

f a B disebut sebagai bayangan (image) dari a . Himpunan R_f 



bB b f a

 

,aA



disebut sebagai daerah hasil atau range.

Berikut ini ilustrasi dari suatu fungsi.

Fungsi

bukan fungsi, sebab ada

elemen A yang mempunyai 2

bukan fungsi sebab ada elemen

A yang tidak mempunyai

kawan.

Untuk lebih mudahnya memahami definisi fungsi pahami 2

aturan berikut ini:

1) Setiap elemen himpunan A harus habis terkait dengan

elemen himpunan B.

2) Tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

Contoh:

Diberikan himpunan A



x, y, z



dan himpunan B

 

1, 2, .

didefinisikan suatu fungsi f A: B sebagai berikut: 1, y 2, z 1

x   atau f x

 

1,f y

 

2, f z

 

1 . Dari contoh diatas dapat dikatakan bahwa

 image darix adalah 1 atau x adalah pre-image dari 1  image dariy adalah 2 atau y adalah pre-image dari 2  image dari z adalah 1 atau z adalah pre-image dari 1

Diperoleh R_f 

 

1, 2 .

Task 1 (Question and Answer)

Diberikan himpunan A



a b c d, , ,



dan himpunan B

 

0,1 .

didefinisikan suatu fungsi f A: B sebagai berikut:

 

1,

 

0,

 

1,

 

1

f a  f b  f c  f d  . Tentukan!

a. Image dari a

b. Pre-image dari 1

c.

 

1

Task 2 (Question and Answer)

1. Untuk f x

 

x21 , tentukan nilai

3. Tentukan nilai x pada fungsi dibawah ini:

a. f x

 

2x1 dan f x

 

9

b. f x

 

x21 dan f x

 

3

C. Grafik Fungsi

Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk grafik dengan

memperhatikan pasangan-pasangan terurut dari fungsi tersebut.

Jika daerah asal (domain) dan daerah hasil (range) merupakan

bilangan riil maka fungsi dapat diganbar dengan menggunakan

sistem koordinat Cartesius.

Contoh:

Diberikan f x

 

 x 4

D. Jenis-Jenis Fungsi

Berikut ini disajikan beberapa jenis fungsi:

a. Fungsi injektif (satu-satu, into) adalah jika setiap elemen

himpunan A memiliki pasangan yang berbeda pada

himpunan B.

b. Fungsi surjektif/onto (pada) adalah jika setiap elemen

himpunan B memiliki pasangan pada himpunan A.

c. Fungsi bijektif (satu-satu dan pada) adalah jika setiap

elemen himpunan B memiliki pasangan tepat satu pada

a

bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif

dan surjektif.

Fungsi injektif, Fungsi surjektif,

bukan surjektif bukan injektif

Bukan fungsi satu-ke-satu Bukan fungsi

maupun pada

Task (Question and Answer)

1. Tentukan jenis fungsi berikut:

a. f x

 

x2 pada f :    b. f x

 

 x 1 pada f : 

c. f x

 

2x f : 

E. Invers Fungsi

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu (bijektif) dari A

ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah

anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f

a

Mengapa contoh di atas tidak memiliki invers fungsi?

Not injektif dan not surjektif

Tidak memiliki invers fungsi

Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga

fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat

mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not

invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang

berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak

F. Operasi Aljabar Pada Fungsi

Diberikan f x

 

dan g x

 

. Pada kedua fungsi itu bisa

dikenakan operasi, yaitu:

a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi

Prinsip dasar penjumlahan dan pengurangan adalah

mengoperasikan suku-suku yang sejenis.

Contoh:

Diberikan f x

 

3x32x1 dan g x

 

x34 maka

   

3

4 2 3

f x g x  x  x

   

3

2 2 5

f x g x  x  x

b. Perkalian dengan skalar

Prinsip dasarnya sama dengan sifat distributif.

Contoh:

Diberikan f x

 

3x32x1 maka 2f x

 

6x34x2.

c. Perkalian antar fungsi

Prinsip dasar perkalian antar suku.

Contoh:

Diberikan f x

 

2x1 dan g x

 

x31 maka

   

4 3

. 2 2 1

f x g x  x  x x .

d. Pembagian antar fungsi

Pembagian yang dibahas tidak melibatkan pembagian

yang bersisa.

Contoh:

 

 















3 2

2 3

f x x x

x

g x x

 

  

 .

G. Komposisi Dua Fungsi.

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f

adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan

g, dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang

didefinisikan oleh

(fg)(a) = f(g(a))

Contoh:

Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f g

dan gf

Jawab:

a. (fg)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.

b. (gf)(x) = g(f(x)) = g(x– 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2.

Contoh:

Diberikan fungsi f x

 

2x1 dan g x

 

x22 . Tentukan



f g

 

0 dan



g f

 

0

Jawab:

Perhatikan bahwa f

   

0 2 0  1 1 dan g

 

0 02  2 2

a.



f g

 

0  f g



 

0



 f

   

     2 2 2 1 3

b.



g f

 

0 g f



 

0



g

 

1    12 2 1

Contoh:

Diberikan fungsi f x

 

2x1 dan



f g

 

x x23x2 .

Tentukan g x .

 

Jawab:

b.



g f

 

x

c.



f h

 

x .

d.



h g

 

x

BAB IV LIMIT (Pertemuan Ke-9)

A. Pendahuluan Limit

Diberikan

 

Note: dibaca “limit dari 2 1

1

bagaimana cara memvalidasi fakta diatas.







_

_

CONTOH 2. Carilah

Penyelesaian: (Bisa diselesaikan dengan menggunakan

kalkulator seperti tabel bagia awal)

Dengan aljabar

STOP!!! RED LIGHT

Dengan aljabar, carilah limit fungsi di bawah ini!

1.

Secara sederhana, lim

 

xc f x L jika dan hanya jika limit kanan

sama dengan limit kiri.

CONTOH 3. Perhatikan grafik di bawah ini!

Jika

 

2

2 2, 1

3 , 1

x x untuk x

f x

x untuk x

   

 

 

 .

Tentukan nilai

 

1

lim

x f x .

Jawab:

Berdasarkan grafik,

2 1

lim 2 2 1

x

x x



    . (limit kiri)

dan

1

lim 3 2 x  x

(limit kanan)

Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka

 

1

lim

x f x

tidak ada.

For the function f , find the indicated limit or function value, or

state that it dose not exist.

a.

 

STOP!!! RED LIGHT (No. 29 di Purcell, Hal 78) Sketch the graph of

Then find each of the following or state that it dose not exist.

a.

 

B. TEOREMA LIMIT Sifat-sifat limit fungsi

1. lim

8. Untuk setiap polinomial

Bagian ini tanpa kita sadari, telah kita pelajari (saya anggap

sudah mahir)

C. KEKONTINUAN FUNGSI

DEFINISI (Kekontinuan di satu titik)

Kita namakan f kontinu di c jika beberapa selang terbuka

disekitar c terkandung dalam daerah asal f dan

 

 

lim

xc f x  f c .

Bahasa yang lebih sederhana

Suatu f dikatakan kontinu pada c jika

1. lim

 

xc f x ada

2. f c

 

ada

3. lim

 

 

CONTOH. Diberikan

 

Tetapi jika kita definisi kembali menjadi

 

Dalam soal-soal 1-7, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan

kontinu atau tidak di 2. Jika tak kontinu jelaskan sebabnya!

a. f x

 

4x22x12

1. Dengan aljabar, carilah limit fungsi di bawah ini!

a.

For the function f , find the indicated limit or function

value, or state that it dose not exist.

a.

 

4. Dalam soal-soal a-f, nyatakan apakah fungsi yang

ditunjukkan kontinu atau tidak di 2. Jika tak kontinu

e.

 

5. Dalam soal-soal di bawah ini, di titik mana, jika ada,

fungsi tak kontinu?

a.

 

₂2 3

Tentukan a dan b sehingga f kontinu dimana-mana!

BAB V TURUNAN (Pertemuan Ke-10)

A. MOTIVASI

Masalah turunan dimotivasi oleh garis singgung dan kecepatan

sesaat.

Garis singgung dipengaruhi oleh kemiringan



m_tan



.





 

cara yang lebih praktis.

Kecepatan sesaat. Jika kita mengendarai motor dari kota A ke B yang berjarak 80 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan

rata-rata kitaadalah 40 km tiap jam.

Artinya kecepatan rata-rata adalah jarak antara posisi pertama ke

Tapi selama perjalanan speedometer tidak selalu menunjukkan

angka 40 km. Jadi apa yang diukur oleh speedometer? Tentu

saja bukan kecepatan rata-rata.

Kita perhatikan kasus yang lebih akurat yaitu kecepatan sesaat

pada benda jatuh.





 

0 0

lim _{rata rata} lim

h h

sebuah benda jatuh, beranjak dari posisi pada diam t3,8 detik

dan pada t5, 4 detik.

Jadi kecepatan pada 3,8 detik adalah 32(3,8)=121,6 meter/detik.

Pada 5,4 detik adalah 32(5,4)=172,8 meter/detik.

CONTOH: Berapa lama waktu yang diperlukan oleh benda jatuh pada Contoh di atas untuk mencapai kecepatan sebesar 112

meter/detik?

Penyelesaian:

Kita hanya perlu menyelesaikan persamaan 32c=112. Diperoleh

112 3,5 32

B. TURUNAN

Definisi. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f ' yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

 





 

0

' lim h

f c h f c

f c

h



  

asalkan limit itu ada.

C. ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Teorema A. (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f x

 

k maka f '

 

x 0 atau D k

 

0 , untuk k

sebarang konstanta.

CONTOH: Turunan dari f x

 

2016 adalah f '

 

x 0 .

Teorema B. (Aturan Fungsi Identitas) Jika f x

 

x maka f '

 

x 1 atau D x

 

1.

CONTOH: Turunan dari f x

 

x adalah f '

 

x 1 .

Teorema C. (Aturan Pangkat) Jika

 

n

f x x maka '

 

n 1

f x nx  atau

 

n n 1

D x nx  , dengan

n bilangan positif.

CONTOH: Turunan dari f x

 

x10 adalah f '

 

x 10x9 .

Teorema D. (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensial

maka

   

kf ' x k f. '

 

x atau D k f x_ .

 

_k Df x.

 

.

CONTOH: Turunan dari f x

 

7x10 adalah

 

10

 

10 9 9

7 7. 7.10 70

Teorema E. (Aturan Jumlah)

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka



f g

  

' x  f '

 

x g x'

 

atau

 

 

 

 

D f x_ g x _Df x Dg x .

CONTOH: Turunan dari f x

 

x3x2 adalah

 

2

' 3 2

f x  x  x.

Teorema F. (Aturan Selisih)

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka



f g

  

' x  f '

 

x g x'

 

atau

   

 

 

D f x_ g x _Df x Dg x .

CONTOH: Turunan dari f x

 

x2x5 adalah

 

4

' 2 5

f x  x x .

STOP!!!!

Carilah turunan dari

a. f x

 

5x27x6

b. f x

 

4x63x510x25x16

c. f x

 

100x2100x10x99

Teorema G. (Aturan Hasil Kali)

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka



f g.

  

' x  f '

   

x g x  f x g x

   

' atau

   

.

   

   

D f x g x_ _Df x g x  f x Dg x .

CONTOH: Tentukan turunan dari

 



2



4



3 5 2

h x  x  x x .

Penyelesaian:

 

2

3 5

f x  x  maka f '

 

x 6x

 

4

2



  

   

   

Sampai sini OKE. Lebih oke lagi, jika disederhanakan!!!

STOP!!!

Diketahui h x

 





x21



x1002x34



. Tentukan a. h x'

 

b. h' 0

 

c. h' 1

 

Teorema H. (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan dan

Sampai sini OKE. Lebih oke lagi, jika disederhanakan!!!

b. h' 0

 

c. h' 1

 

Teorema I. (Aturan Pangkat Negatif) Jika

 

n

f x x maka

 

1

' n

f x  nx  atau

 

n n 1

D x  nx  , dengan n bilangan negatif.

CONTOH: Turunan dari f x

 

x10 adalah f '

 

x  10x11 .

LEBIH BANYAK LATIHAN!!!! 1. Carilah f '

 

x dari

3. Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada

saat t detik diberikan oleh s 16t240t100 a. Berapa kecepatan sesaat pada t2 ?

b. Kapan kecepatan seseatnya 0 ?

D. TURUNAN SINUS DAN KOSINUS

Teorema A.

Turunan dari f x

 

sinx adalah f '

 

x cosx dan turunan

CONTOH: Turunan f x

 

3sinx adalah

  

3 cos



3cos

f x  x  x.

Fungsi trigonometri yang lain dapat dicari dengan bantuan

fungsi sinus dan cosinus.

CONTOH: Tentukan turunan dari f x

 

tanx . Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

 

tan sin cos

cos .cos sin sin

cos

turunan berlaku juga di sinus dan kosinus)

E. ATURAN RANTAI

Teorema A. (Aturan Rantai)

Andaikan y f u

 

dan ug x

 

menentukan fungsi komposit

CONTOH: Tentukan turunan dari



2



60

2 4 1

PERHATIKAN!!! SECARA GAMPANG KITA NYATAKAN!!!

2. Turunkan yang ada di dalam kurung



₂



59





' 60 2 4 1 . 4 4

y  x  x x

LEBIH BANYAK SOAL Tentukan turunan dari

3. y7 x2sinx

3. Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada

saat t detik diberikan oleh s 16t220t5 c. Berapa kecepatan sesaat pada t1 ? d. Kapan kecepatan sesaatnya 0 ?

4. Tentukan turunan dari:

a. ycosxsinx

5. Dengan aturan rantai, tentukan turunan dari:

d.



2



sin 3 11

y x  x

e. 5

 

cos 3

BAB V TURUNAN

Bagian II (Pertemuan Ke-11)

A. NOTASI LEIBNIZ

Notasi Leibniz:





 

 

CONTOH. Tentukan dy

dx jika

Aturan Rantai Lagi

Andaikan y f u

 

dan ug x

 

. Dalam notasi Leibniz,

aturan rantai berbentuk dy dy du.

dx  du dx .

CONTOH. Tentukan dy

B. TURUNAN TINGKAT TINGGI

Kita telah memperkenalkan 3 notasi untuk turunan (sekarang

disebut turunan pertama)

Turunan Notasi f ' Notasi y' Notasi D Notasi

Kecepatan dan percepatan

CONTOH. Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat

sehingga posisi s nya memenuhi, s2t212t8 , dengan s dalam cm dan t dalam detik. Tentukan kecepatan benda pada

saat t 1 dan t6 ! Kapan kecepatannya 0 ? Kapan kecepatannya positif?