BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

(1)

1 Thobirin – Herawan, Analisis Real II

BAB I

DERIVATIF (TURUNAN)

ada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers.

P

A. Pengertian Derivatif

Pengertian derivatif fungsi f : [a, b] → R di titik c ∈ [a, b] ⊆ R dapat dijelaskan dalam definisi berikut.

Definisi 1.1

Diberikan interval [a, b] ⊆ R, fungsi f : [a, b] → R, dan c ∈ [a, b]. Bilangan real L disebut derivatif fungsi f di titik c, jika diberikan sembarang bilangan

ε

> 0 terdapat bilangan

δ

> 0 sehingga untuk setiap x ∈ [a, b] dengan sifat 0 < | x – c| <

δ

berlaku

.

lim

Dalam hal ini fungsi f dikatakan terdiferensial (diferensiabel) di titik c dan ditulis = L. Dengan kata lain, derivatif fungsi f di titik c dapat dinyatakan sebagai limit:

jika limitnya ada.

Catatan: Secara umum konsep derivatif dikenakan pada suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu interval.

Jika derivatif fungsi f : [a, b] → R ada di titik c ∈ [a, b], maka nilainya dinotasikan dengan . Dalam kasus fungsi , sudah terbiasa untuk memandang sebagai fungsi dari x. perhatikan

ontoh berikut.

c

Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan

,

Untuk sembarang c ∈ R, diperoleh

lim

2

Jadi dalam kasus ini, fungsi terdefinisi pada R dan 2 ,

.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa keterdiferensialan fungsi f di titik c mengakibatkan fungsi tersebut kontinu di titik c, hal tersebut diberikan pada teorema berikut.

(2)

Teorema 1.2

Diberikan interval [a, b] ⊆ R. Jika fungsi f : [a, b] → R terdiferensial (mempunyai derivatif) di titik c [a, b], maka fungsi f kontinu di titik c. ∈

Bukti:

Ambil sembarang x ∈ [a, b], dengan x ≠ c. Perhatikan bahwa .

lim lim

Berdasarkan hipotesis bahwa fungsi f terdiferensial atau ada, maka dengan menerapkan operator dan sifat aljabar limit fungsi diperoleh

lim lim lim lim

lim . 0

lim

Oleh k rena l maka terbukti f kontinu di c.

a im

Kekontinuan fungsi f : [a, b] → R di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Contoh berikut memberikan penjelasan tentang hal ini.

| |,

Tunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu di 0. Selanjutnya tunjukkan bahwa 0 tidak ada.

Jadi kekontinuan fungsi di suatu titik tidaklah menjadi syarat cukup eksistensi derivatif fungsi di itik tersebut.

t

Selanjutnya diberikan sifat‐sifat dasar dari derivatif yang sangat berguna dalam kalkulasi derivatif dari beberapa kombinasi fungsi‐fungsi terdiferensial.

B. Sifatsifat Aljabar Derivatif Fungsi Teorema 1.3

Diberikan interval [a, b] ⊆ R, c ∈ [a, b], serta fungsi f : [a, b] → R dan fungsi g : [a, b] → R keduanya terdiferensial di titik c.

a. Untuk setiap

α

∈ R, fungsi

α

f terdiferensial di titik c, dan

b. Fungsi f + g terdiferensial di titik c, dan

c. Fungsi f g terdiferensial di titik c, dan

d. Jika g(c) ≠ 0 maka fungsi terdiferensial di titik c, dan

Bukti:

Pada buku ini dibuktikan bagian a, c, dan d. Sedangkan bagian b yang cukup mudah buktinya diserahkan kepada pembaca.

(3)

Ambil sembarang interval [a, b] ⊆ R, dan c ∈ [a, b]. Diketahui fungsi f : [a, b] → R dan fungsi

u i it

3 Thobirin – Herawan, Analisis Real II g : [a, b] → R ked anya terdiferensial d t ik c.

a. Misalkan h =

α

f, maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x ≠ c diperoleh

lim lim

lim

Karena h =

α

f, maka diperoleh .

c. Misalkan h = fg, maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x ≠ c diperoleh

lim lim

lim lim lim lim

Karena h = fg, maka diperoleh

d. Misalkan

dan g

≠ 0

,

maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x ≠ c diperoleh

(4)

1

lim lim lim 1

1

Karena

, maka diperoleh

, , , … , …

… …

…

… … …

…

engan menggunakan induksi matematika, pembaca dapat memperluas aturan‐aturan pendiferensialan yang secara ringkas diberikan pada akibat berikut.

D Akibat 1.4

Jika masingmasing fungsi dari [a, b] ⊆ R ke R dan terdiferensial di c ∈[a, b], maka

a. fungsi terdiferensial di titik c, dan

b. fungsi terdiferensial di titik c, dan

… (1.1)

Jika pada (1.1) fungsi‐fungsinya sama, yaitu

berlaku

maka pada (1.1) (1.2)

n Catata :

Jika [a, b] ⊆ R suatu interval dan f : [a, b] → R fungsi, maka terdapat notasi lain yang sering digunakan untuk menyatakan derivatif fungsi f, sebagai contoh Df atau atau

(jika x variabel bebas tau f bukan fungsi implisit). Demikian halnya pada Teorema 1.3 bagian b dan c dapat pula ditulis sebagai D(f + g) = Df + Dg dan D(f g) = (Df)g + f(Dg).

a

C. Aturan Rantai (Chain Rule)

Pada bagian ini diberikan suatu aturan pendiferensialan fungsi‐fungsi komposisi yang dikenal dengan aturan rantai (chain rule). Aturan rantai memberikan suatu cara untuk mencari derivatif dari fungsi komposisi g o f. Jika fungsi f terdiferensial di titik c dan fungsi g terdiferensial di

aka derivatif dari fungsi g o f di titik c adalah o

f(c), m

tau

o o

a

.

(5)

5 Thobirin – Herawan, Analisis Real II o

Teorema 1.5 (Aturan R n a ) a t i

Diberikan interval [a, b] dan[c, d] kedu n a terv l di dalam :a y in a R, g [c, d] → R dan

f : [a, b] → R keduanya fungsi dengan sifat f([a, b]) ⊆ [c, d] dan c^* ∈ [a, b]. Jika fungsi f terdiferensial di titik c^* dan fungsi g terdiferensial di f(c^*), maka fungsi komposisi o f terdiferensial di titik c^*, dan

g .

:

Misalkan e = f(c^*), oleh karena g terdiferensial di f(c^*) maka ada. Selanjutnya didefiniskan fungsi bernilai real G yang welldefined pada [c, d] dengan

Bukti

,

Oleh karena fungsi g terdiferensial di e = f(c^*), maka ,

lim lim

Hal in si i c

.

, o

o

o o

i menunjukkan bahwa fung G kontinu d e = f( ^*).

Selanjutnya karena fungsi G kontinu di e = f(c^*), fungsi f kontinu di c^* dan f([a, b]) ⊆ [c, d], maka berdasarkan teorema kekontinuan komposisi fungsi‐fungsi kontinu, diperoleh G o f kontinu di c^*, sehingga

lim o lim

Dari definisi fungsi G, dapat ditulis

,

Oleh karenanya, jika x ∈ [a, b] dengan x ≠ c^*, dan f(x) = y, diperoleh o

o

Selanjutnya untuk x ≠ c^* dan dengan menerapkan operator limit, diperoleh lim o o

lim o lim

o engan demikian bukti telah lengkap.

o o

. D

Sering kita jumpai dalam kuliah kalkulus integral, notasi Df = Oleh karenanya aturan rantai o

. dapat pula ditulis

.

(6)

2 2 2

Contoh 1.6

1. Diberikan interval [a, b] ⊆ R, jika fungsi f : [a, b] → R terdiferensial pada [a, b] dan g(y) = yⁿ

∀y ∈ R, n ∈ N

o

Oleh karenanya berdasarkan Teorema 1.5 diperoleh o

.

, ,

(1.3) Dapat dimengerti bahwa, jika g(y) = yⁿ maka , oleh karenanya dari (1.3) diperoleh

.

Misalkan f(x) = 2x, maka . Dipersilakan pembaca untuk memberikan ontoh lain.

c

2. Diberikan interval [a, b] ⊆ R, jika fungsi f : [a, b] → R terdiferensial pada [a, b] dengan sifat 0 dan 0 untuk setiap , . Jika , 0, dapat dimengerti

bahwa , 0. Oleh karenanya diperoleh

1 o .

3. s bagi pemb k menunjukk

sin cos

cos sin

Tuga aca untu an

u ∈ R

Jika , maka ntuk setiap x dan

ika , maka untuk setiap x ∈ R.

j

Dengan menggunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan pembagian untuk setiap x ∈ R dengan untuk k bilangan bulat, selanjutnya diperoleh

sin

cos tan

Jadi

tan cos cos sin sin

cos

tan cos sin

cos

1

cos sec .

Demikian halnya untuk setiap x ∈ R dengan untuk k bilangan bulat, diperoleh

sec 1

cos

0. cos 1. sin cos

sin cos

1 cos .sin

cos sec tan

cot cos

sin

sin sin cos cos

sin

sin cos

sin

1

sin csc

(7)

csc 1 cos 1

.cos sin sin

0. sin 1. cos

sin sin sin csc cot

4. Diberikan suatu fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut.

sin1

, 0

0 , 0

Jika digunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan perkalian titik (dot product) pada Teorema 1.3 bagian c dan aturan rantai (Teorema 1.5) diperoleh

2 sin1

cos1

, 0.

Jika 0 tak satu pun dari aturan kalkulasi dapat digunakan. Konsekuensinya untuk mencari derivatif di titik 0 digunakan definisi, sehingga diperoleh

0 lim 0

0

lim sin1 lim sin1

0

Jadi derivatif f, yaitu ada di mana‐mana. Namun fungsi tidak punya limit di x = 0, oleh karenanya diskontinu di titik 0. Dengan demikian, suatu fungsi yang terdiferensial di

ana‐mana, tidaklah selalu mempunyai fungsi turunan yang kontinu.

m

C. Derivatif Fungsi Invers

Pada bagian ini dipaparkan hubungan derivatif suatu fungsi dengan derivatif inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton tegas.

Teorema 1.7

Diberikan interval [a, b] ⊆ R, dan f : [a, b] → R fungsi monoton tegas (stricly monotone) dan kontinu pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] → R invers fungsi f yang monoton tegas dan kontinu. Jika fungsi f terdiferensial di titik ∈ [a, b] dan , maka fungsi g terdiferensial di titik e = , lebih lanjut

0

1 1

Bukti:

Ambil sembarang y ∈ [c, d] dengan y ≠ e, selanjutnya didedifiniskan fungsi H : [c, d] → R dengan

(8)

Diketahui g monoton tegas, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap y ∈ [c, d] dengan y ≠ e, maka , dengan kata lain H : [c, d] → R welldefine. Demikian halnya jika

dan maka berdasarkan definisi fungsi H diperoleh

8 Thobirin – Herawan, Analisis Real II .

Mudah dimengerti bahwa untuk setiap y ∈ [c, d] dengan y ≠ e, maka H(y) ≠ 0. Selanjutnya dibuktikan bahwa

.

lim

Diberikan bilangan

ε

> 0 dan jika f terdiferensial di = g(e), maka terdapat bilangan

δ

> 0 sehingga untuk setiap x ∈ [a, b] dengan sifat 0 < | x – | <

δ

berlaku

.

Diketahui g kontinu di titik e = , artinya untuk setiap bilangan

δ

> 0 terdapat bilangan

η

> 0 sehingga untuk setiap y ∈ [c, d] dengan 0 < | y – e| <

η

maka berlaku

| | . (1.4)

Karena g fungsi invers dari f, maka g bijektif, dengan kata lain g injektif dan surjektif. g injektif dan , maka dari pembahasan sebelumnya dan berdasarkan (1.4), diperoleh; jika 0 < | y – e| <

η

ia ∈ [ , maka | | | | untuk set p y c d] .

Oleh karenanya untuk setiap y ∈ [c, d] dengan 0 < | y – e| <

η

berakibat

| |

untuk sembarang

ε

> 0. Jadi lim a a

.

Perhatikan bahwa karena y ≠ e m k ≠ 0, sehingga diperoleh .

Dapat disimpulkan, untuk setiap y ∈ [c, d] dengan y ≠ e, berlaku

lim lim 1 1

lim

1 .

1 Terbukti

1 . Catatan:

Persyaratan 0 pada Teorema 1.7 sangat penting . Faktanya, apabila maka fungsi invers g tidak terdiferensial di e = . Artinya, jika g terdiferensial di titik e = dan jika f invers fungsi g, maka dapat diterapkan Teorema 1.7 pada fungsi g untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi f terdiferensial di titik dan diperoleh

1

0

1 0.

ampak terjadi kontradiksi, oleh karena itu g tak terdiferensial di titik e = . N

Perhatikan contoh berikut.

,

(9)

Dapat dimengerti bahwa , , 3 , dan

3 .

. Dengan demikian 1

Ambil titik = 0, diperoleh e = = 0 dan 0 0.

erjadi kontradiksi, sehingga dapat disimpulkan bahwa

T , tak terdiferensial di 0.

Teorema 1.8

Diberikan interval [a, b] ⊆ R, dan f : [a, b] → R fungsi monoton tegas (stricly monotone) pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] → R invers fungsi f. Jika fungsi f terdiferensial pada [a, b] dan 0 untuk setiap x ∈ [a, b] , maka fungsi g terdiferensial pada [c, d], lebih lanjut

1

o , .

fu v

ukti teorema diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

B

Contoh 1.9

1. Diberikan dengan n genap, I = [0, ∞) dan fungsi bernilai real f : I → R yang didefinisikan dengan , , dapat dibuktikan bahwa fungsi f naik tegas dan kontinu pada I.

Sehingga ngsi in ersnya ada pada I, sehingga fungsi inversnya ada, yaitu , 0, ∞ . Fun si g nai tegas dan kontinu pada [0, ∞). Lebih lanjut diperoleh , .

> 0, maka

g k

Oleh karenanya jika y ada, dan

1 o

1 1

.

Dengan kata lain

1 1

untuk y > 0, akan tetapi g tak terdiferensial di titik 0.

2. Diberikan , n ganjil dengan sifat n ≠ 1, dan dua fungsi bernilai real F dan G berturut‐turut didefinisikan dengan

,

dan

,

Dapat dipahami bahwa G merupakan fungsi invers F. Berdasarkan nomor 1 telah ditemukan

1 1

ntuk y ≠ 0 dan G tak terdiferensial di titik 0, akan tetapi terdiferensial di titik‐titik lain.

u

3. Diberikan bilangan rasional positif, diberikan I = [0, ∞)dan fungsi bernilai real h didefinisikan dengan h(x) = , . Fungsi h dapat dinyatakan sebagai komposisi fungsi‐

fungsi f(x) = , dan g(x) = , . Dapat dimengerti bahwa h(x) = (f o g)(x) . Dengan mengaplikasikan aturan rantai (Teorema 1.5) dan berdasrakan hasil nomor 1 atau nomor 2, diperoleh

(10)

1

untuk setiap x > 0

4. Diberikan fungsi sinus, sin yang dibatasi pada pada domain I = , . Jelas f naik tegas pada I. Pembaca tahu bahwa sin sin 1 dan sin 1. Selanjutnya diberikan J = [–1, 1], perhatikan bahwa f : I → J merupakan fungsi bijektif, akibatnya f mempunyai invers yaitu arcsin . Dengan demikian, jika diberikan I = , dan J = [–1, 1], maka

sin arcsin .

Dapat dimengerti bahwa fungsi sinus terdiferensial pada I dengan sin

cos , .

Selanjutnya untuk setiap , os 0

ar

nilai c , maka berdasarkan Teorema 1.7 diperoleh

csin 1

sin

1 cos 1

cos

1

1 sin

1

untuk setiap erlu dicatat bahwa

1, 1

P tidak ada di titik –1 dan 1.

LATIHAN 1

1. nakan definisi der vatif fungsi untuk mencari derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut ,

Gu i

a.

b. , 0

√

c. , 0, ∞

d. √ , 0, ∞

2. Buktikan bahwa , . Buktikan Teorema 1.1 bagian b.

tak terdiferensial di titik x = 0 3

(11)

11 Thobirin – Herawan, Analisis Real II l

al 4. Diberikan fungsi f : R → R didefinisikan dengan

, rasiona 0 , irrasion Buktikan bahwa f terdiferensial di titik x = 0 dan tentukan 0 .

5. Menggunakan aturan rantai, tentukan derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut

a. ,

b. √5 2 ,

sin , ,

tan

c.

d. , | |

6. Diberikan dan fungsi f : R → R didefinisikan dengan

, 0

0 , 0

0 Tentukan nilai r kontinu di titik 0 dan erensi 0.

7. Andaikan f : R → R terdiferensial di titik dan . Buktikan bahwa fungsi

nya jika .

n aga terdif al di titik

0

| | terdiferensial di titik c jika dan ha 8. Diberikan fungsi g : R → R didefinisikan dengan

sin , 0

0 , 0

Tunjukkan bahwa g terdiferensial pada R da njukkan bahwa tak te 9. Jika suatu bilangan rasional, fungsi f : R → R didefinisikan dengan

sin

n tu rbatas pada [–1, 1].

0

, 0

0 , 0

Tentukan nilai r agar ada.